Dopplereffekt och lite historia

Transkript

1 Dopplereffekt och lite historia

2 Outline 1 Lite om relativitetsteorins historia 2 Dopplereffekt och satelliter 3 Dopplereffekt och tidsdilatation L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

3 Lite om relativitetsteorins historia Lite om relativitetsteorins historia Vanlig relativitet Galileisk transformation x =? t =? x = x 2 x 1 = (x 2 vt) (x 1 vt) = x 2 x 1 = x t = t 2 t 1 = t 2 t 1 = t Längd- och tidsintervaller är lika i K och K. L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

4 Lite om relativitetsteorins historia Mitten av 18-hundratalet Man förstår elektromagnetismen ganska bra. Matematisk beskrivning: Maxwells ekvationer E = ρ/ε 0 B = 0 E = B t B = µ 0 J + µ 0 ε 0 E t Vågekvationen ( c 2 t 2 ( c 2 t 2 ) E = 0 ) B = 0 L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

5 Lite om relativitetsteorins historia Mitten av 18-hundratalet Problem Vågekvationen är inte invariant under galileisk transformation. ( ) ( c 2 t 2 ψ = c 2 t c 2 v t 1 ) c 2 (v )(v ) ψ = 0 Fråga Varför är detta ett problem? Svar Vi vill att alla fysikaliska lagar är desamma i två olika inertialsystem. Vad gör man då? ANVÄNDER ETERN! L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

6 Lite om relativitetsteorins historia Den underbara etern Vad är eter? Ett medium för ljusets spridning. Användes redan på 16-hundratalet för att förklara många ljusfenomen. Lösning av vågekvationens transformation Maxwells ekvationer håller bara i eterns vilosystem. Eterns egenskaper i slutet av 18-hundratalet Flytande (fyller hela rummet) Stelare än stål (för ljusets höga frekvenser) Utan massa och viskositet (ingen effekt på planeternas rörelse) Helt transparent Icke spridande Inkompressibel Kontinuerlig på en väldigt liten skala L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

7 Lite om relativitetsteorins historia Den underbara etern 1887: Michelson-Morley-försöket Jordens hastighet genom etern kunde inte mätas som större än experimentets fel ( 5 km/s) Noll hastighet? 1905: Einsteins relativitetspostulat Ingen eter?!? Vad då? 1 Relativitetsprincipen 2 Ljuspostulatet Längdkontraktion (L = L /γ) Tidsdilatation (T = γt ) Lorentztransformation av x, t Vågekvationen är invariant under LT! L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

8 Lite om relativitetsteorins historia Eter vs. Einsteins relativitetsteori Efter 300 år med etern: Väldigt svårt för många att ge upp den och acceptera att etern inte existerade. Speciellt när man ska ersätta den med sådan en konstig teori som Einsteins. Vilken mängd paradoxer man försökte hitta på! Men nu: Dopplereffekt. L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

9 Dopplereffekt och satelliter Dopplereffekt och satelliter L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

10 Dopplereffekt och satelliter I övningarna från kapitel 3 använde vi gång på gång regeln: Ljuskälla med frekvens ν närmar sig: ν 0 = ν k(u) Ljuskälla med frekvens ν går iväg: ν 0 = ν/k(u) Den gäller om rörelsen sker längs samma linje som vi står på: Men t.ex. satelliter rör sig inte på detta sätt: L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

11 Dopplereffekt och satelliter När satelliten är långt borta och närmar sig eller avlägsnar sig, så får vi de vanliga resultaten med k(u). Men när satelliten är nära, så går frekvensen inte helt plötsligt från ν = ν k(u) till ν = ν/k(u). Almänna regeln är Hur kommer man på det? ν = ν γ(1 u c cos θ ) L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

12 Dopplereffekt och satelliter Tänk på en satellit som kretsar omkring jorden på höjd h. Låtsas som om satellitens bana är vågrät sådan att dess läge kan beskrivas med x = ut, y = h. Den skickar ut ljuspulser med frekvensen ν i sitt eget vilosystem S. Tänk på två ljuspulser som skickas ut successivt i x 1 vid tid t 1 x 2 vid tid t 2 sett från jorden. L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

13 Dopplereffekt och satelliter I satellitens system skickas pulserna ut med tidskillnaden τ = 1/ν. På jorden är (tidsdilatation): t 2 t 1 = γτ = γ/ν. Men det tar tid r 1 /c för den första pulsen r 2 /c för den andra pulsen att nå till jorden. Därför är τ = (t 2 + r 2/c) (t 1 + r 1/c) = γτ (r 1 r 2)/c L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

