3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron
|
|
- Filip Sundström
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron [Understanding Physics: ] Bohrs teori lyckas väl förklara energinivåerna för en atom med en elektron, och således också spektrallinjerna, men är otillfredsställande i andra avseenden: 1. Den fungerar endast för atomer med en elektron, men inte t.ex. för helium, och andra atomer med flere elektroner. 2. Teorin kan inte användas t.ex. för att beräkna spektrallinjernas intensiteter. 3. Postulaten är något godtyckliga, och kan strida mot den klassiska fysiken (t.ex. det andra postulatet). Postulaten är formulerade så att de stämmer överens med de experimentella resultaten ( bevarar fenomenen ), men utan närmare motivering. För att fördjupa vår förståelse av atomerna, skall vi nu behandla den väteliknande atomen kvantmekaniskt. Vi skall först skriva upp Schrödingerekvationen för systemet, och börjar med uttrycket för potentialenergin: U(r) = 1 4πɛ 0 Ze 2 r, Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
2 som i kartesiska koordinater kan skrivas U(x, y, z) = 1 4πɛ 0 Ze 2 x2 + y 2 + z 2. Som vi ser, är potentialenergin sfäriskt symmetrisk. I tre dimensioner kan Schrödinger ekvationen uttryckas explicit ( ) 2 2 ψ 2m x + 2 ψ 2 y + 2 ψ + U(x, y, z)ψ = Eψ, 2 z 2 eller kortare med Laplace operatorn 2 2 2m 2 ψ + Uψ = Eψ. Vågfunktionen beror i detta fall i allmänhet av alla tre koordinaterna x, y och z. Atomens Schrödingerekvation skiljer sig från de tidigare behandlade endimensionella ekvationerna såtillvida, att vi nu har ett system med två partiklar, som emellertid kan reduceras till ett enkroppsproblem med hjälp av den reducerade massan. Dessutom är Schrödinger ekvationen nu ett tredimensionellt problem, vilket gör lösningen mera komplicerad. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
3 Den tredimensionella Schrödingerekvationen kan lösas genom separation av variablerna, vilket i detta fall underlättas, om vi först övergår till sfäriska koordinater r (radien), θ (polära vinkeln), och φ (azimutvinkeln)(se diagrammet): x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
4 Genom att insätta uttrycket för Laplace operatorn i sfäriska koordinater (se s. 737) i Schrödinger ekvationen fås 2 2µ [ 1 r 2 r ( ) r 2 ψ r + 1 r 2 sin θ θ där ψ nu uppfattas som en funktion av r, θ och φ. ( sin θ ψ ) θ ] 1 2 ψ + r 2 sin 2 + U(r)ψ = Eψ, θ φ 2 Det visar sig nu att dessa tre variabler kan separeras, ifall egenfunktionen ψ(r, θ, φ) uttrycks som en produkt av tre endimensionella funktioner R(r), Θ(θ) och Φ(φ): ψ = RΘΦ. Vi går inte här igenom detaljerna (som finns i boken), utan ger endast slutresultatet: (1)... (2)... 1 d sin θ dθ ( ) 1 d r 2 dr (3)... r 2 dr dr ( sin θ dθ dθ ) d 2 Φ dφ 2 = m2 l Φ + m2 l Θ sin 2 θ = l(l + 1)Θ + 2µ 2 (E U)R = l(l + 1) R r 2 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
5 Vi har alltså slutligen erhållit tre differentialekvationer i avseende på variablerna r, θ och φ, som kan lösas var för sig. För att en lösning skall vara fysikaliskt meningsfull, så måste den vara entydig och överallt ändlig. Lösningen till ekvation (1) är Φ = e im l φ. Av entydighetsvillkoret följer då, att funktionen måste anta samma värde för φ = 0 och φ = 2π, dvs e im l 0 = e im l 2π, eller alltså 1 = cos m l 2π + i sin m l 2π. Detta villkor är uppfyllt endast om m l = 0, ±1, ±2,.... Lösningarna till ekvation (2), Θ(θ), visar sig vara ändliga endast om l är ett heltal, som antar värdena m l, m l + 1, m l + 2,..., dvs om l m l. Lösningarna kallas associerade Legendre polynom, och de beror av l och m: Θ l,ml (θ) = P m l l (cos θ). Ekvation (3) brukar kallas för den radiella Schrödinger ekvationen. Dess lösningar R n,l (r), som vi senare skall studera mera, beror av l och n, där n är ett heltal, som antar värdena 1, 2, 3,... då n > l. De motsvarande energierna för en väteliknande atom visar sig kunna skrivas i formen E n = Z2 µe π 2 2 ɛ 2 0 n = E 0 2 Z2 n 2 Som vi ser, överensstämmer uttrycket för Z = 1 med Bohrs resultat. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
