Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematik för sjöingenjörsprogrammet"

Transkript

1 Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl Nturlig tl Negtiv tl Räkneregler Övningr Bråkräkning De rtionell tlen Räkning med rtionell tl Räkneregler Övningr Potenser med heltlsexponent Potenser Potens med heltlsexponent Räkneregler Övningr Reell tl Olikheter för reell tl Räkneregler för olikheter Övningr Asolutelopp

2 .5. Övningr Kvdrtrötter Kvdrtroten ur ett positivt reellt tl Räkneregler Övningr Potenser med rtionell exponent n-te roten ur reell tl Räkneregler Potenser med rtionell exponent Räkneregler Övningr Algerisk omskrivningr Pscls tringel och (+) n Rtionell uttryck Uttryck som innehåller rötter Övningr Aritmetik och lger I dett kpitel skll vi först ret med grundläggnde ritmetik, lltså de fyr räknesätten, för olik typer v tl. I den senre delen v kpitlet ehndls hntering v lgerosk uttryck. Vi rekommenderr tt du inte nvänder räknre eller formelsmling då du löser uppgiftern. De kunskper du får genom tt dels räkn själv och tänk på vilk räkneregler du nvänder, och dels lär dig en del fkt istället för tt förlit dig på formelsmlingen, är oerhört värdefull för din fortstt studier. I mång mtemtikintensiv utildningr förvänts du klr dig utn hjälpmedel.. Räkning med nturlig tl och heltl De nturlig tlen är tlen 0,, 2, 3, 4,... (De tre vslutnde punktern i listn indikerr tt mönstret fortsätter utn slut.) De negtiv heltlen är, 2, 3, 4,... Ilnd skriver mn negtiv tl med en prentes: ( ), ( 2), ( 3), ( 4),... 2

3 De nturlig tlen och de negtiv tlen ildr tillsmmns heltlen..., 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4,... Ett viktigt ord i det mtemtisk språket är egreppet mängd. I normlsvensk etyder ordet ett stort ntl eller en mätr nsmling. I mtemtik är en mängd en smling ojekt, element. Så hr t ex mängden v de nturlig tlen vrje nturligt tl som element. Tlet 3 är ett element i mängden, liksom vrje nnt nturligt tl. Mängden v ll nturlig tl eteckns oft N. Med symoler skriver vi tt 3 är ett nturligt tl som 3 N. Det fktum tt inte är ett nturligt tl skrivs N. På smm sätt tlr mn om mängden v ll heltl Z, mängden v ll negtiv heltl Z och mängden v ll positiv heltl Z +. Tlet 0 är vrken positivt eller negtivt. Om vrje element i en mängd A också är element i en nnn mängd B så säger vi tt A är en delmängd till B vilket skrivs A B. Vi hr t ex tt N Z, eftersom vrje nturligt tl även är ett heltl.... Nturlig tl Två nturlig tl kn dders, vilket v ll uppftts som närmst självklrt. Det fktum tt termern kn yt plts med vrndr utn tt resulttet ändrs, d v s tt opertionen ddition är kommuttiv, (+ = + för ll nturlig tl och ), är också något så självklrt tt mn sälln eller ldrig reflekterr över det. Opertionen är r definierd för pr v tl. Vid ddition v fler än två tl måste mn därför i princip mrker den ordning dditionern skll utförs i med prenteser, så 3+(6+3) = 3+9 = 22 och (3+6)+3 = 9+3 = 22. Vi vet dock tt det, precis som i exemplet ovn, inte spelr någon roll hur vi sätter prentesern. Summn v tlen 3, 6 och 3 är 22 i vilken ordning vi än räknr. Allmänt gäller tt + ( + c) = ( + ) + c för ll nturlig tl, och c, och vi säger tt dditionen är ssocitiv. Om ing prenteser skrivits ut gäller läsriktningsprioritet, d v s dditionern utförs från vänster till höger. Uttrycket tolks lltså som ((3+6)+3)+5. Tlen som dders klls termer och resulttet v dditionen klls summ. Multipliktion v nturlig tl är upprepd ddition, så t ex 6 7 = = 42. Även multipliktion är som eknt kommuttiv, d v s = för ll nturlig tl och. Dett är inte lik uppenrt som för ddition. Kommuttiviteten är Att 5 påsr med 3 kolor i vrje och 3 påsr med 5 kolor i vrje är lik mycket härligt godis är inte uppenrt för ett litet rn. 3 Figur : =

4 självklr om mn föreställer sig en inrutd rektngel med rutor i en riktningen och rutor i den ndr. Det totl ntlet rutor t är oeroende v ordningen i vilken mn räknr dem, och mn får tt t =, lterntivt t =, eroende på vilken sid mn utgår ifrån. Multipliktionen är också ssocitiv, d v s ( c) = ( ) c, för ll nturlig tl, och c. Ett rätlock med sidorn, och c kn nvänds för tt inse dett. Tlen som multiplicers klls fktorer och resulttet v multipliktionen klls produkt. Smmntget ehöver mn vrken ry sig om ordning eller prenteser när mn r hr en v opertio- nern ddition eller multipliktion. Då åde ddition Figur 2: ()c=(c) och multipliktion är inlndde, som i eräkningen v , kommer prioritetsregeln multipliktion före ddition in, så tt = = 3. Här gäller lltså inte läsriktningsprioritet. Vill vi tt dditionen skll utförs först måste vi mrker det med prenteser: (3 + 4) 7 = 7 7 = 49. Denn uträkning kn också görs med distriution som (3+4) 7 = = 2+28 = 49. Allmänt gäller vid ddition följt v multipliktion den distriutiv lgen: (+) c = c+ c, för ll nturlig tl, och c. Dett övertygr mn sig om genom tt t två rektnglr som estår v c respektive c rutor och lägg dem redvid vrndr. Om, N så säger vi tt är större än, vi skriver >, om det finns c N, c 0, sådnt tt = +c. Vi säger tt är mindre än och skriver <, om >. Dett stämmer överens c c med den intuitiv uppfttningen om jämförelse melln tl (" är större än om är lik med + plus lite till"). Vi säger tt är större än eller lik med,, om > eller =, d v s om det Figur 3: (+)c=c+c finns c N sådnt tt = +c. (Noter tt, medn, d v s är större än eller lik med, men är inte större än.) För definierr vi sutrktion v med, = c, där c är smm som ovn, d v s = c, om = +c. I fllet < finns inget c N sådnt tt = +c. Sutrktion i det fllet kräver tt mn lämnr de nturlig tlen. Frågn diskuters i näst vsnitt. 4 c c

5 Division är i någon mening den motstt opertionen till multipliktion, d v s eftersom 6 7 = 42 så är 42 = 6. I det här vsnittet hndlr det endst om division v nturlig 7 tl. Multipliktion v nturlig tl är som vi nämnde tidigre smm som upprepd ddition och division är därför upprepd sutrktion. Vi får lltså 42 7 = 6 eftersom = 0. (De gml meknisk räknemskinern yggde helt på denn princip.) Förutom vnligt råkstreck nvänder vi i texten ilnd som divisionstecken 2. Antlet gånger mn kn utför sutrktionen klls kvot. Om mn så småningom, som i exemplet ovn, kommer till 0, säger mn tt divisionen går jämnt ut. Om divisionen inte går jämnt ut får mn en rest, d v s ett tl som inte är 0, men som är för litet för tt mn sk kunn sutrher vidre. T ex får vi d v s 45 7 = = 3, Vid division v 45 med 7 får mn lltså kvoten 6 och resten 3. Att mn vid division v n med m får kvot q och rest r, är smm sk som tt n kn skrivs som n = mq+r, där resten r är ett nturligt tl mindre än m, d v s 0 r < m. I exemplet ovn hr vi tt 45 = Det är värdefullt tt kunn utför så klld lång division v nturlig tl för hnd, inte minst för tt underlätt polynomdivision längre frm. Algoritmen mn nvänder är lltid densmm, men uppställningen kn vrier, t ex liggnde stolen eller trppn. Vilken mn väljer är helt oviktigt. Här nedn nvänds liggnde stolen. Schemtiskt ser den ut så här: Kvot Täljre Nämnre Exempel. Vi önskr eräkn Lösning. För tt det skll vr enklre tt följ klkylern redoviss vrje steg i en ny stol. En förklring ges efter exemplet. Kvot Rest 2 Det finns mång tecken som nvänds för tt eteckn division,, :, /, eller ett vnligt råkstreck. 5

