FYTA11: Molekylvibrationer
|
|
- Axel Pålsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FYTA: Molekylvibrationer Daniel Nilsson 2/ 202
2 Introduktion Övningens syfte var att undersöka normalmoderna hos molekyler, i synnerhet vattenmolekyler, och studera dessas variation beroende på olika parametrar. Analysen gjordes utan att ta hänsyn till kvantmekaniska effekter. 2 Teori En N-atomig molekyl har 3N frihetsgrader, vilket betyder att den fullständigt kan beskrivas med hjälp av 3N koordinater. Tre av dessa motsvarar translationer av molekylen, medan ytterligare tre beskriver dess rotationer, vilket innebär att 3N 6 frihetsgrader svarar mot vibrationer. För lineära molekyler spelar dock rotationer kring molekylaxeln ingen roll, och molekylen har således hela 3N 5 vibrationsfrihetsgrader. För en planär molekyl såsom vatten finns i molekylplanet 2N frihetsgrader, av vilka 3 motsvarar stelkroppsrörelser, och resterande 2N 3 är vibrationer. Således återstår N 3 frihetsgrader för svängningar ut ur molekylplanet, och för en treatomig ickelineär molekyl sker således alla svängningar i molekylplanet. 2. Analys av normalmoder För en mer utförlig analys av svängningarna studeras en molekyl bestående av N atomer med massor m i, positioner r i (t) samt jämviktslägen R i. För att underlätta räkningarna definieras även u i = r i R i. Framöver kommer dessutom vektorn r = (x, y, z,..., x N, y N, z N ) användas. Analogt definieras u och R. Den kinetiska energin kan då skrivas T = 2 N m i ṙ 2 i = 2 i= N m i u 2 i = 2 ut M u () i= där M uppenbarligen är den diagonala 3N 3N-matrisen diag(m, m, m,... m N, m N, m N ). Då atomerna endast utför små svängningar kan den potentiella energin approximeras med sin andra ordningens Taylorutveckling. Dessutom försvinner de lineära termerna då jämviktsläget är ett minimum för energin. Även den konstanta termen kan antas vara noll i jämviktsläget. Den potentiella energin kan således skrivas V = 2 3N 3N µ= ν= 2 V (R) r µ r ν u µ u ν = 2 ut Bu (2) där matrisen B:s element fås som B µν = 2 V (R) r µ r ν. Det är klart att B är reell och symetrisk. Energibevarande ger nu att: E = 2 ut M u + 2 ut Bu = 0 (3) Matrisen M kan elimineras ur denna ekvation genom att genomföra koordinatbytet v = M /2 u. Ekvation 3 får då utseendet E = 2 vt v + 2 vt Cv = 0 (4) 2
3 där C = ( M /2) T BM /2. Det är klart att C är reell och symmetrisk, ty B är det. Således kan C diagonaliseras genom basbytet v = Oq, där O är en ortogonal matris. Energin får således formen E = 2 qt O T O q + 2 qt O T COq = 2 qt q + 2 qt Dq (5) D är här en diagonalmatris. Då V utvecklats kring ett minimum måste den andra termen vara positiv oberoende av värdet på q. D:s diagonalelement måste således vara positiva, och de kan alltså skrivas D µµ = ω 2 µ. Det är således möjligt att skriva energin på formen vilket ger att E = 2 3N µ= ( q 2 µ + ω 2 µq 2 µ). (6) q µ + ω 2 µq µ = 0, µ =,..., 3N (7) Om ω µ = 0 motsvarar ekvation 7 en stelkroppsrörelse, annars ges den allmänna lösningen av q µ (t) = A µ cos(ω µ t + δ µ ) (8) där A µ och δ µ är godtyckliga konstanter. För att beräkna normalmoderna krävs kännedom om molekylens potential. Denna är i allmänhet matematiskt svårbearbetad, varför den kommer antas ha en viss enkel form. För att beskriva en vattenmolekyl krävs tre olika parametrar. Framöver kommer längderna på de kovalenta bindningarna, samt vinkeln mellan dessa, att användas. 2.2 Avståndsberoende hos potentialen Vad gäller beroendet av bindningarnas längd skall denna vara minimal då r i r j = R i R j, där de till varandra bundna atomerna tilldelats index i respektive j. För att få enkla räkningar antas därför potentialens beroende av avståndet mellan två till varandra bundna atomer ha formen V a (a) = k a 2 (a a 0) 2 (9) där k a är en konstant, och a = r = r i r j, a 0 = R = R i R j. Avståndet till jämviktsläget kan skrivas a a 0 = r R = R + u R Genom att komponentuppdela u = u ê + u ˆf där ê = R/a0 och ˆf är en normalvektor vinkelrät mot denna. Notera att det även gäller att R = R = R e. En användning av Pythagoras sats ger nu: a a 0 = ( R + u ) 2 + ( u ) 2 R = ( ) 2 u = R + u + R R + u 3