14 Dopplereffekt och satelliter Om x 2 x 1 r 1 så kan vi approximera Därför får vi r 1 r 2 (x 2 x 1) cos θ = u(t 2 t 1) cos θ = uγτ cos θ τ = γτ (r 1 r 2)/c γτ uγτ cos θ /c = γτ(1 u c cos θ ) Alltså ν = 1/τ = 1/τ γ(1 u c cos θ ) = ν γ(1 u c cos θ ) L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

15 Dopplereffekt och satelliter Vi kan nu kontrollera... θ = 0 = 0 (närmar sig): ν = νγ u 1 u/c = ν 2 /c 2 1 u/c 1 + u/c = ν 1 u/c = ν k(u) = ν (1 u/c)(1 + u/c) 1 u/c L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

16 Dopplereffekt och satelliter Vi kan nu kontrollera... θ = π = 180 (avlägsnar sig): ν = νγ u 1 + u/c = ν 2 /c u/c 1 u/c = ν 1 + u/c = ν/k(u) = ν (1 u/c)(1 + u/c) 1 + u/c L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

17 Dopplereffekt och tidsdilatation Dopplereffekt och tidsdilatation L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

18 Dopplereffekt och tidsdilatation År 1907 Einstein föreslår att man kan mäta våglängden av strålning som en snabb atom sprider, sett från en rät vinkel i förhållande till dess riktning. Varför interessant? Vi hade ν (θ ) = ν/γ(1 u c cos θ ) Alltså blir våglängden (λ = c/ν 1/ν) λ (θ ) = λγ(1 u c cos θ ) För θ = π 2 = 90 : λ (π/2) = λγ. Vi kan mäta tidsdilatationsfaktorn γ! L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

19 Dopplereffekt och tidsdilatation Exempel En accelererad proton kan uppta en elektron och den resulterande väteatomen har en hastighet på c:a 10 6 m/s, alltså u/c 1/300 och γ För t.ex. λ = 5000 Å fås λ λ = Å. En mycket liten förändring, men den kan dock mätas. Problem Vinkeln måste vara precis π 2. Om den avviker med u/c radianer, c:a 0.2 i detta fall, så blir 1 u c faktorn mycket större än γ, och γ kan inte mätas. Fråga Kan ni se ett annat sätt för att mäta γ, γ 1 eller u 2 /c 2 med dopplereffekten för våglängd? λ (θ ) = λγ(1 u c cos θ ) cos θ L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

20 Dopplereffekt och tidsdilatation År 1938 Ives och Stilwell skriver en artikel om ett experiment de genomförde: De mätte strålningen som atomer utsänder framåt och bakåt, alltså för θ = 0 och θ = π. Så att λ (0) = λγ(1 u/c) och λ (π) = λγ(1 + u/c) λ (λ (π) λ (0)) = u c γλ u c λ λ (λ (π) + λ (0)) λ 1:a ordningens effekt = γλ λ = (γ 1)λ 2:a ordningens effekt ( ) = ((1 u 2 /c 2 ) 1/2 1 λ ( u2 /c 2 1)λ = 1 u 2 2 λ = 1 c 2 2λ ( λ 1) 2 λ 2 = 1 2λ ( λ 1) 2 L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

21 Dopplereffekt och tidsdilatation Betydelse Om vi inte hade någon relativistisk effekt, så skulle man ha λ 2 = 0 (eftersom då vore γ = 1; λ = λ(1 u c cos θ )) Vi kan använda detta experiment för att avgöra om relativitetsteorin stämmer eller inte. Experiment I experimentet använde Ives och stilwell H + 2 och H+ 3 genom noggrant inställd spänning. ioner, accelererade Atomerna utsråler ljus i den karakteriska Balmer linjen. L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

22 Dopplereffekt och tidsdilatation Results Experimentet visar hur man med lite skicklighet kan ta nuvarande metoder och driva dem till den yttersta gränsen. L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23

23 Dopplereffekt och tidsdilatation OBS! År 1938 (33 år efter Einsteins publicering av relativitetsteorin), efter att Ives och Stilwell genomförde sitt experiment, trodde de fortfarande inte på relativitetsteorin. De tyckte att deras resultat bevisade bara att rörliga klockor går långsamt, liksom en stång kontraheras om den rör sig i samma riktning som etern. Det är svårt att ge upp sina gamla föreställningar och idéer! L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia 16 februari / 23