6 Vi ser här tt = 368 med rest 2, d v s = , eller, som vi är mer vn vid tt skriv, = Vi kn också skriv om resulttet utn något divisionstecken som 8476 = Om du tycker tt lgoritmen är svåregriplig eller krånglig kn du knske h hjälp v följnde förklring: Det är väldigt oprktiskt tt sutrher tlet 23 från tlet 8476 mer än 300 gånger. Därför effektiviserr mn genom tt först räkn ut hur mång hundr gånger 23 går i Eftersom = 3 med rest 5 går 23 minst 300 gånger i 8476, men inte 400 gånger. Vi kn därmed skriv hundrtlssiffrn 3 i kvoten och sutrher från Vi hr tt = 5 och = = 576. I den ndr stolen är inte nollorn utskrivn, de är underförstådd. I den tredje stolen ts inte siffrn 6 med i resten 576. Det etyder inget, men mn rukr gör så eftersom den inte kommer in i klkylern i dett steg. I tredje stolen får vi = 6 med rest 9. Alltså går 23 minst 60 gånger i 576, men inte 70 gånger. Vi får = 9 och = 90+6 = 96. Vi kn nu skriv tiotlssiffrn 6 i kvoten. Slutligen får vi = 8 med rest 2. Alltså är 96 = och kvotens entlssiffr är 8. Klkylern ovn kn smmnförs som 8476 = = = = = Alltså = 368 med rest 2, eller = Fllet då divisionen går jämnt ut, lltså fllet r = 0, är speciellt intressnt. I dett fll är = c där c också är ett nturligt tl. Tlet är lltså produkten v de två fktorern och c. Det finns mång synonymer för dett. Om divisionen går jämnt ut så säger mn tt är delrt med, eller dels v, eller delr, eller är divisor till, eller är delre till, eller är en fktor i, eller 6

7 är en multipel v. T ex hr vi tt = 368 med rest 0. Dett inneär tt = 368 så med ndr ord är 8464 delrt med 23 och 23 en fktor i Eftersom =, så hr lltid delrn och ( är med ndr ord delre till ll tl). Om är delre till där och så klls äkt delre till. Definition: Tl som är större än och som sknr äkt delre klls primtl. Tl som hr äkt delre klls smmnstt tl. Tlet är en enhet och klls vrken primtl eller smmnstt tl. All tl som är delr med två klls jämn, övrig nturlig tl klls udd. Att ett tl n är jämnt etyder tt det ger rest 0 vid division med 2, d v s n = 2k för något nturligt tl k. Att n är udd etyder tt det ger rest vid division med 2 (den end möjlig resten förutom 0), d v s n = 2k + för något nturligt tl k. De fem minst primtlen är 2, 3, 5, 7 och. All jämn tl större än 2 hr ju 2 som en äkt delre, så primtl större än 2 måste därför vr udd tl. Tlet 5 kn skrivs som produkt v primtlen 3 och 5, 5 = 3 5, och 5 hr lltså 3 och 5 som äkt delre. I denn produkt kn fktorerns ordning vriers, d v s 5 = 3 5 = 5 3. Bortsett från det är fktoruppdelningen unik. För tt övertyg oss om dett i det konkret fllet kn vi resoner som följer: Om 5 =, där och är nturlig tl större än, så är åde och mindre än 5. Nu kn vi ntingen test ll möjlig produkter v tl melln och 5, eller också reducer ntlet försök genom tt inse tt 4 4 > 5 och tt minst ett v tlen och därför måste vr mindre än 4. Vi ser då lätt tt end möjligheten tt skriv 5 som produkt v primtl, om vi ortser från ordningen, är 5 = 3 5. Resonemnget ovn om möjlig fktorer gäller generellt: Om tlet c inte är ett primtl så hr c en primtlsfktor p, < p c. Det är lltså reltivt enkelt tt vgör om ett visst tl är ett primtl under förutsättning tt tlet inte är särskilt stort. Tg som exempel tlet 97. Om 97 inte är ett primtl så hr det en primtlsfktor p som uppfyller p 97 < 00 = 0. Det räcker då tt konstter tt 97 inte finns i någon v multipliktionstellern för primtl mindre än 0 för tt dr slutstsen tt 97 är ett primtl. För stor tl är det däremot tidsödnde tt vgör om tlet är ett primtl eller ej på dett sätt, till och med om det är ett dtorprogrm som genomför undersökningen. Det finns dock mer sofistikerde och snre sätt tt undersök riktigt stor tl om mn hr tillgång till en dtor. Det fktum tt 5 r kunde fktorisers i primtlsfktorer på ett end sätt gäller generellt. Redn under ntiken evisde Euklides i Element (ok 9) följnde centrl sts om uppdelning i primtlsfktorer. 7

8 Aritmetikens fundmentlsts: Vrje nturligt tl som är större än kn skrivs som en produkt v primtl. Bortsett från ordningsföljden är primtlsfktorern entydigt estämd. (Här utvidgr vi egreppet produkt något och kllr även ett ensmt primtl för en produkt v primtl.) Som exempel på hur mn kommer frm till en primtlsfktorisering sk vi skriv tlet 8464 som en produkt v primtlsfktorer. Vi vet redn tt 8464 = , men här gerr vi som om vi inte visste det. Tlet är jämnt, så vi kn skriv 8464 = Nu sk 4232 fktorisers; det är också ett jämnt tl. Vi fortsätter ryt ut tvåor så länge det går och får 8464 = = = = Tlet 529 är udd, så vi får nu let efter primtlsfktorer större än två. Undesökning visr tt 529 inte är delrt med vre sig 3,5,7,,3,7 eller 9, men väl med 23, 529 = 23 23, och vi får slutligen 8464 = = , en produkt v primtl. (Här nvänder vi potenser med heltlsexponenter som ett kort skrivsätt för upprepd multipliktion v ett tl med sig självt, = 4. Potensräkning diskuters ingående senre i kursen.) Ett evis för tt vrje tl kn skrivs som en produkt v primtl ygger på tt ett tl som inte är ett primtl kn skrivs som produkt v två mindre tl. Antingen är dess primtl, eller så kn de skrivs som produkt v ännu mindre tl, vilk i sin tur ntingen är primtl eller kn skrivs som produkt v ännu mindre tl o s v. Processen är ändlig, eftersom mängden v nturlig tl, skild från noll, hr ett minst element, nämligen. Vi vstår här från tt vis tt fktorern är entydigt estämd, vilket är etydligt knivigre. En nnn v Euklides viktig stser är: Sts: Det finns oändligt mång primtl. Bevis. Antg motstsen, d v s ntg tt det r finns ändligt mång primtl, p, p 2,..., p n. Bild produkten M v ll dess och lägg till. Enligt ritmetikens fundmentlsts måste då M + = p p 2 p n + vr en produkt v primtl, men det är inte möjligt eftersom tlet ger rest vid division med vilket primtl p k som helst. Motsägelsen visr tt vårt ntgnde om tt primtlen är ändligt mång är felktigt, lltså finns det oändligt mång primtl. En list över ll primtl skulle lltså li oändligt lång, men mn kn nturligtvis ge en ändlig list över ll primtl upp till ett visst tl. Denn list kn sedn nvänds vid primtlsfktorisering v större tl. Vill mn på ett systemtiskt sätt plock frm ll primtl upp till ett givet tl kn mn nvänd Erthostenes primtlssåll från c 230 fvt. Dett eskrivs i mång läroöcker och kn säkert hitts på Internet. Idén är tt utgå från ll nturlig tl från 2 t o m den önskde övre gränsen. Successivt stryker mn ll äkt multipler v primtlen med örjn från 2, sedn 3, 5 o s v. Det minst överhoppde tlet som är större än de hittills funn primtlen måste vr näst primtl 8

