2.7. Egenfunktionernas tolkning - fortsättning
|
|
- Hanna Berglund
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 2.7. Egenfunktionernas tolkning - fortsättning [Understanding Physics: ] Förra gången såg vi, att sannolikhetstätheten består av tre delar, en radiell del och två vinkelberoende delar. Vi skall först studera den radiella delen. Om vi integrerar sannolikhetstätheten över en volym som är innesluten mellan två sfäriska skal med radierna r och r + dr, får vi sannolikheten för att elektronen befinner sig på ett avstånd mellan r och r + dr från atomens medelpunkt: P n,l (r)dr = R n,l (r)r n,l(r) 4πr 2 dr, där volymelementet dv är 4πr 2 dr. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
2 Fig visar funktionerna P n,l (r) för n = 1, 2 och 3 (figuren nedan visar P 1,0, P 2,0 och P 2,1 ). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
3 Vi ser att P 1,0 (r) har endast ett maximum: ( Z ) 3 ( e 2Zr/a 0 Z 4πr 2 = 4 ) 3 r 2 e 2Zr/a 0. P 1,0 (r) = 1 π a 0 a 0 Då r a 0 /2Z, så är e 2Zr/a 0 1, och P 1,0 (r) ökar först proportionellt mot r 2. Men då r växer, kommer 2Zr att närma sig a 0, den exponentiella termen e 2Zr/a 0 minskar, och P 1,0 (r) närmar sig noll för stora värden av r. Således har P 1,0 (r) ett maximum för r = a 0. Alla väteatomens egenfunktioner innehåller en term e Zr/na 0, vilket innebär, att sannolikheten att finna elektronen på ett avstånd Zr na 0 är mycket liten. Pga den exponentiella termen är alltså sannolikheten att finna elektronen långt utanför en Bohr bana ytterst liten. För egenfunktionen ψ 2,0,0 (eller alltså 2s tillståndet) är den radiella funktionens polynomfaktor 2 Zr/a 0, varför den motsvarande sannolikhetstätheten P 2,0 (r) är proportionell mot r 2 (2 Zr/a 0 ) 2. Denna funktion kommer därför att ha två maxima (se figuren), så att elektronen har en viss sannolikhet att befinna sig nära kärnan, men också en stor sannolikhet att befinna sig på ett större avstånd från kärnan. I Sommerfelds relativistiska atommodell kunde detta förklaras med hjälp av en elliptiska elektronbanor (se figuren). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
4 Fig visar också de radiella sannolikhetstätheterna för n = 3. Som vi kan se, har funktionerna P n,l (r) för de lägre l värdena extra maximer nära kärnan. Antalet maximer är som synes n l. Om elektronen befinner sig i något av dessa tillstånd är det sannolikare att elektronen befinner sig nära kärnan än om den befinner sig i något av tillstånden med större bankvanttal. Dessutom kan man visa, att väntevärdet av r: r n,l = 0 R n,l (r)rr n,l(r)4πr 2 dr avtar med ökande l för ett givet värde av n. Bohrmodellens banradie, n 2 a 0, stämmer bara någorlunda för tillstånd som har det största bankvanttalet n 1. De motsvarande sannolikhetsfördelningarna har då endast ett maximum, som uppnås för r = n 2 a 0. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
5 Härnäst skall vi studera vinkelberoendet av egenfunktionerna för n = 1 och n = 2. Den allmänna lösningen till den φ beroende ekvationen är Φ ml (φ) = e im l φ, varför sannolikheten Φ m l (φ)φ ml (φ) = e im l φ e im l φ = 1 för alla egenfunktioner för en elektron. Detta betyder att inga sådana sannolikhetstäthetsfunktioner kommer att att bero av φ. De förändras inte då φ varierar mellan 0 och 2π, dvs de är symmetriska i avseende på rotation kring z axeln. Beroendet av vinkeln θ kan åskådliggöras med hjälp av polära diagram för en funktion, som är proportionell mot Θ l,m l (θ)θ l,ml (θ) (se fig , samt fig. ovan). Funktionerna ψ 1,0,0 (1s) och ψ 2,0,0 (2s) är oberoende av θ, så att Θ 0,0 (θ)θ 0,0(θ) = 1 och de polära diagrammen är följaktligen cirklar. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
6 För egenfunktionen ψ 2,1,0 (2p) är Θ 1,0 (θ)θ 1,0(θ) proportionell mot cos 2 θ, så att maxima ligger nära z axeln, där θ 0. För egenfunktionerna ψ 2,1,±1 (2p) är Θ 1,±1 (θ)θ 1,±1(θ) proportionell mot sin 2 θ, så att diagrammen uppvisar maximer i x, y planet, där θ π/2. För egenfunktionen ψ 3,2,±1 (3d) får man ett polärt diagram som liknar en fyrväppling. För högre l värden får man alltså ytterligare maxima i prefererade riktningar. I allmänhet är alla dessa distributioner symmetriska i avseende på rotation kring z axeln, så att det fullständiga tredimensionella vinkelberoendet erhålls genom att rotera de polära diagrammen kring z axeln. Distributionen för l = 0, m l = 0 blir således ett klot, för l = 1, m l = 0 får vi två ägg, och för l = 1, m l = ±1 en munkring. Atomens laddningsfördelning ρ n,l,ml (r, θ, φ) kan uttryckas med elektronens sannolikhetstäthet genom ekvationen ρ n,l,ml (r, θ, φ) = ep n,l,ml (r, θ, φ) = eψ n,l,m l (r, θ, φ)ψ n,l,ml (r, θ, φ), där e är elektronladdningen. Elektronens sannolikhetstäthet kan därför också uppfattas som en tredimensionell laddningsfördelning. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
