Cykloiden och dess släktingar

Transkript

1 Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar (om vi betraktar en rät linje som en cirkel genom oändligheten). I det här dokumentet diskuterar vi kring sådana kurvor och upptäcker speciellt att just cykloiden har en hel del intressanta egenskaper som har att göra med hur en partikel, som endast påverkas av gravitationen, rör sig.

2 Cykloiden och dess släktingar 1 (9) 1 Introduktion Det här kapitlet handlar om en speciellt kurva som visar sig ha många intressanta egenskaper. De gamla grekerna ansåg att i en perfekt värld måste allt vara uppbyggt av räta linjer och cirklar, och de försökt t.ex. rekonstruera vad de, och före dem babylonierna, såg på himlavalvet med hjälp av cirklar. Det fungerade inte riktigt, så de fick arbeta med cirklar som roterar längs cirklar, s.k. epicykler. Vi ska inte närmare diskutera denna Ptolemaiska världsbild, utan istället titta närmare på vad som händer när vi följer en punkt på en cirkel som roterar längs en linje eller en cirkel. Grunden är att rotera en cirkel längs en linje alltså följa en fläck på ett däck som rullar på slät mark. Vilken kurva kommer den att ge upphov till? Svaret är den s.k. cykloiden, en kurva som visar sig ha en del förvånande egenskaper som har att göra med friktionsfri rörelse under inflytande av ett konstant gravitationsfält. Med konsekvenser för hur man bygger klassiska pendelur. Men att rulla en cirkel längs en linje leder till många variationer: vi kan variera var på cirkeln (eller t.o.m. utanför densamma) punkten ska sitta som vi följer. Vi kan också låta cirkeln rulla i eller på en annan, större, cirkel. Och även nu kan vi följa en punkt innanför eller utanför cirkel, fäst längs en (möjligen förlängd) radie på densamma. I det här kapitlet ska vi titta på lite grunder för detta, baserat på vilket man sedan kan göra många matematiska experiment och generera olika sorters kurvor mekaniskt eller med hjälp av ett grafiskt datorprogram. Vad är en cykloid? Om ett hjul rullar på en plan väg, och vi målar en vit fläck på sidan av hjulet, vilken väg kommer denna punkt då att röra sig? Om vi målar hjulets centrum, är svaret naturligtvis en rät linje, parallell med vägen. Men om vi målar fläcken en bit från centrum? Låt oss börja med fallet att vi sätter fläcken längst ut. Föreställ dig en cirkel med radien 1 som står på origo på den reella axeln. Dess medelpunkt ligger alltså i (0, 1) och vi låter den punkt på cirkeln som ligger i origo kallas P. Om cirkeln rullar åt höger så att centrum rör sig sträckan t, så roterar P medurs såsom illustreras i figuren nedan P t t P t Eftersom cirkeln har radien 1, gäller att den rullar lika långt som den roterat. Denna längd är i sin tur lika med avståndet mellan medelpunkterna för de två cirklarna. Alla

