19.4 Bohrs modell för väteatomen.

Transkript

1 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning Bohrs moell för väteatomen. Som vi sett är en totala energin för elektronen i väteatomen E = 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor så kan Bohrs första postulat skrivas v = n h mr. Om vi substituerar etta uttryck i ekvationen ovan fås 2 n h 2 m = e2 mr 8πɛ 0 r vilket kan förenklas till r = 4π h2 ɛ 0 me 2 n2 = a 0 n 2 är a 0 = 4π h2 ɛ 0 me 2 som har väret m kallas Bohrs raie. Bohrs teori ger alltså en uppskattning för atomens storlek som stämmer me observationerna. Raier som inte överensstämmer me e kvantiserae värena r = a 0 n 2 är otillåtna. Om uttrycket för raien substitueras i uttrycket för elektronens energi fås E = e2 8πɛ 0 r = e 2 8πɛ 0 a 0 n 2 = e2 me 2 8πɛ 0 4π h 2 ɛ 0 n 2 = me4 32π 2 h 2 ɛ 2 0 som kan uttryckas E n = E 0 n 2 är n 2 E 0 = me4 32π 2 h 2 ɛ 2 0 = 3.60 ev. Såluna leer Bohrs postulat också till kvantisering av energin. Det lägsta energitillstånet E = E 0 svarar mot n = och kallas för

2 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 43 väteatomens gruntillstån. Det följane tillstånet vars energi är E 2 = E 0 /4 svarar mot n = 2 och kallas et första exciterae tillstånet se fig Väteatomens jonisationsenergi vs en energi som behövs för att frigöra en elektron från gruntillstånet n = är lika me E. Enligt Bohrs postulat är etta et ena möjliga väret av väteatomens jonisationsenergi och et förklarar varför jonisationspotentialen är ensamma för alla väteatomer vs 3.6 V uttryckt i volt. Enligt Bohrs anra postulat kan elektronen befinna sig i ett tillåtet energitillstån utan att stråla ut energi. Det treje postulatet tilllämpas på övergångar mellan tillåtna tillstån. Om energin för begynnelsetillstånet är E i och energin för sluttillstånet är E f så är frekvensen för en utsäna strålningen f = E i E f h. Om vi substituerar uttrycken för energin E i = E 0 /n 2 i och E f = E 0 / i enna ekvation fås [ f = E 0 h n 2 E 0 i ] = E 0 h n 2 i varav följer λ = f c = E 0 hc n 2 i = R n 2 i är R = E 0 hc = me 4 64π 3 h 3 ɛ 2 0 c = m. Om vi jämför enna ekvation me Rybergs formel ser vi att e båa formlerna är ientiska om n f = 2 och n i = n även om et finns en liten men signifikant skillna mellan R H och R. Skillnaen beror på att vi antagit att elektronen beskriver en cirkelrörelse kring kärnans meelpunkt vi härleningen av R. I själva verket sker rörelsen kring systemets massmeelpunkt som sammanfaller me kärnans meelpunkt enast om elektronens massa antas vara försvinnane liten i förhållane till protonens massa. I själva verket är kärnan 836 gånger tyngre än elektronen och elektronmassan bore ärför ersättas me en reucerae massan µ = m em p = m em p /m e = m e 836. m e m p m p /m e 837

