FYTA11: Molekylvibrationer
|
|
- Roger Strömberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FYTA: Molekylvibrationer Nils Hermansson Truedsson 0--6
2 Introduktion Följande rapport redogör för simuleringsövningen Molekylvibrationer. Syftet med övningen var att undersöka s.k. normalmoder hos vattenmolekyler och hur dessa beror av massan på atomerna som bygger upp molekylerna. Rapporten är uppdelad i en teoridel, en del som beskriver utförandet av övningen, en resultatdel samt en diskussiondel där resultaten diskuteras. I handledningen för övningen gavs fyra räkneuppgifter, dessa återges i rapporten som appendix. Teori. Normalmoder Betrakta en N-atomig molekyl där varje atom har massan m i, i = (,,..., N. För atom i finns det ett jämviktsläge som ges av vektorn R i. Läget vid tiden t ges istället av vektorn r i (t. Den kinetiska energin för hela molekylen, T, är alltså summan av alla atomers kinetiska energier, d.v.s. T = N m i ṙ i ( i= där prick betyder tidsderivata. Låtes nu u i (t = r i R i, alltså, u låtes vara partikelns avvikelse från jämviktsläget vid tiden t, kan den kinetiska energin skrivas som T = N m i u i ( i= Den totala energin för molekylen är dock summan av den kinetiska och den potentiella energin. Därför måste ett uttryck hittas för den poteniella energin, V, hittas. För små avvikelser u i (t kring jämviktsläget kan den potentiella energin approximeras genom en Taylorutveckling där. Alla termer av ordning högre än två kan försummas på grund av de restrikterat små avvikelserna. Potentialen antas ha ett minimum i jämviktsläget, det vill säga termer av ordning ett är noll där. Det innebär att potentialen alltså kan uttryckas med enbart kvadratiska termer. För en N-atomig molekyl finns det 3N frihetsgrader. Detta innebär att det blir enklare att använda en total lägesvektor, r, som är samlingen av alla lägesvektorerna r i (t = (x, y, z, det enligt r = (x, y, z,..., x N, y N, z N. Denna totala lägesvektorn är alltså 3N-dimensionell. På samma sätt bildas ũ = (x x 0, y y o, z z 0,..., x N x 0, y N y 0, z N z 0 och likadant vektorn R. Då kan den potentiella energin skrivas V = 3N 3N µ= ν= V ( R r µ r ν ũ µ ũ ν = ũt Bũ (3
3 där B är en 3N 3N-matris vars element ges av I matrisform kan den kinetiska energin skrivas B µν = V ( R r µ r ν (4 T = ũ T M ũ (5 där matrisen M = diag(m, m, m,..., m N, m N, m N. Om däremot ett koordinatbyte görs, där M / = diag( m, m, m,..., m N, m N, m N och ṽ = M / ũ, så fås ũ T M ũ = ṽ T ṽ. Alltså kan den totala energin, E = T + V, skrivas, uttryckt i ṽ, E = ṽ T ṽ + ṽt Cṽ (6 där matrisen C är reell och symmetrisk med elementen C µν = mµ m ν B µν Matrisen C kan alltså diagonaliseras. Detta görs genom att hitta de normaliserade egenvektorerna till C och skapa matrisen O med dessa egenvektorer som kolumner. Alltså är O en ortogonal matris, d.v.s. O T = O. Genom att låta ṽ = O q kan koordinatsystemsbytet från ṽ till q göras enkelt. Koordinatsystemsbytet ges då av ṽ T Cṽ = q T O T CO q = q T D q där D är en diagonalmatris med icke-negativa element ω. Diagonalelementen är icke-negativa eftersom potentialen utvecklats kring ett minimum. Den kinetiska energins form ändras inte vid koordinatsystemsbytet, det eftersom O T O = O O = I där I är enhetsmatrisen. Detta innebär att den totala energin kan skrivas som 3N µ= ( q µ + ω µ q µ (7 Detta är formen för en harmonisk oscillator med massan och vinkelfrekvens ω µ. Den odämpade harmoniska oscillatorn beskrives av q µ + ω µ q µ = 0 (8 där µ =,..., 3N. 3
