Teorifrå gor kåp

Transkript

1 Teorifrå gor kåp Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså välj som g(x) nedn vid prtiell integrtion? f(x)g(x)dx = F(x)g(x) F(x)g (x)dx 3) Iblnd är det prktiskt tt inför fktorn vid prtiell integrtion. I vilk fll? 4) Hur löser mn integrler som hr nämnrens derivt i täljren, t.ex. hos: sin x tn x dx = cos x dx = Integrtionsmetoder vribelsubstitution och hntering v rtionell uttryck 5) Kedjeregeln bklänges med hjälp v substitution Vi sk bestämm cos(x ) x dx Låt oss kll y = g(x) = x för den inre funktionen, g (x) = x för den inre funktionens derivt och f(g(x)) = f(y) = cos(y) för den yttre funktionen Vribelbyte är i dett fll en smrt lösningstktik, då den inre funktionens derivt återfinns som en fktor intill den yttre funktionen. y = x dy Efter vribelskifte [ = x ] får mn betydligt enklre: dx dy = x dx cos y dy Hitt på ytterligre någr exempel som lämpr sig särskilt br tt lös med hjälp v vribelbyte.

2 6) Vid prtilbråksuppdelning skriver mn om rtionell uttryck, till fler men enklre sådn, vilk förhoppningsvis är enklre tt finn primitiv funktion till. Efter lämplig nsts finns i huvudsk två stndrdmetoder för tt finn prtilbråken. Vilk två? 7) Nednstående nsts kn skrivs om enligt: (x )(x 4) = x B x 4 som fri term B som fri term B(x ) = x 4 x 4 x (x 4) = x B Om mn på ett smrt sätt väljer värde på x så kn respektive B bestämms. Hur? 8) När mn bestämmer primitiv funktion till en integrnd som är ett rtionellt uttryck kn prtilbråksuppdelning eller polynomdivision vr en lämplig strt. Pr ihop integrnd ( j) med förslg på strt (I X): ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 5x (x)(x5) x 3 (x)(x5) 3x 7 (x )(x) x4 (x) (x5) x 9 (x)(x5) x 3x5 (x )(x) (x) 3 (x5) x5 (x 4x4)(x5) 48 (x 3 6x x8)(x5) 5x 3 (x 4x4)(x 0x5) I. nsts: xb II. III. IV. nsts: nsts: nsts: V. nsts: VI. VII. VIII. IX. nsts: nsts: xb D x x (x) B x (x) x5 B x (x) x5 B x x5 B D x (x) (x) 3 x5 B D x (x) (x) 3 x5 x x B D x (x) x5 (x5) Polynomdivision först X. Polynomdivision först

3 9) Nednstående två omskrivningr kn känns långsökt men är ändå intressnt. Vrför? ) b) x 9 dx = 9 x dx = 9 9 ( x dx 3 ) 6 x dx = dx = 6 ( x 6 ) 4 ( x dx ) 4 Integrtion v trigonometrisk uttryck och rottuttryck 0) Snrlik integrnder som innehåller trigonometrisk uttryck kn kräv väldigt olik tktik när mn vill finn ders primitiv funktioner. Pr ihop ( h) med en lämplig tktik (I VIII): I. Tktik: Förlängning med cos x, trigettn, ) cos x dx b) cos x dx c) cos 3 x dx d) cos 4 x dx e) cos 5 x dx f) cos x dx g) cos x dx h) cos 3 x dx vribelbyte och prtilbråksuppdelning II. Tktik: Direkt primitiv funktion III. Tktik: Trigformel dubbl vinkeln IV. Tktik: Trigettn och vribelbyte V. Tktik: Trigformel dubbl vinkeln två ggr eller Eulers formel de Moivres formel VI. Tktik: Trigettn och vribelbyte VII. Tktik: Förlängning med cos x, trigettn, vribelbyte och prtilbråksuppdelning VIII. Tktik: Direkt primitiv funktion ) I uppgift Ö6.4 (b) sk mn beräkn dx. 54 sin x Till hjälp finner mn exempel 5.35 på sid 65 i läroboken, med det till synes långsökt vribelbytet y = tn x. Undersök hur vribelbytet dessutom ger: 4 ) dy y y y = dx b) cos x = c) sin x = y y

4 ) Vid integrtion med funktioner innehållnde trigonometrisk uttryck, kn mn med fördel let efter inre funktioner och särskilt inre derivtor. Dett för tt mn, med ett väl vlt vribelbyte, sk erhåll en integrl som är enklre tt lös. Studer följnde: e sin x sin x cos x dx Ovn kn mn med fördel välj vribelbytet y = sin x bsert på den inre funktionen. Fullfölj vribelbytet genom tt bl.. bestämm den inre derivtn dy och upptäck tt mn dx erhåller klrt enklre: e y dy 3) Repeter stndrdprimitivern (g k) i sts 5. på sid 39 i läroboken. 4) Studer de två lösningrn nedn, för beräkning v x behärsk. ) Lösningsmetod hämtd från föreläsning : y = x x x dx = dy dx = x [ dy = x dx] x y = x dx. Båd metodern är viktig tt = y dy b) Lösningsmetod hämtd föreläsning : x = sin y x x dx = dx = cos y dy [ dx = cos y dy] Bestämd integrler = sin y cos y = sin y dy sin y cos y dy = sin y dy = cos y cos y = sin y = x 5) Förklr begreppen: ) Undertrpp b) Övertrpp c) Undersumm d) Översumm

5 6) Låt funktionen f vr definierd på intervllet [, b]. Vd gäller för differensen melln undersumm och översumm om f skll vr integrerbr på dett intervll? 7) Om f(x) är integrerbr då x [, b] så finns det exkt ett tl sådnt tt följnde olikhet lltid gäller: b b undersummn = Φ n (x)dx Ψ n (x)dx = översummn Vd klls tlet och hur beteckns det? Se sts 6.. 8) Repeter räknelgrn (-e) i sts 6.. π 9) Sts 6.3 räcker ej för tt vis tt integrlen sin x dx existerr; funktionen är ej monoton 0 inom dett intervll. Vilken räknelg ur sts 6. måste sts 6.3 kompletters med? Smbnd melln integrler och derivtor 0) Nämn en tillräcklig egenskp hos en funktion f för tt den sk vr integrerbr på intervllet [, b] se sts 6.4. ) Kompletter Medelvärdesstsen för integrler (sts 6.5) med en förtydlignde figur och förklrnde text. ) Studer figur 6.9 tillhörnde nlysens huvudsts (sts 6.7). Vr i figuren finner mn (x h) respektive S(x)? Enbrt differensen S(x h) S(x) är mrkerd i figuren.

6 3) Det vckr beviset v nlysens huvudsts (Sts 6.7) innehåller hänvisningr till olik stser och definitioner vilk tidigre tgits upp. Slå upp dess i läroboken och kontroller tt du förstår vrje mellnled i denn del v beviset: Enligt derivtns S S(x h) S(x) (x) = [ definition ] = lim = lim (S(x h) S(x)) h 0 h h 0 h Definition 4. Enligt definitionen = [ v S(x) i inledningen] = lim h 0 h ( v ktuell sts xh f(t) x dt f(t) dt) Enligt räknelg = [ 6. (e) för ] = lim h 0 h integrler x ( f(t) dt xh f(t) x x dt f(t) dt) = lim h 0 h xh f(t) x dt Enligt = [ medelvärdesstsen] = lim f(ξ) ((x h) x) = lim h 0 för integrler h h 0 h f(ξ)h Tck vre = lim f(ξ) = [ instängning v ξ ] = lim f(ξ) h 0 ξ x melln x och x h Tck vre tt f = [ är kontinuerlig i x ] = f(x)

7 4) Vilk är förutsättningrn för tt insättningsformeln (sts 6.8) sk gäll? 5) Krzysztofs formel kllr vi denn formel ψ(x) d dx f(t)dt = f(ψ(x))ψ (x) f(φ(x))φ (x) φ(x) med den kontinuerlig funktionen f(t) smt deriverbr funktionern ψ(x) och φ(x) som integrtionsgränser. Denn formel är utförligre än formeln i nlysens huvudsts. På vilket sätt är denn formel extr krftfull? 6) På vilket sätt skiljer sig förutsättningrn i sts 6.9 (Prtiell integrtion) från tidigre sts 5.4? 7) Vrför är integrtionsgränsern och istället för och b i högerledet i sts 6.0? Generliserde integrler 8) Sts 6.4 säger om en funktion är kontinuerlig på ett slutet intervll så är den integrerbr på dett intervll ; kontinuitet är ett tillräckligt villkor för integrerbrhet. På vilk två sätt utvidgs dett genom införndet v generliserde integrler i definition 6.6 och 6.7? 9) En integrtionsgräns eller kn ej hnters som ett tl med hjälp v Insättningsformeln. Hur kringgår mn dett? 30) I vilk fll sägs en generliserd integrl vr divergent? 3) Iblnd måste en generliserd integrl dels upp i två eller fler integrler för tt löss, såsom i Exempel 6. och 6.3. Vrför? 3) I Exempel 6. löses br en v de två erhålln integrlern. Vrför? 33) I Exempel 6.3 löses br två v de fyr erhålln integrlern, trots konvergens. Vrför? 34) På vilket sätt nvänder mn vnligtvis 0.?

8 re och kurvlängd 35) Rit en figur och ställ upp ett uttryck för en liten re d ett litet vinkelområde lik en cirkelsektor för vidre beräkning v re innnför kurv på polär form. 36) Rit en figur och ställ upp ett uttryck för en kort delsträck ds så kort tt det blir ungefär en rätt linje för vidre beräkning v kurvlängd hos funktion f(x). 37) Rit en figur och ställ upp ett uttryck för en kort delsträck ds så kort tt det blir ungefär en rätt linje för vidre beräkning v kurvlängd hos funktion på prmeterform med vseende på t. 38) Vis tt längden v kurvn y = x då x [0, ] ges v 4x dx 0 39) Vis tt längden v kurvn y = ln(cos x) då x [0, π ] ges v 4 4 π 0 dx cos x 40) Vis tt längden v kurvn y = x 4 då x [, ] ges v 3x 4x3 6x3 dx = = ln( ) = = 93 8 Rottionskroppr 4) y = r x beskriver en hlvcirkel med centrum i origo och rdien r. Vis med en rottionskropp tt volymen hos ett klot är V = 4πr3 (se föreläsningsnteckningrn). 3 4) Tg frm formler för mntelyt och volym hos kon med höjden h och rdien r dett md hjälp v rottionskroppr (se föreläsningsnteckningrn). Intergrler och sttistik 43) Vd är en täthetsfunktion (även klld frekvensfunktion eller eng. density-function)? (se definition ) 44) En fördelningsfunktion är lltid växnde. Melln vilk funktionsvärden och vrför? (se definition 5, sts 6-7) 45) Vrför nvänder mn vnligtvis lill x i beräkningrn när mn hr vlt stor X för tt beteckn en kontinuerlig stokstisk vribel? 46) Vd är en kvntil? (se definition 0) 47) Vd är övre, mellerst respektive nedre kvrtilen? (se definition )

9 48) nge någon likhet respektive skillnd melln väntevärde och medin. 49) nge hur mn utifrån en täthetsfunktion beräknr medin respektive väntevärde för en kontinuerlig stokstisk vribel. (se definition 0 smt 4) 50) Vd är vrinsen ett mått på och hur beräknr mn den för en kontinuerlig stokstisk vribel? (se definition 8 och sts 0) 5) Vd kllr mn kvdrtroten v vrinsen? (se K0 ) 5) Vi vet tt E(X) = xf(x) dx E(X ) = x f(x) dx V(X) = (x μ) f(x) dx Vis tt: V(X) = E(X ) (E(X)) Mclurin- och Tylorutveckling 53) Nämn någr nvändningsområden för Mclurin- och Tylorutvecklingr. 54) Vd skiljer Mclurin- och Tylorutvecklingr? 55) Skiss kurvor för Mclurin-polynom v grd 0,, och 3 för f(x) = sin x. Ikttgelser? 56) Skiss kurvor för Mclurin-polynom v grd 0, och 4 för f(x) = cos x. Ikttgelser? Differentilekvtioner v ordning 57) Vd kännetecknr en differentilekvtion? 58) Vd är ordningen v en differentilekvtion? 59) Vd är lösningen v en differentilekvtion? 60) Vd är ett riktningsfält? 6) Hur tr mn frm en integrernde fktor? 6) På vilken form kn en : ordningens linjär differentilekvtion lltid skrivs? (9.4 sid 38) 63) På vilken form kn en : ordningens seprbel differentilekvtion lltid skrivs? (sid 387)

10 Differentilekvtioner v ordning 64) Blnd : ordningens differentilekvtioner tr vi inom kursen br upp de med konstnt koefficienter. Vd innebär det? 65) Sts 9. säger tt om mn hr funnit en lösning y p till en differentilekvtion : ordningens differentilekvtion med konstnt koefficienter lltså en ekvtion v typen y y by = f(x) så finner mn smtlig lösningr genom tt lägg till de mn erhåller då mn löser den?. 66) Om mn testr en nsts y = e rx (med åtföljnde y = re rx och y = r e rx ) i en homogen : ordningens differentilekvtion med konstnt koefficienter i dett fll y 4y 3y = 0 så kn mn identifier den s.k. krktäristisk ekvtionen som ger värden på r. Vis med hjälp v nstsen tt den i dett fll blir r 4r 3 = 0.