4 Då u antagits vara litet kan kvadratroten Taylorutvecklas ( ) 2 u + = + ( ) ( 2 ( ) ) 2 u u + O R + u 2 R + u R + u Bråket kan nu Taylorutvecklas igen, men täljaren gör att alla termer blir av ordning två och högre. Således erhålls ( ) 2 u ( ) + = + O u 2 R + u + u2 = + O( u 2 ) I uttrycket för a a 0 ses nu snabbt att R + u > 0, och således är a a 0 = ( R + u )( + O( u 2 )) R = u + O( u 2 ) (u i u j ) ê Insättning i ekvation 9 ger V a k a 2 [(u i u j ) ê] 2 (0) där ê = (R R j )/a 0. Det är klart att k a samt ê är konstanter. Antag att ê har komponenter e x, e y, e z. Då blir Va x i = ka 2 2[(u i u j ) ê] e x och således och vilket följer eftersom (ui ê) x i 2 V a 2 x i = k a e 2 x () 2 V a x i z j = k a e x e z (2) = e x, (ui ê) z j 2.3 Potentialens vinkelberoende = 0, (uj ê) x i = 0 och (uj ê) z j = e z För att finna potentialens vinkelberoende betraktas en atom j bunden till två andra atomer i och k. För enkelhets skull antas bindningarna vara lika långa. Potentialens beroende av bindningsvinkeln antas ha utseendet V θ (θ) = k θa (θ θ 0) 2 (3) där k θ är en knonstant, θ är bindingsvinkeln och θ 0 är bindningsvinkeln vid jämvikt. På liknande sätt som vid beräkningen av beroendet av det radiella beroendet fås första ordningens utveckling av detta uttryck genom att projicera u i u j på en linje ortogonal mot R i R j, samt motsvarande för atom k. Då erhålls a 0 (θ θ 0 ) (u i u j ) ê i + (u k u j ) ê k (4) Denna ekvation illustreras i figur. Enhetsvektorerna ê i och ê k skall är vinkelräta mot R i respektive R k. En vektor som uppfyller detta för atom i är 4
5 Figur : Illustration av ekvation 4. Notera att vinklarnas storlekar är överdrivna, samt att R i R j = a 0. eftersom ê i = a 0 sin θ 0 [cos θ 0 (R i R j ) (R k R j )] (5) ê 2 i = [a 2 a 2 0 sin2 0 cos 2 θ 0 2(R i R j ) (R k R j ) cos θ 0 + a 2 0] = θ 0 = [a 2 a 2 0 sin2 0 cos 2 θ 0 2a 2 0 cos 2 θ 0 + a 2 0] = θ 0 = sin 2 [ cos 2 θ 0 ] = θ 0 = och ê i (R i R j ) = a 0 sin θ 0 [cos θ 0 a 2 0 a 0 a 0 cos θ 0 ] = 0 ê k definieras analogt. Således fås potentialens vinkelberoende som V θ k θ 2 [(u i u j ) ê i + (u k u j ) ê k ] 2 (6) Genom att använda denna modell för potentialen är det således möjligt att direkt avläsa bidragen ur ovanstående. 5
6 2.4 Exempelberäkning för tvåatomig molekyl För en två-atomig molekyl (som dessutom är endimensionell) med potential V = k a ( x x 2 a 0 ) 2 /2 kan svängningarna längs molekylaxeln enkelt beräknas. Låt atomerna ha koordinater x = u och x 2 = a 0 +u 2 (u, u 2 små), och definiera q = u 2 u. Det ses enkelt att q = ü 2 ü = F 2 m 2 F m = F 2 ( + ) = F 2 /µ (7) m 2 m enligt Newtons andra respektive tredje lag. µ betecknar här den reducerade massan µ = m m 2 /(m + m 2 ). Det gäller även att F 2 = V x 2 = dv dq eftersom q x 2 =. Således erhålls q = dv x 2 dq = k a 2 d dq (a 0 + q a 0 ) 2 = k a q (8) q + ω 2 q = 0 (9) med ω 2 = k a /µ För en atom bestående av väte och klor, med k a = 500N/m erhålls ω = 5, s och vågtalet ν = (ω/2π)/c = 3, m. 3 Utförande Ett program skrivet i programmeringsspråket Java användes för att utföra normalmodsanalysen enligt vad som beskrivits i teorin. Vidare ritades atomernas jämviktslägen med pilar för att indikera normalmoderna ut. Parametervärden kunde anges i komponenter av typen JTextBox, och relevant information skrevs ut till ett terminafönster. Genom att manuellt variera potentialkonstanterna samt jämföra med tabellvärden på vattens vågtal uppskattades lämpliga värden på dessa, varefter molekylmassorna varierades så att ett flertal olika isotopers vågtal kunde uppskattas. Återigen jämfördes med tabellvärden. 4 Resultat Illustrationer av normalmoderna för fyra olika isotoper av vatten visas i figurerna 2-5. Tabell visar vågtalen för ett par olika värden på parametrarna k a och k θ. Observera att fler än de redovisade värdena kontrollerats. Vågtal för olika vattenisotoper givet värdena k a = 762, k θ = 60 visas i tabell 2. Som jämförelse kan beaktas de experimentella vågtalen i tabell 3 6
7 Figur 2: Illustration av normalmoderna för vanligt vatten (H 2 6 O). Figur 3: Illustration av normalmoderna för vattenisotopen H 2 8 O. 7
8 ). Figur 4: Illustration av normalmoderna för halvtungt vatten (HD 6 O. Figur 5: Illustration av normalmoderna för tungt vatten (D 2 6 O) 8
9 Tabell : Variation av normalmoderna för vanligt vatten vid variation av värdena för k a och k θ k a k θ Vågtal , ,0 596, , ,03 596, ,8 3674,24 585, ,8 3674,26 596, ,8 3674,28 607, , ,85 478, , ,06 585, , ,09 596, , , 607, , ,34 706, , ,29 585, , ,3 596, , ,34 607, ,78 370,3 596, , ,0 596,60 Tabell 2: Vågtal för olika isotoper av vatten, som de ges av modellen. Räknat uppifrån och nedåt skall vågtalen kopplas till motsvarande position i figurerna -4. H 6 2 O 3732, ,09 596,49 H 8 2 O 377, ,64 590,69 HD 6 O 3706, ,69 396,39 D 6 2 O 2732,89 266,84 62,99 Tabell 3: Tabellvärden för vågtal för olika isotoper av vatten. H 6 2 O H 8 2 O HD 6 O D 6 2 O
10 5 Diskussion Vi noterar att två av de tre svängningarna sker i nästan radiell led. Denn sista är nästan helt tangentiell med bindningen. Detta medför att konstanten k a har en inverkan som i första hand påverkar de två första svängningarna, medan k θ huvudsakligen påverkar den sista. Vi ser dock att åtminstone de två sista inte är helt rena i dessa riktningar då de uppvisar beroende på båda konstanter. Detta innebär vidare att vågtalet för den tangentiella svängningen kan anpasssas väl efter de experimentella resultaten, medan vi för de båda andra har ett överbestämmt ekvationssystem och således får välja ett kompromissvärde. Vi noterar dock att det är möjligt att välja ett värde som endast uppvisar cirka % avvikelse från tabellvärden. Att vi misslyckas med att hitta värden som stämmer helt överens tyder på att den potential som använts vid modelleringen avviker något från den korrekta potentialen. Exakt hur den bör modifieras är dock svårt att avgöra utifrån dessa resultat. Avvikelserna kan även bero på kvantmekaniska effekter. Dock kan vi notera att värdena ligger nära de experimentella, och således är modellen förhållandevis god. De värden på konstanterna som bäst stämmer överens med tabellvärden tycks vara k a = 762N/m, respektive k θ = 70N/m. Detta kan jämföras med typsika värden vid andra anpassningar som tenderar att ligga kring k a N/m och k θ 40 00N/m. Vi kan alltså konstatera att avståndsberoendet är förhållandevis starkt för vatten, medan vinkelberoendet ligger nära medel. Att avståndsberoendet skulle vara starkt är också rimligt, ty syre har en väldigt hög elektronegativitet, vilket ökar bindningsenergin. Vad gäller vinkelberoendet är det tänkbart att bindningsvinkeln mellan atomerna skulle spela en roll, men detta är endast ren spekulation. Då atommassorna varieras kan vi notera att resultaten fortsätter att vara förhållandevis väl överensstämmande med experimentella resultat. Det är värt att notera att variationerna i resultaten skulle kunna bero på att k a och k θ är beroende av atommassorna. Vad gäller specifika variationer i vågtalen kan speciellt nämnas att den assymmetriska molekylens vågtal för den andra svängningsmoden, och att den tredje svängningsmoden avviker mer då väteatomernas massor ökar. Intressant att notera är hur normalmoderna varierar då endast en av väteatomerna ersatts med deuterium. Vi ser då att i båda de radiella svängningsmoderna är det huvudsakligen en av väteatomerna som vibrerar. Dock är det i ett av fallen den tyngre, och i det andra den lättare! 0
FYTA11: Molekylvibrationer
FYTA: Molekylvibrationer Nils Hermansson Truedsson 0--6 Introduktion Följande rapport redogör för simuleringsövningen Molekylvibrationer. Syftet med övningen var att undersöka s.k. normalmoder hos vattenmolekyler
Läs merMolekylvibrationer FYTA11. 9 september Datoruppgift. Handledare: Christian Holzgräfe
9 september 2013 FYTA11 Datoruppgift Molekylvibrationer Handledare: Christian Holzgräfe E-post: christian.holzgraefe@thep.lu.se Telefon: 046-222 3492 Individuell rapport inlämnas före angiven deadline.