3 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 44 Bohrs första postulat blir å L = µvr = n h och vi säger i etta fall. att systemets totala rörelsemängsmoment är kvantiserat. Om vi substituerar en reucerae massan µ i uttrycket för energin E 0 så blir en teoretiska konstanten R utbytt mot konstanten R H = R. Det teoretiska väret av R H stämmer mycket väl överens me et experimentella väret. Observera att en reucerae massan är olika för euterium och tritium eftersom kärnans massa i etta fall skiljer sig från protonens massa. För euterium t.ex. är kärnmassan 3672m e varför Rybergs konstant för euterium R D är något större än för väte. Alla linjer i Balmer serien för euterium är ärför något förskjutna mot kortare våglänger jämfört me motsvarane linjer i vätets Balmer serie isotopskift. Vätets spektrum kan nu förklaras me hjälp av Bohrs nivåiagram för väte fig Som vi ser kan spektret elas upp i olika serier: a Lyman serien består av övergångarna mellan e exciterae nivåerna n i = till gruntillstånet n f =. Seriegränsen är 9. nm. b Balmer serien innehåller övergångarna mellan e exciterae tillstånen n i = till första exciterae tillstånet n f = 2. Seriegränsen är nm. c Paschen serien består i sin tur av övergångar mellan e exciterae nivåerna n i = och tillstånet n f = 3. Seriegränsen är 820 nm. Övergångar från högre tillstån till tillstånet n f = 4 och n f = 5 ger upphov till Bracket resp. Pfun serien. Våglängen för alla linjer i essa serier kan beräknas ur en allmänna Ryberg formeln. Seriegränsen får man genom att sätta n i = i formeln. Om elektronen i en väteatom får en energi E c som är större än jonisationsenergin för väte E så kommer elektronen att fullstänigt frigöras från atomen och överskottsenergin E K = E c E överlåtes i form av kinetisk energi till elektronen. Energin för en såan elektron är inte kvantisera varför elektronens energinivåer bilar ett kontinuum. Elektronens banhastighet i en lägsta Bohr banan kan uppskattas ur Bohrs moell. Eftersom en totala energin i gruntillstånet kan 2E 0 m skrivas E = E 0 = 2 mv2 så är v = = m/s. Denna hastighet är nästan % av ljushastigheten. Om man vill beräkna hastigheten noggrannare bore man ärför göra en relativistisk beräkning.

4 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 45 Som en följ av Heisenbergs osäkerhetsrelation blir osäkerheten i position för en elektron som rör sig me hastigheten m/s att vara av storleksorningen 0 0 m. Detta avstån är av samma storleksorning som en första Bohr banan. Därför kan man inte betrakta elektronerna som punktformiga partiklar som är lokaliserae i atomen. Bohrs atommoell kan lätt utvigas till att gälla också anra atomer me en elektron t.ex. joner som He Li 2 Be 3 är enast en elektron kretsar kring en kärna me laningen Ze. Såana joner som kallas väteliknane joner kan behanlas i Bohrs teori så att man ersätter laningen e i uttrycket för Coulomb energin me Ze är Z = 2 för He Z = 3 för Li etc. Dessutom måste en reucerae massan moifieras. En följ av etta är att E 0 = Z 2 µe 4 /32π 2 h 2 ɛ 2 0 och att Rybergs formel såluna kan skrivas λ = RZ2 n 2 i är R = µe 4 /64π 2 h 3 ɛ 2 0c. Observera att väret av µ = m e M/m e M närmar sig m e å kärnans massa M växer. Då Z växer och jonen sålees blir tyngre kommer väret av R ärför att närma sig R. 9.5 Den kvantmekaniska lösningen för en atom me en elektron. Bohrs teori lyckas väl förklara energinivåerna för en atom me en elektron och sålees också spektrallinjerna men är otillfresställane i anra avseenen:. Den fungerar enast för atomer me en elektron men inte t.ex. för helium och anra atomer me flere elektroner. 2. Teorin kan inte använas t.ex. för att beräkna spektrallinjernas intensiteter. 3. Postulaten är något gotyckliga och kan stria mot en klassiska fysiken t.ex. et anra postulatet. Postulaten är formulerae så att e stämmer överens me e experimentella resultaten bevarar fenomenen men utan närmare motivering.

5 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 46 För att förjupa vår förståelse av atomerna skall vi nu behanla en väteliknane atomen kvantmekaniskt. Vi skall först skriva upp Schröinger ekvationen för systemet och börjar me uttrycket för potentialenergin: Ur = 4πɛ 0 Ze 2 r som i kartesiska koorinater kan skrivas Ux y z = 4πɛ 0 Ze 2 x2 y 2 z 2. I tre imensioner kan Schröinger ekvationen uttryckas explicit h2 2 ψ 2m x 2 2 ψ y 2 2 ψ z 2 Ux y zψ = Eψ eller kortare me Laplace operatorn 2 h2 2m 2 ψ Uψ = Eψ. Vågfunktionen beror i etta fall i allmänhet av alla tre koorinaterna x y och z. Atomens Schröinger ekvation skiljer sig från e tiigare behanlae enimensionella ekvationerna såtillvia att vi nu har ett system me två partiklar som emellerti kan reuceras till ett enkroppsproblem me hjälp av en reucerae massan. Dessutom är Schröinger ekvationen nu ett treimensionellt problem vilket gör lösningen mera komplicera. Den treimensionella Schröinger ekvationen kan lösas genom separation av variablerna vilket i etta fall unerlättas om vi först övergår till sfäriska koorinater r raien θ polära vinkeln φ azimutvinkeln: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ.

6 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 47 Genom att insätta uttrycket för Laplace operatorn i sfäriska koorinater se s. 737 i Schröinger ekvationen fås [ h2 2µ r 2 r 2 ψ r 2 sin θ sin θ ψ är ψ nu uppfattas som en funktion av r θ och φ. r 2 sin 2 θ De tre variablerna kan separeras ifall vi kan skriva egenfunktionen ψr θ φ som en proukt av tre enimensionella funktioner Rr Θθ och Φφ: ψ = RΘΦ. Genom substitution i Schröinger ekvationen kan enna skrivas i formen [ h2 2µ r 2 r 2 RΘΦ r 2 sin θ r 2 sin 2 θ sin θ RΘΦ 2 RΘΦ φ 2 2 ] ψ φ 2 Urψ = Eψ ] UrRΘΦ = ERΘΦ. Om vi beräknar e partiella erivatorna enligt RΘΦ/ = ΘΦR/r etc och multiplicerar me 2µr 2 sin 2 θ/ h 2 RΘΦ får vi sin 2 θ R r r 2 R 2 Φ r Φ φ 2 sin θ Θ θ som också kan skrivas 2 Φ Φ φ 2 = θ sin2 R r r 2 R sin θ r Θ sin θ Θ θ θ sin θ Θ θ = 2µr2 sin 2 θ h 2 E U 2µr2 sin 2 θ h 2 E U. Som vi ser är vänstra membrum enbart en funktion av φ mean högra membrum enast beror av R och θ. Detta kan gälla enast om vartera membrum av ekvation är en konstant separationskonstanten som vi kan uttrycka som m 2 l. Vi kan alltså separera ekvationen på två ekvationer:... sin2 θ R r r 2 R sin θ r Θ θ 2 Φ φ 2 = m2 l Φ sin θ Θ 2µr2 sin 2 θ θ h 2 E U = m 2 l.

7 Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 48 Genom att iviera en senare ekvationen me sin 2 θ kan en omskrivas i formen r 2 R 2µr2 R r r h 2 E U = m2 l sin 2 θ sin θ Θ Θ sin θ θ θ är vänstra membrum enast beror av r och högra membrum enast av θ. Vi har alltså lyckats separera variablerna r och θ och vartera membrum är ärför lika me en konstant som vi kan kalla ll. Vi får alltså två nya ekvationer: 2... sin θ θ r 2 R 3... r 2 r r sin θ Θ θ m2 l Θ sin 2 θ = ll Θ 2µ h 2 E UR = ll R r 2 Vi har alltså slutligen erhållit tre ifferentialekvationer i avseene på variablerna r θ och φ som kan lösas var för sig. För att en lösning skall vara fysikaliskt meningsfull så måste en vara entyig och överallt änlig. Lösningen till ekvation är Φ = e im lφ. Av entyighetsvillkoret följer å att funktionen måste anta samma väre för φ = 0 och φ = 2π vs e im l0 = e im l2π eller alltså = cos m l 2π i sin m l 2π. Detta villkor är uppfyllt enast om m l = 0 ± ±2.... Lösningarna till ekvation 2 Θθ visar sig vara änliga enast om l är ett heltal som antar värena m l m l m l 2... vs om l m l. Lösningarna kallas associerae Legenre polynom och e beror av l och m: Θθ = Pl m cos θ. Ekvation 3 brukar kallas för en raiella Schröinger ekvationen. Dess lösningar R nl r som vi senare skall stuera mera beror av l och n är n är ett heltal som antar värena å n > l. De motsvarane energierna för en väteliknane atom visar sig kunna skrivas i formen E n = Z2 µe 4 32π 2 h 2 ɛ 2 0 n 2 = Z2 E 0 n 2. Som vi ser överensstämmer uttrycket för Z = me Bohrs resultat.