6 De tre heltalen n, l och m som vi fått fram genom att studera väteatomens Schrödinger ekvation, är kvanttal, som uppfyller följande villkor: 1. n = 1, 2,... kallas huvudkvanttalet, emedan det bestämmer systemets totala energi. 2. l som kallas bankvanttalet (eller sidokvanttalet), antar endast sådana heltaliga värden för vilka l < n, dvs l = 0, 1, 2,..., n 1. För ett givet värde av n kan l därför anta n värden. 3. m l, som kallas det magnetiska kvanttalet, kan bara anta heltaliga värden som uppfyller villkoret m l l, dvs m l = l,..., 1, 0, +1,..., +l. För ett givet värde av l kan m l alltså anta 2l + 1 värden. Lösningarna till den tidsoberoende Schrödinger ekvationen för väteatomen kan alltså skrivas ψ n,l,ml (r, θ, φ) = R n,l (r)θ l,ml (θ)φ ml (φ) (vågfunktionen för en elektron kallas atomorbital (AO) i kemin). Vi skall ännu se hur man kan karaktärisera atomens olika tillstånd. Som vi ser, beror energierna endast av totala kvanttalet n, fastän många olika värden av l och m l är möjliga, och således också många egenfunktioner, för varje givet värde av n. Olika värden av l och m l svarar alltså mot samma värde av n, vilket kallas för degeneration (vi skall senare se att degenerationen kan upphävas). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
7 I det lägsta energitillståndet (n = 1), kan både l och m l endast anta värdet 0. Det finns alltså endast en uppsättning kvanttal (n, l, m l ) = (1, 0, 0), och således endast en egenfunktion, som betecknas ψ 1,0,0 (detta är inte ett degenererat tillstånd). I följande energitillstånd (n = 2), kan l antingen anta värdet 0 eller 1. Då l = 0, så är m l endast 0, men då l = 1, så kan m l anta värdena 1, 0 eller +1. Det finns alltså sammanlagt fyra olika uppsättningar kvanttal för n = 2, och fyra egenfunktioner: ψ 2,0,0, ψ 2,1, 1, ψ 2,1,0, ψ 2,1,1. Detta energitillstånd är alltså fyrfaldigt degenererat. Kvanttalen (n, l) för atomtillstånden brukar ofta anges med spektroskopiska beteckningar: l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... s, p, d, f, g, h, i, k,..., etc Dessa beteckningar har ursprungligen fått sitt namn efter utseendet på spektrallinjerna i vissa serier: skarpa, principala, diffusa och fundamentala. Tillstånd med kvanttalen (n, l) = (1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1) och (3, 2) betecknas därför 1s, 2s, 2p, 3s, 3p och 3d. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
8 3.6. De lägsta tillståndens radiella egenfunktioner Om inte bara potentialenergin, utan också vågfunktionerna har sfärisk symmetri, är det speciellt enkelt att lösa Schrödinger ekvationen. Lösningarna beror då inte alls av vinklarna θ och φ ( ψ ψ θ = 0 och φ = 0), och Laplace operatorn antar en mycket enkel form: 2 ψ = d2 ψ dr + 2 dψ 2 r dr. Schrödinger ekvationen kan alltså skrivas 2 2m ( d 2 ψ dr r ) dψ dr + U(r)ψ = Eψ, eller alltså d 2 ψ dr + 2 dψ 2 r dr + 2m (E U(r))ψ = 0, 2 som överensstämmer med den radiella Schrödinger ekvationen för väteatomen då l = 0. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
9 I allmänhet beror lösningarna givetvis på den exakta formen av U(r). Ett exempel är t.ex. en potentialfunktion, som är omvänt proportionell mot avståndet r: U = C r (för en väteliknande atom är C = Ze 2 /(4πɛ 0 )). Genom att substituera detta uttryck i den radiella ekvationen får vi d 2 ψ dr r dψ dr + 2mE 2 ψ + 2mC 2 1 r ψ = 0. En enkel lösningsansats är ψ = Ae γr, γ > 0 (positiva exponenter ger icke-normerbara lösningar). Eftersom dψ dr = γae γr och d2 ψ dr 2 Ae γr γ eller alltså ( γ 2 + 2mE = γ2 Ae γr, så ger substitution, och efterföljande division med 2mC ( γ) + r ) r + 2mE = 0 2 ( 2γ + 2mC 2 ) 1 r = 0. Liksom tidigare kan vi konstatera, att om denna ekvation skall gälla för alla värden av r, så måste koefficienterna (parentesuttrycken) försvinna, och vi får alltså γ = mc 2 och E = 2 2m γ2 = 2 2m ( mc 2 ) 2 = mc Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
10 Således är ψ 1 (r) = Ae mc 2 r en giltig lösning till ekvationen, och den visar sig också representera grundtillståndet. För en väteliknande atom är C = Ze 2 /(4πɛ 0 ), som kan skrivas C = [ 2 /(µa 0 )]Z om vi utnyttjar definitionen på a 0, och ersätter m med den reducerade massan µ. Således är γ = µc/ 2 = Z/a 0, och E 1 = µc2 2 2 = µ 2 2 ( Ze 2 4πɛ 0 ) 2 = µ 2 2 Z 2 e 4 (4πɛ 0 ) 2, som med utnyttjande av definitionen på E 0 kan skrivas E 1 = Z 2 E 0, vilket visar att detta är grundtillståndet för en väteliknande atom. Den motsvarande vågfunktionen kan också skrivas ψ 1 = Ae Zr/a 0. Detta är den radiella Schrödinger ekvationens lösning för n = 1, l = 0, varför vi alltså har R n,l (r) = R 1,0 (r) = Ae Zr/a 0. De högre tillstånden behandlas inte här. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
11 3.7. Egenfunktionernas tolkning Vi har nu visat hur man (i princip) kan bestämma egenfunktionerna ψ n,l,ml (r, θ, φ) och hur de motsvarande tillstånden karaktäriseras. Vi skall nu studera dem mera i detalj. Den allmänna formen av Φ ml (φ) och R n,l (r) känner vi redan. Egenfunktionerna Θ l,ml (θ), som är av formen kallas associerade Legendre funktioner. Θ l,ml (θ) = sin m l θf l, ml (cos θ). Tabell 19.1 visar egenfunktionerna för n = 1, 2 och 3. Dessa egenfunktioner är normerade, dvs sannolikheten för att finna elektronen någonstans i rummet är 1: ψ n,l,m ψ n,l,ml dv = 1, l hela rummet där dv är ett volymelement. Observera, att egenfunktionerna ψ 1,0,0 och ψ 2,0,0 är oberoende av vinklarna θ och φ, de är därför sfäriskt symmetriska. Beroendet av θ uppträder först i egenfunktionen ψ 2,1,0. I detta fall, där m l = 0, har polynomet Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
12 F l,ml (cos θ) den enkla formen cos θ. För egenfunktionerna ψ 2,1,±1 gäller m l = ±1, så att sin m l θ = sin θ och polynomet F l,ml (cos θ) är lika med 1. Beroendet av φ uppträder först då m l är olika noll, alltså i egenfunktionerna ψ 2,1,±1. Vi har tidigare konstaterat, att en egenfunktion inte kan observeras direkt. Endast kvadraten på dess norm är en storhet som i princip kan mätas. Den beskriver sannolikheten för att man skall finna en partikel i en viss enhetsvolym. Vi studerar därför vågfunktionerna utgående från deras sannolikhetstätheter. I det endimensionella fallet är sannolikhetstätheten P (x)dx = ψ (x)ψ(x)dx, som anger sannolikheten att partikeln skall befinna sig inom intervallet [x, x + dx]. I det tredimensionella fallet är sannolikheten att elektronen skall befinna sig inom en volym dv som innehåller punkten (r, θ, φ) lika med P n,l,ml (r, θ, φ)dv = [R n,l R n,l][θ l,m l Θ l,ml ][Φ m l Φ ml ]dv Sannolikhetstätheten består därför av tre delar, en radiell del och två vinkelberoende delar. Vi skall först studera den radiella delen. Om vi integrerar sannolikhetstätheten över en volym som är innesluten mellan två sfäriska skal med radierna r och r + dr, får vi sannolikheten för att elektronen befinner sig på ett avstånd mellan r och r + dr från atomens medelpunkt: P n,l (r)dr = R n,l (r)r n,l(r) 4πr 2 dr, där volymelementet dv är 4πr 2 dr. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
13 Fig visar funktionerna P n,l (r) för n = 1, 2 och 3 (figuren nedan visar P 1,0, P 2,0 och P 2,1 ). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
14 Vi ser att P 1,0 (r) har endast ett maximum: ( Z ) 3 ( e 2Zr/a 0 Z 4πr 2 = 4 ) 3 r 2 e 2Zr/a 0. P 1,0 (r) = 1 π a 0 a 0 Då r a 0 /2Z, så är e 2Zr/a 0 1, och P 1,0 (r) ökar först proportionellt mot r 2. Men då r växer, kommer 2Zr att närma sig a 0, den exponentiella termen e 2Zr/a 0 minskar, och P 1,0 (r) närmar sig noll för stora värden av r. Således har P 1,0 (r) ett maximum för r = a 0. Alla väteatomens egenfunktioner innehåller en term e Zr/na 0, vilket innebär, att sannolikheten att finna elektronen på ett avstånd Zr na 0 är mycket liten. Pga den exponentiella termen är sannolikheten att finna elektronen långt utanför en Bohr bana ytterst liten. För egenfunktionen ψ 2,0,0 (eller alltså 2s tillståndet) är den radiella funktionens polynomfaktor 2 Zr/a 0, varför den motsvarande sannolikhetstätheten P 2,0 (r) är proportionell mot r 2 (2 Zr/a 0 ) 2. Denna funktion kommer därför att ha två maxima (se figuren), så att elektronen har en viss sannolikhet att befinna sig nära kärnan, men också en stor sannolikhet att befinna sig på ett större avstånd från kärnan. I Sommerfelds relativistiska atommodell kunde detta förklaras med hjälp av en elliptiska elektronbanor (se figuren). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
15 Fig visar också de radiella sannolikhetstätheterna för n = 3. Som vi kan se, har funktionerna P n,l (r) för de lägre l värdena extra maximer nära kärnan. Antalet maximer är som synes n l. Om elektronen befinner sig i något av dessa tillstånd är det sannolikare att elektronen befinner sig nära kärnan än om den befinner sig i något av tillstånden med större bankvanttal. Dessutom kan man visa, att väntevärdet av r: r n,l = 0 R n,l (r)rr n,l(r)4πr 2 dr avtar med ökande l för ett givet värde av n. Bohrmodellens banradie, n 2 a 0, stämmer bara någorlunda för tillstånd som har det största bankvanttalet n 1. De motsvarande sannolikhetsfördelningarna har då endast ett maximum, som uppnås för r = n 2 a 0. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
16 Härnäst skall vi studera vinkelberoendet av egenfunktionerna för n = 1 och n = 2. Den allmänna lösningen till den φ beroende ekvationen är Φ ml (φ) = e im l φ, varför sannolikheten Φ m l (φ)φ ml (φ) = e im l φ e im l φ = 1 för alla egenfunktioner för en elektron. Detta betyder att inga sådana sannolikhetstäthetsfunktioner kommer att att bero av φ. De förändras inte då φ varierar mellan 0 och 2π, dvs de är symmetriska i avseende på rotation kring z axeln. Beroendet av vinkeln θ kan åskådliggöras med hjälp av polära diagram för en funktion, som är proportionell mot Θ l,m l (θ)θ l,ml (θ) (se fig , samt fig. ovan). Funktionerna ψ 1,0,0 (1s) och ψ 2,0,0 (2s) är oberoende av θ, så att Θ 0,0 (θ)θ 0,0(θ) = 1 och de polära diagrammen är följaktligen cirklar. För Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