7 Tolkningen. Bohrs modell och Schrödingers modell I kapitel 19 i boken beskrivs först Bohrs enkla planetmodell för atomen och därpå en mer komplicerad kvantmekanisk modell. Bohrs modell konstruerades ursprungligen för att förklara uppkomsten av atomspektra, och lyckades därmed riktigt bra, speciellt när det gällde väteliknande atomer. För atomer med flera elektroner misslyckades den, vilket observerades redan för helium. Den största skillnaden mellan Bohrs modell och den kvantmekaniska modellen är, att i Bohrs modell antas elektronerna röra sig i cirkulära banor (Sommerfeld införde senare elliptiska banor, som hade vissa fördelar), medan elektronerna i den kvantmekaniska modellen inte alls rör sig i bestämda banor, utan istället karaktäriseras av en sannolikhetstäthet, som har olika värden på olika ställen. Elektronernas rörelse är också beroende av Heisenbergs osäkerhetsrelation, som leder till att vi inte exakt vet var en elektron befinner sig, även om vi skulle känna dess hastighet noggrannt. Enligt kausalitetslagen kan vi beräkna en kropps rörelse i framtiden om vi vet exakt var den nu befinner sig. Heisenberg ansåg, att denna lag inte gäller i kvantmekaniken, eftersom vi inte alltid känner kroppens ursprungliga position fullt noggrannt. I Bohrs modell kan man beräkna var en elektron befinner i ett visst ögonblick, och med vilken hastighet den rör sig. Den är med andra ord helt deterministisk. Man kan använda den för att beräkna atomens energinivåer och spektrallinjernas lägen, men det är ingen garanti för att den är korrekt. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
8 Vi kan försöka förklara skillnaden mellan dessa två modeller med hjälp av en dialog mellan två hypotetiska personer, Simplicio och Salviati (idén lånad ur Galileis verk: Dialog rörande världens två huvudsystem, 1632): Simp. Är det något fel med att tänka sig elektroner som rör sig i cirkulära banor? Salv. En fysiker vid namn Louis de Broglie visade att elektronerna egentligen är vågor... Simp. Hej stopp! Vad menar du, är elektronerna vågor! Jag trodde de var partiklar! Salv. Här blir kvantfysiken rätt konstig. Om du gör ett experiment för att ta reda på var en partikel finns, då hittar du något som liknar en partikel. Men annars är den en våg som medför information om var elektronen sannolikt är. Diffraktionsexperimentet är ett annat sätt att upptäcka elektronernas vågpartikelnatur. Simp. Vad menar du, när du säger att elektronen sannolikt är någonstans. Är inte elektronen alltid på något bestämt ställe? Salv. Njaa... Innan du kontrollerar var den är, så är den egentligen bara en våg. Inte nog med det, Schrödinger har visat att elektronerna inte ens rör sig, vågorna är stationära. Varje gång du kollar var elektronen är kommer du att finna att den är på ett annat ställe, men det betyder inte att den har rört sig. Om man checkar positionen tillräckligt ofta, kommer man att kunna få ett banliknande mönster för vissa energinivåer, men vi skall inte inbilla oss att elektronerna verkligen rör sig i små cirklar. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
9 Simp. Var är då elektronen när jag inte tittar efter? Måste den inte vara nånstans? Salv. Det är just det som är det lustiga: elektronen är inte på något bestämt ställe när du inte tittar efter. Till all tur, för mestadels har det inte så stor betydelse var den i själva verket är, vi är bara intresserade av hur mycket energi den har. Simp. Aha! Det är därför banorna är till nytta! De kanske ger fel information om var elektronen är, men de säger hur mycket energi den har. Salv. Vi kallar detta för elektronens energinivå. Eftersom föreställningen om elektronbanor är missvisande, så har man börjat beskriva atomernas energinivåer med ett nivåschema. Simp. Och detta kallar vi för Schrödingers modell förstås. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