3 Cykloiden och dess släktingar (9) dessa tre storheter betecknas med t i figuren. Vi ska nu ge läget för punkten P i planet, när cirkeln har rullat sträckan t. Eftersom radien är 1, betyder det att den har rullat t längdenheter. Vi kan nu se läget som en summa av två vektorer: först går vi till medelpunkten som är i (t, 1) och sedan går vi från denna medelpunkt till punkten P. Tittar vi i figuren ser vi att den andra vektorn här har x-koordinat som är cos( 3π t) = sin t, medan dess y-koordinat är sin( 3π t) = cos t. Det följer att läget för P ges av c(t) = (t, 1) + ( sin t, cos t) = (t sin t, 1 cos t). Kurvan som definieras av parametriseringen t c(t) kallas en cykloid och illustreras i figuren nedan. Anmärkning Ett kanske snyggare sätt att härleda ekvationen för cykloiden är att använda sig av komplexa tal. Vi ska då addera vektorn som går från medelpunkten och vektorn från denna till P. Medelpunkten ges av t + i medan den andra vektorn har uppkommit genom att vi roterat i vinkeln t radianer, en vektor som vi kan skriva ( i)e it. I komplexa tal får vi alltså ekvationen c(t) = t + i + ( i)e it = t + i e i(π/ t). Omskrivet som par av reella tal är det samma ekvation som ovan. Så här långt har vi följt en punkt på randen till cirkeln. Men vi kan tänka oss att vi sätter punkten vi följer både inne i hjulet och utanför det. Kurvan punkten genererar ges då av ekvationen c(t) = (t r sin t, 1 r cos t), där 0 < r < 1 svarar mot en punkt inne i hjulet medan r > 1 svarar mot en punkt som ligger på en förlängd radie till hjulet. Figuren nedan illustrerar hur den genererade kurvan ser ut: den blå kurvan svarar mot ett r < 1 och den röda mot ett r > 1. Anmärkning Den röda kurvan visar att om vi har ett stag som går ut från centrum och är längre än hjulet, så kommer ändpunkten på den att då och då röra sig bakåt, trots att själva hjulet hela tiden rör sig framåt. Som ytterligare exempel, låt oss utvidga föregående exempel till en (liten) cirkel som rullar ovanpå eller inuti en annan (större) cirkel. Som aptitretare, antag att den lilla har

4 Cykloiden och dess släktingar 3 (9) en radie som är en tredjedel så stor som den stora cirkelns. Hur många gånger kommer den då att snurra runt medan den rullar ett varv runt den större? Tre gånger? Det stora hjulet har ju tre gånger så lång omkrets som det lilla! Självklart men fel! Det rätta svaret är fyra gånger, som vi nu ska se. Vi utgår ifrån en större, stillastående, cirkel med radien 1. På den placerar vi en mindre cirkel med radien r som illustreras i figuren till höger. Låt P vara den punkt som ligger längst bort ifrån origo på den lilla cirkeln. Den inses lätt ha x-koordinaten 1 + r och y-koordinaten 0. Rulla nu det lilla hjulet på det stora moturs. Låt t vara vinkeln mellan positiva x-axeln och medelpunkten på den lilla cirkeln som i figuren ovan. När det lilla hjulet har rullat t längdenheter på det stora, har det roterat ett antal radianer. Kalla det antalet θ. Sträckan på det lilla hjulet som legat mot är då r(θ t). Ur likheten r(θ t) = t får vi då att θ = 1 + r t. r Ur detta får vi så ekvationen för hur P rör sig: c(t) = (1 + r)(cos t, sin t) + r(cos( 1 + r r t), sin( 1 + r t)) r Anmärkning Än en gång blir detta mer kompakt och överskådligt om vi räknar med komplexa tal. Vi får då nämligen c(t) = (1 + r)e it + re 1+r r t. Speciellt har vi att då den lilla cirkeln har gått ett varv runt den stora, så har den roterat (1+r)/r varv. Tar vi som i inledningen r = 1/3 här, får vi att den lilla snurrat 4 varv. Den vänstra figuren nedan illustrerar detta fall. Försök att följa den snurrande lilla cirkeln och identifiera var linjen i den ligger som i utgångsläget. Den högra figuren illustrerar fallet r = 1/4. t P θ t θ t P

5 Cykloiden och dess släktingar 4 (9) Dessa två fall illustrerar vad som händer när vi tar r som ett rationellt tal. Då kommer vi att få en sluten kurva. Om vi emellertid tar r som ett irrationellt tal, så kommer vi att få en kurva som ligger tätt i området mellan enhetscirkeln och cirkeln med medelpunkt i origo och radien 1 + r. Anmärkning Med speciellt val av r får vi speciella kurvor med egenamn. Om vi t.ex. tar r = 1 får vi c(t) = e it + e it = e it ( + e it + e it ) 1 = (1 + cos t)e it 1, vilket betyder att kurvan t c(t) + 1 har den polära formen r = (1 + cos θ). En sådan kurva kallas en kardoid; en hjärtliknande kurva. Vi kan faktiskt ta 1 < r < 0 i diskussionen ovan. Det innebär endast att den lilla cirkeln kommer att snurra på insidan av den större. Figuren nedan visar de kurvor som uppkommer i specialfallen r = 1/4 och r = 1/3. Kurvor som uppkommer genom att en cirkel rullar utanpå en annan kallas epicykloider, de som uppkommer genom att en cirkel rullar inuti en annan kallas hypocykloider. Vi kan också lämna fallet r = 1/ en tanke: det resulterar i c(t) = (0, sin t), vilket blir ett stycke y-axel! Hur det är att åka längs en hypocykloid kan man uppleva på många nöjesfält i den karusell som ofta kallas tekoppen. Här sitter man på en plats i en tekopp som är fäst på en cirkelskiva som roterar när den snurrar längs karusellens yttre begränsning, som är en cirkel. Även för hypocykloiden gäller att vi får en sluten kurva om r är rationellt, annars fyller vi i princip ut området mellan två cirklar. 3 Cykloiden och gravitation Vi ska nu titta på några kanske lite oväntade egenskaper hos cykloiden. De handlar om hur fort saker som glider ner längs inverterade cykloider rör sig, när de endast påverkas av gravitationen.

6 Cykloiden och dess släktingar 5 (9) Men för att kunna göra den diskussionen börjar vi med att kort härleda hur båglängden beräknas på cykloiden. Båglängden beräknas ur formeln ds = c (t) dt, och eftersom c(t) = (t sin t, 1 cos t), har vi att c (t) = (1 cos t, sin t) c (t) = (1 cos t) + sin t = (1 cos t) = 4 sin t. Vi ser därför att båglängden längs cykloiden från origo till punkten c(t) ges av s(t) = t 0 c (u) du = t 0 sin u du = 4(1 cos t ). Här antar vi att t > 0; om t < 0 sätter vi in t i integralen. Slutformeln blir densamma. Betrakta nu den inverterade cykloiden (ges av c(t) = (t sin t, cos t 1)). Om vi låter en partikel glida ner längs den tills den når botten, hur lång tid tar det? Vi antar att partikeln, som vi ger massan m, endast påverkas av gravitationen. Speciellt ignorerar vi alltså eventuell friktion mot kurvan. Som tidsmått tar vi parametern t i parametriseringen ovan. Om vi släpper en partikel på en viss höjd, så kommer dess potentiella energi successivt att omvandlas till kinetisk energi. När den fallit avståndet h så har den då fått en hastighet som ges av sambandet 1 mv = mgh v = gh. Men hastigheten (som egentligen bör kallas farten) ges av v = ds/dt, där s är båglängden. Om vi startar i punkten (x 0, y 0 ) = c(t 0 ) på kurvan, så betyder det att vi har och alltså dt = ds dt = g(y 0 y(t)), ds g(y0 y(t)) = sin t dt g(cos t0 cos t). (1) Men cos t 0 cos t = (cos t 0 t cos ), och vi kan beräkna integralen vi får i högerledet genom att göra variabelbytet 1 g sin t dt cos t 0 cos t = g u = cos t cos t 0 : du = (C arcsin u) = (C arcsin cos t 1 u g g cos t ). 0 Med hjälp av detta kan vi nu integrera (1) från starttiden t 0 till t och få att t t 0 = g ( π arccos cos t cos t 0 ).

7 Cykloiden och dess släktingar 6 (9) Uttrycket t t 0 är tiden det tar att nå till punkten c(t) på kurvan från c(t 0 ), och sätter vi t = π, så ser vi att tiden att nå botten ges av π g. Det anmärkningsvärda med detta är att det inte beror av t 0, alltså i vilken punkt vi startar. Man säger att cykloiden är en tautokron. Om vi låter partikeln fortsätta förbi minimum så kommer den (av symmetriskäl) att glida upp till motsvarande höjd på andra sidan minimat och där stanna. För att naturligtvis åter, p.g.a. gravitationen, glida tillbaka mot minimum. På detta sätt får vi alltså en svängande rörelse som aldrig upphör (kom ihåg att vi ignorerar friktion, så det sker inga energiförluster). Det vi sett ovan är då att oavsett hur stora svängningarna är, tar de lika lång tid! Annorlunda uttryckt, om vi kan få en pendel i en klocka att svänga enligt en inverterad cykloid, så skulle den hålla samma tid oavsett hur stora pendelutslagen är. Vilket leder till frågan, hur kan vi få en pendelrörelse att följa en inverterad cykloid? Här kommer en annan av cykloidens egenskaper behändigt in, som vi nu tittar närmare på. Betrakta följande problem. Fäst ett snöre i origo och lägg det längs cykloiden till dess maximum. Dra sedan loss snöret från den senare punkten så att den successivt lossnar från cykloiden och den bit som är loss alltid är sträckt. Vilken kurva kommer snörets slutpunkt då att genomlöpa? L(t) P (t) c(t) Vi börjar med att konstatera från formeln för båglängden ovan att snörets längd ges av L = s(π) = 4. För att hitta koordinaterna för punkten P (t) i figuren ska vi nu gå sträckan L(t) = 4 s(t) = 4 cos t längs tangenten i punkten c(t). Riktningen vi ska gå längs är så vi ser att P (t) får koordinaterna e(t) = c (t) c (t) = 1 sin t (1 cos t, sin t), P (t) = c(t) + L(t)e(t) = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t sin t (1 cos t, sin t) = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t (sin t, cos t ) = (t sin t, 1 cos t) + (sin t, 1 + cos t),

8 Cykloiden och dess släktingar 7 (9) med andra ord P (t) = (t + sin t, 3 + cos t) = (π, ) + (t π sin(t + π), 1 cos(t + π)) = (π, ) + c(t + π). Det betyder att den sträckade kurvan är också en cykloid! Konsekvensen av detta för pendelproblemet får vi om vi vänder figuren uppochner. Pendeln hängs upp i origo och vi ser om dess upphängningssnöre begränsas i sin rörlighet av de två cykloiderna, så kommer den att röra sig längs en cykloid. Vilket betyder att svängningarna inte beror av hur stort utslaget är och alltså beror tiden (om detta sätts i ett pendelur) inte av hur stort utslaget är. Detta diskuteras mer ingående i dokumentet Den matematiska pendeln. 4 Brachistokronproblemet Cykloiden har ytterligare en egenskap, kopplad till gravitationen den är brachistokronen. Vad det betyder ska vi diskutera i detta avsnitt. En av de i matematiken berömda Bernouilli-bröderna, Johann, utmanade 1696 samtidens matematiker med ett problem som skulle visa sig bli mycket inflytelserikt. I Acta Eruditorum, den tidens viktigaste tidskriften, ställde han följande problem: en partikel glider friktionsfritt längs en kurva som förbinder två punkter A och B. Om den enda kraft som påverkar partikeln är gravitationen, längs vilken kurva ska den glida för att komma fram på minsta möjliga tid? Bernouilli skröt med att han hade en vacker lösning som han dock inte vill publicera direkt. Istället ville han att tidens matematiker skulle testa sina krafter på problemet. Speciellt utmanade han sin äldre bror Jakob, som han vid tiden låg i en bitter fejd med och som han officiellt hade betecknat som inkompetent. Det nya med problemet, som gjorde att det inte var direkt angripbart med den då nyligen upptäckta differentialkalkylen, vara att man inte skulle hitta den punkt en given funktion var minst i. Istället söker vi en hel funktion utifrån ett villkor på hur den ska se ut. Med tiden skulle en teknik utvecklas, idag kallad variatonskalkyl, som tar hand om denna typ av problem. Men den fanns inte i slutet av 1600-talet. Istället hade Johann ett bevis som inte skulle accepteras som bevis idag, men som ger ytterligare insikter om cykloiden. Vi ska därför diskutera hans lösning. Det som gör hans lösning icke-matematisk är att den använder observationer från fysiken. Det är två grundläggande observationer han använder: a) Hastigheten partikeln kommer att ha då den fallit höjden h kommer att vara lika med gh. Varför så är fallet har vi redan diskuterat. b) Ljus rör sig så att det alltid följer kortaste avståndet mellan två punkter, alltså når från den ena till den andra på minsta möjliga tid. Och den observationen leder till Snell s lag för hur ljus bryts i ett skikt med olika täthet (t.ex. luft och vatten).

9 Cykloiden och dess släktingar 8 (9) Vi börjar med att påminna oss Snell s lag som handlar om hur ljus bryts när det går mellan ett homogent medium till ett annat, såsom från luft till vatten. Det som gäller är att v 1 sin θ 1 sin θ = v 1 v där beteckningarna är som i figuren. Storheterna v i betecknar den hastighet som ljuset har i mediet ifråga. Vi ser att i figuren har vi att v 1 > v. För att hitta snabbaste vägen mellan A och B tänkte sig Johann nu att dessa punkter låg i ett material med varierande täthet. Mer precist, han skiktade området i delområden med bredd d, där han antog att varje band var homogent och i det hade ljuset konstant hastighet v k = gkd. I varje band kommer ljuset att gå längs en rät linje, så den kurva vi får är en polygonkurva. Vad Snell s lag ger oss nu är ett samband mellan v k och vinkeln θ k : θ 1 θ v A sin θ k v k = sin θ k+1 v k+1. θ k θ k v k θ k+1 v k+1 Sedan låter Johann d gå mot noll. Slutsatsen är då att uttrycket (sin θ)/v är konstant längs kurvan, där θ är vinkeln i fallriktningen. Vidare inser vi att när hastigheten är maximal, kalla den v m, så är θ = π/ (det är när vi kommer in i B), så konstanten är 1/v m. För att göra analys av detta noterar vi nu att om ds = dx + dy är bågelementet, så gäller att dx = ds sin θ och alltså att v m dx = vds. Om vi kvadrerar det får vi att v (dx + dy ) = v mdx och alltså (v m v )dx = v dy. Nu lägger vi in ett koordinatsystem lämpligt, nämligen så att A ligger i origo och B på nivån. Däremot bestämmer vi inte vilken x-koordinat som B har än så länge. Då kan vi ge ett uttryck för v i y, nämligen v = g( y) och vi får att v m = g. Sätter vi in det i uttrycket får vi att (4g ( gy)dx = g( y)dy, vilket efter rotutdragning blir + ydx = ydy. B

10 Cykloiden och dess släktingar 9 (9) Vi måste här välja minustecknet ty när x ökar ska y minska. Men detta är en separabel differentialekvation. För att lösa den börjar vi med att sätta + y = cos θ, vilket för över ekvationen till cos θdx = cos θ( 4 cos θ sin θ)dθ dx = 4 sin θdθ. Integrerar vi detta ser vi att vi får x(θ) = θ sin θ + C, där integrationskonstanten C = 0 eftersom θ = 0 svarar mot x = y = 0. Vidare har vi från början att y = (cos θ ) = 1 + cos θ = cos θ 1, så om vi inför t = θ som ny parameter ser vi att kurvan ges av vilket är precis den inverterade cykloiden. t (t sin t, cos t 1), Vi har nu alltså hittat den snabbaste vägen från origo till nivån och att då blir slutpunkten B = (π, ). Om slutpunkten istället är B = (a, b), så ändrar vi bara skalan på axlarna så att vi får kurvan som ges av t ( a π (t sin t), b (cos t 1)).