17 egenfunktionen ψ 2,1,0 (2p) är Θ 1,0 (θ)θ 1,0(θ) proportionell mot cos 2 θ, så att maxima ligger nära z axeln, där θ 0. För egenfunktionerna ψ 2,1,±1 (2p) är Θ 1,±1 (θ)θ 1,±1(θ) proportionell mot sin 2 θ, så att diagrammen uppvisar maximer i x, y planet, där θ π/2. För egenfunktionen ψ 3,2,±1 (3d) får man ett polärt diagram som liknar en fyrväppling. För högre l värden får man alltså ytterligare maxima i prefererade riktningar. I allmänhet är alla dessa distributioner symmetriska i avseende på rotation kring z axeln, så att det fullständiga tredimensionella vinkelberoendet erhålls genom att rotera de polära diagrammen kring z axeln. Distributionen för l = 0, m l = 0 blir således ett klot, för l = 1, m l = 0 får vi två ägg, och för l = 1, m l = ±1 en munkring. Atomens laddningsfördelning ρ n,l,ml (r, θ, φ) kan uttryckas med elektronens sannolikhetstäthet genom ekvationen ρ n,l,ml (r, θ, φ) = ep n,l,ml (r, θ, φ) = eψ n,l,m l (r, θ, φ)ψ n,l,ml (r, θ, φ), där e är elektronladdningen. Elektronens sannolikhetstäthet kan därför också uppfattas som en tredimensionell laddningsfördelning. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
18 Tolkningen. Bohrs modell och Schrödingers modell I kapitel 19 i boken beskrivs först Bohrs enkla planetmodell för atomen och därpå en mer komplicerad kvantmekanisk modell. Bohrs modell konstruerades ursprungligen för att förklara uppkomsten av atomspektra, och lyckades därmed riktigt bra, speciellt när det gällde väteliknande atomer. För atomer med flera elektroner misslyckades den, vilket observerades redan för helium. Den största skillnaden mellan Bohrs modell och den kvantmekaniska modellen är, att i Bohrs modell antas elektronerna röra sig i cirkulära banor (Sommerfeld införde senare elliptiska banor, som hade vissa fördelar), medan elektronerna i den kvantmekaniska modellen inte alls rör sig i bestämda banor, utan istället karaktäriseras av en sannolikhetstäthet, som har olika värden på olika ställen. Elektronernas rörelse är också beroende av Heisenbergs osäkerhetsrelation, som leder till att vi inte exakt vet var en elektron befinner sig, även om vi skulle känna dess hastighet noggrannt. Enligt kausalitetslagen kan vi beräkna en kropps rörelse i framtiden om vi vet exakt var den nu befinner sig. Heisenberg ansåg, att denna lag inte gäller i kvantmekaniken, eftersom vi inte alltid känner kroppens ursprungliga position fullt noggrannt. I Bohrs modell kan man beräkna var en elektron befinner i ett visst ögonblick, och med vilken hastighet den rör sig. Den är med andra ord helt deterministisk. Man kan använda den för att beräkna atomens energinivåer och spektrallinjernas lägen, men det är ingen garanti för att den är korrekt. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
19 Vi kan försöka förklara skillnaden mellan dessa två modeller med hjälp av en dialog mellan två hypotetiska personer, Simplicio och Salviati (idén lånad av Galilei): Simp. Är det något fel med att tänka sig elektroner som rör sig i cirkulära banor? Salv. En fysiker vid namn Louis de Broglie visade att elektronerna egentligen är vågor... Simp. Hej stopp! Vad menar du, är elektronerna vågor! Jag trodde de var partiklar! Salv. Här blir kvantfysiken rätt konstig. Om du gör ett experiment för att ta reda på var en partikel finns, då hittar du något som liknar en partikel. Men annars är den en våg som medför information om var elektronen sannolikt är. Diffraktionsexperimentet är ett annat sätt att upptäcka elektronernas vågpartikelnatur. Simp. Vad menar du, när du säger att elektronen sannolikt är någonstans. Är inte elektronen alltid på något bestämt ställe? Salv. Njaa... Innan du kontrollerar var den är, så är den egentligen bara en våg. Inte nog med det, Schrödinger har visat att elektronerna inte ens rör sig, vågorna är stationära. Varje gång du kollar var elektronen är kommer du att finna att den är på ett annat ställe, men det betyder inte att den har rört sig. Om man checkar positionen tillräckligt ofta, kommer man att kunna få ett banliknande mönster för vissa energinivåer, men vi skall inte inbilla oss att elektronerna verkligen rör sig i små cirklar. Simp. Var är då elektronen när jag inte tittar efter? Måste den inte vara nånstans? Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
