Föreläsning 3 Heisenbergs osäkerhetsprincip

Transkript

1 Föreläsning 3 Heisenbergs osäkeretsprincip Materialet motsvarar Kap.1,.,.5 and.6 i Feynman Lectures Vol III + Uncertainty in te Classroom - Teacing Quantum Pysics K.E.Joansson and D.Milstead, Pysics Education 43(008)

2 Heisenbergs osäkeretsprincip Heisenbergs mikroskop Ett tankeeperiment med ett "perfekt" mikroskop För att använda mikroskopet beöver man ljus. En elektron befinner sig nära punkt P. En fotonkälla S sänder ut en foton som väelverkar med elektronen. Efteråt passerar fotonen genom linsen. Optiska lagar den bästa upplösningen π os en lins: λ (om θ ) 4 Fotonen förlorar rörelsemängd under kollisionen med elektronen. Fotonens rörelsemängd innan kollisionen: p =. λ Fotonens rörelsemängd efter kollisionen: 0 < p <. λ Osäkereten i elektronens läge: λ Osäkereten i elektronens rörelsemängd: p λ p (Heisenbergs osäkeretsprincip) mikroskop

3 Heisenbergs osäkeretsprincip Elektronen kan lokaliseras inom ett avstånd För att göra detta beöver vi ge den en knuff förlorar vi kunskap om dess rörelsemängd! p. ( p) För att minska måste vi öka p (sänka λ). Därför oc vice versa. Heisenbergs mikroskop ger den "bästa" osäkereten. Ett mer generellt sätt att skriva Heisenbergs osäkeretsprincip: p ; y p ; z p y z Detta är naturens grundläggande restriktioner om ur väl vi kan bestämma en partikels läge oc rörelsemängd.

4 Ett nytt sätt att tolka diffraktionsmönstret Skjut en elektronstråle med konstant rörelsemängd mot en vägg med en smal spalt med bredden a. Istället för ett diffraktionseperiment betrakta detta som ett sätt att en mäta en elektrons läge! Vi vet att en elektron som gick genom spalten blev lokaliserad inom. Genom att få kunskap om läget måste vi förlora information om elektrons rörelsemängd spridning i ektronens rörelsemängd py = ( ankommande rörelsemängd) λ p p λ sinθ tan θ= = = p y p λ = spaltens bredd = a. p asinθ = λ Detta är ekv för det första minimat som vi ärledde från vågprinciper.

5 Osäkeretsprincipen kan skrivas som p, p, p, p π 4π oc p, p, p, p. π 4π (de motsvarar den lägsta osäkereten) 1 1 Vi bryr oss inte om etra, faktorer - man gör ungefärliga π beräkningar med osäkeretsprincipen.

6 Det billigaste sättet att vinna ett Nobelpris Glöm dyra partikelacceleratorer i Genève! Hitta på ett eperiment som i princip kan mäta en partikels läge oc rörelsemängd med en noggrannet som är bättre än osäkeretsprincipen. Ett Nobelpris oc en bonuspoäng på tentan.

7 Tolkning Olika "korrekta" sätt att tolka osäkeretsprincipen p. (1) Eperiment. Det är omöjligt i princip att itta på ett eperiment som kan mäta en partikels oc p med en noggrannet bättre än p.detta eftersom ett eperiment kommer att störa partikeln. () Konceptuellt Om vi vet att en partikel ligger inom en viss distans (t.e. en elektron som är bunden till en väteatom som ar storleke n r partikelns rörelsemängd ar en osäkeret p m ) måste

8 Problem Uppskatta den möjliga rörelsemängden som en proton i en guldkärna kan anta. Har protonen en unik våglängd? 13 En guldkärnas radie 10 m En proton måste befinna sig inom ett område m p 10 kgms Anta en symmetrisk rörelsemängdsfördelning. p p/ p/ p 0 1 Typisk rörelsemängd kgms. Om vi ade, t.e guldkärnor skulle en mätning av en protons rörelsemängd i varje kärna ger 1000 olika resultat. p = p 0 λ 0. λ p

9 Problem Betrakta en elektron inom en atom. Skulle elektronen i vila om temperaturen vore den absoluta nollpunkten (0K).

10 Att beräkna amplituden Fyra av kvantfysikens grundläggande idéer: (1) En partikel beter sig som en våg () En mätning av en partikels egenskaper är en ändelse. För varje finns det en amplitud. (3) Sannoliketen att en ändelse äger rum = amplitud (4) Osäkeretsprincipen: p. ändelse Kan vi använda dessa principer för att ärleda oc studera några enkla fall? amplituden för

11 En fri partikel Föreställ dig ett antal identiska fria partiklar oc betrakta rörelse i endimension. En fri partikel påverkas inte av någon kraft. För att lokalisera en partikel används en kraft t.e. en elektron i en atom fångas av den elektromagnetiska kraften. Vi ar ingen aning om en fri partikels läge - sannoliketen för att itta en fri partikel är konstant i rummet ψ = konstant dvs den beror inte alls på, t. p = 0 λ = 0 fripartikeln ar en unik våglängd. Kan vi itta en amplitud som uppfyller dessa krav? Vi prövar ψ = Ae Sannoliketen ψ ( ωt) i k ( ω ) ( ω ) i k t i k t = Ae Ae = A = konstant =. sannolieten att itta partikeln på jorden = sannoliketen på Jupiter Dessutom ar vi en välbestämd rörelsemängd : k = 0 λ = 0 ; p = 0. Bra!!! Vi ar ittat en amplitud som är baserad på våra grundläggande idéer.

12 En fri partikel Amplituden för att itta en fri partikel längs -riktningen: ψ (, t) = e ( ωt) i k Sannoliketen att itta partikeln inom en kort distans mellan oc + d. (, ) i( k ωt ) i( k ωt ) P = t D = e e D = D ψ ( ψ (, t) = sannoliketstätet ) D :

13 En fri partikel t=0 fotografera vågen Två komponenter: Reella oc imaginära. i( k ωt ) ψ = e = k ωt + i k ωt cos( ) sin( ) En välbestämd monokromatisk komple våg. Reelldelen Imaginärdelen Glöm inte att ψ inte ar någon fysikalisk betydelse. Sannoliketstäteten ψ ar fysikalisk betydelse. Sannoliketstättet

14 Lokaliserade partiklar Den fria partikeln är en ypotetisk partikel. Betrakta någonting mer realistiskt. T.e. en elektron i en TV-apparat : Vi vet att < p 0 p = k = k 0, λ 0. λ Partikeln kan a olika våglängder.

15 Pröve med amplituden: 1 ( cos cos ) ( sin sin ) ik1 ik ψ = Ae + Ae = A k1 + k + i k1 + k k = 10, k = 11 vid t = 0 dvs vi vill undersöka partikelns möjlika lägen vid en viss tidpunkt. π π k1 = 10 λ1 = = 0.68 k = 11 λ1 = = Två vågor med liknande våglängder. Nu måste vi summera dem.

16 Betrakta imaginärdelen summan: sin ( k ) sin ( k ) + Individuella vågor: sin ( k1),sin ( k) 1 vågpaket När vi summerar dem får vi en ny våg. Den nya vågen ar inte en välbestämd våglängd.

17 summan: sin ( k ) sin ( k ) + Individuella vågor: sin ( k ),sin ( k ) 1 1 Superposition av två sinusvågor med vågtalen k ( k ) + ( k ) = ( k ) ( k) ( k0) ( k) 1 sin sin sin cos k = = 1 k = = sin cos oc k. k + k vågtalens medelvärde k k osäkereten/ spridningen av vågtalen oscilleringen inom vågpaketet oscilleringen av vågpaketet

18 ψ A cos( k ) cos( k) ψ A styr oscilleringen Betrakta en partikel som vågpaketets "längd" En alvcykel k = π k = p p = π ψ ar ingen fysikalisk betydelse!!! ψ ψ ψ ik = Ae + Ae 1 ( cos cos ) ( sin sin ) sannoliketstätet - detta kan vi mäta! = A + ik = A k1 + k + i k1 + k = ik1 ik ik1 ik ( )( ) = A e + e e + e e ( ) ( ) + e i k k i k k 1 1 ( + cos( )) =A k representeras av vågpaketet. = osäkeret i : osäkeretsprincipen.

19 p Summan av många sinusvågor Sinusvåg 4 sinusvågor samt summan 8 sinusvågor samt summan 3 sinusvågor samt summan 18 sinusvågor samt summan En lokaliserad partikel består av många sinusvågor med olika våglängder Om vi vill lokalisera partikeln måste vi förlora information om partikelns To know were it is we must lose information on its wavelengt/momentum rörelsemängd enligt osäkeretsprincipen: p >

20 Sammanfattning om osäkeretsprincipen (1) Det är omöjligt i princip att itta på ett eperiment som samtidigt kan mäta en partikels läge oc rörelsemängd med en noggrannet bättre än p > för att eperimentet stör systemet. () En partikel beter sig som en våg. Amplituden för att itta en partikel vid en viss punkt kan skrivas som en superposition av olika vågor: ψ = ψ + ψ En partikels läge oc våglängd (rörelsemängd) 1 är inte väldefinierade - partikeln ar spridningar i oc p enligt p > osäkeretsprincipen är en följd av våg-partikeldualitet. Två olika (men korrekta) sätt att tolka osäkeretsprincipen.

21 Följder Vi kan aldrig beräkna eller mäta samtidigt en partikels rörelsemängd oc läge med oändlig precision. Har en partikel eakta värden på rörelsemängd oc läge även om vi inte kan beräkna eller mäta dem? Vår intuition säger ja!. Kvantfysiken säger (förmodligen) nej!.

22 En annan osäkeretsprincip Vi ärledde k π ( p ) genom att summera olika vågor med 1 ik ik3,,... 0 ik formen e e e Vi gjorde detta vid en viss tidpunkt t = Vi kan också betrakta vågor vid en viss position = 0 oc summerar olika vågor med formen iω i e e e 1 ω iω3,,... Via symmetry får vi ω t π ( E t ). Tolkningen av E t : Under en kort period t kan det ser ut som om energin inte bevaras. E är mängden energi som kan "lånas" av en partikel. t är inte en osäkeret i tid. Det änder aldrig att energin inte bevaras men det kan se ut som detta uppstår.

23 Potentialbrunn I den klassiska världen... En boll rör sig med astiget v oc kinetisk energi 1 mv i en brunn. För att rulla ur brunnen... Kinetisk energi vid botten > Potentiell energi på ytan. 1 mv > mg Bollen måste passera genom en energibarriär. 1 Om mv < mg kommer bollen att rulla tillbaka. m v ytan

24 Kvanttunnling U T + α En α-partikel (= He kärna) kan emitteras från en kärna. 4 Processen änder inte ofta för att α-partikeln är fångad inom kärnan p.g.a. den starka kraften. α-parti keln befinner sig i en potentialgrop. Energi Inne i kärnan Ute α-partikeln ar en typisk kinetisk energi 19 ( ) 5 MeV. 1 ev = J. Potentialbarriären 30 MeV. α 1 -partikeln studsar fram oc tillbaka inom kärnan ( 10 gånger per sekund). Den kan tunnla genom barriären. 38 Sannoliketen 10 att en α-partikel som träffar barriären går genom. Det änder ändå! Under kort tid t ser det ut som om en α-partikel "lånar" energin E som krävs för att passera. t

25 Sammanfattning Heisenbergs osäkeretsprinciper p > Två olika sätt att tolka En följd av en partikels vågbeteende E t > förklarar kvanttunnling oc radioaktivt sönderfall (α)