15. Strålande system
|
|
- Lars Jonsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna befinner sig i aelererad rörelse. Endast i detta fall genererar de strålning. Strålning karaktäriseras av en irreversibel förlust av energi (för laddningen), då denna förloras ut till oändligheten. Den utstrålade effekten beräknas över en yta tagen i oändligheten, enligt P s = lim r P (r) (15.1) där P (r) = da S = da (E H) (15.2) Räkningarna är i allmänhet enklast att utföra över en sfärisk yta. I detta fall ser vi att en laddningsfördelning genererar strålning förutsatt att produkten av E oh H innehåller termer som är proportionella mot 1/r 2. Termer i produkten som är proportionella mot 1/r n, n < 2 är inte strålning för de leder till ett fält vars effektintegral växer mot oändligt då ytan väljs på ökande avstånd, vilket inte är fysikaliskt (integralen över da har ju i sfäriska koordinater en term r 2 ). Termer som är proportionella mot Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.2
2 1/r n, n > 2 försvinner då man väljer ytan tillräkligt långt borta. Med andra ord, endast de termer i el- oh magnetfälten som är inverst proportionella mot avståndet ansvarar för produktion av strålning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Strålning från kontinuerliga laddningsfördelningar Elektrisk dipol Betrakta en dipol med tidsberoende laddningar q(t) oh q(t). Låt laddningen drivas fram oh tillbaka mellan ändpunkterna, så att laddningen i ändorna är Dipolmomentet blir då q(t) = q 0 os(ωt) (15.3) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.4
3 Den retarderade skalärpotentialen är nu p(t) = qdẑ p 0 os(ωt)ẑ (15.4) ϕ(r, t) = = [ 1 +q0 os(ωt r1 ) + q ] 0 os(ωt r2 ) 4πε 0 R + R [ q 0 os(ω(t R+ /)) os(ω(t R ] /)) 4πε 0 R + R (15.5) enligt reeptet ϕ(r, t) = för en punktladdning q. Vi har nu v = 0. 1 q 4πε 0 R v R (15.6) Figuren ger oss ( ) d 2 R 2 + = + r 2 2r d os θ (15.7) 2 2 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.5 R 2 = ( ) d 2 + r 2 2r d os(π θ) 2 2 (15.8) = ( ) d 2 + r 2 + 2r d os θ 2 2 (15.9) så att 1 R ± = 1 r2 rd os θ + (d/2) 2 = 1 1 r 1 (d/r) os θ + (d/2r) 2 (15.10) Observera: Vi söker för enkelhetens skull en punktdipol. För denna gäller att Approx. 1 : d r (15.11) men så att d inte helt försvinner från uttryken. En alternativ tolkning är ju att observationspunkten är myket långt borta från dipolen. Vi får nu med Taylorserien (1 + x) 1/ x Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.6
4 1 1 (1 ± d2r ) R ± r os θ R ± r (1 d2r ) os θ (15.12) (15.13) Vidare: os(ω(t R ± /)) os(ω(t r/ [1 d2r ] os θ )) = os(ωt ωr = os(ω(t r ) ± ωd 2 [1 d2r os θ ] ) os θ) = os(ω(t r )) os(ωd os θ) 2 där vi använt oss av en trigonometrisk relation för os(a + b). sin(ω(t r )) sin(ωd os θ) (15.14) 2 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.7 Vi analyserar nu fallet Approx. 2 : d ω = λ oh d r (15.15) d.v.s. dipolen är myket mindre än den (möjligtvis) utsända strålningens våglängd. Detta betyder att ωd/ 1 eller /(ωd) 1, som ger sin(aωd/) Aωd/ oh os(aωd/) 1. Vi får nu os(ω(t R ± /)) = os(ω(t r )) os(ωd os θ) 2 sin(ω(t r )) sin(ωd os θ) 2 os(ω(t r ωd )) 2 os θ sin(ω(t r )) (15.16) Insättning i skalärpotentialen oh bortkastande av termer som är proportionella mot ωd/ i kvadrat ger oss Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.8
5 ϕ(r, t) p 0 os θ [ ω 4πε 0 r sin(ω(t r/)) + 1r ] os(ω(t r/)) (15.17) Potentialerna oh fälten undersökes i två huvudsakliga zoner eller regioner: (1) den statiska zonen (2) strålningszonen Den statiska zonen definieras som alla punkter vars avstånd r till dipolen är myket mindre än våglängden λ = /ω, där ω är vinkelfrekvensen för laddningen oh strömmen i dipolen. För strålningszonen gäller det motsatta, d.v.s. den omfattar alla punkter vars avstånd till dipolen är myket större än λ. Den statiska zonen För att analysera den statiska zonen gör man alltså approximationen Approx. 3 : d r ω (15.18) Detta betyder att d/r 1, ωd/ 1, oh ωr/ 1, så att Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.9 os(ω(t r/)) = os(ωt ωr/) (15.19) = os(ωt) os(ωr/) + sin(ωt) sin(ωr/) (15.20) os(ωt) + sin(ωt)ωr/ (15.21) sin(ω(t r/)) = sin(ωt ωr/) (15.22) = sin(ωt) os(ωr/) os(ωt) sin(ωr/) (15.23) sin(ωt) os(ωt)ωr/ (15.24) Vi återfår våra tidigare resultat, men kan nu ytterligare förenkla uttryken: ϕ(r, t) = p 0 os θ 4πε 0 r p 0 os θ 4πε 0 r = p 0 os θ 4πε 0 r [ ω sin(ω(t r/)) + 1r os(ω(t r/)) ] [ ω ( sin ωt ωr [ ω sin ωt + ω2 r 2 ) os ωt + 1 ( os ωt + ωr )] sin ωt r ] os ωt + 1 r os ωt + ω sin ωt (15.25) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.10
6 = p [ 0 os θ + ω2 r 4πε 0 r os ωt + 1 ] os ωt 2 r p 0 os θ os ωt (15.26) 4πε 0 r2 Detta motsvarar en dipols elektrostatiska potential multiplierat med tidsfaktorn os(ωt)! ϕ(r) = 1 4πε 0 p r r 3 (15.27) Potentialen innehåller nu inga sinus- eller osinus-funktioner med argument av formen ωt κ r, som behövs för att ha en fortskridande våg. I själva verket har vi nu κ 0 enligt ekvationen ovan, så vågen är stationär. Av denna anledning talar man om den statiska zonen. Strålningszonen Vi undersöker nu strålningszonen, som motsvarar approximationen Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Approx. 4 : d ω r (15.28) Observera: Approximationerna 1-2 gäller okså! Detta betyder att ωr/ 1 eller /(ωr) 1. Vidare, så har vi okså att r d så att r/d 1 eller d/r 1. Andra termen i uttryket för skalärpotentialen kan nu approximeras bort, så vi får ϕ(r, t) p 0ω 4πε 0 os θ sin(ω(t r/)) (15.29) r För att bestämma fälten behöver vi ännu vektorpotentialen! Laddningen som rör sig fram oh tillbaka i dipolen ger upphov till en ström som är Vektorpotentialen blir nu I(t)ẑ = dq(t) dt ẑ = q 0ω sin(ωt)ẑ (15.30) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.12
7 A(r, t) = ẑ µ d/2 0 dz I 4π d/2 R = ẑ µ 0q 0 ω 4π d/2 d/2 dz sin(ω(t R/)) R (15.31) (15.32) där R = r z ẑ = r r (z /r)ẑ (15.33) Eftersom d r gäller att z /r 0 oh oh vi får A(r, t) ẑ µ 0p 0 ω 4πr R r (15.34) sin(ω(t r/)) (15.35) För el- oh magnetfälten behöver vi gradienten av ϕ, tidsderivatan av A, oh rotorn av A. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund ϕ(r, t) = r ϕ r + 1 r θϕ θ (15.36) = p [ 0ω os θ ( 1r 4πε 0 sin(ω(t r/)) ωr ) os(ω(t r/)) r 2 sin θ ] sin(ω(t r/)) θ r 2 p 0ω 2 4πε 0 os θ os(ω(t r/)) r (15.37) 2 r Första oh tredje termerna kunde kastas bort med hjälp av approximationen r /ω. För tidsderivatan fås t A(r, t) = µ 0p 0 ω 2 Dessa uttryk ger nu elfältet som 4πr os(ω(t r/))(os θ r sin θ θ) (15.38) E(r, t) = ϕ t A (15.39) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.14