20 Salv. Det är just det som är det lustiga: elektronen är inte på något bestämt ställe när du inte tittar efter. Till all tur, för mestadels har det inte så stor betydelse var den i själva verket är, vi är bara intresserade av hur mycket energi den har. Simp. Aha! Det är därför banorna är till nytta! De kanske ger fel information om var elektronen är, men de säger hur mycket energi den har. Salv. Vi kallar detta för elektronens energinivå. Eftersom föreställningen om elektronbanor är missvisande, så har man börjat beskriva atomernas energinivåer med ett nivåschema. Simp. Och detta kallar vi för Schrödingers modell förstås. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
21 3.8. Spektrallinjernas intensitet; urvalsregler Vi har tidigare konstaterat, att Bohrs teori inte kan förklara spektrallinjernas intensitet. Den kvantmekaniska teorin har inte denna brist. Sannolikheten för att en övergång skall äga rum, kan beräknas om man känner vågfunktionerna för begynnelsetillståndet och sluttillståndet. Intensiteten kan därpå beräknas ur övergångssannolikheten. Atomen, där övergången sker, kan anses ha en laddningsfördelning, som oscillerar mellan distributionerna i grundtillståndet och sluttillståndet. Det oscillerande laddningsmolnet är inte sfäriskt symmetriskt, utan den positiva och negativa laddningen är åtskiljda, och separationen varierar då molnet oscillerar. Oscillationen innebär, att laddningen accelererar, och som vi vet, så alstrar en accelererande laddning elektromagnetisk strålning. Den största övergångssannolikheten, och därmed också den starkaste emissionen av elektromagnetisk strålning åstadkoms av ett oscillerande elektriskt dipolmoment (jfr s. 441). Atomens elektriska dipolmoment är p = er, där r är separationen mellan den positiva och negativa laddningen. Hastigheten, varmed den elektromagnetiska strålningen därvid emitteras, är proportionell mot p 2, som visar sig vara proportionell Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
22 mot kvadraten på integralen hela rymden Ψ f (r, θ, φ, t)( er)ψ i(r, θ, φ, t)dv, där funktionerna Ψ i (r, θ, φ, t) = ψ i (r, θ, φ)e ie i t/ och Ψ f (r, θ, φ, t) = ψ f (r, θ, φ)e ie f t/ beskriver begynnelsetillståndet, resp. sluttillståndet, och E i och E f är de motsvarande energierna. Eftersom Ψ f (r, θ, φ, t) = ψ f (r, θ, φ)eie f t/, så kan integralen skrivas i formen hela rymden ψ f (r, θ, φ)eie f t/ ( er)ψ i (r, θ, φ)e ie i t/ dv = e i(e f E i )t/ hela rymden ψ f (r, θ, φ)( er)ψ i(r, θ, φ)dv Faktorn e i(e f E i )t/ är en periodisk funktion, vars frekvens är ω = 2πf = (E f E i )/. Den utsända strålningens frekvens är alltså f = (E f E i )/h. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
23 Den elektriska dipolintegralen hela rymden ψ f (r, θ, φ)( er)ψ i(r, θ, φ)dv bestämmer strålningens emissionshastighet. Integralen är i hög grad beroende av egenfunktionernas symmetriegenskaper. Man kan visa, att symmetrin för en egenfunktion är beroende av kvanttalet l. Om l f och l i är bankvanttalen för slut, resp. begynnelsetillståndet, så kan man visa att integralen försvinner, om inte l = l f l i = ±1. Elektrisk dipolstrålning kommer därför att produceras endast om l = ±1, vilket kallas för en urvalsregel för denna övergång. Vi ska tillämpa den på Lyman serien, vilken som vi sett motsvarar övergångar mellan de exciterade nivåerna med n i = 2, 3, 4,... till grundtillståndet n f = 1. Grundtillståndet har l = 0, varför övergångar endast är möjliga från exciterade tillstånd med l = 1, dvs 2p, 3p, 4p,... tillstånden. Om vi tillämpar samma urvalsregel på Balmer serien, så ser vi, att varje spektrallinje egentligen består av tre övergångar. T.ex. den röda linjen (n i = 3 n f = 2) byggs upp av övergångarna 3p 2s, 3s 2p och 3d 2p. På grund av degenerationen observeras inte spjälkning av linjerna. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
2.4. Bohrs modell för väteatomen
2.4. Bohrs modell för väteatomen [Understanding Physics: 19.4-19.7] Som vi sett, är den totala energin för elektronen i väteatomen E = 1 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor, så kan
Läs mer2.4. Bohrs modell för väteatomen
2.4. Bohrs modell för väteatomen [Understanding Physics: 19.4-19.7] Som vi sett, är den totala energin för elektronen i väteatomen E = 1 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor, så kan
Läs mer2.7. Egenfunktionernas tolkning - fortsättning
2.7. Egenfunktionernas tolkning - fortsättning [Understanding Physics: 19.7-19.10] Förra gången såg vi, att sannolikhetstätheten består av tre delar, en radiell del och två vinkelberoende delar. Vi skall
Läs mer2.8. Sannolikhetstäthetens vinkelberoende
2.8. Sannolikhetstäthetens vinkelberoende [Understanding Physics: 19.7 (s. 590)-19.11] Härnäst skall vi studera vinkelberoendet av egenfunktionerna för n = 1 och n = 2. Den allmänna lösningen till den
Läs mer19.4 Bohrs modell för väteatomen.
Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 42 9.4 Bohrs moell för väteatomen. Som vi sett är en totala energin för elektronen i väteatomen E = 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor så
Läs merAndra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström
Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den
Läs merVäteatomen. Matti Hotokka
Väteatomen Matti Hotokka Väteatomen Atom nummer 1 i det periodiska systemet Därför har den En proton En elektron Isotoper är möjliga Protium har en proton i atomkärnan Deuterium har en proton och en neutron
Läs merF3: Schrödingers ekvationer
F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så
Läs mer2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn
2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn [Understanding Physics: 13.16-13.17] Den klassiska hamiltonfunktionen för en enkel harmonisk oscillator med den reducerade massan m och fjäderkonstanten (kraftkonstanten)
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs mer2.14. Spinn-bankopplingen
2.14. Spinn-bankopplingen [Understanding Physics: 19.12-19.16] I avsnitt 2.12 konstaterade vi, att elektronen, som enligt Bohrs modell rör sig i en cirkelbana, kommer att ge upphov till en strömslinga,
Läs merKEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från
KEMA00 Magnus Ullner Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från http://www.kemi.lu.se/utbildning/grund/kema00/dold Användarnamn: Kema00 Lösenord: DeltaH0 F2 Periodiska systemet
Läs mer4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella
KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.
Läs merUtveckling mot vågbeskrivning av elektroner. En orientering
Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner En orientering Nikodemus Karlsson Februari 00 . Bohrs Postulat Niels Bohr (885-96) ställde utifrån iakttagelser upp fyra postulat gällande väteatomen ¹:. Elektronen
Läs merVI. Rörelsemängdsmomentets kvantisering
VI. Rörelsemängdsmomentets kvantisering VI.1. Klassiskt rörelsemängdsmoment Rörelsemängdsmomentet för massan µ = mm/(m + M) definieras klassiskt som L = r p = r µv = r µ dr dt (1) Vi antar att kraften
Läs mer1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen
1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen [Understanding Physics: 13.12-13.14] Den tidsberoende Schrödinger ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell differentialekvation
Läs merBFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 7 Kvantfysik, Atom-, Molekyl- och Fasta Tillståndets Fysik
Föreläsning 7 Kvantfysik 2 Partiklars vågegenskaper Som kunnat konstateras uppträder elektromagnetisk strålning ljus som en dubbelnatur, ibland behöver man beskriva ljus som vågrörelser och ibland är det
Läs merRydbergs formel. Bohrs teori för väteliknande system
Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Sektionen för Fysik och Teknisk Fysik Arne Rosén, Halina Roth Uppdaterad av Erik Reimhult, januari A4 Enelektronspektrum Namn... Utförd den... Godkänd
Läs merInstuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7
Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor
Läs merHjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Läs merKvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.
Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall!
Läs merLitiumatomens spektrum
Litiumatomens spektrum Datorlaboration i Atom- och kärnfysik FAFF10 version 2010b av Sara Bargi och Jonas Cremon, omarbetning av tidigare version Före laborationens utförande ska du ha läst igenom avsnitt
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 6 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 10 Oktober, 2013 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1 : Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2
Läs mer1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten
1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten [Understanding Physics: 13.7-13.11] En egenskap som är gemensam för både vågor och partiklar är förmågan att överföra energi. I vartdera fallet kan man representera
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2:
Läs merKvantmekanik - Gillis Carlsson
Kvantmekanik - Föreläsning 1 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se LP2 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1): Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2 : V3 : Formalism (I). Sid 109-124, 128-131,
Läs merKvantmekanik. Kapitel Natalie Segercrantz
Kvantmekanik Kapitel 38-39 Natalie Segercrantz Centrala begrepp Schrödinger ekvationen i en dimension Fotoelektriska effekten De Broglie: partikel-våg dualismen W 0 beror av materialet i katoden minimifrekvens!
Läs merKvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp
Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.
Läs merTentamen. TFYA35 Molekylfysik, TEN1 24 oktober 2016 kl Skrivsal: G34, G36, G37
Thomas Ederth IFM / Molekylär Fysik ted@ifm.liu.se Tentamen TFYA35 Molekylfysik, TEN1 24 oktober 216 kl. 8.-13. Skrivsal: G34, G36, G37 Tentamen omfattar 6 problem som vardera kan ge 4 poäng. För godkänt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merc = λ ν Vågrörelse Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Kvantmekanik 1.1 Elektromagnetisk strålning
Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Modern teori för atomer/molekyler kan förklara atomers/molekylers egenskaper: Kvantmekanik I detta och nästa kapitel: atomers egenskaper och periodiska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merKapitel 7. Atomstruktur och periodicitet
Kapitel 7 Atomstruktur och periodicitet Avsnitt 7.1 Elektromagnetisk strålning Fyrverkeri i olika färger Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Avsnitt 7.2 Materians karaktär Illuminerad saltgurka
Läs merVIII. Spinn- och magnetisk växelverkan
VIII. Spinn- och magnetisk växelverkan För att undvika sammanblandning kommer vi nu att förtydliga beteckningarna från tidigare kapitel. Vi skriver nu elektronmassan m e (inte m som tidigare) och det magnetiska
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merDugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!
Läs mer1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!
KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel
Läs mer1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer
1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer [Understanding Physics: 13.15-13.17; 19.1-19.3] Vi skall nu ge en översikt över ytterligare några potentialbrunnar och barriärer, nämligen potentialfallet (fig.
Läs mer7. Atomfysik väteatomen
Partiklars vågegenskaper Som kunnat konstateras uppträder elektromagnetisk strålning ljus som en dubbelnatur, ibland behöver man beskriva ljus som vågrörelser och ibland är det nödvändigt att betrakta
Läs mer1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten
1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten [Understanding Physics: 13.7-13.12] En egenskap som är gemensam för både vågor och partiklar är förmågan att överföra energi. I vartdera fallet kan man representera
Läs merKapitel 7. Atomstruktur och periodicitet. Kvantmekanik Aufbau Periodiska systemet
Avsnitt 7.1 Elektromagnetisk strålning Kapitel 7 Fyrverkeri i olika färger Atomstruktur och periodicitet Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Illuminerad saltgurka Kapitel 7 Innehåll Kvantmekanik
Läs merNumber 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057).
LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Hans Weber, Avdelningen för Fysik, 2004 Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). 1. Partikel i en en dimensionell
Läs merTentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA
IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Linköpings universitet Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA Torsdagen den 29/8 2013 kl. 14.00-18.00 i TER2 Tentamen består av 2 A4-blad (inklusive detta)
Läs merFormelsamling, Kvantmekanik
Formesaming Kvantmekanik Matematik Linjär operator: Â är injär om Â[aψ (x+bψ (x] = aâψ (x+bâψ (x för aa kompexa ta a b och aa kompexvärda tiståndsfunktioner ψ (x ψ (x Kommutator: [Â ˆB] = Â ˆB ˆBÂ där
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 11/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 11/11 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 40-42* (*) 40.1-4 (översikt) 41.6 (uteslutningsprincipen) 42.1, 3, 4, 6, 7 koncept enklare uppgifter Översikt
Läs mer1.5 Våg partikeldualism
1.5 Våg partikeldualism 1.5.1 Elektromagnetisk strålning Ljus uppvisar vågegenskaper. Det är bland annat möjligt att åstadkomma interferensmönster med ljus det visades av Young redan 1803. Interferens
Läs mer1.13. Den rektangulära potentialbrunnen
1.13. Den rektangulära potentialbrunnen [Understanding Physics: 13.13-13.15(b)] Vi betraktar en partikel med massan m som är innesluten i en rektangulär potentialbrunn med oändligt höga sidor, dvs U =
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merMilstolpar i tidig kvantmekanik
Den klassiska mekanikens begränsningar Speciell relativitetsteori Höga hastigheter Klassisk mekanik Kvantmekanik Små massor Små energier Stark gravitation Allmän relativitetsteori Milstolpar i tidig kvantmekanik
Läs merKapitel 7. Atomstruktur och periodicitet. Kvantmekanik Aufbau Periodiska systemet
Kapitel 7 Innehåll Kapitel 7 Atomstruktur och periodicitet Kvantmekanik Aufbau Periodiska systemet Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Kapitel 7 Innehåll 7.1 Elektromagnetisk strålning 7.2
Läs merKapitel 4. Materievågor
Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Kapitel 4. Materievågor 1 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Överblick Överblick Kring 1925 började många viktiga kvantkoncept ha sett
Läs merKvantfysik SI1151 för F3 Tisdag kl
TEORETISK FYSIK KTH Kvantfysik SI5 för F3 Tisdag 3008 kl. 8.00-3.00 Skriv på varje sida Namn och problemnummer Motivera noga Otillräckliga motiveringar leder till poängavdrag Hjälpmedel Teoretisk fysiks
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 10/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 10/11 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-41* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 40.1-4 (översikt) koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs!
