Räkneuppgifter 1, kvantmekanik

Transkript

1 Erik Sjöqvist Avdelningen för kvantkemi Uppsala Universitet Roland Lindh Avdelningen för kemi - Ångström Uppsala Universitet 3 mars 03 uppdaterade oktober 05 Räkneuppgifter, kvantmekanik Kvantmekanik och kemisk bindning I, KB50 Uppgifter markerade med * är av en något högre svårighetsgrad

2 Kvantmekanikens grunder, matematik Skriv sannolikhetsamplituderna i, och ( + i) på polärform Skriv sannolikhetsamplituderna e iπ/3 och e iπ/4 på formen x + iy 3 Sannolikhetsamplituderna och eif, där f är ett reellt tal, superponeras (adderas) Beräkna den resulterande sannoliketen ( + eif ) Plotta sannolikheten som funktion av f 4 Beräkna sannolikheten ( + eiπ/ + e iπ + e i3π/ ) 5 Tillståndet hos en kvantmekanisk partikel beskrivs av den normerade vågfunktionen φ(x) = sin(πx/a) på intervallet 0 x a och a φ(x) = 0 för övrigt Beräkna sannolikheten att finna partikeln på intervallet 0 x a/4 6 Bestäm konstanten N så att vågfunktionen φ(x) = Ne λx blir normerad på hela x-axeln 7 Visa att om en konstant V 0 adderas till den potentiella energin V (x) så ändras energiegenvärdena i den tidsoberoende Schrödingerekvationen från E till E + V 0 samt att egenfunktionerna ψ(x) förblir desamma Vad är den fysikaliska tolkningen? 8 En kvantmekanisk partikel befinner sig i den en-dimensionella potentialen V (x) Partikeln prepareras i ett energiegentillstånd svarande mot vågfunktionen ψ(x) = Ne ax, där N är en normeringskonstant Skriv upp energiegenekvationen som ψ(x) ska uppfylla och identifiera därigenom potentialen V (x) 9 Egenfunktionslösningarna till Schrödingerekvationen i en rumsdimension utgörs av reellvärda, sinsemellan ortogonala funktioner Två reellvärda funktioner f(x) och g(x) sägs vara ortogonala om f(x)g(x)dx = 0 Visa att e x och (x )e x är ortogonala 0 Betrakta Schrödingerekvationen Ĥψ(x, y) = Eψ(x, y) i två rumsdimensioner Antag att Hamiltonoperatorn har formen Ĥx + Ĥy, där Ĥ x = h + V (x) och m x Ĥy = h + V (y) Antag Ĥxφ m y n (x) = E n (x) φ n (x) och Ĥyϕ m (y) = E m (y) ϕ m (y) Visa att φ n (x)ϕ m (y) är en lösning till Schrödingerekvationen för Ĥ och beräkna motsvarande energiegenvärde

3 Tillståndet hos en kvantmekanisk partikel beskrivs av en normerad vågfunktion på formen Ψ(x) = R(x)e is(x)/ h Beräkna förväntansvärdet av partikelns rörelsemängd Vad blir detta förväntansvärde om S(x) är en konstant? * En elektron prepareras i den normerade vågfunktionen φ(x) = a sin(πx/a), 0 x a, φ(x) = 0 för övrigt Verifiera Heisenbergs osäkerhetsrelation x p x h 3 Beräkna x p x för en partikel som beskrivs av den normerade vågfunktionen (a/π) /4 e ax 4 Visa att e ikx är en egenfunktion till rörelsemängdsoperatorn ˆp x = h i Beräkna och tolka fysikaliskt motsvarande egenvärde 5 Visa att cos(kx) är en egenfunktion till ˆp x och beräkna motsvarande egenvärde Visa att cos(kx) inte är en egenfunktion till ˆp x 6 Hückelmetoden används för att beräkna energier och orbitaler för molekyler genom att diagonalisera matriser Den enklaste Hückelmatrisen är ( ) α β H =, β α där α, β är reella tal Beräkna dess egenvärden och normerade egenvektorer 7 Låt α, β vara två reella tal Beräkna egenvärden och normerade egenvektorer till Hückelmatrisen α β 0 H = β α β 0 β α 8 Låt α, β vara två reella tal Beräkna egenvärden till Hückelmatrisen α β β H = β α β β β α Ledning: H har en dubbelrot * 9 Beräkna egenvärden och normerade egenvektorer till matriserna S x = h ( ) 0, S 0 y = h ( ) 0 i, S i 0 z = h ( ) 0 0 Beräkna egenvärdet s(s + ) h, s 0, till S = S x + S y + S z Vad blir s? 3 d dx

4 Partikel i lådpotential 0 En elektron fångas i en kvantpunkt (engelska: quantum dot ) som modelleras med den en-dimensionella lådpotentialen V (x) = 0 0 < x < a + för övrigt, där a = 0 nm ( nm= 0 9 m) Elektronmassan är m = 9, 0 3 kg (a) Beräkna nollpunktsenergin uttryckt i elektronvolt (ev) (b) Beräkna våglängden λ för en foton som exciterar elektronen från grundtillståndet till första exciterade tillståndet Ett kvantmekaniskt system med massan m är fångad i lådpotentialen V (x) = 0 0 x a + för övrigt Systemet prepareras i tillståndet som beskrivs av vågfunktionen φ(x) = N sin(πx/a) cos(πx/a) 0 x a 0 för övrigt, där normeringskonstanten N antas vara reellvärd (a) Visa att φ(x) är ett energiegentillstånd (b) Beräkna motsvarande energiegenvärde (c) Bestäm N så att φ(x) blir normerad Ett kvantmekaniskt system med massan m befinner sig i potentialen V (x) = 0 0 x a + för övrigt Låt φ n, n =,,, vara energiegentillstånden Beräkna dispersionen x = ˆx ˆx som funktion av n Studera speciellt klassiska gränsen n 4

5 3 Ett elektron (massa: m = kg) befinner sig i kvantpunktpotentialen V (x) = 0 0 x a + för övrigt, där a = 0 8 m Låt φ n, n =,,, vara systemets energiegentillstånd, och ˆp x dess rörelsemängdsoperator Definiera hastighetsoperatorn ˆv x = ˆp x /m Hur stort måste n vara för att hasighetsdispersionen v = ˆv x ˆv x ska vara av samma storleksordning som ljushastigheten c = m/s? 4 Betrakta en tre-dimensionell lådpotential V (x, y, z) = 0 0 x a, 0 y b, 0 z c, för övrigt Ange de normerade energiegentillstånd som svarar mot de två lägsta energierna i denna potential om a > b > c 5 Ett kvantmekaniskt system med massan m befinner sig i potentialen V (x, y) = 0 0 x a, 0 y b + för övrigt Uttryck energiegenvärdena i lådans area A = ab samt kvoten γ = a/b Under antagandet att A är fix, beräkna det γ som minimerar energin för grundtillståndet och första exciterade tillståndet * Harmonisk oscillatorpotential 6 Vibrationerna hos en diatomär molekyl kan beskrivas som en en-dimensionell harmonisk oscillator med massan m = 0 7 kg Oscillatorn prepareras i sitt grundtillstånd som representeras av vågfunktionen φ 0 (x) = Ne x /a, där N är en normeringskonstant och a = 0 m (a) Beräkna oscillatorns vinkelfrekvens ω Ange ditt svar i rad/s (b) Hur mycket energi måste tillföras för att excitera oscillatorn till dess första exciterade tillstånd? Ange ditt svar i ev eller J 5

6 7 Bestäm energiegenvärdet för en harmonisk oscillator med massan m svarande mot energiegenfunktionen ψ = e λx Oscillatorns vinkelfrekvens är ω Vilket samband finns mellan ω och λ? 8 Beräkna dispersionerna x = ˆx ˆx och p x = ˆp x ˆp x för en harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen ω och massan m i första exciterade tillståndet φ Verifiera att Heisenbergs osäkerhetsrelation är uppfylld 9 Grundtillståndet för en harmonisk oscillator med massa m och vinkelfrekvens ω är ( ) α /4 φ 0 (x) = e α x, π där α = (mω/ h) / (a) Beräkna läget för de klassiska vändpunkterna uttryckt i m, ω, h givet att oscillatorns energi är lika med den kvantmekaniska nollpunktsenergin (b) Beräkna den kvantmekaniska sannolikheten att hitta oscillatorn utanför de klassiska vändpunkterna 30 Ett kvantmekaniskt system med massan m befinner sig i potentialen V = mω (x + y ) Bestäm systemets möjliga energiegenvärden och deras degenerationsgrad 3 Betrakta potentialen V (x) = ɛ [ (σ x ) ( σ x ) 6 ] för ett kvantmekaniskt system som rör sig längs x-axeln Var antar V (x) sitt minimum? Beräkna energisplittringen för lågt liggande energiegentillstånd i harmoniska approximationen om ɛ = 00 ev, σ = 7 Å samt systemets massan är kg [Modellpotentialen V (x) är den så kallade Lennard-Jonespotentialen som används för att beskriva växelverkan mellan par av elektriskt neutrala atomer eller molekyler] 6

7 3 Morsepotentialen är en användbar modellpotential för att beskriva vibrationer hos diatomära molekyler För rörelse längs positiva x-axeln kan denna potential skrivas V (x) = D( e a(x x 0) ), där D, a > 0 Vilken dimension har D respektive a? Visa att V (x) har ett minimum vid x = x 0 Härled ett uttryck för energisplittringen för lågt liggande energiegentillstånd i harmoniska approximationen om systemets massan är m Väteatomen, impulsmoment 33 Vågfunktionen svarande mot grundtillståndet för en väteatom har formen ψ(r) = Ne r/a 0, där r är elektron-protonavståndet Normera denna sfäriskt symmetriska funktion på hela rummet 34 Beräkna energierna E n för en elektron i s-, s-, p-, 3p- och 3dorbitalerna i en väteatom Ange dem i ev Beräkna även våglängden för strålningen som emitteras vid övergångarna 3d p, 3p s och p s 35 En elektron i närheten av en positiv laddning e befinner sig i den effektiva potentialen e V eff (r) = 4πɛ 0 r + l(l + ) h µr (a) Skissa V eff (r) för l = 0 och l 0 (b) Ge med hjälp av (a) ett fysikaliskt argument för hur elektronens vågfunktion ser ut för l = 0 och l 0 när r 0 36 För (n n)/ n, visa att E n a + bn för en väteatom Beräkna numeriskt vinkelfrekvensen b/ h för n = 60 * 37 Beräkna de radiella noderna hos en väteatom för en: (a) s-orbital (b) 3s-orbital 38 (a) Beräkna /ˆr för s-orbitalen hos en väteatom 7

8 (b) Beräkna med hjälp av (a) kvoten T / V mellan förväntansvärdet av kinetiska energin T och potentiella energin V genom att använda uttrycket för s-orbitalens totala energi som ges i formelsamlingen 39 Beräkna dispersionen r = ˆr ˆr för s- och p-orbitalerna i en väteatom 40 Beräkna /ˆr för en p z -orbital hos en väteatom Uttryck svaret i Bohrradien a 0 4 Betrakta matriselementen s ẑ s och s ẑ p z Utnyttja egenskaper hos klotytefunktionerna för att visa att ett av matriselementen är noll Beräkna det andra 4 En högt exciterad elektron (massa m = 9, 0 3 kg) antas röra sig fritt på ytan av en rak cylindrisk kolnanotub med längd L = µm och radie r 0 = 0, nm Välj koordinatsystem så att z-axeln är parallel med cylinderaxeln och så att nanotubens ändpunkter befinner sig i z = 0 och z = L En kvantmekanisk modell för att beskriva elektronens möjliga energinivåer ges av Hamiltonoperatorn där θ är vinkelkoordinaten och Ĥ = h m z h mr0 θ + V (z), V (z) = 0 0 z L + för övrigt Finn ett uttryck för elektronens energinivåer Beräkna numeriskt energisplittringen mellan de två lägsta energierna svarande mot rörelsen i z- respektive θ -led 43 En högt exciterad elektron (massa m = 9, 0 3 kg) antas röra sig fritt på ytan av fullerenmolekylen C 60 Vi approximerar molekylen med en sfär med radien R = 0,7 nm En kvantmekanisk modell för att beskriva elektronens möjliga energinivåer ges av Hamiltonoperatorn Ĥ = ˆL mr Här är ˆL = ˆL ˆL, där ˆL är elektronens banimpulsmoment Finn ett uttryck för elektronens energinivåer Beräkna numeriskt energisplittringen mellan de två lägsta energierna 8

9 44 En väteatom har energin svarande mot n = Beräkna degenerationsgraden Försök generalisera detta till godtyckligt n 45 Beräkna ˆL z och ˆL för en p z -orbital hos en väteatom 46 En sfäriskt symmetrisk molekyl (till exempel C 60 ) som befinner sig i ett konstant homogent magnetfält B beskrivs av Hamiltonoperatorn Ĥ = ˆL I + µb ˆL z ˆL är banimpulsmomentet, I är molekylens tröghetsmoment och µ dess magnetiska moment Vi har antagit att magnetfältet pekar i z-riktningen (a) Visa att Hamiltonoperatorns egenfunktioner är klotytefunktioner Y l,m (θ, ϕ) (b) Finn allmänna uttrycket för energiegenvärdena Beräkna energierna för l = Approximationsmetoder 47 En elektron (massa: m = 9, 0 3 kg) fångas i en kvantpunkt som modelleras med den en-dimensionella lådpotentialen V (x) = 0 0 < x < a + för övrigt, där a = 0 nm ( nm= 0 9 m) Ett svagt homogent elektriskt fält F = F 0 e x (F 0 > 0) appliceras över kvantpunkten Detta kan representeras som en störningsterm på formen ef 0ˆx (a) Beräkna med hjälp av första ordningens störningsteori ett uttryck för energikorrektionen E () (b) Antag F 0 = 00 V/m Jämför numeriskt E (0) och E () Avgör om första ordningens störningsteori ger en god approximation till den exakta grundtillståndsenergin 48 Ett kvantmekaniskt system i lådpotentialen 0 0 x a V (x) = + för övrigt 9

10 utsätts för en störning på formen V0 0 x a/ V (x) = 0 för övrigt Systemets massa är m Beräkna första ordningens korrektion till grundtillståndet Ge ett villkor på V 0 för att första ordningens störningsteori ska ge en god approximation till den exakta energin 49 En anharmonisk störning på formen βx 4, där β är en positiv konstant, adderas till en harmonisk oscillator med massan m och vinkelfrekvens ω (a) Vilken dimension har β? (b) Beräkna första ordningens energikorrektion till grundtillståndet (c) Hur liten måste β vara för att första ordningens störningsteori ska ge en god approximation till den exakta energin? 50 Morsepotentialen är en användbar modellpotential för att beskriva vibrationerna hos diatomära molekyler Denna potential kan skrivas V (x) = D( e x/a ), < x < +, där x är avvikelsen från jämviktsavståndet mellan atomkärnorna D > 0 och a > 0 har dimensionen energi respektive längd Taylorutveckling till fjärde ordningen i x kring jämviktsläget ger Hamiltonoperatorn H = h d m dx + D a x D a 3 x3 + 7D a 4 x4, där m är molekylens reducerade massa Betrakta de två första termerna som det ostörda problemet (harmonisk oscillator) och de två sista termerna som störning (a) Genom att jämföra med standarduttrycket för harmoniska oscillatorn, beräkna den ostörda grundtillståndsenergin uttryckt i h, m, D och a (b) Beräkna grundtillståndsenergin till första ordningen i störningen 5 En elektron fångas i en kvantpunkt som modelleras med den en-dimensionella lådpotentialen V (x) = 0 0 < x < a + för övrigt, 0

11 där a = 0 nm ( nm= 0 9 m) På grund av relativistiska effekter modiferas kinetiska energin för elektronen Denna modifikation beskrivs till lägsta ordning av störningtermen Ĥ rel = ˆp4 8m 3 c som adderas till den ostörda Hamiltonoperatorn c = m/s är ljushastigheten i vakuum och m = kg är elektronmassan (a) Beräkna med hjälp av första ordningens störningsteori ett uttryck för energikorrektionen E () på grund av störningen Ĥrel Ange också motsvarande uttryck för grundtillståndsenergin till första ordningen i Ĥ rel (4p) (b) Jämför numeriskt E (0) och E () Förvissa dig därigenom att bidraget från Ĥrel är mycket litet 5 Beräkna med hjälp av första ordningens störningsteori ändringen i energinivåerna hos en väteliknande atom, om kärnladdningen ändras med en enhet Jämför med det exakta resultatet När ger första ordnings störningsteori en bra approximation till grundtillståndenergin? 53 Beräkna med hjälp av första ordningens störningsteori grundtillståndsenergin för en skärmad väteatom som beskrivs av den sfäriskt symmetriska potentialen e V (r) = 4πɛ 0 r e r/r 0 genom att betrakta Coulombpotentialen e 4πɛ 0 som ostörd potential r Argumentera för att första ordningens störningsteori bör ge en bra approximation till den exakta grundtillståndsenergin om r 0 a 0, där a 0 är Bohrradien [Potentialen V (r) kallas för Yukawapotentialen] * 54 Ansätt funktionen ψ λ (x) = e λx för att beskriva grundtillståndet för en harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen ω Använd variationsprincipen för att få den bästa möjliga funktionen och en övre gräns till grundtillståndsenergin Vad händer om funktionen ϕ λ (x) = xe λx hade använts? 55 En kvantmekanisk partikel med massan m rör sig längs hela x-axeln i en anharmonisk potential πk x, där k är en dimensionsbärande konstant Använd variationsmetoden med den normerade försöksfunktionen ( ) / λ ψ λ (x) = π e λ x /

12 för att beräkna en övre gräns till partikelns grundtillsåndsenergi 56 Använd variationsprincipen på försöksfunktionen ψ λ (r) = e λr för att finna en övre gräns till grundtillståndsenergin för en väteatom Hur stor är den procentuella avvikelsen från det exakta värdet på grundtillståndsenergin? * 57 Betrakta Hamiltonoperatorn d Ĥ = h m dx + mω + ɛ m ω 3 h x4, där de två första termerna svarar mot en harmonisk oscillator med massan m och vinkelfrekvens ω Ansätt försöksfunktionen ψ λ (x) = λφ0 (x) + λφ (x), där 0 λ är en variationsparameter, φ 0 (x) är grundtillståndet och φ (x) är första exciterade tillståndet för oscillatorn Använd variationsprincipen för att få den bästa möjliga funktionen och en övre gräns till grundtillståndsenergin

13 Svar Kvantmekanikens grunder, matematik i = e iπ/, = e iπ och ( + i) = e iπ/4 e iπ/3 = cos(π/3) + i sin(π/3) = ( + i 3) e iπ/4 = [cos(π/4) i sin(π/4)] = ( i) 3 ( + eif ) = ( + cos f) Sannolikheten varierar mellan 0 då f = π, 3π, (destruktiv interferens) och då f = 0, π, (konstruktiv interferens) 4 ( + eiπ/ + e iπ + e i3π/ ) = 0 De fyra sannoliketsamplituderna eiπ/, eiπ och ei3π/ interfererar fullständigt destruktivt 5 P (0 x a/4) = 4 π 9,% 6 N = (λ/π) /4 7 De mätbara storheterna energidifferens och sannolikhetstäthet påverkas inte av skift av nollpunktsenergi 8 Schrödingerekvationen: [ h d ] m dx + V (x) ψ(x) = [ h a m h a ] m x + V (x) ψ(x) = Eψ(x) För att ψ(x) ska vara en lösning måste vänsterledet vara oberoende av x, vilket ger V (x) = h a m x + V 0, där V 0 är en godtycklig konstant med dimension energi Notera att V (x) svarar mot en harmonisk potential med vinkelfrekvens ha m 9 e x (x )e x dx = e x x dx e x dx = Γ[ 3 ] Γ[ ] = 0 eftersom Γ[ 3 ] = Γ[ ] 0 Direkt insättning: Ĥφ n (x)ϕ m (y) = (E n (x) + E m (y) )φ n (x)ϕ m (y), det vill säga φ n (x)ϕ m (y) är en lösning till Schrödingerekvationen med energiegenvärdet E (x) n + E (y) m ˆp x = R (x)s (x)dx Om S(x) är en konstant så ˆp x = 0, 3

14 x p x = π h,4 h > h 3 3 x p x = h, det vill säga φ(x) minimerar osäkerhetsrelationen mellan position och rörelsemängd 4 ˆp x e ikx = h i ikeikx = hke ikx Egenvärdet hk är det värde som erhålls vid mätning av rörelsemängden för en partikel vars tillstånd beskrivs av den plana vågen e ikx 5 ˆp x cos(kx) = h k cos(kx) Egenvärdet är h k ˆp x cos(kx) = h i sin(kx) (tal) cos(kx) 6 Egenvärden α ± β med motsvarande egenvektorer ( ) ± 7 Egenvärden α, α ± β med motsvarande egenvektorer 0, 8 Egenvärden α β (dubbelrot) och α + β ± 9 S x : Egenvärden ± h S y : Egenvärden ± h S z : Egenvärden ± h med tillhörande normerade egenvektorer ( ± ) med tillhörande normerade egenvektorer ( ±i ) med tillhörande normerade egenvektorer ( 0 ), ( 0 ) s(s + ) h = 3 4 h s = där vi uteslutit lösningen s = 3 eftersom s 0 Fysikalisk relevans: Matriserna S x, S y, S z utgör en matematisk representation av spinnfrihetsgraden hos en spinn partikel, som till exempel en elektron 4

15 Partikel i lådpotential 0 (a) E = 3,7 0 3 ev (b) λ =, 0 4 m Infraröd foton (a) Trigonometrisk formel ger på intervallet 0 x a: φ(x) = N sin(πx/a), vilket vi känner igen som första exciterade tillståndet för en partikel i en lådpotential med kantlängden a (b) Energiegenvärde: E = E = 4π h ma (c) N = 8 a x = a a π n 0,89 a då n Notera att dispersionen växer med n, men är alltid mindre än lådans kantlängd 3 v x = π h ma n 3 04 n m/s m/s n Grundtillståndet: φ (x, y, z) = Första exciterade tillståndet: φ (x, y, z) = ( ) 8 πx abc sin sin a ( ) 8 πx abc sin sin a ( ) πy sin b ( ) πy sin b ( ) πz c ( ) πz c 5 γ = minimerar energin för grundtillståndet γ = eller γ = minimerar energin för första exciterade tillståndet Harmonisk oscillatorpotential 6 (a) ω = h ma (b) E = hω = h ma =, rad/s =,0 0 9 J = 069 ev 7 Direkt insättning i Schrödingerekvationen: h d ( ) m dx ψ(x)+ mω x ψ(x) = h λ m ψ(x)+ mω h λ x ψ(x) = Eψ(x), m vilket ger λ = mω h och E = h λ m = hω 5

16 8 x = 3 h och p mω x = 3 hmω x p x = 3 h > h 9 (a) Klassiska vändlägen för kvantmekaniska nollpunktsenergin hω: h x ± = ± mω = ± α (b) P (x < x, x > x + ) = π e s ds 5,7% Det numeriska värdet kan beräknas numeriskt, alternativt kan man använda att integralen är direkt relaterad till den tabulerade funktionen erf(x) [ function] 30 Energier: E nx,n y = (n x + n y + ) hω, n x, n y = 0,, ; degenerationsgrad = n x + n y + 3 x min = /6 σ Energisplittringen för lågt liggande egentillstånd: 8ɛ E = h /3 mσ 7,0 0 4 ev 3 [D] = energi [a] = (längd) V (x) 0 = V (x 0 ) Energisplittringen för lågt liggande egentillstånd: α D E = h m Väteatomen, impulsmoment 33 N = πa Generella uttrycket: E n = 3,6 n ev E s = E = 3,6 ev, E s = E p = E = 3,4 ev, E 3p = E 3d = E 3 =,4 ev Generella uttrycket: λ = hc Detta ger E λ 3d p = λ 3p s = 6, 0 7 m, λ p s =, 0 7 m 6

17 35 (a) V eff (r) för l = 0 är monotont avtagande då r 0 V eff (r) för l 0 har minimum vid r = l(l + ) 4πɛ 0 h µe = l(l + )a 0 V eff (r) 0 då r samt V eff (r) då r 0 Med andra ord kan bara s-tillstånden vara nollskillda i r = 0 (b) Då V eff (r) när r 0 för l 0 måste R l 0 (r) 0 för att inte energin ska divergera Då V eff (r) 0 när r 0 för l = 0 kan R l=0 (r) konstant 0 utan att energin divergerar 36 Med E 0 = 3,6 ev får vi a = 3E 0 / n och b = E 0 / n 3 Numeriskt med n = 60: ω = b/ h =,9 0 rad/s 37 (a) s-orbitalen: R 0 (r) ( ) r a 0 e r/a 0 = 0 r = a 0 (en nod) (b) 3s-orbitalen: R 30 (r) ( ) 6 9r e 3r/4a 0 = 0 r = a 0 ( ± 3 ) (två noder) a 0 + 9r 4a 0 38 (a) /ˆr = /a 0 (b) E s = E = e 8πɛ 0 a 0 och V = e 4πɛ 0 /ˆr = ˆT V = E s V V = e 4πɛ 0 a 0 ger Detta är i linje med virialteoremet som säger att om potentialen har formen ˆT = b V V (x) = ax b 39 s n =, l = m = 0, vilket ger r = 6a 0 p n =, l =, m =, 0,, vilket ger r = 5a 0 Den radiella osäkerheten är således 9 % mindre för p än för s 40 p z svarar mot n =, l = och m = 0 Formelsamling ger vinkeldelen Y,0 = 7 3 4π cos θ

18 och radiella delen R, (ρ) = 4 där ρ = r/a 0 Direkt insättning ger ˆr = 3 4π 4a a 3/ 0 Notera att svaret har dimension (längd) 4 s ẑ s = 0 s ẑ p z = a 0 4 Energiuttrycket: ρe ρ/, π π r dr cos θ sin θdθ dϕ 0 0 r r e r/a 0 = a 0 E pq = π h p ml + h q, p =,,, q =,, 0,, mr0 E z = E,q E,q =, 0 6 ev E θ = E p, E p,0 = 3,4 ev Den longitudinella kvantiseringen är med andra ord försumbar jämfört med den transversella kvantiseringen 43 Energiuttrycket: E = E E 0 = E l = h l(l + ) mr, l = 0,,, h mr = 0,4 ev 44 Degenerationsgraden g n för n = är g = 8 För godtyckligt n får vi g n = n 45 p z svarar mot n =, l = och m = 0, vilket ger ˆL z = ψ,,0 ˆL z ψ,,0 = ψ,,0 ψ,,0 m h m=0 = 0, ˆL = ψ,,0 ˆL z ψ,,0 = ψ,,0 ψ,,0 l(l + ) h l= = h, eftersom ψ,,0 är en normaliserad egenfunktion till både ˆL z och ˆL 46 (a) Schrödingerekvationen: ( h ) l(l + ) ĤY l,m (θ, ϕ) = + µbm h Y (θ, ϕ) I 8

19 (b) Uppgift (a) ger allmänna uttrycket för energiegenvärdena: ( h ) l(l + ) E l,m = + µbm h I Om l = kan m anta värdena, 0, Detta ger: E, = h I µb h, E,0 = h I, E, = h I + µb h Approximationsmetoder 47 (a) E () = ef 0a (b) E (0) = π h = 0,4 0 ev; E () ma = 0,5 0 6 ev Med andra ord, E () är en faktor 0 4 mindre än E (0), vilket betyder att första ordningens störningsteori ger en god approximation till den exakta grundtillståndsenergin 48 E () = V 0 Om V 0 π h så ger första ordningens störningsteori ger ma en god approximation till den exakta grundtillståndsenergin 49 (a) [β] = energi/(längd) 4 (b) E () 0 = 3β = 3β h 4α 4 4m ω (c) Om β m ω 3 så ger första ordningens störningsteori en god 3 h approximation till den exakta grundtillståndsenergin 50 (a) Jämförelse med standarduttrycket: mω = D a E D 0 = = hω h ma (b) Första ordningens energikorrektion: E () 0 = α π + = 7D a 4 3 4α 4 = 9 ( D a 3 x3 + 7D a 4 x4 7 h 3ma, ) e α x dx

20 där vi utnyttjat att x 3 e α x är en udda funktion Grundtillståndsenergin till första ordningen i störningen: 5 (a) E () = π4 h 4 π h + π4 h 4 ma (b) E () E 0 E (0) 0 + E () 0 = D h ma + 7 h 3ma Energin till första ordningen: E 8m 3 c a 4 E (0) + E () 8m 3 c a 4 /E (0) = π h 4m c a 3, Energin till första ordningen i störningen: Exakta energin: E n E n (0) + E n () = e Z ( + ) 8πɛ 0 a 0 n Z E n = e (Z + ) 8πɛ 0 a 0 n = e Z ( + 8πɛ 0 a 0 n Z + ) Z = Vi ser att första ordningens störningsteori ger en god approximation till den exakta energin om Z 53 Störning: δv (r) = e ( e r/r 0 ) 4πɛ 0 r Detta ger första ordningens energikorrektion: ( E () s = e πɛ 0 a 0 ( + a 0 /r 0 ) ) 4 Om r 0 a 0 så E () s E (0) s a 0 r 0 54 E(λ min ) = hω för ψ λ(x) = e λx E(λ min ) = 3 hω för ψ λ(x) = xe λx Notera att de två minimumenergierna är E 0 och E för oscillatorn 55 Energifunktion: E(λ) = h λ 4m + k λ Minimering: ( h k ) /3 E(λ min ) = 3 4m 0

21 56 Energifunktion: Minimering: E(λ) = 3 h µ λ e πɛ 0 π λ/ E(λ min ) = µe4 π 3 ɛ 0 h Jämförelse med exakta grundtillståndsenergin E : E(λ min ) E E = 8 3π 5%