8 = µ 0p 0 ω 2 4π sin θ r os(ω(t r/)) θ (15.40) Magnetfältet ges nu direkt som B(r, t) = A = 1 r [ r(ra θ ) θ A r ] ψ = µ [ 0p 0 ω ω sin θ sin θ os(ω(t r/)) + 4πr r µ 0p 0 ω 2 4π sin θ r ] sin(ω(t r/)) ψ os(ω(t r/)) ψ (15.41) Sammanfattningsvis: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund E(r, t) = µ 0p 0 ω 2 B(r, t) = E θ 4π sin θ r os(ω(t r/)) θ (15.42) ψ (15.43) Observera: (1) El- oh magnetfälten är vinkelräta mot varandra. (2) Kvoten av deras amplituder är. (3) Fälten är i fas. (4) Fälten representerar radiella vågor, med vågvektorn κ = ω/, eftersom fasen är konstant på sfäriska ytor med radien r. (5) Vågorna är transversella. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.16
9 Vänster: [Wikipedia: Dipole Antenna] Illustration av el- oh magnetfältet kring en dipolantenn. Höger: [Wikipedia: Dipole] Magnetiska fältets z-komponent av en dipolantenns strålning. Cyan är noll-magnitud, grön-gul-röd är positiva oh blå-pink-röd negative värden i ökande ordning. Den ursprungliga bilden Dipole.gif är en animation. Poyntingvektorn är Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund S(r, t) = E H = 1 µ 0 E B (15.44) = µ 0 [ p0 ω 2 4π sin θ r os(ω(t r/))] 2 r (15.45) Tidsmedelvärdet av intensiteten (effekt per yta) är Strålningen går alltså ut radiellt, som vi redan slöt oss till. S(r) = µ 0p 2 0 ω4 sin 2 θ r (15.46) 32π 2 r 2 För ett givet radiellt avstånd r är intensiteten noll i de polära riktningarna ±ẑ oh starkast i xy-planet. Tidsmedelvärdet av den utstrålade effekten är P s = = µ 0p 2 0 ω4 32π 2 da S(r) (15.47) dφdθr 2 sin θ sin2 θ r 2 (15.48) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.18
10 = µ 0p 2 0 ω4 12π (15.49) Denna effekt når ut till oändligheten oh är alltså ett verkligt mått på den utstrålade energin. Man definierar begreppet strålningsresistans R s med relationen P s R s I 2 (t) (15.50) d.v.s. genom att sätta den utstrålade effekten lika med den effekt som skulle förloras i tråden som binder samman dipolens laddningar, om denna hade resistansen R s. I fallet ovan kan man lätt visa att ( ) d 2 R s 789 Ohm (15.51) λ där λ = /ν = 2π/ω Magnetisk dipol Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund En ström I(t) = I 0 os(ωt) i en irkulär slinga som i bilden är en magnetisk dipol med dipolmomentet m = AI = πb 2 os(ωt)ẑ m 0 os(ωt)ẑ (15.52) För denna kan man härleda (se antekningarna för kursen 2008 eller 2005) att tidsmedelvärdet av intensiteten (effekt per yta) är i strålningszonen Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.20
11 oh att tidsmedelvärdet av den utstrålade effekten är S(r) = µ 0m 2 0 ω4 32π 2 3 sin 2 θ r 2 r (15.53) P s = da S(r) (15.54) = µ 0m 2 0 ω4 12π 3 (15.55) Strålningen från elektriska oh magnetiska dipoler påminner myket om varandra, som vi kan se genom att jämföra med tidigare resultat. Men en väsentlig skillnad förekommer i storleken av de utstrålade effekterna: P m P e = µ 0m 2 0 ω4 12π 3 12π µ 0 p 2 0 ω4 = m2 0 p = π2 b 4 I 2 0 q 2 0 d2 2 (15.56) Tidigare hade vi I 0 = q 0 ω, så vi får P m = π2 b 4 ω 2 = P e d 2 2 ( ) ωb 2 ( ) πb 2 (15.57) d Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund För första faktorn har vi redan antagit b /ω d.v.s. ωb/ 1. Andra faktorn är av storleksordningen 1 ifall slingans radie oh dipolens längd är ungefär lika stora. Detta gör