10 2.8. Spektrallinjernas intensitet; urvalsregler Vi har tidigare konstaterat, att Bohrs teori inte kan förklara spektrallinjernas intensitet. Den kvantmekaniska teorin har inte denna brist. Sannolikheten för att en övergång skall äga rum, kan beräknas om man känner vågfunktionerna för begynnelsetillståndet och sluttillståndet. Intensiteten kan därpå beräknas ur övergångssannolikheten. Atomen, där övergången sker, kan anses ha en laddningsfördelning, som oscillerar mellan distributionerna i grundtillståndet och sluttillståndet. Det oscillerande laddningsmolnet är inte sfäriskt symmetriskt, utan den positiva och negativa laddningen är åtskiljda, och separationen varierar då molnet oscillerar. Oscillationen innebär, att laddningen accelererar, och som vi vet, så alstrar en accelererande laddning elektromagnetisk strålning. Den största övergångssannolikheten, och därmed också den starkaste emissionen av elektromagnetisk strålning åstadkoms av ett oscillerande elektriskt dipolmoment (jfr s. 441). Atomens elektriska dipolmoment är p = er, där r är separationen mellan den positiva och negativa laddningen. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
11 Hastigheten, varmed den elektromagnetiska strålningen därvid emitteras, är proportionell mot p 2, som visar sig vara proportionell mot kvadraten på integralen hela rymden Ψ f (r, θ, φ, t)( er)ψ i(r, θ, φ, t)dv, där funktionerna Ψ i (r, θ, φ, t) = ψ i (r, θ, φ)e ie i t/ och Ψ f (r, θ, φ, t) = ψ f (r, θ, φ)e ie f t/ beskriver begynnelsetillståndet, resp. sluttillståndet, och E i och E f är de motsvarande energierna. Eftersom Ψ f (r, θ, φ, t) = ψ f (r, θ, φ)eie f t/, så kan integralen skrivas i formen hela rymden ψ f (r, θ, φ)eie f t/ ( er)ψ i (r, θ, φ)e ie i t/ dv = e i(e f E i )t/ hela rymden ψ f (r, θ, φ)( er)ψ i(r, θ, φ)dv Faktorn e i(e f E i )t/ är en periodisk funktion, vars vinkelfrekvens är ω = 2πf = (E f E i )/. Den utsända strålningens frekvens är alltså f = (E f E i )/h. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
12 Den elektriska dipolintegralen hela rymden ψ f (r, θ, φ)( er)ψ i(r, θ, φ)dv bestämmer strålningens emissionshastighet. Integralen är i hög grad beroende av egenfunktionernas symmetriegenskaper. Man kan visa, att symmetrin för en egenfunktion är beroende av kvanttalet l. Om l f och l i är bankvanttalen för slut, resp. begynnelsetillståndet, så kan man visa att integralen försvinner, om inte l = l f l i = ±1. Elektrisk dipolstrålning kommer därför att produceras endast om l = ±1, vilket kallas för en urvalsregel för denna övergång. Vi ska tillämpa den på Lyman serien, vilken som vi sett motsvarar övergångar mellan de exciterade nivåerna med n i = 2, 3, 4,... till grundtillståndet n f = 1. Grundtillståndet har l = 0, varför övergångar endast är möjliga från exciterade tillstånd med l = 1, dvs 2p, 3p, 4p,... tillstånden. Om vi tillämpar samma urvalsregel på Balmer serien, så ser vi, att varje spektrallinje egentligen består av tre övergångar. T.ex. den röda linjen (n i = 3 n f = 2) byggs upp av övergångarna 3p 2s, 3s 2p och 3d 2p. På grund av degenerationen observeras inte spjälkning av linjerna. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
13 2.9. Kvantisering av impulsmomentet Som vi har sett, så innebär den kvantmekaniska behandlingen av atomen inte bara att energin kvantiseras, utan också att sannolikhetstäthetens vinkeldistribution har kvantiserade riktningar. Då l 0, så är sannolikheten för att man skall finna elektronen lika med noll i vissa riktningar med avseende på z axeln. Detta fenomen, som kallas för rymdkvantisering, påminner om noderna som uppträder i de endimensionella stående vågor, som är egenfunktioner för partiklar i bundna system. I det tredimensionella fallet uppträder de snarare som nodriktningar, än som nodpunkter. Atomens egenfunktioner är därför tredimensionella stående vågor med nodriktningar, som bestäms av elektronsystemets gränsvillkor. Kvanttalen l och m l anger sannolikhetsdistributionernas riktningar, och ger alltså upphov till rymdkvantiseringen. En fullständig kvantmekanisk analys visar, att bankvanttalet l är relaterat till storleken av det totala banimpulsmomentet L genom ekvationen L 2 = l(l + 1) 2. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