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merKommer sig osäkerheten av att vår beskrivning av naturen är ofullständig, eller av att den fysiska verkligheten är genuint obestämd?
Inte mycket verkar säkert här...? Våg-partikeldualitet Ett system kan ha både vågoch partikelegenskaper i samma experiment. Vågfunktionen har en sannolikhetstolkning. Heisenbergs osäkerhetsrelation begränsar
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen 24-5-26 DEL A. Skissera definitionsmängden till funktionen f (,) 2 ln(2 ). Är definitionsmängden kompakt? (4 p) Lösning. Termen 2 är definierad när
Läs merLABORATION ENELEKTRONSPEKTRA
LABORATION ENELEKTRONSPEKTRA Syfte och mål Uppgiften i denna laboration är att studera atomspektra från väte och natrium i det synliga våglängdsområdet och att med hjälp av uppmätta våglängder från spektrallinjerna
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 14 Atomen
Lösningar Heureka Kapitel 14 Atomen Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 14 14.1) a) Kulorna från A kan ramla på B, C, D, eller G (4 möjligheter). Från B kan de ramla
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 26 maj, 2014
SF1626 Flervariabelanals Tentamen Måndagen den 26 maj, 214 Skrivtid: 14:-19: Tillåtna hjälpmedel: inga Eaminator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fra poäng. Del A
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merKvantmekanik II - Föreläsning 7
Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Identiska partiklar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 1/44 Innehåll 1 Generalisering av Schrödingerekvationen till fler partiklar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merDopplereffekt och lite historia
Dopplereffekt och lite historia Outline 1 Lite om relativitetsteorins historia 2 Dopplereffekt och satelliter 3 Dopplereffekt och tidsdilatation L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia
Läs merRelativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 6 Lösningar
elativitetsteorins grunder, våren 2016 äkneövning 6 Lösningar 1. Gör en Newtonsk beräkning av den kritiska densiteten i vårt universum. Tänk dig en stor sfär som innehåller många galaxer med den sammanlagda
Läs merTENTAMEN I FYSIKALISK KEMI KURS: KEM040 Institutionen för kemi Göteborgs Universitet Datum: LÄS DETTA FÖRST!
TENTAMEN I FYSIKALISK KEMI KURS: KEM040 Institutionen för kemi Del: QSM Göteborgs Universitet Datum: 111206 Tid: 8.30 14.30 Ansvariga: Gunnar Nyman tel: 786 9035 Jens Poulsen tel: 786 9089 Magnus Gustafsson
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spridning av elektromagnetisk strålning [Jakson 9.6-] Med spridning avses mest allmänt proessen där strålning (antingen av partikel- eller vågnatur) växelverkar med något objekt så att dess fortskridningsriktning
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs merFysik TFYA68. Föreläsning 11/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 11/14 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-39* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs! 2 Introduktion Kvantmekanik
Läs merFöreläsning 6. Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan. Fk3002 Kvantfysikens grunder 1
Föreläsning 6 Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan Fk3002 Kvantfysikens grunder 1 Betrakta ett experiment med opolariserade elektroner dvs 50% är spinn-upp och 50%
Läs merInnehåll. Fysik Relativitetsteori. fy8_modernfysik.notebook. December 19, Relativitetsteorin Ljusets dualism Materiens struktur Kärnfysik
Fysik 8 Modern fysik Innehåll Relativitetsteorin Ljusets dualism Materiens struktur Kärnfysik 1. Relativitetsteori Speciella relativitetsteorin Allmänna relativitetsteorin Two Postulates Special Relativity
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merFK Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 16 december 2015, kl 17:00-22:00
FK003 - Kvantfysikens principer, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning, onsdag 16 december 015, kl 17:00 - :00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror du klarar
Läs merPreliminärt lösningsförslag till Tentamen i Modern Fysik,
Preliminärt lösningsförslag till Tentamen i Modern Fysik, SH1009, 008 05 19, kl 14:00 19:00 Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter tillkommer. För godkänt krävs
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merKVANTMEKANIK SAMMANFATTNING Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail.
MW 6 oktober 0 KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail. Stern-Gerlach experiment SGZ: En mätning av S z ger något av de två möjliga resultaten S z = ± / som kallas
Läs merTentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA
IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Linköpings universitet Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA Torsdagen den 28/8 2014 kl. 14.00-18.00 i T1 och S25 Tentamen består av 2 A4-blad (inklusive
Läs merFysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 25.
GÖTEBORGS UNIVERSITET Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 25 Delkurs 4 KVANTMEKANIK: GRUNDER, TILLÄMPNINGAR
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs mer1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner?
Session: okt28 Class Points Avg: 65.38 out of 100.00 (65.38%) 1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner? A 0% Vi måste ha haft "koincidens", dvs. flera
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen i Modern fysik, TFYA11, TENA
IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Linköpings universitet Tentamen i Modern fysik, TFYA11, TENA Tisdagen den 26/4 2011 kl. 08.00-12.00 i TER3 Tentamen består av 4 sidor (inklusive denna sida)
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs mer