1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!

Transkript

1 KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter! 1-2 Vad är den fysikaliska tolkningen av vågfunktionen? 1-3 Om läget mäts och man finner att partikeln är i punkten x 0 hur ser då den ur vågfunktionen beräknade sannolikhetstätheten ut omedelbart efter mätningen av läget? Vad händer om man mäter läget igen omedelbart efter den första mätningen? 1-4 Redogör för vågfunktionens kollaps! 1-5 Hur definieras förväntansvärde (medelvärde) och standardavvikelse? 1-6 Vad är operatorn för rörelsemängden (i lägesrepresentationen, dvs den operator som verkar på vågfunktionen ψ(x))? 1-7 Vilka är de möjliga mätvärdena för läget och för rörelsemängden? 1-8 Hur beräknas förväntansvärdet av läget och rörelsemängden eller av någon funktion av dessa? 1-9 Redogör för hur förväntansvärdet av tex läget kan bestämmas experimentellt! 1-10 I klassisk fysik bestämmer man rörelsen för en partikel längs x-axeln genom att lösa Newtons ekvation F = md 2 x/dt 2 och om läget och hastigheten är kända vid en viss tidpunkt så ger detta banan x(t). Vad är motsvarigheten till detta i kvantmekaniken? 1

2 1-11 Redogör för huruvida vågfunktionen bestämmer allt man kan veta om ett system, tex om en partikel, och huruvida den exakt förutsäger utfallet av varje experiment? (Dvs, i vilken utsträckning är kvantmekaniken deterministisk?) 1-12 En våg kännetecknas av frekvens och vågtal (våglängd), vilka fysikaliskt mätbara storheter motsvarar dessa i kvantmekaniken? Hur ser relationerna ut? 2 Kapitel Antag att man har två lösningar till Schrödingerekvationen, vad kan man då säga om summan av de två lösningarna? Detta brukar kallas för superpositionsprincipen, vilken matematisk egenskap hos Schrödingerekvationen garanterar denna egenskap? I vilken utsträckning finns en liknande princip i klassisk fysik? 2-2 Hur ser vågfunktionen Ψ(x, t) ut för ett stationärt tillstånd? 2-3 Om svaret på föregående fråga sätts in i den tidsberoende Schrödingerekvationen hur ser den ekvation ut som fås då? 2-4 Vilka fysikaliska egenskaper har ett stationärt tillstånd? Vad är tisberoendet för förväntansvärdet av en operator ˆQ(ˆx, ˆp) i ett sådant tillstånd? 2-5 Visa att standardavvikelsen är noll för en operator i ett tillstånd som är ett egentillstånd till operatorn! 2-6 Hur ser den allmänna lösningen till den tidsberoende Schrödingerekvationen ut uttryckt i lösningarna till den tidsoberoende Schrödingerekvationen? Hur bestäms konstanterna som ingår i lösningen i ett givet fysikaliskt problem dvs vilka begynnelsedata måste man veta för att tidsutvecklingen sedan skall vara bestämd? 2-7 Vad menas med klassiskt tillåtet respektive klassiskt förbjudet område? 2-8 Skissa de stationära vågfunktionerna i ett klassiskt tillåtet respektive ett klassiskt förbjudet område för en konstant potential! 2

3 2-9 Då vågfunktioner skall passas ihop i gränsen mellan olika områden krävs randvillkor, vilka är dessa? 2-10 Vad händer med (den minsta möjliga) energin om man stänger in en partikel i ett allt mindre område? Vad beror detta på? Är det den kinetiska eller den potentiella energin som ändras? 2-11 Skissa de stationära vågfunktionerna med lägst energi i den endimensionella lådan. Hur beror energin av lådans storlek? 2-12 Vad menas med bundna tillstånd respektive spridningstillstånd? När får man den ena respektive den andra typen? 2-13 Hur ser potentialen ut för den harmoniska oscillatorn? Vad är de möjliga energierna? Är tillstånden bundna eller spridningstillstånd, förklara svaret utgående från potentialens form? Den harmoniska oscillatorn är mycket viktig och dyker upp på många olika ställen i fysiken varför är det så? 2-14 Hur ser de stationära lösningarna ut för den fria partikeln? Vad är x, p respektive σ x, σ p för dessa? 2-15 Redogör för hur en fri partikel beskrivs som ett vågpaket! Definiera, utan att räkna, vad fas- respektive grupphastighet är för något. Vilken av dem motsvarar partikelns hastighet? Är ett vågpaket ett stationärt tillstånd om inte vad händer med vågpaketets form då tiden går? Kan en fri partikel som har en relativt välbestämd rörelsemängd och ett relativt välbestämt läge ha en exakt bestämd energi? 2-16 Vilken är den ekvation som definierar Diracs delta-funktion? Skissa delta-funktionens utseende! 2-17 Vad händer då partiklar skjuts mot en potentialgrop passerar de alltid gropen, jämför med den klassiska situationen? (Delta-funktionsgropen erbjuder ett exempel där man kan lösa detta problem explicit.) 2-18 Vad händer kvalitativt då partiklar skjuts mot en delta-funktionsbarriär? Jämför detta med den klassiska situationen! Vilken viktig kvantmekanisk effekt är detta ett exempel på? 2-19 Beskriv tunneleffekten och förklara den kvalitativt! 3

4 Frågor på KVANTMEKANIKENS FORMELLA STRUKTUR Dessa frågor täcker kapitel 3 i Griffiths samt de utdelade föreläsningsanteckningarna. 3-1 Vad menas med följande begrepp: system, tillstånd, observabel, egentillstånd, tillståndsvektor, egenvärde, egenvektor, kommutator, hermitsk operator? 3-2 Hur betecknas med bra- och ketnotation följande storheter: vektor, skalär, operator. 3-3 Hur ser den relation ut som uttrycker att en summa av operatorer, skapade av basvektorerna i, är lika med enhetsoperatorn? (Denna relation brukar kallas för fullständighetsrelationen eftersom den uttrycker att vektorerna i som bygger upp operatorn är fullständiga, dvs spänner vektorrummet.) 3-4 Använd fullständighetsrelationen för att uttrycka en vektor ψ i komponenter. 3-5 Hur uttrycks skalärprodukten av två vektorer i bra- och ketnotation? Utveckla uttrycket i komponenter genom att använda fullständighetsrelationen. 3-6 För ett givet kvantmekaniskt system så är varje möjligt tillstånd för systemet en vektor (tillståndsvektorn) och mängden av dessa vektorer formar ett vektorrum som kallas Hilbertrummet. Vilken är den grundläggande egenskapen i ett vektorrum och hur är denna relaterad till den kvantmekaniska superpositionsprincipen? 3-7 Varje mätbar storhet motsvaras av en operator i Hilbertrummet, vad har denna för matematisk egenskap? 3-8 Hur lyder egenvärdesekvationen? Antag att man löser denna ekvation för en hermitsk operator i ett vektorrum med ändlig dimension. Vilken egenskap har egenvärdena? Varför är detta viktigt i fysiken? Vilken egenskap har egenvektorerna? 4

5 3-9 Betrakta föregående problem men nu för ett allmänt vektorrum som är rummet av tillstånd för ett kvantmekaniskt problem. Egenvärdena kommer nu att kunna vara både diskreta och kontinuerliga och vektorrummet har i allmänhet oändlig dimension. Vilken egenskap har egenvärdena? Varför är detta viktigt i fysiken? Vilken egenskap har egenvektorerna? Jämför med föregående problem! 3-10 Hur uttrycks förväntansvärdet av en operator  för ett kvantmekaniskt system som befinner sig i tillståndet ψ i bra- och ketnotation? Använd fullständighetsrelationen ( magiska ettan ) för att uttrycka detta i komponenter Låt i, i = 1, 2,... vara ortonormerade egenvektorer till den hermitska operatorn  med egenvärden a i:  i = a i i. Antag att systemet befinner sig i tillståndet ψ = i i i ψ. Man mäter nu den fysikaliska storhet som motsvarar Â. a) Vilka är de möjliga mätvärdena? b) Vad är sannolikheten för att man får ett visst mätvärde? c) I vilket tillstånd befinner sig systemet omedelbart efter mätningen om man finner mätvärdet a 3? Vad har detta med vågfunktionens kollaps att göra? d) Om man upprepar mätningen omdelbart efter mätningen i förra frågan vad är då sannolikheterna för att få de olika mätvärdena? e) Antag nu att man istället mäter en annan fysikalisk storhet B, som är sådan att motsvarande operator ˆB inte kommuterar med Â. Detta betyder att  och ˆB inte har (en bas av) gemensamma egenvektorer. Vad händer då? (Ledning: Inför egenvektorerna till ˆB och upprepa resonemanget ovan. Observera hur mätning av olika fysikaliska storheter motsvarar att en och samma vektor ψ uttrycks i olika baser av egenvektorer och hur komponenterna i dessa olika baser ger sannolikheterna för att få de olika mätvärdena.) 3-12 Antag nu att observablerna A och B i föregående problem är läget x och rörelsemängden p för en partikel som rör sig längs x-axeln. Egenvektorerna för ˆx kommer att vara x med egenvärden x för alla reella 5

6 tal x och egenvektorerna för ˆp kommer att vara p med egenvärden p för alla reella tal p. a) Hur ser nu fullständighetsrelationen ut? Använd denna för att uttrycka tillståndet ψ i x-basen. Identifiera vågfunk-tionen ψ(x) vad motsvarar den för storhet om man jämför med det diskreta fallet i föregående problem? b) Vilka är de möjliga mätvärdena då man mäter läget? c) Vad är sannolikhetstätheten för att man får ett visst mätvärde? d) I vilket tillstånd befinner sig systemet omedelbart efter mätningen om man finner mätvärdet x 0? Vad har detta med vågfunktionens kollaps att göra? e) Om man upprepar mätningen omdelbart efter mätningen i förra frågan vad är då sannolikhetstätheterna för att få de olika mätvärdena? f) Antag att man mäter p istället för x. Vad händer då? Observera hur mätning av de olika fysikaliska storheterna x och p motsvarar att en och samma vektor ψ uttrycks i olika baser av egenvektorer x respektive p och hur komponenterna i dessa olika baser ger sannolikhetstätheterna för att få de olika mätvärdena Två observabler A och B motsvaras av två operatorer  och ˆB vilken matematisk egenskap skall de två operatorerna ha för att det alltid skall vara möjligt att samtidigt mäta A och B (med stor precision)? Hur ser den obestämdhetsrelation ut som uttrycker detta faktum? (Det är inte så viktigt att minnas exakt hur den ser ut men bra att veta att den finns och vilka storheter den relaterar.) 3-14 Vad är kommutatorn [x, ˆp] av operatorerna x och ˆp = i h d dx? 3-15 Hur lyder Heisenbergs obestämdhetsrelation? Definiera ingående storheter! Vad betyder relationen fysikaliskt? Ge exempel på dess konsekvenser! 3-16 För ett vågpaket gäller alltid en obestämdhetsrelation som relaterar utsträckning i rummet och variation i vågtal. Hur leder denna rent matematiska relation till den kvantmekaniska obestämdhetsrelationen? 6