4 Lösningen till denna differentialekvation, när vinkelfrekvensen är skild från noll, ges av q µ (t = α µ cos(ω µ t + φ µ (9 där α och φ är konstanter som bestäms av för systemet givna initialvillkor. När en rörelse oscillerar enl. ekvationen ovan och övriga q ν = 0, d.v.s. när systemet svänger i en av de 3N koordinaterna q µ, så kallas rörelsen för en normalmod. ( För varje normalmod kan även ett s.k. vågtal ν beräknas, detta enl. ν = ω c π.. Potentialen V I denna simuleringsövning studeras olika typer av vattenmolekyler, vilkas former kräver tre parametrar för att kunna anges. Parametrarna som studeras här är längderna på de två kovalenta bindingarna i vardera molekyl och även vinkeln dem emellan. Först betraktas bindningslängden... Bindingslängd Två atomer, säg i resp. j, i vattenmolekylen är kovalent bundna. Dessa atomer har vardera ett jämviktsläge, R i resp. R j. Nu låtes a 0 beteckna jämviktsavståndet mellan atomerna, d.v.s. a 0 = R i R j. Avståndet mellan atomerna vid någon godtycklig tidpunkt ges då av a = r i r j. Potentialen skall enligt antagande vara minimal då a = a 0. En potential med denna egenskap är V a (a = k a (a a 0 (0 där k a är någon konstant. Genom att studera V a i kartesiska koordinater kan bidragen till matrisen B i normalmodsanalysen hittas. För små avvikelser, u i och u j, från respektive jämviktsläge kan potentialen skrivas V a = k a [(u i u j ê] + ϕ(u 3 i, u 3 j,... ( där ê = Ri Rj R i R j är en konstant enhetsvektor och ϕ innehåller termer av högre ordning av u i resp. u j. Att potentialen kan skrivas som i ekvationen ovan visas i appendix A under Övning. 4
5 .. Bindningsvinkel Betrakta nu de tre atomerna i, j och k. Låt j vara atomen bunden till de två andra (som syreatomen i vattenmolekyler. Bindningarna ji och jk bildar då en vinkel mellan varandra, låt säga θ. Vinkeln mellan bindningarna i jämviktsläget kallas θ 0. Om bindningslängderna för de båda bindingarna i jämvikt antages vara lika långa, låt säga a 0, så kan potentialen skrivas som V θ (θ = k θa 0 (θ θ 0 ( Genom att sätta atom j i sitt jämviktsläge kan potentialen uppskattas för avvikelserna u i, u j och u k. Avvikelserna från jämviktslägena för atomerna i och k är då u i u j resp. u k u j. Förskjutningarna från jämviktslägena skapar förändringar i vinkeln θ. Dessa förändringar kan bestämmas genom att för vardera atomen projicera förskjutningsvektorn på en linje ortogonal mot jämviktslägesvektorn för atomen i fråga. För atom i fås riktningen på den linje som ê i = a 0 sinθ 0 [cosθ 0 (R i R j (R k R j ] (3 För atom k fås en motsvarande ekvation för ê k. Tillsammans ger dessa att a 0 (θ θ 0 (u i u j ê i + (u k u j ê k (4 och därför V θ k θ [(u i u j ê i + (u k u j ê k ] (5 I appendix A under Övning 3 illustreras molekylen i ovanstående analys och det verifieras även att vektorn ê i är ortogonal mot R i R j. 3 Utförande Uppgifterna gick ut på att korrigera given javakod och därefter undersöka massberoendet för normalmoderna hos vattenmolekyler. Undersökningen var två dimensionell, det eftersom alla molekylvibrationer för vattenmolekyler sker i plander. Först korrigerades WaterModes.java så att normalmoderna ritades ut. Detta gjordes genom att färdigställa ritfunktionen i koden, som i ofullbordad version 5
6 enbart ritade ut atomerna som punkter. Istället för pilar som i handledningen ritades streck ut istället, det för enkelhets skull. Detta gjordes genom att använda metoden drawline( för graphics-objekt. drawline( tar som argument in punkterna mellan vilka linjen skall ritas. Efter att normalmoderna ritats ut korrigerades istället huvudprogrammet, Mol- VibApp.java, så att kraftkonstantera och atomernas massor kunde ändras. När dessa parametrar ändrades skulle de uppritade normalmoderna uppdateras automatiskt i fönstret. För att lösa detta problem användes s.k. JSliders. Dessa sattes in samma fönster, för överblickhetens skull, som de uppritade normalmoderna. JSliders funger