att hela uttryket är myket mindre än 1, så att strålningen från en elektrisk dipol är myket starkare än den från en magnetisk dipol, då dessa har jämförliga dimensioner Godtyklig fördelning Vi ska nu se på hur fälten från en godtyklig fördelning av laddning ser ut. Godtyklig betyder ju naturligtvis att vi inte ställer några märkvärdiga krav på dess utseende, med ett undantag: Vi kräver att varje punkt i fördelningen är långt borta från observationspunkten. Detta kan vi skriva som r r 0 r r 0 (15.58) där r 0 är fördelningens massentrum. Detta betyder att varje punkt i fördelningen har ett litet avstånd till massentrum men ett stort avstånd till observationspunkten. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.22
12 Vi kommer okså att utgå från att fördelningen är entrerad på origo, d.v.s. r 0 0, vilket förenklar ekvationerna. Approximationen ovan är då samma sak som r r (15.59) Med en godtyklig startsituation där fördelningen t.ex. är långt borta oh observationspunkten nära origo kan detta villkor uppfyllas genom att definiera nya koordinater enligt följande: s = r r 0 (15.60) s = r r 0 (15.61) så att r r 0 = s = s (15.62) r r 0 = s = s (15.63) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund oh vi får s s (15.64) Skalärpotentialen är som bekant där ϕ(r, t) = 1 4πε 0 dv ρ(r, t R/) R (15.65) R = r r = r 2 + r 2 2r r (15.66) Den omtalade approximationen r r ger oss nu R r (1 r ) r r 2 1 R 1 (1 + r ) r r r 2 (15.67) (15.68) t r = t R/ t r/ + r r / (15.69) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.24
13 så att ρ(r, t R/) ρ(r, t r + r r ) (15.70) Låt oss expandera detta i den retarderade tiden i origo, som är Vi får: t 0 = t r/ (15.71) ( r r ρ(r, t R/) = ρ(r, t 0 ) + t ρ(r ), t 0 ) + 1 ( r r ) 2 2! 2 t ρ(r, t 0 ) + 1 ( r r ) 3 3! 3 t ρ(r, t 0 ) +... (15.72) Vi använder nu igen approximationen r r, som ger att alla termer med faktorn ( r r /) n, med n 2, är försvinnande små jämfört med termen med faktorn r r /: ( r r ρ(r, t R/) ρ(r, t 0 ) + t ρ(r ), t 0 ) (15.73) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Själva potentialen blir nu ϕ(r, t) = = 1 4πε 0 r 1 4πε 0 r 1 4πε 0 [ dv ρ(r, t 0 ) + r r [ Q + r r p(t 0) + r ] tp(t 0 ) [ Q r + r p(t 0) + r ] tp(t 0 ) r 2 r dv r ρ(r, t 0 ) + r d dt ] dv r ρ(r, t 0 ) (15.74) där p är alltså det generaliserade dipolmomentet. Vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0 4π dv J(r, t R/) R (15.75) Man kan visa att dv J(r, t 0 ) = t p(t 0 ) d dt dv r ρ(r, t 0 ) (15.76) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.26
14 som är av första ordningen i r. Det borde alltså räka med att skriva A(r, t) µ 0 t p(t 0 ) 4π r (15.77) Vi söker nu fälten. Vi är intresserade av strålningszonen, så vi kastar bort alla fälttermer proportionella mot 1/r n, med n 2. Eftersom så får vi nu t 0 = 1 r = 1 (15.78) r [ ] 1 t p(t 0 ) ϕ(r, t) 4πε 0 r r (15.79) 1 4πε 0 r 2 t p(t 0) t 0 (15.80) r Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund = 1 2 r 2 t p(t 0) r (15.81) 4πε 0 r oh A(r, t) µ 0 4πr tp(t 0 ) (15.82) = µ 0 4πr ( t 0 2 t p(t 0)) (15.83) = µ 0 4πr ( r 2 t p(t 0)) (15.84) oh t A(r, t) µ 0 2 t p(t 0) 4π r (15.85) Elfältet blir nu Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.28
15 E(r, t) µ 0 4πr (( r 2 t p(t 0)) r 2 t p(t 0)) (15.86) = µ 0 4πr ( r ( r 2 t p(t 0))) (15.87) Magnetfältet blir B(r, t) µ 0 4πr ( r 2 t p(t 0)) (15.88) Dessa är alltså beräknade med antagandet r r. Den retarderade tiden är t 0 = t r/. Obs: E(r, t) = r B(r, t) (15.89) I sfäriska koordinater fås Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund E(r, t) = µ 0 4π 2 t p(t 0) sin θ θ r (15.90) B(r, t) = µ 0 4π 2 t p(t 0) sin θ φ r (15.91) Poynting-vektorn blir Den utsända strålningseffekten är S(r, t) = µ 0 16π 2 ( 2 t p(t 0)) 2 sin 2 θ r 2 r (15.92) P(t) = (1) Fälten är vinkelräta mot varandra. (2) Fälten styrkor är sådana att E/B =. (3) Vågorna är transversella. da S = µ 0 6π ( 2 t p(t 0)) 2 (15.93) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.30
16 15.3. Strålning från punktladdningar Vi härledde tidigare att för en punktladdning gäller E(r, t) = q R [ ] ( 2 v 2 )u + R (u a) 4πε 0 (R u) 3 (15.94) B(r, t) = 1 R E(r, t) (15.95) där u = R v. Poyntingvektorn blir nu S(r, t) = E H = 1 µ 0 E B (15.96) = 1 µ 0 E ( R E) (15.97) = 1 µ 0 (E2 R ( R E)E) (15.98) Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund De fälttermer som ansvarar för den utsända strålningen oh inte energin som laddningen bär med sig (som inte sänds ut till oändligheten) kan bestämmas med följande resonemang. Definiera en sfär med radien R = (t t r ) kring laddningens retarderade position, d.v.s. dess position vid tiden t r. Integrera vid tiden t = t r + R/ Poyntingvektorn över denna sfär, detta ger den utsända effekten. Låt R växa mot oändligt. De termer i effekt-ekvationen som överlever representerar den sanna utsända strålningseffekten. Uppenberligen överlever endast termer proportionella mot 1/R 2, så att strålningens elfält är Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.32
17 E s (r, t) = q R [R (u a)] (15.99) 4πε 0 (R u) 3 Poyntingvektorn är S s (r, t) = 1 µ 0 E2 s R (15.100) Hur ser strålningsfältet ut? Låt laddningen vara momentant i vila: v = 0 oh u = R vid tidpunkten t. Strålningens momentana elfält är då så att E s (r, t q ) = R (R a) (15.101) 4πε 0 2 R = µ [ ] 0q ( R a) R a (15.102) 4πR Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund S s (r, t ) = 1 ( µ0 q µ 0 4πR ( µ0 q = 1 µ 0 4πR ) 2 [ a 2 ( R a) 2] R (15.103) ) 2 [ a 2 (1 os 2 θ)] R (15.104) = µ 0q 2 a 2 sin 2 θ R (15.105) 16π 2 R 2 där θ är vinkel mellan a oh R. Den utsända effektens geometri kommer att vara munkrings - formad: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.34
18 Effekten/strålningen är starkast i riktningarna som är vinkelräta mot aelerationsvektorn, oh noll i aelerationens riktning. Den totala utstrålade effekten är P s (t ) = = µ 0q 2 a 2 6π da S s = µ 0q 2 a 2 16π 2 dφdθr 2 sin θ sin2 θ R 2 (15.106) (15.107) Om laddningen rör sig, d.v.s. v 0, så blir räkningarna mera komplierade. I detta fall har vi att den effekt som laddningen sänder ut är P e = dw dt r = dw/dt t r / t = ( R u R där P är den effekt som mäts upp på sfären med radien R. ) dw dt = ( R u Om v = 0 fås u = R oh vi får tillbaka det tidigare resultatet P e = P. R ) P (15.108) P.g.a. laddningens rörelse kommer den uppmätta effekten nu att avvika från den utsända effekten, uppmätt på den tidigare sfären. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Effekten som laddningen emitterar in i ytan R 2 dω på sfären är dp e = ( R u R ) S s RR 2 dω (15.109) så att den emitterade effekten per rymdvinkel är dp e dω = = ( R u R ( R u R ) S s RR 2 (15.110) ) 1 µ 0 E2 s R2 (15.111) så att dp e dω = q 2 R (u a) 2 (15.112) 16π 2 ε 0 ( R u) 5 Totala emitterade effekten summerad över hela sfärens yta är nu Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.36
19 P e = dω dp dω = q 2 R (u a) 2 dφdθ sin θ (15.113) 16π 2 ε 0 ( R u) 5 Slutsvaret är P e = µ ( 0q 2 γ 6 a 2 v a 2) 6π (15.114) där γ = 1/ 1 v 2 / 2. Denna faktor gör att den utstrålade effekten blir myket stor då laddningens hastighet närmar sig ljusets. Exempel 1: Låt v oh a vara tillfälligt parallella. Bestäm strålningens vinkelfördelning dp e /dω oh den totala strålningseffekten P e. Vi har nu u a = ( R v) a = R a så att Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund dp e dω = q 2 R (u a) 2 (15.115) 16π 2 ε 0 ( R u) 5 = q 2 2 R ( R a) 2 16π 2 ε 0 (R R (15.116) v) 5 Obs: R ( R a) 2 = ( R a) R a 2 (15.117) = ( R a) 2 + a 2 2( R a) R a (15.118) = a 2 ( R a) 2 (15.119) Om v ligger på z-axeln har vi v = vẑ oh ännu att a = aẑ. Då θ är vinkeln mellan R oh a fås nu R a = Ra os θ oh R v = Rv os θ, så att dp e dω = q 2 2 a 2 ( R a) 2 16π 2 ε 0 (R R (15.120) v) 5 Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.38
20 = = = q 2 2 a 2 a 2 os 2 θ (15.121) 16π 2 ε 0 (R v os θ) 5 q π 2 ε 0 a 2 (1 os 2 θ) 5 (1 β os θ) 5 (15.122) q 2 a 2 sin 2 θ (15.123) 16π 2 3 ε 0 (1 β os θ) 5 = µ 0q 2 a 2 16π 2 sin 2 θ (15.124) (1 β os θ) 5 där β = v/. För låga hastigheter är effekten maximal i riktningarna θ = ±π/2. Då hastigheten växer spelar nämnaren (1 β os θ) 5 en allt större roll: Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund Totala emitterade effekten: P e = dω dp e dω = µ 0q 2 a 2 sin 2 θ dω 16π 2 (1 β os θ) =... = µ 0q 2 a 2 γ 6 5 6π (15.125) (15.126) där γ = 1/ 1 β 2. Observera att detta uttryk gäller oberoende om laddningen aelererar eller deelererar, eftersom Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.40
21 effekten är proportionell mot a 2. I båda fallen är effekten störst i framåtriktningen, i den polära riktningen θ max. Formeln ovan kan vi alltså tillämpa för att räkna ut den strålning som t.ex. en elektron sänder ut då den bromsas i en metall, t.ex. i ett katodstrålerör (elektroner från anoden aelereras över vakuumregion mot katoden oh träffar denna). Om v så kan vi approximera P e = µ 0q 2 a 2 γ 6 6π µ 0q 2 a 2 6π (15.127) Detta uttryk kallas Larmor-formeln, oh håller okså då aelerationen inte är parallell med hastigheten, förutsatt att v. Exempel 2: Fortsättning på föregående exempel. Antag att en elektron saktas ned till vila med en konstant rat a, från en starthastighet v 0. (a) Bestäm hur stor andel av den ursprungliga kinetiska energin som omsätts till strålning. (b) Antag starthastigheten är termisk, så att v m/s, oh att elektronen färdas 30 Å under nedsaktningen, motsvarande vad som sker i en ledning. Kommentera resultatet. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund (a) Energin som förloras till strålning är P e t, där t = v 0 /a. Andelen blir nu Den tillryggalagda sträkan är s = v 2 0 /(2a), så f = P e t E k0 = µ 0q 2 a 3πm e v 0 (15.128) f = µ 0q 2 v 0 6πm e s (15.129) (b) Insättning ger f , d.v.s. praktiskt taget ingen andel av energin går åt till strålning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.42
15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spridning av elektromagnetisk strålning [Jakson 9.6-] Med spridning avses mest allmänt proessen där strålning (antingen av partikel- eller vågnatur) växelverkar med något objekt så att dess fortskridningsriktning
Läs merFöreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!
1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF0) och F (ETE055) Tid och plats: 4 januari, 06, kl. 8.00.00, lokal: Sparta B. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merFK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00
FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med
Läs merFöreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:
Läs merRepetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att mpères lag dr H = d J
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
13. Plana vågors reflektion och brytning Extra material som ges som referens, men krävs inte i mellanförhören eller räkneövningarna: Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.1 13.1. Vågledare... Hastigheter
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att Ampères lag dr H = C
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 32 1 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator: Kapitel 14.1 14.4 Mekaniska vågor: Kapitel 15.1
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t s(x,t) =s 0 sin 2π T x. v = fλ =3 5 m/s = 15 m/s
140528: TFEI02 1 TFEI02: Vågfysik Tentamen 140528: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) En fortskridande våg kan skrivas på formen: t s(x,t) =s 0 sin 2π T x λ Vi ser att periodtiden är T =1/3 s, vilket ger
Läs merHur elektromagnetiska vågor uppstår. Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Det elektromagnetiska spektrumet
Elektromagnetiska vågor (Kap. 32) Hur elektromagnetiska vågor uppstår Laddning i vila:symmetriskt radiellt fält, Konstant hastighet: osymmetriskt radiellt fält samt ett magnetfält. Konstant acceleration:
Läs mer18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)
18. Sammanfattning 18.2. Ursprung och form av fältena Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elfält Elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält Elektriska laddningar i
Läs mer18. Sammanfattning Kraft, fält och potential. Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer18. Sammanfattning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs merOscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält
Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens
Läs merFöreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths
1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
. Maxwells ekvationer och vågekvationen H = J (.2) ger [RMC] dr H = d J = I (.3) C Å andra sidan kan vi lika gärna använda ytan, som också avgränsas av samma kontur C: dr H = C d J = 0 (.4) för att ingen
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs merr 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merRelativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 1 Lösningar
> < Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 1 Lösningar 1. En myon (en elementarpartikel som liknar elektronen, men är 200 ggr tyngre) bildas i atmosfären på L 0 = 2230 m:s höjd ovanför jordytan.
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/ Skrivtid:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF18 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 7-5-8 Eaminator/Tfn: Hans Åkerstedt/4918 Skrivtid: 9. - 15. Jourhavande lärare/tfn: : Hans Åkerstedt/18/Åke Wisten7/55977
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs mer6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar
6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 6.1 6.1. Magnetisk flödestäthet Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta
Läs mer6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar
6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 6.1 6.1. Magnetisk flödestäthet Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs mer14. Elektriska fält (sähkökenttä)
14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETF85) Tid och plats: 25 oktober, 2017, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 222 40 89
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 204 08 28. Beräkna den totala kraft på laddningen q = 7.5 nc i origo som orsakas av laddningarna q 2 = 6 nc i punkten x,y) = 5,0) cm och q 3 = 0 nc i x,y) = 3,4) cm.
Läs merr 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merRep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.
Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här
Läs merDugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61)
Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61) 2012-08-10 kl. 13.00 15.00, sal T1 Svaren anges på utrymmet under respektive uppgift på detta papper. Namn:......................................................................................
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 19/4 017, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs merÖvningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs merKapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor
Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs merElektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs merLösningar till seminarieuppgifter
Lösningar till seminarieuppgifter 2018-09-26 Uppgift 1 z ρ P z = 0 ρ Introducera ett koordinatsystem så att det jordade planet sammanfaller med planet z = 0, oc skivans centrum med punkten (0,0,). a) Problemet
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plats: 3 augusti, 017, kl. 14.00 19.00, lokal: MA10 A och B. Kursansvarig lärare: Aners Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna
Läs mer2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att Er) = ρr) ε 0 2.1) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
[RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)
Läs merElektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
Läs merOBS!
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för F2 och TM2. EEF031 2018-08-23, kl. 14:00-18:00 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs mer1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 17 juni 2014, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merLösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 222 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merPoissons ekvation och potentialteori Mats Persson
1 ärmeledning Föreläsning 21/9 Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson i vet att värme strömmar från varmare till kallare. Det innebär att vi har ett flöde av värmeenergi i en riktning som är
Läs merPHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren Vecka 2
PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren 2017 Vecka 2 1. En kub med sidlängden L = 3,00 m placeras med ett hörn i origo (se figuren). Elfältet ges av E = ( 5,00 N/Cm)xî + (3,00 N/Cm)zˆk. (a) Bestäm
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer8. Elektromagnetisk induktion
8. Elektromagnetisk induktion [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 8.1 8.1. Faradays lag [Jackson, W. V. Houston: The laws of electromagnetic induction, m. J. Phys. 7 (1939) 373] År 1831 utförde
Läs merFYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 högskolepoäng, FK4009 Tisdagen den 17 juni 2008 kl 9-15
FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 1,5 högskolepoäng, FK49 Tisdagen den 17 juni 28 kl 9-15 Hjälpmedel: Handbok (Physics handbook eller motsvarande) och räknare
Läs merFormelsamling till Elektromagnetisk
Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merKap. 7. Laddade Gränsytor
Kap. 7. Laddade Gränsytor v1. M. Granfelt v1.1 NOP/LO TFKI3 Yt- och kolloidkemi 1 De flesta partiklar som finns i en vattenmiljö antar en laddning Detta kan bero på dissociation av t.ex karboxylsyra grupper:
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl. 08.0013.00, lokal: MA9AB Kursansvariga lärare: Gerhard Kristensson, tel. 222 45
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merHanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merSvaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs merTentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)
Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 10/1 017, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Fredagen 1/1 018, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merKapitel 33 The nature and propagation of light. Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion)
Kapitel 33 The nature and propagation of light Elektromagnetiska vågor Begreppen vågfront och stråle Reflektion och brytning (refraktion) Brytningslagen (Snells lag) Totalreflektion Polarisation Huygens
Läs merLösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: 4 augusti 0, kl. 4.009.00, i Sparta C+D. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling
Läs mer8. Elektromagnetisk induktion
[RM] 8. Elektromagnetisk induktion problematiskt både i att det inte är fråga om en kraft i enheter av Newton, dels för att termen har många olika, delvis inkonsistenta definitioner (se wikipedia:electromotive
Läs mer