Mekanik FK2002m. Rotation

Transkript

1 Mekanik FK2002m Föreläsning 9 Rotation Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 9

2 Introduktion Idag ska vi börja titta på rotation. - Stela kroppar som roterar kring en fix rotationsaxel. Definiera vinkelhastighet och vinkelacceleration. Tröghetssmoment. Vridmoment. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 9

3 Vinkelposition Vinkelpositionen hos en referenslinje är vinkeln θ relativt en referensvinkel (som har vinkelposition 0). θ = s r där s är längden hos den cirkelbåge som sträcker sig från x-axeln till vår referenslinje, och r är cirkelns radie. Vinkelpositionen mäts i radianer (rad) eller grader ( ) 1 varv = 360 = 2π rad 1 rad = 57.3 = varv Vinkelpositionen nollställs inte när man gått ett helt varv runt cirkeln, utan 2 varv ger θ = 4π rad. SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 9

4 Vinkelförflyttning Ett föremål som roterar runt en fix axel så att vinkelpositionen ändras från θ 1 till θ 2, har genomgått en förflyttning θ = θ 2 θ 1. SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 9

5 Vinkelhastighet Ett föremål som har en vinkelposition θ 1 vid tiden t 1 och θ 2 vid tiden t 2 har en medelvinkelhastighet ω avg = θ 2 θ 1 = θ t 2 t 1 t Rotation motsols positiv vinkelhastighet. Rotation medsols negativ vinkelhastighet. Momentanvinkelhastigheten (kallas ofta bara vinkelhastigheten) är: θ ω = lim t 0 t = dθ dt Absolutbeloppet av vinkelhastigheten kallas vinkelfart. Enhet är rad/s. SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 9

6 Problem 2 What is the angular speed of (a) the second hand, (b) the minute hand, and (c) the hour hand of a smoothly running analog watch? Answer in radians per second. SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 9

7 Vinkelacceleration Om ω 2 och ω 1 är vinkelhastigheterna vid t 2 respektive t 1, blir medelvinkelaccelerationen: α avg = ω 2 ω 1 = ω t 2 t 1 t Momentanvinkelaccelerationen (kallas ofta bara vinkelaccelerationen) är: α = lim t 0 ω t = dω dt Enheten är rad/s 2. SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 9

8 Vektorformalism Kan vi använda vektornotation för att beskriva rotation? Ja! Representera vinkelhastighet som en vektor: - parallell med rotationsaxeln. - med längd proportionell mot vinkelfarten. - med rikting (positiv eller negativ) som ges av högerhandsregeln. Högerhandsregeln: Då fingrarna pekar i rotationsriktningen pekar tummen i hastighetsvektorns riktning. SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 9

9 Vektorformalism Att beskriva rotation med en sådan vektor kan kännas ointuitivt. Vi är vana att saker rör sig i vektorns riktning. Men fortfarande användbart eftersom många av fysikens lagar kan skrivas kompakt med hjälp av vektoroperationer. Varning: Rotationsoperationer (dvs vinkelförflyttningar) kommuterar inte. Betyder att ordningen spelar roll. SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 9

10 Vektorformalism SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 9

11 Specialfall: Konstant vinkelacceleration Precis som de ekvationer vi härlett för konstant linjär acceleration finns motsvarande för konstant vinkelacceleration. v = v 0 +at ω = ω 0 +αt x = x 0 +v 0 t+ 1 2 at2 θ = θ 0 +ω 0 t+ 1 2 αt2 v 2 = v0 2 +2a(x x 0 ) ω 2 = ω0 2 +2α(θ θ 0 ) x = x (v 0 +v)t θ = θ (ω 0 +ω)t x = x 0 +vt+ 1 2 at2 θ = θ 0 +ωt 1 2 αt2 SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 9

12 Problem 11 A disk, initially rotating at 120 rad/s, is slowed down with a constant angular acceleration of magnitude 4.0 rad/s 2. (a) How much time does the disk take to stop? (b) Through what angle does the disk rotate during that time? SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 9

13 Relation mellan linjära variabler och vinkelvariabler Position Om referenslinjen i en stel kropp förflyttas en vinkel θ så kommer en punkt på ett avstånd r från rotationsaxeln att flytta sig en sträcka s längs en cirkelbåge: s = θr (θ i radianer) (1) SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 9

14 Relation mellan linjära variabler och vinkelvariabler Fart Deriverar vi Eq. (1) får vi: ds dt = dθ dt r [ds dt = v, dθ ω] v = ωr (ω i radianer/s) (2) dt Omloppstiden för en punkt på avstånd r från rotationsaxeln: T = 2πr v [v = ωr] T = 2π ω (3) SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 9

15 Relation mellan linjära variabler och vinkelvariabler Acceleration Deriverar vi Eq. (2) får vi: dv dt = dω dt r [dv dt = a t, dω dt = α] a t = αr(α i radianer/s 2 ) (4) Den radiella komponenten av accelerationen ges av: a r = v2 r = ωr (ω i radianer/s) (5) SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 9

16 Problem 25 (a) What is the angular speed ω about the polar axis of a point on Earth s surface at latitude 40 N? (Earth rotates about that axis.) (b) What is the linear speed v of the point? What are (c) ω and (d) v for a point at the equator? SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 9

17 Kinetisk energi Den kinetiska energin hos ett roterande föremål kan beräknas genom att summera ihop den kinetiska energin hos alla dess beståndsdelar: K = 1 2 m 1v m 2v m 3v 3 + = 1 2 m ivi 2 i där m i är massan hos den i:te partikeln och v i är dess fart. Men v i är inte samma för alla partiklar eftersom farten beror på avståndet till rotationsaxeln. Sätter istället in ω = v/r: K = 1 2 m i(wr i ) 2 = 1 2 ( m i ri)ω 2 2 i i Uttrycket i parentesen kallas tröghetsmoment, I: I = i m i r 2 i och den kinetiska energin kan då skrivas: K = 1 2 Iω2 SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 9

18 Problem 33 Calculate the rotational inertia of a wheel that has a kinetic energy of J when rotating ar 602 rev/min. SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 9

19 Tröghetsmoment Om en kropp består av många partiklar är det omöjligt att använda en summa för att beräkna tröghetsmomentet. Övergår till en integral: I = r 2 dm Om vi vet tröghetsmomentet för en rotationsaxel som går genom kroppen masscentrum, I com så kan vi beräkna tröghetsmomentet för en godtycklig axel som är parallell med den första enligt: I = I com +Mh 2 där h är det vinkelräta avståndet mellan de två axlarna och M är kroppen massa. Kallas parallellaxelteoremet. SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 9

20 Tröghetsmoment Låt O vara masscentrum hos en oregelbundet formad kropp (se figur). Placera en axel genom O och en annan (parallell) axel genom punkten P (som har x = a,y = b). Tröghetsmomentet relativt axeln genom P blir: I = r 2 dm = [(x a) 2 +(y b) 2 ]dm = (x 2 +y 2 )dm 2a xdm 2b ydm+ (a 2 +b 2 )dm De två mittersta integralerna ger koordinaterna för masscentrum (multiplicierat med en konstant) som ju är noll. x 2 +y 2 = R 2, (avstånd O till dm), så första integralen blir I com. a 2 +b 2 = h 2 (se figur), så sista integralen är Mh 2. SARA STRANDBERG P. 20 FÖRELÄSNING 9

21 Tröghetsmoment SARA STRANDBERG P. 21 FÖRELÄSNING 9

22 Problem 43 The uniform solid block in Fig has mass kg and edge lengths a = 3.5 cm, b = 8.4 cm, and c = 1.4 cm. Calculate its rotational inertia about an axis through one corner and perpendicular to the large faces. SARA STRANDBERG P. 22 FÖRELÄSNING 9

23 Vridmoment En kraft F verkar i en punkt P vars position ges av vektorn r. Dela upp kraften i F r (radiell) och F t (tangentiell). Bara F t skapar en rotation. SARA STRANDBERG P. 23 FÖRELÄSNING 9

24 Vridmoment Hur stor rotationen blir beror dels på kraftens storlek, men också på avståndet mellan punkten P och rotationsaxeln. Vridmomentet, τ, inkluderar båda dessa effekter: τ = rf sinφ = rf t eller τ = rsinφf = r F där r är hävarmen för kraften F. Vridmoment lyder under superpositionsprincipen, vilket betyder att man kan lägga ihop alla vridmoment some verkar på en kropp till τ net. SARA STRANDBERG P. 24 FÖRELÄSNING 9

25 Problem 48 The length of a bicycle pedal arm is m, and a downward force of 111 N is applied to the pedal by the rider. What is the magnitude of the torque about the pedal arm s pivot when the arm is at angle (a) 30, (b) 90, and (c) 180 with the vertical? SARA STRANDBERG P. 25 FÖRELÄSNING 9

26 Newtons andra lag för rotation Newtons andra lag för rotation lyder τ net = Iα Bara F t som ger acceleration längs cirkelbanan, så F t = ma t Vi vet också att vridmomentet kan skrivas som: τ = F t r = ma t r = m(αr)r = (mr 2 )α = Iα eller mer generellt τ net = Iα SARA STRANDBERG P. 26 FÖRELÄSNING 9

27 Problem 56 Figure shows particles 1 and 2, each of mass m, attached to the ends of a rigid massless rod of length L 1 +L 2, with L 1 = 20 cm and L 2 = 80 cm. The rod is held horizontally on the fulcrum and the released. What are the magnitudes of the initial acceleration of (a) particle 1 and (b) particle 2? SARA STRANDBERG P. 27 FÖRELÄSNING 9

28 Arbete och kinetisk energi När ett vridmoment accelererar en stel kropp som roterar kring en fix rotationsaxel utför vridmomentet ett arbete W. Föremålets kinetiska energi K = 1 2 Iω2 kan ändras. Om bara den kinetiska energin ändras kan vi relatera K till W: K = K f K i = 1 2 Iω2 f 1 2 Iω2 i = W Vi kan också beräkna W enligt: W = θf θ i τdθ Om vridmomentet τ är konstant reduceras uttrycket till W = τ(θ f θ i ) Effekten ges av P = dw dt = τω SARA STRANDBERG P. 28 FÖRELÄSNING 9