14 Detta stämmer överens med Bohrs första postulat vad gäller kvantiseringen av impulsmomentet, men endast för stora värden av l, dvs då l(l + 1) l L, ger ekvationen samma resultat som Bohrs postulat. Dessutom tillåter denna ekvation också att impulsmomentet blir noll (för l = 0), vilket inte är tillåtet enligt Bohrs teori. Då l 0, begränsar kvantiseringen av impulsmomentet L vektorn till vissa riktningar med avseende på z axeln. L vektorns z komponent L z (egentligen egenvärdet, se nedan) bestämmer de tillåtna riktningarna: L z = m l, och de tillåtna vinklarna mellan L och z axeln kan därför uttryckas med riktningscosinerna cos θ = L z L = L riktningen bestäms därför av kvanttalet m l. m l l(l + 1) 2 = m l l(l + 1). Att m l faktiskt är ett egenvärde av ˆL z kan visas som följer. Klassiskt gäller L = r p = (xi + yj + zk) (p x i + p y j + p z k) = (yp z zp y )i + (zp x xp z )j + (xp y yp x )k Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
15 Om vi i ekvationen substituerar de kvantmekaniska rörelsemängdsoperatorerna p x = i x,... finner vi ˆL x = i (y z z y ) ˆL y = i (z x x z ) ˆL z = i (x y y x ) Dessa impulsmomentoperatorer kan lätt transformeras till sfäriska koordinater genom att uttrycka x,y och z med r, θ och φ (se föreläsning 5) och använda kedjeregeln. För φ får vi då uttrycket φ = x φ x + y φ y + z φ z = r sin θ sin φ x + r sin θ cos φ y = y x + x y, Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
16 varav följer att ˆL z = i φ. Vi finner härav ˆL z Φ(φ) = i φ eim l φ = m l e im l φ = m l Φ(φ), och m l satisfierar alltså egenvärdesekvationen för ˆL z. Fig i boken (samt figuren nedan) visar inverkan av detta kvantiseringsvillkor i fallet l = 2. Som vi tidigare sett, kan m l i detta fall endast anta värdena 2, 1, 0, +1, +2, varför L z endast kan anta värdena 2,, 0, +, +2. Märk väl, att storleken av vektorn L är densamma för varje värde av L z, dvs L = 2(2 + 1) = 6. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
17 Energikvantiseringen kan studeras experimentellt, t.ex. genom att studera väteatomens energinivåer, men rymdkvantiseringen kan inte studeras experimentellt på motsvarande sätt. För att göra det skulle man nämligen behöva en referensriktning, såsom z riktningen. Problemet är det, att z riktningen inte är en bestämd riktning i en (sfäriskt symmetrisk) atom, den är bara ett matematiskt hjälpmedel. Om vi studerar atomer, som befinner sig t.ex. i energitillståndet E 2 (n = 2), så har vi att göra med slumpmässigt orienterade z axlar och kan därför bara mäta medelelektrondistributionen för de fyra tillstånden med n = 2, dvs ψ 2,0,0, ψ 2,1, 1, ψ 2,1,0 och ψ 2,1,1. Denna fördelning kan uttryckas 1 4 [ψ 2,0,0ψ 2,0,0 + ψ 2,1, 1ψ 2,1, 1 + ψ 2,1,0ψ 2,1,0 + ψ 2,1,1ψ 2,1,1 ]. Genom att substituera uttrycken för egenfunktionerna i detta uttryck finner vi att medelsannolikheten för θ beroendet är [ 1 2 sin2 θ + cos 2 θ sin2 θ] = 1. Medelsannolikhetsdistributionen i (n = 2) tillståndet är därför oberoende av vinkeln, den är alltså sfäriskt symmetrisk. Vi har tidigare konstaterat, att ψ 2,0,0 är sfäriskt symmetrisk, därför måste också P 2,0 (r) och P 2,1 (r) i medeltal var för sig vara sfäriskt symmetriska funktioner. Detta visar sig vara ett helt allmänt resultat. Medelvärdet av sannolikhetstätheten för en samling atomer med samma värden av n, l har sfärisk symmetri, varför rymdkvantiseringen inte kan upptäckas i fria atomer med en elektron. Rymdkvantisering kan dock upptäckas om det finns en bestämd riktning definierad i atomen, t.ex. genom ett pålagt yttre magnetfält, som vi skall se i nästa avsnitt. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
18 2.10. Magnetiska fenomen i atomer: Zeeman effekten Enligt Bohrs teori rör sig elektronen i en bana kring kärnan. Eftersom den är laddad, bildar den en strömslinga med det magnetiska dipolmomentet m (jfr avsn i boken). Enligt ekvation (16.31) kan det magnetiska dipolmomentet uttryckas med banimpulsmomentet: m = e L 2m e Minustecknet beror på, att elektronen är negativt laddad, m är därför antiparallell med L. Förhållandet e som relaterar det magnetiska momentet till banimpulsmomentet kallas för det orbitala gyromagnetiska 2me förhållandet. Om vi nu placerar atomen i ett yttre magnetfält, så kommer elektronens magnetiska dipolmoment att påverkas av ett vridmoment T = m B (jfr ekvation (16.26)). Detta vridmoment strävar att vrida m i B:s riktning. Potentialenergin som är associerad med denna vridning är U = m B = m B cos θ, Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