som så att när ett värde ändras så anropas en s.k. ActionListener som uppdaterar systemet. De JSliders som skapades kopplades till parametrarna genom att tilldela värdena från JSlidersen till resp. parameter. Detta gjordes genom kommandot parameter = JSlider.getValue(;för någon JSlider JSlider. Som tredje uppgift skulle konstanterna k a och k θ uppskattas, detta genom att för en vanlig vattenmolekyl, d.v.s. H O, ändra på konstanternas värden i de skapade JSlidersen tills vågtalen för de tre molekylerna blev ungefär ν = 3657 cm, ν = 595 cm och ν 3 = 3756 cm. Den fjärde och sista uppgiften var att, med de i uppgift tre bestämda kraftkonstanterna, undersöka vågtalens massberoende mellan olika typer av vattenmolekyler. Vattenmolekylerna som undersöktes var H 8 O, HD 6 O och D 6 O, där D är deuterium. För att undersöka massberoendet jämfördes de beräknade vågtalen för de tre olika vattenmolekylerna med tabellen given i handledningen, se Figur. Molekyl ν (cm ν (cm ν 3 (cm H 8 O HD 6 O D 6 O Figur : Vågtalen för olika typer av vattenmolekyler. 4 Resultat I uppgift tre bestämdes kraftkonstanterna till k a = 756 N/m och k θ = 70 N/m. I uppgift fyra beräknades vågtalen för de olika molekylerna med kraftkonstanterna som bestämdes i uppgift 3. Värdena som ficks återges i Figur nedan. Molekyl ν (cm ν (cm ν 3 (cm H 8 O HD 6 O D 6 O Figur : Vågtalen för olika typer av vattenmolekyler som ficks i uppgift 4. 6
7 5 Diskussion När värdena i Figur respektive Figur jämförs, ses det att värdena överrensstämmer relativt bra med varandra. Att ordningen på vågtalen byter ordning, alltså att korresponderande vågtal inte ligger i samma ruta i båda figurerna, är inte fel, det eftersom för varje normalmod är molekylen samma och på så sätt spelar ordningen ingen roll. Att vågtalen skiljer sig mellan den vanliga vattenmolekylen beror på att dessa är proportionella mot egenfrekvensenserna som i sin tur beror på atomernas massor. Egensvängningarnas beroende av massa kan åskådliggöras med grafiken som används i programmet. Anledningen till varför egenvektorerna som pekar från syreatomen är så små beror på att syre har en massa som är väsentligen större än väteatomen. Att egenfrekvensen beror av massan visas i appendixets Övning 4. En felkälla är att endast heltal användes i de egentillverkade slidersen, något som ger sämre precision i de beräknade vågtalen, men, vilket återges av resultaten så fungerar den använda metoden ändå relativt bra. A Räkneuppgifter A. Övning Visa ekv. (. Lösning: Betrakta potentialen V a = k a (a a 0 = k a ( r i r j R i R j (6 u i och u j är små avvikelser från jämviktsläget. För atom n, n = i, j, gäller det att u n = r n R n. Detta gör att potentialen kan skrivas som V a = k a ( u i + R i u j R j R i R j = k a ( u + R R (7 där det för enkelhets skull definerats två nya vektorer som u = u i u j och R = R i R j. Om kvadratuttrycket utvecklas fås. där ( u + R R = u + R + R R u + R (8 u + R = u + R + u R (9 7
8 och således är u + R = u + R + u R (0 Denna kvadratrot kan approximeras med hjälp av binomialsatsen. För godtyckligt reellt tal n ger binomialsatsen att (a + ɛ n = ( n a n + 0 ( n a n ɛ + där summan är oändlig när n är ett rationellt tal. Låt nu a = R och ɛ = u R + u. Då fås ( n a n ɛ +... ( (a + ɛ / = R + R ( u + u R 8 R 3 ( u + u R +... ( och på så sätt R (a + ɛ / = R + ( u + u R 8 R ( u + u R +... (3 Sättes detta in som sista term i ekv. (8 fås, där de första termerna eliminerar varandra, ( ( u + R R = u ( R + u R u +... = R + u ê +... (4 där ê = R R = ˆR är en konstant enhetsvektor i riktningen mellan atomerna i jämvikt. För små avvikelser u i resp. u j, d.v.s. R u, kan uttrycket ovan approximeras till ( u R + u ˆR +... ( u ˆR + O(u 3, u 4,... (5 Sättes detta in i ekvationen för potentialen tillsammans med att u = u i u j fås vilket skulle visas. V a = k a [(u i u j ê] + O(u 3 i, u 3 j,... (6 8
9 A. Övning Utifrån ekv. ( visa att V x i = k a e x (7 och att Lösning: V x i z j = k a e x e z (8 Vilket visades i Övning kan potentialen skrivas enl. ekv. (6. I komponentform är r i = (x i, y i, z i, R i = (x 0i, y 0i, z 0i och således u i = (x i x 0i, y i y 0i, z i z 0i. Motsvarande uttryck gäller för atom j. Enhetsvektorn i komponentform kan skrivas som ê = (e x, e y, e z. Därför kan potentialen skrivas i komponentform enl. V a = k a [(x i x j + x 0j x 0i, y i y j + y 0j y 0i, z i z j + z 0j z 0i (e x, e y, e z ] (9 vilket vid omskrivningen x = x i x j + x 0j x 0i, med likadana uttryck i y och z, kan skrivas V a = k a ( x e x + y e y + z e z (30 Nu är det enkelt att hitta partialderivatorna i fråga. Dessa blir V x i = x i ( ka x e x + k a y e x e y + k a z e x e z = ka e x (3 V = ( ka x e x e z k a y e y e z k a z e z = ka e x e z (3 x i z j x i vilket skulle visas. 9
10 A.3 Övning 3 Rita en figur som illustrerar den beskrivna situationen i handledningen innan ekv. (7. Verifiera även att ê i är en enhetsvektor ortogonal mot R i R j. Lösning: Först verifieras ortogonaliteten hos vektorerna. Enligt tidigare är ê i = a 0 sinθ 0 [cosθ 0 (R i R j (R k R j ] (33 För att denna vektor skall vara ortogonal mot R i R j skalärprodukten dem emellan är noll. Alltså, måste det gälla att ê i (R i R j = = [cosθ 0 (R i R j (R k R j ] (R i R j = a 0 sinθ 0 [cosθ 0 R i R j (R k R j (R i R j ] (34 a 0 sinθ 0 men, R i R j = R k R j och alltså fås ê i = = [cosθ 0 (R i R j (R k R j ] (R i R j = a 0 sinθ 0 [cosθ 0 R i R j R i R j cosθ 0 ] = 0 (35 a 0 sinθ 0 vilket skulle visas. Nu kontrolleras huruvida ê verkligen är en enhetsvektor, d.v.s. ê =. Att längden är ett för en vektor är ekvivalent med att roten ur vektorns egna skalärprodukt är ett. Alltså kontrolleras detta enl. ê = ê ê = a 0 sin θ 0 [cos θ 0 (R i R j (R k R j ] (36 Låtes nu R i = R i R j och R k vara motsvarande för atom k, fås ê = [ ] [ a cos θ 0 R i R k = 0 sin θ 0 a cos θ 0 R i cos θ0 R i R k + 0 sin θ 0 men, eftersom R i = R k = a 0 och därför R i R k = a 0 cos θ 0, så fås R ] k (37 ê = a 0 sin θ 0 vilket skulle visas. [ a 0 cos θ 0 a 0 cos θ 0 + a 0] = sin θ 0 sin θ 0 = (38 I figuren nedan illustreras situationen som beskrivs i handledningen. 0
11 Figur 3: Den treatomiga molekylen samt alla vektorer och vinklar som beskrivs i handledningen. Pricken i vinklarna innebär vinkelrät vinkel. I bilden är enhetsvektorerna skrivna utan hatt A.4 Övning 4 Betrakta en tvåatomig molekyl i en dimension med massorna m och m och den potentiella energin V = ka ( x x a 0. Antag att x = u och x = a 0 +u, där u och u är små. Visa att q = u u satisfierar q + ω q = 0, där ω = k/µ och µ = m m /(m + m är den reducerade massan. Vad blir ω om atomerna är väte respektive klor och k a = 500N/m? Ange även vågtalet ν = (ω/ π/c. Lösning: Enl. antagande ovan kan x x skrivas som x x = u u a 0 (39 men, eftersom u resp. u är små så kan uttrycket ovan skrivas som vilket ger potentialen u u a 0 = u u + a 0 (40 V = k a (u u = k a (u u u + u = k ( a (u, u (u, u T = = ubu T (4 där B är matrisen med talen, ihopbakad med konstanten k a /. Den kinetiska energin T för systemet är T = m u + ( m / 0 u = ( u, u 0 m / ( u, u T = ua u T (4
12 där A är den symmetriska matrisen i steget innan. För att bestämma egenfrekvenserna ω studeras B ω A. Detta ger att ω = k aµ där µ = mm m +m. Detta ger vågtalet ν = (m + m k a (43 π c m m För väte fås och klor fås vågtalet ν HCl 996 cm, vilket motsvarar en egenfrekvens på ω rad s. För att visa att q = u u satisfierar differentialekvationen given i uppgiften betraktas därför q. Denna andraderivata är q = ü ü. För att hitta uttryck för dessa andraderivator av u bestraktas därför krafterna som verkar på respektive atom. Problemet i fråga är analogt med massor i fjäder, för vilket det enligt klassisk mekanik gäller att kraften F k på en massa k är F k = k x för en endimensionell rörelse i x-led. För en fjäder gäller det också att den potentiella energin i fjädern är V = k x, alltså precis det uttryck som ficks för potentialen i detta fall (fast nu i u ist.f. x. Detta innebär att kraften på massan m är m ü = k a (u u (44 vilket ger Likadant resonemang för m ger ü = k a m (u u (45 Då fås ü = k a m (u u (46 ] q = k a (u u [ m m = k a (u u m + m = k a m m µ (u u = ω q (47 Detta ger differentialekvationen q + ω q = ω q + ω q = 0 (48 och alltså har det visats att q = u u satisfierar differentialvekvationen given.
FYTA11: Molekylvibrationer
FYTA: Molekylvibrationer Daniel Nilsson 2/ 202 Introduktion Övningens syfte var att undersöka normalmoderna hos molekyler, i synnerhet vattenmolekyler, och studera dessas variation beroende på olika parametrar.
Läs merMolekylvibrationer FYTA11. 9 september Datoruppgift. Handledare: Christian Holzgräfe
9 september 2013 FYTA11 Datoruppgift Molekylvibrationer Handledare: Christian Holzgräfe E-post: christian.holzgraefe@thep.lu.se Telefon: 046-222 3492 Individuell rapport inlämnas före angiven deadline.
Läs merFYTA11: Molekylvibrationer. Mårten Bertenstam
FYTA: Molekylvibrationer Mårten Bertenstam 202--22 Introduktion Föreliggande laboration syftar till att studera vibrationsrörelser hos molekyler och att numeriskt beräkna normalmoder och deras frekvenser
Läs merMEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007
I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 2 november 2016 Skalärprodukt Dagens ämne: Skalärprodukt, kapitel 1.3-1.4 i boken Definition, skalärprodukt på två sätt Vinklar mellan vektorer Norm Plan och
Läs merLinjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n
Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs mer1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merGeometriska vektorer
Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merInre krafters resultanter
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merMatematikuppgifter del I, FYTA11
Matematikuppgifter del I, FYTA11 För inlämning och muntlig redovisning. 1. En viss datorskärm visar 1680 1050 bildpunkter på en bildyta vars diagonal mäter 510 mm. Bildpunkterna är lika stora i vertikal
Läs merLite Linjär Algebra 2017
Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merLösningar till tentamen i Kemisk termodynamik
Lösningar till tentamen i Kemisk termodynamik 204-08-30. a Vid dissociationen av I 2 åtgår energi för att bryta en bindning, dvs. reaktionen är endoterm H > 0. Samtidigt bildas två atomer ur en molekyl,
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merLÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs mer2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merSkrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merAvsnitt 6, Egenvärden och egenvektorer. Redan första produktelementet avslöjar att matrisen inte är en ortogonal matris. En matris 1 0.
Avsnitt Egenvärden och egenvektorer W Vilka av följande matriser är ortogonala? b d En matris A a a a n a a a n a a a n a m a m a mn är en ortogonal matris om dess kolumner bildar en ON-bas för rummet
Läs merVi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE (ORTONORMALA) BASER I R n INLEDNING ( repetition om R n ) Låt RR nn vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,, aa
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2:
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs mer