Läs merFYTA11: Molekylvibrationer. Mårten Bertenstam
FYTA: Molekylvibrationer Mårten Bertenstam 202--22 Introduktion Föreliggande laboration syftar till att studera vibrationsrörelser hos molekyler och att numeriskt beräkna normalmoder och deras frekvenser
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs mere 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Läs merVibrationspektrometri. Matti Hotokka Fysikalisk kemi
Vibrationspektrometri Matti Hotokka Fysikalisk kemi Teoretisk modell Translationer, rotationer och vibrationer z r y x Beaktas inte Translationer Rotationer Rotationspektrometri senare Vibrationer Basmodell
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 2 november 2016 Skalärprodukt Dagens ämne: Skalärprodukt, kapitel 1.3-1.4 i boken Definition, skalärprodukt på två sätt Vinklar mellan vektorer Norm Plan och
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merDipoler och dipol-dipolbindningar Del 2. Niklas Dahrén
Dipoler och dipol-dipolbindningar Del 2 Niklas Dahrén Uppgift 1: Är nedanstående molekyler dipoler? På bild a) är det ganska tydligt att vi får en negativ sida där -atomerna sitter och en positiv sida
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merProof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.
1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del V
Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V Obs! Preliminär version! Ö.1. (a) Vi kan lösa uppgiften genom att helt enkelt räkna ut avståndet mellan vart och ett av de ( 7 ) = 1 paren. Först noterar vi
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merHjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. 0 x < 0
LÖSNINGAR TILL Deltentamen i kvantformalism, atom och kärnfysik med tillämpningar för F3 9-1-15 Tid: kl 8.-1. (MA9A. Hjälpmedel: Det för kursen ociella formelbladet samt TeFyMa. Poäng: Vid varje uppgift
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merMatrismetod för analys av stångbärverk
KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 1 Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen
Läs merKOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n
KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------
Läs merMer Friktion jämviktsvillkor
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merLösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 204-08-30. a Vid dissociationen av I 2 åtgår energi för att bryta en bindning, dvs. reaktionen är endoterm H > 0. Samtidigt bildas två atomer ur en molekyl,
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merIsometrier och ortogonala matriser
Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merHydrodynamik Mats Persson
Föreläsning 5/10 Hydrodynamik Mats Persson 1 De hydrodynamiska ekvationerna För att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt flöde behöver man känna fluidens densitet,, tryck p hastighet u. I princip behöver
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merLösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merInre krafters resultanter
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter
Läs merx 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden
24 november, 206, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden. Projektionssatsen - ortogonal projektion på generella underrum Om W är ett underrum till R n,
Läs merMEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007
I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt
Läs merSvar och anvisningar
160322 BFL102 1 Tenta 160322 Fysik 2: BFL102 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Centripetalkraften ligger i horisontalplanet, riktad in mot cirkelbanans mitt vid B. A B b) En centripetalkraft kan tecknas:
Läs merOrdinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)
Ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521) Tid och plats: Fredagen den 2 juni 2017 klockan 08.30-12.30 Johanneberg. Hjälpmedel: Godkänd minikräknare och Matte Beta Examinator: Stellan Östlund Jour: Stellan
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs mer