9 i listn. Då mn strukit multiplern v 2, 3 och 5 är minst överhoppde tlet 7, därefter o s v. Testövning. Bestäm kvot och rest vid division v 937 med Bestäm kvot och rest vid division v 427 med 23. Svr:. kvot 30 och rest 7, d v s 937 = kvot 8 och rest 3, d v s 427 = Negtiv tl De nturlig tlen och dditionen v sådn är direkt smmnkopplde med ntlsräkning och därmed något som även mycket små rn förstår. Eftersom de övrig räknesätten för nturlig tl ygger på ddition, så finns det en lättegriplig tolkning också för dess. Nmnet nturlig speglr just det sätt på vilket vi uppfttr tlen i N och ders egenskper. Då det gäller negtiv heltl är situtionen lite nnorlund, även om också dess hr nturlig tolkningr. Vi är sedn rnsen vn vid minusgrder på vintern och vet tt om det är fem grder vrmt (+5 ) och temperturen sjunker tio grder, så lir det fem grder kllt ( 5 ). Ett nnt egrepp som oft dyker upp i vrdgslivet är skuld, om mn är skyldig någon 00 kronor ehöver mn en hundrlpp för tt nollställ sin ekonomi. Medn egreppet nturlig tl är ett v de egrepp som ligger i grunden för ll mtemtik och som inte definiers, måste mn definier de negtiv heltlen med hjälp v de nturlig tlen. De nturlig tlen och de negtiv heltlen ildr tillsmmns mängden v ll heltl, Z. Mn definierr sedn de fyr räknesätten inom den ny tlmängden och visr tt de hr smm egenskper som räknesätten för nturlig tl (med den väsentlig skillnden tt det i Z går tt sutrher vilket tl som helst från vilket tl som helst utn tt lämn mängden). Vi kommer här dock tt nöj oss med den intuitiv uppfttningen om negtiv tl illustrerd ovn och repeter hur mn räknr med negtiv tl utn tt ge formell definitioner och evis. Vi utgår lltså från tt vi, givet det nturlig tlet n, hr en uppfttning om vd ( n) 9

10 är, smt tt vi vet hur mn dderr och sutrherr i N. Om, N, så gäller Exempel: ( ) = ( )+ = för, ( )+ = ( ) för <, ( )+ = +( ), ( )+( ) = (+) ( ) ( ) ( ) = ( )+. Multipliktion definiers som följer = ( )+( ) ( ) = + 3+( 7) = (7 3) = 4 ( 3)+7 = 7 3 = 4 ( 3)+( 7) = (7+3) = 0. ( ) ( ) ( ) =, = ( ) = ( ), för ll nturlig tl och. Den ndr likheten ovn är den känd regeln minus minus är plus. Dett är en definition och lltså inget som kn härleds. Dock är det så tt det inte är slumpen som vgör hur mn väljer tt definier en opertion. Multipliktion v heltl definiers på ett sätt som grnterr tt räknereglern för nturlig tl fortsätter gäll i Z. Mn kn ändå ge en intuitiv förklring: om mn tolkr minustecknet som yte v sid med vssende på 0 på tllinjen, så måste två successiv yten inneär tt mn hmnr på smm sid nolln som mn utgick från. Likså, om mn säljer en skuldsedel resulterr det i tt mn får intäkter. Exempel: 4 ( 7) = (4 7) = 28 ( 4) ( 7) = 4 7 = 28. För tt illustrer hur mn går till väg när mn evisr tt de önskde räknereglern fortfrnde gäller visr vi tt en trippel v negtiv tl uppfyller den distriutiv lgen. Vi hr nämligen för ll nturlig tl, och c tt ( ) (( )+( c)) = ( ) ( (+c)) = (+c), och ( ) ( )+( ) ( c) = ( )+( c) = (+c), 0

11 där vi i sist likheten utnyttjr den distriutiv lgen för nturlig tl. Därmed hr vi vist ( ) (( )+( c)) = ( ) ( )+( ) ( c), som är den distriutiv lgen för en trippel negtiv tl. Delrhet fungerr på smm sätt i Z som i N. Tl som är delr med 2 klls jämn och hr formen n = 2k, k Z, tl som inte är delr med 2 klls udd och kn skrivs som n = 2k ±, k Z (± etyder tt mn kn välj melln + och ). Olikheten > för, Z definiers på smm sätt som för nturlig,, d v s > om det finns ett positivt tl c sådnt tt = +c. Övrig olikheter definiers nlogt. Testövning. Beräkn 5 (( 4) 7) 2. Beräkn 5 ( 4 3) 3. Beräkn 5 ( 4) 3 Svr: Räkneregler I örjn v kpitlet diskuterdes räknereglern för nturlig tl. Vi utvidgde sedn tlområdet till tt även omftt negtiv tl Utvidgningen gjordes på ett sådnt sätt tt såväl priorits- som räknereglern fortstte tt gäll. Nedn smmnftts de prioritetsregler och räkneregler som ehndlts i kpitlet. Oserver tt om är ett heltl så kn tlet ( ) vr negtivt (om är positivt) eller positivt (om är negtivt). Prioriteringsordning. Opertion inom prenteser 2. Multipliktion och division 3. Addition och sutrktion 4. Vid lik prioritet gäller läsriktningsprioritet

12 Räkneregler för heltl För ll heltl, och c gäller det tt + = + kommuttivitet +(+c) = (+)+c ssocitivitet +0 = identitet = kommuttivitet ( ) c = ( c) ssocitivitet = identitet (+) c = c+ c distriutivitet +( ) = 0 +( ) = ( ) = minus minus är plus ( ) = ( ) ( ) ( ) = minus minus är plus ( c) = +c minus minus är plus (+c) = c..4 Övningr.. Bestäm kvot och rest vid divisionern nedn. Ange svret vid divisionen n m på formen n = m q+r, där q är kvoten och r är resten. ) ) c) Är något v tlen 7956 eller 7497 delrt med 2?..2 Skriv tlen nedn som produkt v primtl. 2

13 ) 495 ) c) Beräkn ) 7 ( 2) (3 9) ((2+( 5) 8) ( 3 ( 5)) 4) ) ( 4 2) (( 6 ( 9)) ((6 ( 7)+3) (( 2) 3)+( ) (7 ( 4))))..4 Skriv om följnde uttryck utn prenteser. ) ( ) (+) ( +) ) ( ) ( )+ ( 2 ( ))) ( +)..5 Ordn tlen i listorn nedn i stignde ordning. ) 5,, 2,4 ),, c,d, där = 9, = 20,c = 8,d = 00.2 Bråkräkning När mn inför de negtiv tlen så får uttrycket med < mening som ett (negtivt) tl. På smm sätt ger mn genom tt inför rtionell tl eller råktl mening åt som ett tl även då resten inte är 0. Både de rtionell tlen och de fyr räknesätten för dess definiers på ett sätt som grnterr tt räknereglern som listts tidigre fortfrnde gäller..2. De rtionell tlen Rtionell tl eller råktl skrivs p, där p och q är heltl och q 0. Mängden v ll q rtionell tl eteckns med Q. Utn tt ge en formell definition kn vi säg tt p q är det tl som multiplicert med q ger p. Därmed kn ett heltl p identifiers med det rtionell tlet p. Det etyder tt ll heltl kn uppftts som rtionell tl. Mängden v ll heltl, Z, är lltså en delmängd till mängden v ll rtionell tl, d v s Z Q. Tlet 0 kn skrivs som 0 q för godtycklig nämnre q 0. Allmänt gäller tt p q = 0 om och endst om p = 0. Oserver tt villkoret q 0 fortfrnde måste vr uppfyllt! Ett rtionellt tl kn lltid skrivs på (oändligt) mång olik sätt, för om s 0 är ett heltl så är p q = s p s q. 3

14 För tt övertyg sig om det sk mn inse tt om mn multiplicerr tlet till vänster med högerledets nämnre, så får mn precis högerledets täljre: s q p ( q = s q p ) = s p. q (Här hr vi nvänt den ssocitiv lgen för en produkt v två heltl och ett rtionellt tl.) Mn säger tt råktlet p s p s p förlängts med (fktorn) s 0 till, eller tt q s q s q förkortts med s till p q. Till exempel är 7 4 och lik eftersom 22 7 = = I llmänhet försöker mn nge råktl på enklste formen så tt täljren p och nämnren q inte hr någon gemensm fktor utom ± (sådn tl p och q klls reltivt prim). Mn säger då tt tlet är skrivet på enklste råkform. Ett systemtiskt sätt tt hitt den enklste råkformen är tt primtlsfktoriser täljre och nämnre och förkort med ll gemensmm primtlsfktorer. Vi hr t ex tt = = = 4 5. Mn kn förläng/förkort med negtiv fktorer också och speciellt kn mn lltid se till tt nämnren är positiv: 7 = ( ) 7 ( ) = 7 och 7 = ( ) 7 ( ) ( ) = Räkning med rtionell tl Addition (och sutrktion) v råktl med smm nämnre ges v ddition (respektive sutrktion) v täljrn med smm nämnre: = +5 = och = 5 = I llmänhet måste termern skrivs om så tt de får smm nämnre innn mn kn dder eller sutrher råken. Korsvis förlängning v de två nämnrn fungerr lltid: + c d = d d + c d = d + c. d Det är dock en god vn tt inte förläng med mer än nödvändigt, eftersom det är joigre tt räkn med stor tl och risken tt räkn fel ökr. Då mn retr med rtionell funktioner, se vsnitt??, lir dett extr viktigt. För tt förläng med så lite 4

15 som möjligt letr mn upp den den minst gemensmm nämnren, d v s den minst gemensmm multipeln v nämnrn. Ett systemtiskt sätt tt gör dett är tt primtlsfktoriser nämnrn och let upp den minst produkt v primtl som innehåller ll fktorer för nämnrn. Om vi t ex vill räkn ut , där åd tlen är på enklste råkform, så nvänder vi tt 2 = och 30 = De primtl som ingår är lltså 2 (med potensen 2), 3 och 5. Den minst möjlig gemensmm nämnren är lltså = 60. För tt få denn nämnre så får vi förläng med 5 respektive 2: = = = Om mn slviskt följer den llmänn principen med korsvis multipliktion får mn istället = = = = 09 60, vilket ger joigre räkningr. Ovsett hur mn väljer tt utför eräkningrn sk mn i svret lltid nge resulttets enklste råkform. Sutrktion v råktl görs på motsvrnde sätt som ddition: c d = d c, d Här, som för ddition, ör mn hitt den minst gemensmm nämnren = = = = = Här hde vi 2 = och 5 = 3 5, och minst gemensmm nämnren vr lltså åter = 60. Multipliktion v rtionell tl sk definiers så tt räknelgrn för heltlsmultipliktion fortfrnde gäller. Det etyder tt: Multipliktion med heltl skll motsvr upprepd ddition. Alltså gäller t ex n c d = c d + c d + + c = n c }{{ d} d. n termer 5

16 Vidre skll multipliktion vr ssocitiv. Alltså gäller c d = c d = n n c ( d = n ) c n d = n Men dett är möjligt endst om Smmntget ger dett c d = n c d = c n d. ( c ) = d ( n c d c d = c d. Vi fick lltså tt den end rimlig definitionen för multipliktion v rtionell tl är Division v rtionell tl ges v Dett motivers v tt kvoten ser tt A = d c c d c d = c d. = c d = / c d / c d = d c. är det tl som uppfyller krvet, eftersom ). c måste vr ett tl A sådnt tt A d =, och vi ( d ) c c d = ( d c c ) = d. Bråket q p klls ilnd för det inverterde råket till p (här förutsätts tt p,q 0). Vi q skulle då kunn säg tt mn dividerr ett råk med ett nnt genom tt multiplicer det först med det inverterde till det ndr. Vid närmre eftertnke är dett intuitivt självklrt. Om mn hr en tolvitrstårt och ll sk få en it vr så räcker den till tolv personer, men om mn r ger en hlv it till vr och en så kn duelt så mång få, lltså 2 2 = 2 2 = 24. I kpitel.. då vi räknde med enrt heltl skulle vi sgt tt 3 4 ger kvoten 3 och resten, medn vi nu kllr 3 4 kvot. Då hndlde det om heltlsdivision som speglr 6

17 t ex en fördelning: om tretton ägg skll fördels på krtonger som rymmer fyr ägg vrder så får mn tre full krtonger och ett ägg över. I dett kpitel hndlr det om division för rtionell tl. All rtionell tl kn dividers, kvoten är lltid ett rtionellt tl. Ilnd kn nvändningen v råkstreck som divisionssymol li nledning till felläsning/feltolkning: Vi hr tt c = c = c men = c c = c. Därför är det viktigt tt vet vd som vses då mn nvänder duelråk. Att c och inte är smm sk, syns lätt i tryckt text, men inte lik lätt i hndskriven text. Speciellt viktigt är det tt skriv likhetstecknet på rätt nivå. Tänk också på tt ett duelråk oft innehåller osynlig prenteser, vilket illustrers i näst exempel. Exempel. Vi skll skriv som ett råktl på enklste råkform. Lösning. Vi sutrherr i täljre och och dderr i nämnre och utför sedn divisionen vilket ger = = = ( 7 3 ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) = = 20 99, c efter förenkling. Mn sk inte vr sn med tt multiplicer ihop fktorern i nämnren. Om mn ehåller fktoriseringen änd till sist steget är det mycket lättre tt se vd mn eventuellt kn förkort med för tt få svret på enklste råkform..2.3 Räkneregler De prioritets- och räkneregler som gällde för heltlen gäller även för rtionell tl. Här smmnftts de räkneregler som tillkommer för de rtionell tlen. Oserver tt nämnren d kn vr onödigt stor och tt mn lltid ör hitt den minst gemensmm nämnren istället. 7

18 Räkneregler För ll rtionell tl, och c, där,, c och d är heltl, gäller det tt d + c d = d d + c d = d + c d c d = d c d c d = c d c d = d c Sist i vsnittet sk vi titt närmre på likhet och olikheter melln rtionell tl. Likheten = c d äger rum om och endst om (d v s precis när) c d = d c = d c =, lltså om och endst om d = c. Båd uttrycken om och endst om och precis när etyder tt påståenden före och efter är ekvivlent, d v s tt de är snn eller flsk smtidigt. Ekvivlens melln påståenden skrivs oft med en duelpil,. Noter tt det måste stå påståenden på åd sidor, ekvivlenspilen kn inte nvänds som likhetstecken. Olikheter och räkneregler för olikheter diskuters något i vsnittet om reell tl och mer ingående i kursens ndr del. Här går vi händelsern i förväg för tt komm till insikt om hur mn jämför positiv rtionell tl. Antg tt,,c,d är positiv heltl. Det är rimligt tt h smm definition för olikhet som tidigre, d v s vi utgår från tt > c d om och endst om c d > 0. Nu kn vi skriv de två råktlen på gemensm nämnre, sutrher, och får c d c > 0 > 0. d d Minus minus är plus -regeln säger tt dett inträffr om och endst om täljren och nämnren hr smm tecken. Eftersom,d > 0, hr vi tt d > 0 och får slutligen c > 0 d c > 0 d > c. d 8

19 Vi smmnfttr För ll rtionell tl, och c, där,, c och d är heltl, gäller det tt d = c d om och endst om d = c. Om dessutom,, c och d är positiv heltl, gäller det tt > c om och endst om d > c. d Vi vslutr med tt konstter en v de rtionell tlens viktigste egenskper som skiljer dem från heltlen: givet två olik rtionell tl finns lltid ett tredje rtionellt tl melln dem, d v s om r,r 2 Q, r < r 2, så finns r Q sådnt tt r < r < r 2. Även om det låter strkt är det i själv verket oerhört lätt tt vis, välj helt enkelt r = r + r 2 (tlet mittemelln de två givn). Mn knske hr svårt tt omedelrt inse konsekvensern v dett fktum. En konsekvens är tt det, givet ett rtionellt tl, 2 inte finns ett näst rtionellt tl. En nnn är tt mn kn tl om gränsvärden v rtionell tlföljder på ett meningsfullt sätt..2.4 Övningr.2. Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) ) c) ( 42) ( 60) 2 ( 69) d) e) f) Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) ) 4 ( ) ( ) ( ) 5 9

20 .2.3 Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) c) e) g) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ) d) ( 5 7 ) 5 f) h) Skriv följnde rtionell tl på enklste råkform ) ( 2 + ) ( ) 3 ) c) Skriv tlen,, c, d i vtgnde ordning. ) = 2 3, = 5 6, c = 7 8, d = 4 5 ) = 5, = 2, c = 3 4, d = Potenser med heltlsexponent.3. Potenser I dett vsnitt introducers egreppet potens för rtionell tl, och därmed nturligtvis för ll heltl. Exponenten är här heltl men längre frm (i vsnitt.7) kommer exponenten tt vr ett rtionellt tl och slutligen ett reellt tl. De räknelgr som presenters i vsnittet är llmängiltig, de gäller även med reell exponenter. 20

21 .3.2 Potens med heltlsexponent Potenser med heltlsexponenter definiers v 0 =, för 0, =, 2 =, 3 = 2 =, n = n = } {{}, då n är ett positivt heltl, n fktorer n = n = ( ) n, då n är ett positivt heltl och 0. I definitionen ovn kn n r vr ett heltl medn kn vr såväl ett heltl som ett rtionellt tl. Vid eräkning v potenser v negtiv tl måste mn vr extr uppmärksm. De eräkns nturligtvis på smm sätt som potenser v positiv tl, så t ex ( 3) 4 = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 8. Mn måste skriv prentes runt tlet, eftersom 3 4 = 8 ( 3) 4 = 8. Eftersom ( ) 2 =, så gäller tt: ( ) =, ( ) 2 = 2, ( ) 3 = 3 = ( 3 ) och llmänt { ( ) n n om n är ett jämnt heltl = n om n är ett udd heltl. Definitionen v multipliktion för rtionell tl p q p q = p p q q = p2 ger för potenser v q2 ( ) p n rtionell tl tt = pn. I dett fll är det nödvändigt tt nvänd förtydlignde q qn ) prenteser, eftersom mn nnrs får ( pn pn q q n..3.3 Räkneregler Vi smmnfttr här de regler som gäller vid räkning med potenser. De kn härleds om mn skriver ut vd de olik potensern är. T ex är (2 3 ) 4 = (2 2 2) 4 = (2 2 2) (2 2 2) (2 2 2) (2 2 2) = =

22 Potenslgr För, 0 och m,n heltl gäller det tt 0 = n = n m n = m+n () n = n n ( n = ) n n. ( n ) m = n m m n = m n. Vid räkning med potenser gäller prioritetsregeln tt potenser eräkns före multipliktion eller division och även före ddition eller sutrktion, så t ex = 2 9 = 8 och = 2+9 =. Som tidigre skll opertion inom prenteser eräkns först så t ex (2 3) 2 = 6 2 = 36 och (2+3) 2 = 5 2 = 25. Vid upprepd potenseräkning, som i 2 33, gäller tt exponenten eräkns först så vi får 2 33 = 2 (33) = 2 27 = och = 2 (5+3) = 2 8 = 256. Också här ger prenteser förtur så (2 3 ) 3 = 8 3 = 52 En liten vrning! Det finns ingen stndrdprioritet för upprepd potenseräkning på räknre. Viss klkyltorer hr exponenten först prioritet, ndr hr läsriktningsprioritet. Uttrycket 2 33 kn li ntingen eller 52 eroende på räknrfriktet och ilnd t o m på modellen. Använd lltid prenteser för säkerhets skull. Här smmnfttr vi de prioritetsregler som ehndlts hittills. 22

23 Prioriteringsordning. Opertion inom prenteser 2. Exponent 3. Potens 4. Multipliktion och division 5. Addition och sutrktion 6. Vid lik prioritet gäller läsriktningsprioritet.3.4 Övningr.3. Beräkn ) 5 2 ) 2 5 c) ( 3) 4 d) ( 4) 3 e) 00 f) 00 g) 3 0 h) ( 3) Skriv följnde som ett råktl på enklste form, utn potenser. ) 2 2 ) ( 3) 3 c) Skriv som potenser v 2 ) /64 ) 6 3 /2 0 c) 28 3 / Skriv följnde som ett tl på enklste råkform, utn potenser. ) ( 7 2 ) ) ( 25 ) 3 ( 3 7 ) ( 30 ) Reell tl Vår önskn tt kunn sutrher oehindrt ledde oss till definitionen v negtiv tl (och därmed heltl), medn ehovet v rtionell tl (råktl) ottnde i tt vi ville 23

24 kunn divider oehindrt. Låt oss nu, givet Q, 0, försök hitt ett tl Q, 0, sådnt tt 2 =. Det är lätt för viss tl, men inte för ndr. För = 4 får vi = 2, för = 0 får vi = 0, = 9 ger =. Men, kn mn lös prolemet för 3 = 2? Det visr sig tt svret är nej. Sts: Det finns inget rtionellt tl vrs kvdrt är lik med 2. Bevis. Antg motstsen, d v s ntg tt det finns ett rtionellt tl r sådnt tt r 2 = 2. Tlet r kn då skrivs på enklste råkform r = p, där p och q är reltivt prim heltl, q d v s p och q hr ing gemensmm delre ndr än ±. Eftersom p 2 = 2q 2 måste p vr ett jämnt tl, p = 2s. Det medför tt 4s 2 = 2q 2, och lltså tt q 2 = 2s 2. Därmed måste även q vr jämnt. Vi fick tt p och q åd är delr med 2, vilket strider mot tt de är reltivt prim. Motsägelsen eror på det felktig ntgndet tt det finns ett tl r Q sådnt tt r 2 = 2, lltså finns inget rtionellt tl vrs kvdrt är lik med 2. Givet ett icke-negtivt tl, definiers kvdrtroten ur som det icke-negtiv tl, vrs kvdrt är lik med, d v s = är smm sk som 0, 2 =. Stsen vi visde ovn säger tt kvdrtroten ur 2 inte finns så länge vi med tl menr rtionell tl. Dett ntyder tt det är på sin plts tt utför ytterligre en utvidgning v egreppet tl vi hr kommit frm till de reell tlen. Det är mycket svårt tt definier vd som mens med ett reellt tl. Vi måste därför håll oss till en reltivt intuitiv och förenkld ild v egreppet. Den frmställning vi vlt tt presenter här (om än något viftnde) ygger på tlens decimlutvecklingr. Vi är vn vid tt skriv ll tl i ett s k positionssystem med sen 0. Positionssystem etyder tt en siffrs värde eror på dels vilken denn siffr är, dels vd den hr för plts (position) i tlets frmställning. Att ett nturligt tl n skrivs som n = c 4 c 3 c 2 c c 0 i sen 0 etyder tt n = c c c c 0 + c 0, där 0 c k 9. (Strecket mrkerr tt det inte hndlr om en produkt.) På liknnde sätt kn mn skriv rtionell tl, r = n,d d 2 är smm sk som r = n + d 0 + d I prktiken hittr mn ett rtionellt tls decimlutveckling genom tt utför divisionen i r = p q. Tlet n är kvoten vid heltlsdivisionen p q, p = nq+r ; den först decimlen d är kvoten vid heltlsdivisionen 0r q, 0r = d q + r 2, etc. Det är inte svårt tt inse tt ll rtionell tls decimlutvecklingr ntingen är ändlig, eller vsluts periodiskt. Decimlutvecklingen lir ändlig om mn i något skede kommer frm till rest 0. Den lir oändlig med periodiskt vslut om mn ldrig kommer frm till rest 0. Periodiciteten eror på tt det endst finns q möjlig rester som inte är noll, så tt mn förr eller senre kommer frm till en rest som vrit frmme tidigre, vrpå decimlern uppreps. Det omvänd är också snt, ll ändlig decimlutvecklingr och ll decimlutvecklingr med periodiskt vslut ger rtionell tl. Exempel. Tlet 8 hr den ändlig decimlutvecklingen 0,25. 24

25 Exempel. Tlet 5 6 hr den periodisk decimlutvecklingen 0, Exempel. Tlet 29 hr decimlutvecklingen =, De vslutnde punktern inneär som vnligt tt mönstret fortsätter orutet. Sifferkomimtionen som uppreps periodiskt hr mximl längd (6). Exempel. Skriv tlet r = 0, på enklste råkform r = p q. Lösning. Vi hr tt 00r = 35 + r, så tt r = 35, vilket är den enklste råkformen 99 eftersom tlen 35 och 99 är reltivt prim. Med ett reellt tl mens ett tl r som ges v en decimlutveckling, ändlig eller oändlig. Mängden v ll reell tl eteckns R. De rtionell tlen är också reell tl, mängden v ll rtionell tl är en delmängd v mängden v ll reell tl. Vi hr lltså tt N Z Q R. Vrje positivt reellt tl hr en heltlsdel n, som är ett nturligt tl, och en decimldel (råkdel) r = n,d d 2 d 3 d 4 d 5..., där ll tlen d i är siffror i tlsystemet med s 0, d v s nturlig tl melln 0 och 9. Dett sk tolks som tt r = n+ d 0 + d d d d Till vrje positivt reellt tl finns ett motstt, negtivt tl ( r = n,d d 2 d 3 d 4 d 5... = n+ d 0 + d d d d ) De decimlutvecklingr som är oändlig och som inte vsluts periodiskt sägs vr irrtionell tl. Genom tt r t med ändligt mång decimler får vi ett rtionellt tl som pproximerr det reell tlet, t ex 3,45927 = π. 25

26 Ju fler decimler vi tr med dess ättre pproximtion får vi. Mn skulle kunn tro tt olik tl måste representers v olik decimlutvecklingr. Så är det inte. Betrkt tlet r = 0, Det måste vr ett rtionellt tl, eftersom dess utveckling vsluts periodiskt. Vi resonerr som i det tidigre exemplet och får 0r = 9+r, d v s r =. (Det korrekt förfrndet vore tt summer en oändlig geometrisk serie, i det här fllet ) Två decimlutvecklingr representerr smm reell tl om ders differens är 0, d v s om skillnden melln ders 000 pproximtioner närmr sig 0 när mn ökr ntlet decimler. Dett inneär tt t ex 3, = 3, Reell tl kn dders, sutrhers, multiplicers och dividers, genom tt mn utför opertionern på ders rtionell pproximtioner. Genom tt t med fler och fler decimler får mn en följd v rtionell tl som närmr sig (hr gränsvärdet) de reell tlens summ, differens, produkt eller kvot. All räkneregler och prioritetsregler som gäller för rtionell tl gäller även för reell. Oft är det önskvärt tt h en så enkel nämnre som möjligt. Mn förlänger därför med ett lämpligt tl så tt nämnren lir ett t ex ett positivt heltl (om det låter sig görs). Exempel. = 2 = En fördel är tt det är svårt tt vgör hur stort tlet 2 är, medn det är etydligt 2 lättre tt se tt 2 0,7. Oserver tt inte kn modifiers på liknnde sätt. π Exempel. Förenkl Lösning. Vi hr = 2 ( = ) = För tt åskådliggör de reell tlen nvänder mn oft punkter på tllinjen. De rtionell tlen ligger som det heter tätt på linjen, d v s hur liten sträck vi än tr kommer den lltid tt innehåll rtionell tl. Ändå fyller de inte ut linjen, vi insåg tidigre tt det finns ett hål i punkten som motsvrr 2 som vi nu fyllt igen med ett reellt tl. 26

27 I prktiken räknr vi r med rtionell pproximtioner till de reell tlen, eller med symoler, som 2 3, som representerr specifik reell tl. Redn de gml grekern visste tt det inte finns rtionell tl x sådn tt x 2 = 2, 3, 5, 6 m fl, med ndr ord tt 2, 3, 5, 6 m fl inte är rtionell tl. Mn kn numer vis tt det däremot finns sådn reell tl..4. Olikheter för reell tl I likhet med heltlen och de rtionell tlen finns det tre typer v reell tl, de positiv, de negtiv och tlet 0. Dett gör det möjligt tt definier olikhet, större än och mindre än för reell tl. Definition v olikhet: Det reell tlet är större än tlet, skrivs >, om och endst om är positivt. Tlet är mindre än tlet, skrivs <, om och endst om är negtivt. För ll reell tl och finns därmed tre möjligheter: =, > eller <. I dett smmnhng hr mn oft nvändning v en prktisk mängdeskrivning. Säg till exempel tt vi, v någon nledning, är intresserde v ll reell tl x som uppfyller villkoret x < 5. Ett prktiskt sätt tt eskriv denn mängd v tl är {x R : x < 5}, som tolks och utläses på följnde sätt. De speciell prentesern { och } är mängdprenteser, (vrdgligt krullprenteser). De inrmr eskrivningen v ojekten i mängden. Det inlednde x R inneär tt ll ojekten skll tillhör mängden v ll reell tl, kort sgt tt ll ojekt är reell tl. Kolon : läses sådn tt. Efter kolontecknet kommer villkoret som skll vr uppfyllt för tt ett reellt tl x skll få vr med i mängden. I ord läser mn lltså: mängden v ll reell tl x sådn tt x är mindre än 5. Vi hr tt 3 {x R : x < 5} och 2 / {x R : x < 5}. Tlet 3 tillhör mängden medn tlet 2 inte tillhör mängden. Mängden v ll positiv reell tl kn skrivs som {x R : x > 0}, mängden v de negtiv reell tlen som {x R : x < 0} och v de icke-negtiv reell tlen som {x R : x 0}. är 2. 3 Noter tt 2 endst är en symol, det är eteckningen för det icke-negtiv reell tl vrs kvdrt 27

28 Mängdeteckningen kommer vi också tt nvänd för ndr grundmängder än de reell tlen. Mn kn t ex skriv {x Z : x 2 < 5} vilket etyder mängden v ll heltl vrs kvdrt är mindre än 5, d v s { 2,,0,,2}. Mn inför de två s k oändlighetern, symolern och som uppfyller < x < för ll reell tl x. Oserver tt oändlighetern inte är reell tl. [, ] (, ) (, ] [, ) (, ] (, ) Viss mängder, så kllde intervll, förekommer mycket oft. Därför är det prktiskt tt h speciell eteck- Figur 4: Olik typer v intervll ningr för sådn. Noter tt grundmängden här lltid är de reell tlen. [,] = {x R : x } (,) = {x R : < x < } (,] = {x R : < x } [,) = {x R : x < } (,] = {x R : x } [, ) = {x R : x } Lägg märke till tt ( respektive ) etyder tt ändpunkten inte är med och tt [ respektive ] etyder tt ändpunkten är med..4.2 Räkneregler för olikheter Också för olikheter gäller viss räkneregler. De kn ll härleds från definitionen v olikhet. Vi ger här ett exempel på regel och härledning. Exempel. Vi skll evis olikhetsregeln: Om och är reell tl sådn tt < så gäller det tt +c < +c för ll reell tl c. Lösning. Vi eräknr differensen (+c) (+c) och skll vis tt denn är positiv om <. Men (+c) (+c) = +c c =, som är positiv eftersom <. Vi hr därmed vist tt +c < +c om <. Exempel. Vi skll evis olikhetsregeln: Om och är reell tl sådn tt < och c < 0 så gäller det tt c > c. (Det är den olikhetsregeln mn i särklss oftst gör fel på.) 28

29 Lösning. Vi eräknr differensen c c och skll vis tt denn är positiv om < och c < 0. Men c c = ( ) c. Eftersom <, d v s < 0, och c < 0 hr vi tt åd fktorern i den sist produkten är negtiv. Alltså är produkten ( ) c positiv, vilket inneär tt c > c. Vi återkommer till olikheter i del 2. Räkneregler För ll reell tl,, c och d, gäller det tt Om < och < c så gäller < c Om < så gäller +c < +c Om < och c < d så gäller +c < +d Om < och 0 < c så gäller c < c Om < och c < 0 så gäller c > c Om 0 < < så gäller 2 < < 2 Om < < 0 så gäller 2 > > 2 Om, > 0 och 2 < 2 så gäller < Om, < 0 och 2 < 2 så gäller >.4.3 Övningr.4. Gäller det tt ) 2 {x R : x 3}? ) 2 3? (Symolen utläses mindre än eller lik med. Tlet 3 är med i mängden.) c) Är det någon skillnd på utsgorn i () och () ovn?.4.2 Vis tt räknereglern för olikheter i vsnitt.4.2 gäller genom tt nvänd metoden som presenters i exemplet i smm vsnitt. 29

30 .4.3 Ge exempel på reell tl,, c och d sådn tt < och c < d men där c < d inte gäller..4.4 Skriv tlen nedn på decimlform. ) 7 8 ) 7 6 c) Skriv tlen nedn på enklste råkform. ) 2, ) 0, c), Asolutelopp I dett vsnitt introducers ett viktigt egrepp, nämligen soluteloppet v ett reellt tl. Asoluteloppet är i grund och otten ett vstånd, och därför lltid ett icke-negtivt tl. Begreppet återkommer i längre frm då vi studerr funktioner smt i kursens ndr del då vi studerr komplex tl. Definition: Om är ett reellt tl så är soluteloppet v { om 0, = om < 0. Tänk på tt är det motstt tlet till. Om är negtivt så är positivt, så t ex är 3 = ( 3) = 3. Av definitionen följer direkt tt = 0 för ll reell tl. En geometrisk tolkning v = = soluteloppet är tt tlr om hur långt från 0 punkten 0 som punkten ligger på tllinjen, d v s är lik med vståndet melln och 0. Om och är två reell tl så är vståndet melln och på tllinjen. Vi hr t ex tt 7 och = Figur 5: Olik vstånd 3 ligger på vståndet 0 från vrndr, eftersom 7 3 = 0 = 0. Exempel. Vi söker de tl x som uppfyller 3 x = 5. Lösning. Vi söker de punkter på tllinjen, som ligger på vståndet 5 från 3. Det är två punkter, en till höger om 3, nämligen 3+ 5 = 8, och en till vänster, 3 5 = 2. 30

31 Exempel. Vi söker de tl x som uppfyller 3 x 5. Lösning. Nu söker vi de punkter på tllinjen, som ligger på vstånd högst 5 från 3. Det är ll punkter som ligger melln 3 och 3+5 = 8, eller melln 3 och 3 5 = 2, lltså ll punkter melln 2 och 8, och vi får {x R : 3 x 5} = {x R : 2 x och x 8} = {x R : 2 x 8} = [ 2,8]. Tidigre definierdes x, för x 0 som det (end) icke-negtiv tl vrs kvdrt är x. Det etyder tt 4 = 2, och därmed tt 2 2 = ( 2) 2 = 4 = 2. Generellt gäller tt 2 = för ll reell tl..5. Övningr.5. Bestäm ) 7 ) 7 c) Bestäm ll reell tl x sådn tt ) x+ = ) 3 x = 7,5 c) x+4 = 0 d) 3 2x = 5 e) x 2 = Ange (utn eloppstecken) de x, som stisfierr ) x 2 ) x+3 < 5 c) x+3 > 5 d) x+2 0 e) 2 < x 2 3 f) x+ > 0.6 Kvdrtrötter Vi hr redn tidigre hft nledning tt definier och kommenter kvdrtrötter. Här gör vi det något mer systemtiskt. Vi återkommer till ämnet i kpitlet om funktioner. 3

32 .6. Kvdrtroten ur ett positivt reellt tl Eftersom produkten v såväl två positiv tl, som två negtiv tl, är positiv så gäller det tt x 2 = x x 0 för ll reell tl x. Alltså hr ekvtionen x 2 = ingen reell lösning om < 0. I vsnitt.4 ehndldes svårighetern med tt vgör huruvid en viss ekvtion hr lösningr i det tlsystem mn retr med. Där påpekdes tt ekvtionen x 2 = lltid hr en (d v s minst en) reell lösning om > 0. I själv verket hr den lltid två, t ex hr ekvtionen x 2 = 9 lösningrn 3 och 3. Definition: Med kvdrtroten ur,, där 0, mens det icke-negtiv, reell tl, vrs kvdrt är. Noter tt 0. Alltså är 9 = 3 och inte 3 eller ±3. Det gäller också tt 0 = 0. Enligt definitionen hr vi lltså tt ( ) 2 =. Men det gäller också tt Alltså gäller det tt: ( ) 2 ( = ) ( ) ( ) 2 = =. Ekvtionen x 2 = hr för > 0 två olik reell lösningr (ilnd även kllde rötter): och Mn skriver ilnd x 2 = x,2 = ±, för 0. Med dett mens lltså tt ekvtionen hr lösningrn x = och x 2 = Exempel. Ekvtionen x 2 = 9 hr således lösningrn (röttern) x,2 = ± 9 = ±3, d v s x = 3 och x 2 = 3. Exempel. Ekvtionen x 2 = 20 hr lösningrn (röttern) x,2 = ± 20 = ±2 5, eftersom direkt kontroll ger tt (2 5) 2 = = 4( 5) 2 = 4 5 =

33 .6.2 Räkneregler Av definitionen v kvdrtrot får vi följnde räkneregler: ( ) 2 = för 0. Räkneregler för kvdrtrot = och =, för 0 och > 0. 2 = för ll reell, d v s 2 = om 0 och 2 = om < 0. 2 = för 0 och ll, d v s 2 = om 0 och 2 = om < 0. =, om > 0. + = och =,,, > 0. + Den först punkten följer direkt v definitionen v kvdrtrot eftersom är det ickenegtiv tl vrs kvdrt är. Punkt två kn eviss genom tt vi konstterr tt 0 och tt ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 = =. Alltså är = enligt definitionen v kvdrtrot. På liknnde sätt eviss regeln för roten ur en kvot och de två efterföljnde reglern. Den femte regeln följer v = = ( ) 2 =. Metoden som nvänds i sist punkten klls förlängning med konjugtuttryck. Uttrycken och + klls konjugerde, eller vrndrs konjugt. Om mn 33

34 multiplicerr de med vrndr så får mn (se vsnitt.8 för den s k konjugtregeln) ( + )( ) = ( ) 2 + ( ) 2 = ( ) 2 ( ) 2 =. De två sist reglern kn nu viss genom tt mn förlänger med konjugtet, så t ex för den först likheten hr vi = + ( + )( ) = för,, > 0. Anmärkning. I llmänhet, lltså för de flest tl och, är + +. Till exempel ger = = tt + = 2, medn + = 2. På smm sätt är i llmänhet. Exempel. Här kommer ett ntl exempel på hur mn kn nvänd räknereglern. () Ekvtionen 4x 2 3 = 0 får vi till x 2 = 3/4 genom tt dder 3 till åd leden och sedn divider dem med 4. Den hr därmed lösningrn 3 3 x,2 = ± 4 = ± 2. () Den tredje punkten ger ( 3) 2 = 3 2 = 3 = 3. (c) Den fjärde punkten hndlr om tt ryt ut ur eller multiplicer in fktorer i rotuttryck och vi hr t ex 2 = 22 3 = 2 3 och 2 ( ) = = = (d) Den fjärde punkten ger ilnd möjlighet till förenkling om mn hr fler rötter sådn tt tlen under rottecknen hr gemensmm fktorer. Här kommer ett exempel = =

35 (e) Den näst sist punkten ger t ex 6 6 = ( 6 6 ) 2 = ( 0,4). 6 (f) Förlängning med konjugt (sist punkten) ger tt mn kn skriv om uttryck som 5+ 6 på följnde sätt 5+ 6 = 5 6 (5+ 6)(5 6) = ( 6) = = så tt mn får heltlsnämnre. (g) Vi kn jämför storleksordningen melln tl som innehåller kvdrtrötter utn tt nvänd räknre. Låt oss jämför tlen 2+ och 5. Eftersom vi inte vet vilket v dem som är störst, skriver vi frågetecken melln dem. Vi nvänder räknereglern för olikheter. Både vänster- och högerledet är positiv, lltså får vi smm olikhetstecken efter kvdrering 2+? 5 ( 2+) 2? ( 5) ? 5 2? 0. Eftersom 2 > 0, gäller 2+ > 5. (h) Här visr vi tt 3( 3 >. Enligt räknereglern för olikheter kn vi förläng med 3 och istället vis tt > 3 = 3, eftersom 3 > 0. Vänster- 2) 3 2 ledet kn nu skrivs om 3 2 = 3+ 2 = Vi nvänder återigen räknereglern för olikheter: > 3 ( 3 + 2) 2 > > 9 6 > 2 6 > 4, vilket är uppenrt, lltså är det snt tt 3( 3 2) >..6.3 Övningr.6. Förenkl 35

36 ) 0,49 ) c) 6 75 d) 0/ 25 e) 2 3 f) Lös ekvtionen ) x 2 25 = 0 ) 5 x 2 = 0 c) 9x 2 4 = 0 d) 6 6x 2 = 0 e) x 2 = Skriv med heltlsnämnre ) 2/ 6 ) 3/ 2 c) /( 3+ 2) d) 2/( 3) e) /(2 5) f) ( 6 3)/( 6+ 3).7 Potenser med rtionell exponent.7. n-te roten ur reell tl Mn kn vis tt, om 0 och n är ett positivt heltl, så finns, i likhet med specilfllet n = 2, precis ett icke-negtivt tl sådnt tt n =. Om n är ett jämnt tl så gäller också tt ( ) n =. Om n är ett udd tl så gäller istället tt ( ) n =. Dett leder till följnde definition v n-te roten ur ett icke-negtivt tl. Definition: Om n är ett positivt heltl och 0 är ett reellt tl, så mens med n-te roten ur, n, det icke-negtiv reell tl vrs n-te potens är, d v s som uppfyller ( n ) n =. Om är ett negtivt tl och n är ett positivt, udd heltl så mens med n det negtiv reell tl vrs n-te potens är, d v s som uppfyller ( n ) n =. 36

37 Ekvtionen x n =, där reellt tl och n är ett positivt heltl, hr då följnde reell lösningr (rötter): y = x 2 y = x 3 3. x = n, om n är ett udd (positivt) heltl, 2. x = ± n, om 0 och n är ett jämnt (positivt) heltl, 3. sknr reell rötter om n är jämnt och < 0 (roten n är i dett fll inte definierd). 3 Figur 6: Grfen till x 2 och x 3 För udd n =,3,5,... gäller tt: n = n. Definitionen v n gäller även för n =, vi hr då tt = för ll reell tl. Exempel. Eftersom 2 4 = 6 och 5 3 = 25 så får vi = 2, 25 = 5 och 3 25 = 5. direkt från definitionen..7.2 Räkneregler Följnde räkneregler för n-te rötter eviss på smm sätt som motsvrnde regler för kvdrtroten. Räkneregler för n-te rötter ( n ) n =, för 0 om n är jämnt, för ll om n är udd. n n = för ll om n är udd. n n = om n är jämnt. n n = n och n n = n, för 0 och > 0. 37

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer,

Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, Avsnitt 6 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG Med induktion menr mn vnligen en mycket vnlig resonemngsmetod: mn gör fler observtioner, upptäcker ett mönster (eller något som mn tror är ett mönster) därefter

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009 Innehåll Sommrmtte del Mtemtisk Vetenskper 8 pril 009 5 Ekvtioner och olikheter 5. Komple tl............ 5.. Algebrisk definition, imginär rötter....... 5.. Geometrisk representtion, polär koordinter...

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 12 mars 2012 Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 1 mars 01 Innehåll 1 Aritmetik och algebra 5 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 5 1.1.1 Naturliga tal.......................... 5 1.1. Negativa

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 INNEHALL 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 DATORER Allmänt Digitl dtorer Orgnistion Ordmm Minnesenheten Aritmetisk enheten Styrenheten In/utenheten Avbrott Spräk och proglmm

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

3 κappa Frågan. På R 4 definieras en produkt * på följande sätt: 1. x,y S och a,b R medför ax+by S. 2. x S och y R 4 medför x y S

3 κappa Frågan. På R 4 definieras en produkt * på följande sätt: 1. x,y S och a,b R medför ax+by S. 2. x S och y R 4 medför x y S Täljren Mtemtiskt dividernde Gunnr Lindholm gunnr @ tljren. se novemer 7 Täljren är en nästn måntlig skrift om mtemtik och mtemtikundervisning riktd till ll intresserde. Jg uppmnr läsrn tt hör v sig med

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen 2016-05-23 Sid 1/2 Tjänsteskrivelse Dnr: LKS 2016-235 Kommunstyrelseförvltningen Leif Schöndell, 0523-61 31 01 leif.schondell@lysekil.se Pln för lik rättigheter och möjligheter i rbetslivet uppdrg till

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer