Atom- och kärnfysik med tillämpningar -

Transkript

1 Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012

2 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2: Formalism. Sid , , V3: Approximativa beräkningsmetoder. Sid V3: Sfärisk symmetri. Sid V4 Väteatomen och störningsräkning i He. Sid V4: Harmonisk oscillator och Atomkärnans struktur V8: Repetition och genomgång av ex-tenta V9: Kvantmekanik tentamen LP2

3 Dagens föreläsning Repetition, sid i kvantvärldens fenomen

4 Repetition: Kap 5 Viktiga saker från kapitel 5, Formalism Koordinatrepresentation för operatorer Schrödingerekvationen som ett egenvärdesproblem Skalärprodukt och serieutveckling för vågfunktioner Kommutatorer Obestämbarheter Postulat

5 Koordinatrepresentation för operatorer I kvantmekaniken finns det till varje fysikalisk storhet en operator Â. Denna operator används för att extrahera information ur en vågfunktion Ψ, t.ex. < Â >=< Ψ ÂΨ >= Ψ Â Ψd r. Läge: ˆx x Två viktiga representationer i en dimension är: Rörelsemängd: ˆp x i x Vi kan nu bilda sammansatta operatorer från dessa, t.ex. Hamiltonoperatorn Ĥ = ˆp2 x V (ˆx) = 2m 2m x + V (x) 2 Observera att man ofta utelämnar ˆ hattarna

6 Schrödingerekvationen som ett egenvärdesproblem Schrödingerekvationen kan skrivas som ett egenvärdesproblem Ĥφ n = E nφ n där E n är egenvärde (energi) och φ n en egenfunktion (vågfunktionen) till operatorn Ĥ. För en given potential kan man då beräkna spektrum (mängd av energier) och tillhörande vågfunktioner. T. ex. oändlig lådpotential (s.65-71) Energier: E n = ( πn)2, n = 1, 2, 3,.. 2ma 2 Vågfunktioner: φ n = sin(nπx/a), n = 1, 2, 3,.. 2 a

7 Skalärprodukt och serieutveckling för vågfunktioner En skalärprodukt är en operation som givet två element (t.ex. vektorer eller vågfunktioner) ger ett tal och dessutom uppfyller vissa regler (s ). Vi betecknar skalärprodukten mellan u och v enligt < u v >. I kvantmekaniken kan vi beräkna en skalärprodukt enligt: < u v >= u v d r. En vågfunktion Ψ kan utvecklas i en bas (t.ex. i egenfuntioner till Hamiltonoperatorn) Ψ = c nφ n. Utvecklingskoefficienterna beräknas som följande skalärprodukt c n =< φ n Ψ >= φ nψd r.

8 Kommutatorer En kommutator bildas av två operatorer enligt [A, B] = AB BA. Om ordningen mellan A och B inte spelar någon roll är kommutatorn noll, man säger då att A och B kommuterar. För att beräkna kommutatorer används en testfunktion f [A, B]f = A(Bf ) B(Af ) =... = Cf [A, B] = C. Kommutatorer kan även förenklas med räkneregler (s. 116). En viktig kommutator är den mellan läge och rörelsemängd (s. 116) [x, p x] =.. = i. Kommutatorer används bl.a. för tidsderivatan av ett förväntningsläge (s. 118) d dt < A >= i < [H, A] >

9 Obestämbarheter Mätningar av storheten A (representerat av operatorn Â) på flera identiskt preparerade system ger i allmänhet olika resultat. Vi kan dock givet vågfunktionen Ψ beräkna förväntningsvärdet <  >=< Ψ ÂΨ >. Som ett mått på den förväntade avvikelsen från väntevärdet inför vi en obestämbarhet (eller standardavvikelse) enligt  = < Â2 > <  > 2. Mellan läge och rörelsemäng gäller en obestämbarhetsrelation (s.24-25) x p /2. vilket är ett specialfall av den allmänna obestämbarhetsrelationen (s ) A B < i[a, B] > /2.

10 Postulat Bl.a mätning av observabel. s i boken. Givet en vågfunktion Ψ och observabel A med tillhörande egenvärden och egenfunktioner: Aφ A n = λ A n φ A n kan vågfunktionen utvecklas i A s bas: Ψ = c A n φ A n Sannolikheten P(λ A n ) för att erhålla värdet λ A n vid mätning ges av: P(λ A n ) = c A n 2

11 Repetition: Kap 6 Viktiga saker från kapitel 6, Approximativa beräkningsmetoder Variationsmetoden Första ordningens störningsteori Ändliga underrum

12 Variationsmetoden Den vågfunktion ψ som minimerar ett systems energi < ψ Ĥψ >= E min svarar mot lägsta egentillståndet Ĥψ = E min ψ Det följer då att alla andra vågfunktioner φ har högre energi φ Ĥφ < E >= > E min. Genom att minimera energin för en lämplig vågfuntion φ α (beror av någon parameter α) kan man finna en vågfunktion som ligger nära den exakta lösningen E min min α(e α) = min α(< φ α Ĥφα >) = minα( φ α Ĥ φαd r) I praktiken deriverar man E α m.a.p. α för att hitta ett globalt minimum.

13 Första ordningens störningsräkning Om man känner de exakta vågfunktionerna till ett ostört problem (t.ex. den oändliga brunnen) Ĥφ n = E nφ n, är det rimligt att en liten störning ɛv s(x) till Hamiltonoperatorn bara medför en liten ändring av vågfunktionerna d.v.s. ) Ĥ s = (Ĥ + ɛvs(x) Ĥ sφ s n = E s n φ s n och φ s n φ n En första approximation av de störda energierna En s ges av En s = φ s n Ĥ sφ s n φ n Ĥ sφ n. Skillnaden orsakad av störningen är alltså ) En s = En s E n φ n (Ĥs Ĥ φ n = φ n ɛv sφ n

14 Ändliga underrum Man kan ofta få bättre approximationer genom att göra en ändlig utveckling av det störda tillståndet i en bas av ostörda tillstånd. Ψ s c 1φ 1 + c 2φ c N φ N Den störda Hamiltonoperatorn Ĥs kan då approximativt representeras med en ändlig N N matris H s så att H sψ s = E S Ψ s kan skrivas φ φ 1 Ĥsφ1 1 Ĥsφ2 φ 1 Ĥsφ N. c 1 c 1 φ 2 Ĥsφ1 φ.. 2 Ĥsφ2 c = c 2 Es. φ N Ĥsφ φ N Ĥsφ c N c N N De N st lägsta egenvärdena till matrisen H s approximerar de N lägsta egenvärdena till Ĥs och egenvektorerna ger motsvarande utvecklingskoefficienter.

15 Repetition: Kap 7 Viktiga saker från kapitel 7, Sfärisk symmetri Rörelsemängsmomentoperatorer Laplaceoperatorn och klotytefunktioner Den radiella Schrödingerekvationen

16 Rörelsemängdsmomentoperatorer För sfäriskt symmetriska problem spelar rörelsemängsmoment en viktig roll. I klassisk mekanik defineras rörelsemängsmomentvektorn av vektorprodukten L = r p. Vi har i kap. 5 sett att vi kan skriva rörelsemängdsoperatorer enligt p = (p x, p y, p z ) = i ( x, y, z ) = i. Vi definerar nu den kvantmekaniska (vektor) operatorn för rörelsemängsmoment enligt L = (Lx, L y, L z ) = (x, y, z) (p x, p y, p z ) = i r. Mellan rörelsemängsmomentets olika komponenter gäller följande kommutatorer [L x, L y ] = i L z, [L z, L x ] = i L y, [L y, L z ] = i L x. Storleken av rörelsemängsmomentet defineras av operatorn L 2 som kommuterar med alla komponenter [ L 2, L j ] = 0, j = x, y, z

17 Laplaceoperatorn och klotytfunktioner Laplaceoperatorn 2 ingår alltid i Hamiltonoperatorn. För sfäriska koordinater (r, θ, φ) tar den formen 2 = 1 r 2 r 2 r + 1 r 2 ( 2 θ tanθ θ + 1 sin 2 θ 2 φ 2 ) Detta kan omformuleras m.h.a definitionen av rörelsemängsmomentoperatorn till 2 2 = 1 r r 2 r 1 r 2 2 L 2 Den vinkelberoende delen av en tredimensionell funktion kan beskrivas av s.k. klotytefunktioner Yl m (θ, φ). Dessa är egenfunktioner till både L 2 och L z så att L 2 Y m l L z Y m l = 2 l(l + 1)Y m l, l = 0, 1, 2,.. och = my m l, m = 0, ±1, ±2,.., ±l Det finns 2l + 1 olika m för varje l

18 Den radiella Schrödingerekvationen För sfäriskt symmetriska system ( V ( r) = V (r) ) kan man separera vågfunktionen i en radiellt beroende del samt klotytefunktioner φ( r) = φ(r, θ, φ) = R(r)Yl m (θ, φ). När vi sätter in vågfunktionen i den tredimensionella Schrödingerekvationen Ĥφ = Eφ med sfärisk symmetri d.v.s med (s. 157) Ĥ = 2 2M 2 + V (r) = 2 1 2M r r 2 r + 1 2Mr 2 L 2 + V (r) återstår det att lösa en endimensionell Schrödingerekvation i variabeln r för funktionen u(r) = rr(r) 2 2 u n,l 2M r l(l + 1) 2Mr 2 u n,l + V (r)u n,l = E n,l u n,l Observera att u(r) och E bara beror på två kvanttal n och l (men ej av kvanttalet m). Massan betecknar vi här med M. 2

19 Repetition: Kap 8 Viktiga saker från kapitel 8, Väteatomen Hamilton operatorn för väte Egenskaper för lösningarna

20 Hamilton operatorn för väte Electron-atomkärna potential: V ( r) = V (r) = e0 2 1 r Leder till endimensionell Schrödingerekvation: 2 2 u n,l 2m e r l(l + 1) 2m e r 2 u n,l e0 2 1 r u n,l = E n,l u n,l där u(r) = rr(r)

21 Energinivåer för väte

22 Vågfunktioner för väte

23 Repetition: Kap 9 Viktiga saker från kapitel 9, Harmoniska-oscillatorn Harmoniska-oscillator potentialen Egenskaper för lösningarna

24 Hamilton operatorn för oscillatorn Potential: V ( r) = V (r) = 1 2 mω2 r 2 Löses enklast i cartesiska koordinater: 2 2 ψ 2m x mω2 x 2 ψ = Eψ

25 Energinivåer för oscillatorn

26 Vågfunktioner för oscillatorn