19 där θ är vinkeln mellan m och B (=z axeln). Denna energi är minimal (alltså mest negativ), då m är parallell med B, dvs då θ = 0. Vi skall nu tillämpa detta på en atom i ett likformigt yttre magnetfält B, som definierar z axelns riktning. I atomen kvantiseras riktningen av L, och således också av m, medels ekvationen L z = m l. Med hjälp av sambandet mellan det magnetiska dipolmomentet och banimpulsmomentet finner vi då, att dipolens potentiella energi i det yttre fältet B kan skrivas U = m B = e 2m e L B = e 2m e L B cos θ = e 2m e B L z = e 2m e B m l Storheten e 2me, vars värde är Am 2 kallas för Bohrs magneton, och betecknas µ B. Den potentiella energin kan därför uttryckas U = m l µ B B. Energin för atomens magnetiska dipol i det yttre magnetfältet är sålunda kvantiserad, och dess värde bestäms av kvanttalet m l. I ett yttre magnetfält kommer atomens energinivåer därför att spjälkas upp på ett antal komponenter, som var och en svarar mot ett bestämt värde av m l. Degenerationen i avseende på m l försvinner alltså på grund av det yttre magnetfältets inverkan. Emedan m l antar 2l + 1 värden för ett givet värde av l, kommer varje nivå således att spjälkas upp på 2l + 1 komponenter. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
20 Eftersom spektrallinjernas frekvenser svarar mot skillnaden i energi mellan sluttillståndet och begynnelsetillståndet, så kommer också spektrallinjerna att spjälkas upp i komponenter av ett yttre magnetfält. Detta fenomen, som kallas Zeeman effekten, upptäcktes av holländaren Pieter Zeeman år Alla tänkbara övergångar är dock inte tillåtna. Vi har tidigare visat, att för bankvanttalet l gäller urvalsregeln l = ±1. För det magnetiska kvanttalet m l gäller en motsvarande regel: m l = 0, ±1. Övergångar som inte uppfyller urvalsreglerna är förbjudna. Nedanstående figur visar ett exempel på en normal Zeemaneffekt: uppspjälkning av spektrallinjen vid övergången 3d 2p. De heldragna linjerna anger tillåtna övergångar, de streckade anger förbjudna övergångar, och E = µ B B. Som vi kan se, kommer linjen att uppspjälkas i tre komponenter. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius
2.8. Sannolikhetstäthetens vinkelberoende
2.8. Sannolikhetstäthetens vinkelberoende [Understanding Physics: 19.7 (s. 590)-19.11] Härnäst skall vi studera vinkelberoendet av egenfunktionerna för n = 1 och n = 2. Den allmänna lösningen till den
Läs mer3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron
3.5. Schrödingerekvationen för atomer med en elektron [Understanding Physics: 19.5-19.8] Bohrs teori lyckas väl förklara energinivåerna för en atom med en elektron, och således också spektrallinjerna,
Läs mer2.4. Bohrs modell för väteatomen
2.4. Bohrs modell för väteatomen [Understanding Physics: 19.4-19.7] Som vi sett, är den totala energin för elektronen i väteatomen E = 1 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor, så kan
Läs mer2.4. Bohrs modell för väteatomen
2.4. Bohrs modell för väteatomen [Understanding Physics: 19.4-19.7] Som vi sett, är den totala energin för elektronen i väteatomen E = 1 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor, så kan
Läs merAndra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström
Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den
Läs mer2.14. Spinn-bankopplingen
2.14. Spinn-bankopplingen [Understanding Physics: 19.12-19.16] I avsnitt 2.12 konstaterade vi, att elektronen, som enligt Bohrs modell rör sig i en cirkelbana, kommer att ge upphov till en strömslinga,
Läs merVäteatomen. Matti Hotokka
Väteatomen Matti Hotokka Väteatomen Atom nummer 1 i det periodiska systemet Därför har den En proton En elektron Isotoper är möjliga Protium har en proton i atomkärnan Deuterium har en proton och en neutron
Läs merF3: Schrödingers ekvationer
F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så
Läs merUtveckling mot vågbeskrivning av elektroner. En orientering
Utveckling mot vågbeskrivning av elektroner En orientering Nikodemus Karlsson Februari 00 . Bohrs Postulat Niels Bohr (885-96) ställde utifrån iakttagelser upp fyra postulat gällande väteatomen ¹:. Elektronen
Läs mer4-1 Hur lyder Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i det tredimensionella
KVANTMEKANIKFRÅGOR Griffiths, Kapitel 4-6 Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths.
Läs merRep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.
Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här
Läs mer2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn
2.16. Den enkla harmoniska oscillatorn [Understanding Physics: 13.16-13.17] Den klassiska hamiltonfunktionen för en enkel harmonisk oscillator med den reducerade massan m och fjäderkonstanten (kraftkonstanten)
Läs merBFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 7 Kvantfysik, Atom-, Molekyl- och Fasta Tillståndets Fysik
Föreläsning 7 Kvantfysik 2 Partiklars vågegenskaper Som kunnat konstateras uppträder elektromagnetisk strålning ljus som en dubbelnatur, ibland behöver man beskriva ljus som vågrörelser och ibland är det
Läs merVIII. Spinn- och magnetisk växelverkan
VIII. Spinn- och magnetisk växelverkan För att undvika sammanblandning kommer vi nu att förtydliga beteckningarna från tidigare kapitel. Vi skriver nu elektronmassan m e (inte m som tidigare) och det magnetiska
Läs merInstuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7
Joakim Edsjö 15 oktober 2007 Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 08-55 37 87 26 E-post: edsjo@physto.se Instuderingsfrågor, Griffiths kapitel 4 7 Teoretisk Kvantmekanik II HT 2007 Tanken med dessa frågor
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs merRydbergs formel. Bohrs teori för väteliknande system
Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Sektionen för Fysik och Teknisk Fysik Arne Rosén, Halina Roth Uppdaterad av Erik Reimhult, januari A4 Enelektronspektrum Namn... Utförd den... Godkänd
Läs mer19.4 Bohrs modell för väteatomen.
Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 42 9.4 Bohrs moell för väteatomen. Som vi sett är en totala energin för elektronen i väteatomen E = 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor så
Läs merKEMA00. Magnus Ullner. Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från
KEMA00 Magnus Ullner Föreläsningsanteckningar och säkerhetskompendium kan laddas ner från http://www.kemi.lu.se/utbildning/grund/kema00/dold Användarnamn: Kema00 Lösenord: DeltaH0 F2 Periodiska systemet
Läs merKapitel 4. Materievågor
Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Kapitel 4. Materievågor 1 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Överblick Överblick Kring 1925 började många viktiga kvantkoncept ha sett
Läs merVI. Rörelsemängdsmomentets kvantisering
VI. Rörelsemängdsmomentets kvantisering VI.1. Klassiskt rörelsemängdsmoment Rörelsemängdsmomentet för massan µ = mm/(m + M) definieras klassiskt som L = r p = r µv = r µ dr dt (1) Vi antar att kraften
Läs merZeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013
Zeemaneffekt Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Introduktion En del energinivåer i en atom kan ha samma energi, d.v.s. energinivåerna är degenererade. Degenereringen kan brytas genom att
Läs merOscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält
Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens
Läs merKvantmekanik. Kapitel Natalie Segercrantz
Kvantmekanik Kapitel 38-39 Natalie Segercrantz Centrala begrepp Schrödinger ekvationen i en dimension Fotoelektriska effekten De Broglie: partikel-våg dualismen W 0 beror av materialet i katoden minimifrekvens!
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 6 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 10 Oktober, 2013 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1 : Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2
Läs merHjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2:
Läs merKvantmekanik - Gillis Carlsson
Kvantmekanik - Föreläsning 1 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se LP2 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1): Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2 : V3 : Formalism (I). Sid 109-124, 128-131,
Läs merKvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.
Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall!
Läs mer1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!
KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel
Läs merKapitel 7. Atomstruktur och periodicitet
Kapitel 7 Atomstruktur och periodicitet Avsnitt 7.1 Elektromagnetisk strålning Fyrverkeri i olika färger Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Avsnitt 7.2 Materians karaktär Illuminerad saltgurka
Läs merc = λ ν Vågrörelse Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Kvantmekanik 1.1 Elektromagnetisk strålning
Kap. 1. Kvantmekanik och den mikroskopiska världen Modern teori för atomer/molekyler kan förklara atomers/molekylers egenskaper: Kvantmekanik I detta och nästa kapitel: atomers egenskaper och periodiska
Läs mer1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen
1.13. Den tidsoberoende Schrödinger ekvationen [Understanding Physics: 13.12-13.14] Den tidsberoende Schrödinger ekvationen för en fri partikel som rör sig i en dimension är en partiell differentialekvation
Läs merKapitel 7. Atomstruktur och periodicitet. Kvantmekanik Aufbau Periodiska systemet
Avsnitt 7.1 Elektromagnetisk strålning Kapitel 7 Fyrverkeri i olika färger Atomstruktur och periodicitet Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Illuminerad saltgurka Kapitel 7 Innehåll Kvantmekanik
Läs merTentamen. TFYA35 Molekylfysik, TEN1 24 oktober 2016 kl Skrivsal: G34, G36, G37
Thomas Ederth IFM / Molekylär Fysik ted@ifm.liu.se Tentamen TFYA35 Molekylfysik, TEN1 24 oktober 216 kl. 8.-13. Skrivsal: G34, G36, G37 Tentamen omfattar 6 problem som vardera kan ge 4 poäng. För godkänt
Läs mer7. Atomfysik väteatomen
Partiklars vågegenskaper Som kunnat konstateras uppträder elektromagnetisk strålning ljus som en dubbelnatur, ibland behöver man beskriva ljus som vågrörelser och ibland är det nödvändigt att betrakta
Läs merLitiumatomens spektrum
Litiumatomens spektrum Datorlaboration i Atom- och kärnfysik FAFF10 version 2010b av Sara Bargi och Jonas Cremon, omarbetning av tidigare version Före laborationens utförande ska du ha läst igenom avsnitt
Läs merNmr-spektrometri. Matti Hotokka Fysikalisk kemi
Nmr-spektrometri Matti Hotokka Fysikalisk kemi Impulsmoment Storlek = impulsmomentvektorns längd, kvanttalet L Riktning, kvanttalet m Vektorn precesserar Kärnans spinnimpulsmoment Kvanttalet betecknas
Läs merPreliminärt lösningsförslag till Tentamen i Modern Fysik,
Preliminärt lösningsförslag till Tentamen i Modern Fysik, SH1009, 008 05 19, kl 14:00 19:00 Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter tillkommer. För godkänt krävs
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 11/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 11/11 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 40-42* (*) 40.1-4 (översikt) 41.6 (uteslutningsprincipen) 42.1, 3, 4, 6, 7 koncept enklare uppgifter Översikt
Läs merMilstolpar i tidig kvantmekanik
Den klassiska mekanikens begränsningar Speciell relativitetsteori Höga hastigheter Klassisk mekanik Kvantmekanik Små massor Små energier Stark gravitation Allmän relativitetsteori Milstolpar i tidig kvantmekanik
Läs merÖvningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som
Läs mer1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten
1.7. Tolkning av våg partikeldualiteten [Understanding Physics: 13.7-13.11] En egenskap som är gemensam för både vågor och partiklar är förmågan att överföra energi. I vartdera fallet kan man representera
Läs merKapitel 33 The nature and propagation of light. Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion)
Kapitel 33 The nature and propagation of light Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion) Brytningslagen (Snells lag) Totalreflektion Polarisation Huygens
Läs merKommer sig osäkerheten av att vår beskrivning av naturen är ofullständig, eller av att den fysiska verkligheten är genuint obestämd?
Inte mycket verkar säkert här...? Våg-partikeldualitet Ett system kan ha både vågoch partikelegenskaper i samma experiment. Vågfunktionen har en sannolikhetstolkning. Heisenbergs osäkerhetsrelation begränsar
Läs merKapitel 7. Atomstruktur och periodicitet. Kvantmekanik Aufbau Periodiska systemet
Kapitel 7 Innehåll Kapitel 7 Atomstruktur och periodicitet Kvantmekanik Aufbau Periodiska systemet Copyright Cengage Learning. All rights reserved 2 Kapitel 7 Innehåll 7.1 Elektromagnetisk strålning 7.2
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merTentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA
IFM - Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Linköpings universitet Tentamen i Modern fysik, TFYA11/TENA Torsdagen den 29/8 2013 kl. 14.00-18.00 i TER2 Tentamen består av 2 A4-blad (inklusive detta)
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merDugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!
Läs merKapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor
Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan
Läs merKap 1. Tidig Atomfysik
Kap 1. Tidig Atomfysik Rydbergs formel för väte 1 λ = R ( 1 n 1 n ) Vågtal ges som ν = 1 λ. För n=1 Lymanserien, n= fås Balmersserien, n=3 Paschenserien. Balmerserien ligger i det synliga spektrat. Elektronernas
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merVågfysik. Ljus: våg- och partikelbeteende
Vågfysik Modern fysik & Materievågor Kap 25 (24 1:st ed.) Ljus: våg- och partikelbeteende Partiklar Lokaliserade Bestämd position & hastighet Kollision Vågor Icke-lokaliserade Korsar varandra Interferens
Läs merDipoler och dipol-dipolbindningar Del 2. Niklas Dahrén
Dipoler och dipol-dipolbindningar Del 2 Niklas Dahrén Uppgift 1: Är nedanstående molekyler dipoler? På bild a) är det ganska tydligt att vi får en negativ sida där -atomerna sitter och en positiv sida
Läs mer1.13. Den rektangulära potentialbrunnen
1.13. Den rektangulära potentialbrunnen [Understanding Physics: 13.13-13.15(b)] Vi betraktar en partikel med massan m som är innesluten i en rektangulär potentialbrunn med oändligt höga sidor, dvs U =
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs mer1.5 Våg partikeldualism
1.5 Våg partikeldualism 1.5.1 Elektromagnetisk strålning Ljus uppvisar vågegenskaper. Det är bland annat möjligt att åstadkomma interferensmönster med ljus det visades av Young redan 1803. Interferens
Läs merLABORATION ENELEKTRONSPEKTRA
LABORATION ENELEKTRONSPEKTRA Syfte och mål Uppgiften i denna laboration är att studera atomspektra från väte och natrium i det synliga våglängdsområdet och att med hjälp av uppmätta våglängder från spektrallinjerna
Läs merFYTA11: Molekylvibrationer
FYTA: Molekylvibrationer Daniel Nilsson 2/ 202 Introduktion Övningens syfte var att undersöka normalmoderna hos molekyler, i synnerhet vattenmolekyler, och studera dessas variation beroende på olika parametrar.
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs mer1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner?
Session: okt28 Class Points Avg: 65.38 out of 100.00 (65.38%) 1 Hur förklarar du att det blev ett interferensmönster i interferensexperimentet med elektroner? A 0% Vi måste ha haft "koincidens", dvs. flera
Läs merIf you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Quantum mechanics makes absolutely no sense.
If you think you understand quantum theory, you don t understand quantum theory. Richard Feynman Quantum mechanics makes absolutely no sense. Roger Penrose It is often stated that of all theories proposed
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:
Läs merKapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk
Kapitel 27: Magnetfält och magnetiska krafter Beskriva permanentmagneters beteende Samband magnetism-laddning i rörelse Ta fram uttryck för magnetisk kraft på laddning Magnetiskt flöde, Gauss sats för
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer15. Strålande system
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merFysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 25.
GÖTEBORGS UNIVERSITET Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 25 Delkurs 4 KVANTMEKANIK: GRUNDER, TILLÄMPNINGAR
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spridning av elektromagnetisk strålning [Jakson 9.6-] Med spridning avses mest allmänt proessen där strålning (antingen av partikel- eller vågnatur) växelverkar med något objekt så att dess fortskridningsriktning
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merInnehåll. Fysik Relativitetsteori. fy8_modernfysik.notebook. December 19, Relativitetsteorin Ljusets dualism Materiens struktur Kärnfysik
Fysik 8 Modern fysik Innehåll Relativitetsteorin Ljusets dualism Materiens struktur Kärnfysik 1. Relativitetsteori Speciella relativitetsteorin Allmänna relativitetsteorin Two Postulates Special Relativity
Läs mer3.14. Periodiska systemet (forts.)
3.14. Periodiska systemet (forts.) [Understanding Physics: 19.14-19.16; 20.1-20.2] En alkaliatom består av en ädelgaskärna med Z 1 elektroner samt en yttre s elektron. Denna yttre elektron (valenselektronen)
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merAtomer, ledare och halvledare. Kapitel 40-41
Atomer, ledare och halvledare Kapitel 40-41 Centrala begrepp Kvantiserade energinivåer i atomer Elektronspinn och finstruktur Elektronen i en atom både banimpulsmoment, som karakteriseras av kvanttalet
Läs merNumber 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057).
LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Hans Weber, Avdelningen för Fysik, 2004 Number 14, 15, 16, and 17 also in English. Sammanställning av tentamensuppgifter Kvant EEIGM (MTF057). 1. Partikel i en en dimensionell
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68)
Tentamen för FYK (TFYA68) 014-08-18 kl. 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs merKvantmekanik och kemisk bindning I 1KB501
Kvantmekanik och kemisk bindning I 1KB501 TENTAMEN, 013-06-05, 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, bifogade formelsamlingar. Börja på nytt blad för varje nytt problem, och skriv din kod på varje
Läs merFysik TFYA86. Föreläsning 10/11
Fysik TFYA86 Föreläsning 10/11 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-41* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 40.1-4 (översikt) koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs!
Läs merDopplereffekt och lite historia
Dopplereffekt och lite historia Outline 1 Lite om relativitetsteorins historia 2 Dopplereffekt och satelliter 3 Dopplereffekt och tidsdilatation L. H. Kristinsdóttir (LU/LTH) Dopplereffekt och lite historia
Läs merThe nature and propagation of light
Ljus Emma Björk The nature and propagation of light Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion) Brytningslagen (Snells lag) Totalreflektion Polarisation Huygens
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs mer1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer
1.15. Andra potentialbrunnar och barriärer [Understanding Physics: 13.15-13.17; 19.1-19.3] Vi skall nu ge en översikt över ytterligare några potentialbrunnar och barriärer, nämligen potentialfallet (fig.
Läs merFysik TFYA68. Föreläsning 11/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 11/14 1 Kvantmekanik och Materialuppbyggnad University Physics: Kapitel 38-39* (*) 38.1, 38.4, 39.1-3, 6 koncept enklare uppgifter Översikt och breddningskurs! 2 Introduktion Kvantmekanik
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer