Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37
|
|
- Ulla-Britt Göransson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37
2 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 2/37
3 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 3/37
4 Formalism I Vi har tidigare tittat på specifika system (en given potential t.ex.) och ibland bevisat egenskaper för detta system (osäkerhetsrelationen t.ex.). Vi vill nu införa en mer generell abstrakt formalism för att hjälpa oss att formulera kvantmekaniken mer kraftfullt. En av många fördelar är att vi kan formulera många problem på ett mer generellt sätt och vi kan ofta utföra bevis en gång för alla istället för för varje givet problem. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 4/37
5 Vågfunktionen och operatorer Hittills har vi i kvantmekaniken sett vågfunktionen Ψ(r, t) beskriver systemets tillstånd vid en given tidpunkt operatorer Ô beskriver observabler (eller gör något annat med vårt tillstånd) Istället för att betrakta tillstånden som en vågfunktion Ψ(r, t), låt oss nu beteckna dem med en tillståndsvektor, en ket: α OBS! α är inte en variabel utan en beteckning! Vi väljer den till vad vi vill så att vi kan identifiera vårt tillstånd. Detta sätt att beteckna tillstånden kallas Dirac-notation och vi kommer att utveckla den mer och använda den i denna kurs. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 5/37
6 Exempel på kets Exempel Exempel på kets kan vara α, mitt tillstånd, f, ψ,, 1, 1, 2, +,, etc Ofta väljer vi egenvärdet eller något liknande som beteckning. Det viktiga är att vi väljer något som är tydligt (och helst inte för långt). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 6/37
7 Frågedags Fråga 1 Betrakta ett kvantmekaniskt system som beskrivs av en vågfunktion Ψ(r, t) och där vi har en operator Ô som beskriver en observabel. Vilket av följande påståenden är korrekt? 1 Operatorn Ô beskriver också systemet. 2 Vi kan välja att beteckna vårt tillstånd α, vilket också beskriver systemet. 3 Vi måste välja om vi ska beteckna vårt tillstånd Ψ(r, t) eller α (dvs vi kan inte använda båda beteckningarna samtidigt). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 7/37
8 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 8/37
9 Representation av tillståndsvektorer I Ibland kan det räcka att ha tillstånden beskrivna så abstrakta, men ofta vill vi kunna representera dem på något annat sätt. Tidigare har vi nästan alltid valt att representera tillstånden som funktioner, men ofta är det naturligare och enklare att representera tillstånden som vektorer. Betrakta ett system med N ortonormerade tillstånd. Vi kan då skriva egentillstånden (egenvektorerna) som e n ; n = 1,..., N där { e n } utgör en ortonormerad bas av egenvektorer. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 9/37
10 Representation av tillståndsvektorer II Låt oss nu skriva ett tillstånd α som en linjärkombination av dessa: N α = a n e n n=1 där a n = komplext tal, utvecklingskoefficient α är normerad om N a n 2 = 1 n=1 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 10/37
11 Representation av tillståndsvektorer III En naturlig representation av α är då α a = a 1 a 2 a 3. a N dvs vi representerar α som en kolumnvektor. Vi använder ofta beteckningen α synonymt med a då det oftast är uppenbart vad vi menar. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 11/37
12 Tillstånd representerade som funktioner I Även för tillstånd som vi vill representera som funktioner (dvs som för tillstånden vi har stött på i tidigare kurser) är Dirac-notationen bra. Betrakta två tillstånd som representeras av funktioner: f f (x) g g(x) Inre produkten skrivs då f g = b a f (x)g(x)dx (där f och g är definierade i intervallet [a, b]). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 12/37
13 Tillstånd representerade som funktioner II Exempel: Oändliga potentialbrunnen Betrakta den oändliga potentialbrunnen, { 0, 0 x a V (x) =, annars Sedan tidigare vet vi att lösningarna är ψ n (x) = 2 nπx sin a a ; n = 1, 2, 3,... Även om vi har oändligt många egentillstånd N = och vektorrepresentationen därför är direkt olämplig kan vi fortfarande med fördel använda Dirac-notationen, n = ψ n ψ n (x) Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 13/37
14 Hilbertrummet För godtyckliga funktioner f och g kan det hända att inre produkten inte är väldefinierad. Om vi kräver att f och g är kvadratiskt integrerbara, dvs b a f (x) 2 dx < ; b a g(x) 2 dx < så spänner de upp ett rum som är mindre än rummet av alla funktioner. Detta rum kallas Hilbertrummet. För att våra vågfunktioner ska ha väldefinierade inre produkter kräver vi därför att Våra vågfunktioner lever i Hilbertrummet Då kan vågfunktionerna normeras så att ψ 2 dx = 1 och vi kan identifiera ψ 2 som en sannolikhetstäthet. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 14/37
15 Något om baser När f och g lever i Hilbertummet så är inre produkten f g alltid väldefinierad, f f = f (x) 2 dx = f 2 där f är normen av f. En bas { e n } är ortonormerad om e n e m = δ nm där δ nm är Kronecker-deltat (=1 om n = m, annars 0). Om vi uttrycker f i basen { e n } är den given av f = n c n e n Hur hittar vi c n? Jo, vi tar reda på hur mycket av e n som finns i f, dvs c n ges av c n = e n f Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 15/37
16 Frågestund Fråga 2 Betrakta två funktioner f och g som lever i Hilbertrummet. Om inre produkten mellan f och g är f g, hur skriver vi då inre produkten mellan g och f? 1 g f = f g 2 g f = f g 3 g f = f g Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 16/37
17 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 17/37
18 Representation av operatorer I Vi har sett att vi kan representera ett tillstånd α som en kolumnvektor a 1 a 2 α a = a 3. a N Men hur representerar vi då operatorerna? Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 18/37
19 Representation av operatorer II Betrakta två tillstånd α = n β = n a n e n ; a n = e n α b n e n ; b n = e n β Betrakta nu en operator ˆQ och antag att n β = ˆQ α b n e n = a n ˆQ e n n Tag nu inre produkten med e m, b n e m e n = a n e m ˆQ e n }{{} n n δ mn b m = a n e m ˆQ e n Q mn a n }{{} n n = Q mn Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 19/37
20 Representation av operatorer III Matriselementet Q mn e m ˆQ e n kallas matriselementet för ˆQ med avseende på e m och e n. Notera att ˆQ är en linjär transformation, b m = n Q mn a n dvs vi kan identifiera ˆQ med en matris Q. Vi har alltså transformationen b = Qa där Q = Q 11 Q Q Notera att vi talar om matriselementet av en operator även när vi har valt att representera våra tillstånd som funktioner. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 20/37
21 Linjär algebra När vi arbetar med operatorer och tillstånd som matriser och vektorer behöver vi linjär algebra. Egenvektorerna till en operator på matrisform är våra egentillstånd till operatorn. Samma relationer som gäller för matriser och vektorer gäller även våra kvantmekaniska operatorer och tillstånd Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 21/37
22 Frågestund Fråga 3 Om ˆQ är en godtycklig operator, vad gäller då helt generellt för den på matrisform, dvs vilket påstående är korrekt? 1 Q måste vara diagonal 2 Q måste vara reell 3 Q är en helt generell komplex matris Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 22/37
23 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 23/37
24 Mer om Dirac-notationen Vi skriver inre produkterna som α β Dirac föreslog att vi kan betrakta α som ett eget objekt, en bra, dvs Dirac-notation β ket α bra α β bra(c)ket Bra:n är som funktioner som bara väntar på något, t.ex. en ket eller operator, att verka på Jämför med operatorer När en operator verkar på en ket får vi en ny ket När en bra verkar på en ket får vi en skalär (ett komplext tal) Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 24/37
25 Kommentarer a) Om α representeras av funktionen f (x) kan bran representeras av α = f (x)[ ]dx där [ ] bara väntar på att fyllas med vad som kommer efter bran. b) Om α representeras av en kolumnvektor α = a 1 a 2. a N så representeras bran av en radvektor α = ( a 1 a 2 a N ) = (a ) T = a Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 25/37
26 Duala rummet och operatorer Våra bran lever i det duala rummet och beskriver våra tillstånd precis lika bra som våra kets. Att betrakta bran som egna objekt har många fördelar Vi kan t.ex. definiera en projektionsoperator ˆP α α ˆP plockar ut komponenten längs α av en godtycklig vektor och ger tillbaka en vektor av den storleken i riktningen α : ˆP β = α α β = ( α β ) α där α β är utvecklingskoefficienten som talar om hur mycket av α som finns i β. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 26/37
27 Enhetsoperatorn För ett godtyckligt tillstånd α kan vi i en ortonormerad bas { e i } skriva α = a i e i ; a i = e i α i Vi kan nu skriva om detta som α = e i α e i = ( ) e i e i α = e i e i α }{{} i ett komplext tal i i }{{} ˆ1 där vi har definierat Enhetsoperatorn ˆ1 i e i e i Enhetsoperatorn kan vi sätta in var som helst där det är praktiskt. Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 27/37
28 Operatorer och matriser I För en operator  kan vi då skriva  = ˆ1ˆ1 = e i e i  i j = e i A ij e j ij e j e j = ij e i e i  e j e j }{{} Matriselementet A ij Tidigare såg vi hur vi tar fram matriselementet från operatorn, nu vet vi hur vi tar fram operatorn från matriselementet. Notera att om basen { e i } är egenvektorer till  så är matrisen A diagonal, A ij = e i  e j = e i a j e j = a j e i e j = a j δ ij }{{} e j egentillstånd till  δ ij Enhetsmatrisen Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 28/37
29 Operatorer och matriser II Operatorn  är då given av a A = 0 a Dubbelsumman för  blir då också en enkelsumma,  = ij e i A ij e j = i e i a i e i Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 29/37
30 Egenskaper hos inre produkter Egenskaper hos inre produkter Betrakta två tillstånd α och β. Låt b vara ett komplext tal och ˆQ en operator. Vi har då att α bβ = b α β bα β = b α β α bβ = b α β Detta följer från definitionen av de inre produkterna. Man kan också visa att α ˆQβ = ˆQ α β Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 30/37
31 Frågestund Fråga 4 Vad är β α för något? 1 Inre produkten mellan β och α 2 En operator 3 En ket 4 En bra Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 31/37
32 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5 Observabler Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 32/37
33 Observabler I En obervabel är något vi kan mäta. Betrakta en operator för en observabel, ˆQ. Vi kan skriva väntevärdet som ˆQ = ψ ˆQψdx = ψ ˆQψ = ψ ˆQ ψ ˆQ verkar på ψ där vi ofta skriver det på den sista formen och då underförstår att ˆQ verkar åt höger. Men ˆQ är ju nu en observabel, väntevärdet måste då vara reellt, dvs ˆQ = ˆQ för en observabel Men vi kan nu skriva ˆQ = ψ( ˆQψ) dx = ( ˆQψ) ψdx = ˆQψ ψ ˆQ verkar på ψ Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 33/37
34 Observabler II För en observabel har vi alltså ψ ˆQψ = ˆQψ ψ, för alla ψ En sådan operator kallas hermitsk. Man kan visa att uttrycket ovan kan generaliseras till Teorem För godtyckliga ψ a och ψ b gäller då ˆQ är hermitsk att ψ a ˆQψ b = ˆQψ a ψ b Kom ihåg: Observabel reella väntevärden hermitsk operator, dvs Observabler representeras av hermitska operatorer Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 34/37
35 Hermitska operatorer Generellt har vi att ψ a ˆQψ b = ˆQ ψ a ψ b men för hermitska operatorer gäller att ψ a ˆQψ b = ˆQψ a ψ b dvs ˆQ = ˆQ för hermitska operatorer Hermitskt konjugat innebär komplexkonjugering och transponering så för operatorer på matrisform är det ganska lätt att kolla om en operator är hermitsk. För operatorer som inte är på matrisform får man istället undersöka vad som händer då de verkar på godtyckliga vågfunktioner f (x) och g(x). Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 35/37
36 Frågestund Fråga 5 Vilken eller vilka av följande operatorer är hermitska (flera val är möjliga)? Â = i 1 0 i i 3 + i 3 ; ˆB = 2 i 3 i ; Ĉ = 2 2i i 3i Ingen är hermitsk 2 Â är hermitsk 3 ˆB är hermitsk 4 Ĉ är hermitsk Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 36/37
37 Frågestund Fråga 6 Måste alla operatorer vara hermitska? 1 Nej, bara sådana som svarar mot observabler, dvs något vi kan mäta 2 Nej, men alla som dyker upp i kvantmekaniken är hermitska 3 Ja, alla operatorer är hermitska Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 37/37
1-1 Hur lyder den tidsberoende Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig längs x-axeln? Definiera ingående storheter!
KVANTMEKANIKFRÅGOR, GRIFFITHS Tanken med dessa frågor är att de ska belysa de centrala delarna av kursen och tjäna som kunskapskontroll och repetition. Kapitelreferenserna är till Griffiths. 1 Kapitel
Läs merKvantmekanik II - Föreläsning 10
Kvantmekanik II - Föreläsning 10 Degenererad störningsteori (tidsoberoende) Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se Kvantmekanik II Föreläsning 10 Joakim Edsjö 1/26 Degenererad störningsteori Innehåll 1 Allmänt
Läs merKvantmekanik II - Föreläsning 7
Kvantmekanik II - Föreläsning 7 Identiska partiklar Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 7 Joakim Edsjö 1/44 Innehåll 1 Generalisering av Schrödingerekvationen till fler partiklar
Läs merKvantmekanik II (FK5012), 7,5 hp
Joakim Edsjö Fysikum, Stockholms Universitet Tel.: 8-5537876 E-post: edsjo@physto.se Lösningar till Kvantmekanik II (FK51, 7,5 hp 3 januari 9 Lösningar finns även tillgängliga på http://www.physto.se/~edsjo/teaching/kvant/index.html.
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 8 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 19 Oktober, 2012 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1: Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2:
Läs merAtom- och kärnfysik med tillämpningar -
Atom- och kärnfysik med tillämpningar - Föreläsning 6 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se 10 Oktober, 2013 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1 : Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2
Läs merVektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.
Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merAndragradspolynom Några vektorrum P 2
Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merDugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7
Läs merGeometriska vektorer
Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merFöreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt
Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merSeptember 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och
Fö : September 3, 205 Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har i en riktning, och ii en nollskild längd betecknad P Q. Man använder riktade sträckor
Läs merKandidatarbete. Zakbaser. Handledare: Ingemar Bengtsson. Av: Emma Jakobsson
Kandidatarbete Zakbaser Av: Emma Jakobsson Handledare: Ingemar Bengtsson Sammanfattning Inom kvantmekaniken används oftast x - eller p-representationen för att beskriva kvantmekaniska tillstånd. I det
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merVersion 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg
Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merMatriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merIsometrier och ortogonala matriser
Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med
Läs mer1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.
KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merLinjär algebra kurs TNA002
Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merAnteckningar för kursen "Analys i en Variabel"
Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel" Simone Calogero Vecka 4 Viktig information. Dessa anteckningar är inte avsedda som en ersättning för kurs litteratur men bara som en kort sammanfattning av
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 31 Lärare Ove Edlund Föreläsningar
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merGRAM-SCHMIDTS METOD ... Med hjälp av Gram-Schmidts metod kan vi omvandla n st. linjäroberoende vektorer. samma rum dvs som satisfierar
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR GRAM-SCHMIDTS METOD Med hjälp av kan vi omvandla n st linjäroberoende vektorer vv vv nn i ett vektorrum till n st ortonormerade vektorer ff ff nn som spänner upp samma rum
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merKVANTMEKANIK SAMMANFATTNING Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail.
MW 6 oktober 0 KVANTMEKANIK SAMMANFATTNING Om du hittar fel eller oklarheter, skicka mig ett mail. Stern-Gerlach experiment SGZ: En mätning av S z ger något av de två möjliga resultaten S z = ± / som kallas
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merKvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015
2015-09-29 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) HT 2015 Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merMaj Lycka till! Sergei Silvestrov. 1. a) Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen T =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Matristeori Maj 2 Denna hemtentamen skall göras och redovisas enskilt. I övrigt är alla hjälpmedel tillåtna. Lösningar till uppgifterna lämnas in i
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merTentamen i Linjär algebra , 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merTENTAMEN I KVANTFYSIK del 1 (5A1324 och 5A1450) samt KVANTMEKANIK (5A1320) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 2007
TENTAMEN I KVANTFYSIK del (5A4 och 5A45) samt KVANTMEKANIK (5A) med SVAR och LÖSNINGSANVISNINGAR Tisdagen den 5 juni 7 HJÄLPMEDEL: Formelsamling i Fysik (teoretisk fysik KTH), matematiska tabeller, dock
Läs merKvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012)
2013-10-01 Kvantmekanik II, 7,5 hp (FK5012) Innehåll: Fördjupad kunskap om grundläggande begrepp och metoder inom icke-relativistisk kvantmekanik: osäkerhetsprincipen; Dirac-notation; rörelsemängdsmoment,
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 8
Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Examinator: Per Enqvist, tel: 790 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Amol Sasane, sasane@math.kth.se, Mikael Fallgren, werty@kth.se. Lämnas in till någon
Läs merBEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM
BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merFaktorisering med hjälp av kvantberäkningar. Lars Engebretsen
Faktorisering med hjälp av kvantberäkningar Lars Engebretsen 003-11-18 Bakgrund Vanliga datorer styrs av klassiska fysikens lagar. Vanliga datorer kan simuleras av turingmaskiner i polynomisk tid. Kanske
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 1
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination
Läs merMultiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0
Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer