Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se

Transkript

1 Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrum.se Formelsmlingen.se Mtteoken.se Pluggkuten.se 4 Innehåll: Pluggtips Formelsmling Ntionell prov från tidigre år I smrete med retsgivrorgnistionen

2 Så lcks du med det ntionell provet För tt få ut så mcket som möjligt v kvällens mttekonvent vill vi uppmuntr dig tt ställ mång frågor till volontärern. De finns på plts idg för din skull och de vill hjälp till! Självklrt kn du ställ vilk mttefrågor du vill; de ehöver inte hndl om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer någr pluggtips från oss på Mttecentrum: Rit upp prolemet: Inget förklrr ett prolem så r som en figur och det mest går tt rit. Sk du räkn ut måtten på en hge? Rit hgen! Sk du lös en trigonometrisk ekvtion? Rit enhetscirkeln! T prolemet steg för steg: De flest v oss kn inte håll mssor v steg i huvudet smtidigt så h för vn tt lltid skriv ner ll delr i din uträkning så lir det färre slrvfel och åde du, lärren och volontärern kn lättre följ med i hur du hr tänkt. Jo med grundteknikern: Inom mtemtiken gger de mer vncerde metodern oft på grundtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekurser eller kpitel så se till tt öv lite etr på eempelvis prioriteringsreglern, ekvtionslösning och ndr grundtekniker om de mer vncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själv och ndr genom tt diskuter prolemen tillsmmns. Genom tt prt mtte övr du på llt möjligt: din egen förståelse, hur prolem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälvförtroende. Kn du förklr en metod för en kompis så vet du tt du själv ehärskr den. Prtr du mtte övr och förereder du dig även inför det muntlig ntionell provet! Kvlitet istället för kvntitet: Tänk kvlitet istället för kvntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt verkligen försök förstå Ptghors sts än tt räkn ut hpotenusn i 0 olik tringlr utn tt förstå vd du fktiskt gör.

3 Tips för tt lös en specifik uppgift Läs uppgiften noggrnt! Förstår du uppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn vr något som sk räkns ut eller något som sk ställs upp för tt sedn räkns ut. Om inte, vd är det du inte förstår? Är det viss ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften er dig tt nvänd? Koll upp de delr som du inte förstår genom tt slå upp orden, äddr kåt i oken för tt fräsch upp minnet eller fråg en volontär! Innn du örjr lös uppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg vilken metod som sk nvänds för tt lös uppgiften? Om inte, koll upp liknnde uppgifter och titt på hur lösningsmetodern är där. När du vet vilken metod som sk nvänds till den uppgift du sitter med kn du ställ dig själv följnde frågor: Förstår jg metoden som nvänds? Förstår jg vrför just denn metod nvänds till denn tp v prolem? Om inte, gå tillk till vsnittet med den metoden i oken och fräch upp minnet eller fråg en volontär. Räknt klrt och svret är glet? Då sk du felsök svret! Gå noggrnt igenom uträkningrn för tt se om du gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först två punktern för tt försäkr dig om tt du verkligen hr förstått frågn och nvänt rätt räkneopertioner. Känns uträkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om uppgiften på en helt n sid utn tt tjuvkik på den gml uträkningen! Fortfrnde fel svr och svret är detsmm som du fick först gången du räknde? Då hr du troligtvis inte gjort ett slrvfel, utn nvänder fel metod. Gå tillk och koll hur liknnde uppgifter hr lösts. Känner du tt du ändå inte kommer vidre på egen hnd, fråg en volontär! Läs mer ingående tips på mtteoken.se!

4 (8) Skolverket Formler till ntionellt prov i mtemtik, kurs 4 Alger Regler ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( Andrgrdsekvtioner 0 q p q p p 0 c c 4 Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser ) ( ) ( n n 0 Geometrisk summ där ) (... k k k k k k n n Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg p p lg lg Asolutelopp 0 om 0 om

5 (8) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner k m k c 0 c 0, där inte åde och är noll Potensfunktioner Eponentilfunktioner C C 0 och Sttistik och snnolikhet Stndrdvvikelse för ett stickprov s ( ) (... ( n ) n ) Lådgrm Normlfördelning Täthetsfunktion för normlfördelning f () e Skolverket

6 (8) Differentil- och integrlklkl Derivtns definition f ( ) lim h0 f ( h) h f ( ) lim f ( ) f ( ) Derivtor Funktion Derivt n där n är ett reellt tl n n ( > 0) ln ln ( 0 ) e k e e k k e sin cos cos sin tn tn cos k f () k f () f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ( ) 0) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( g( )) Kedjeregeln Om f ( z) och z g( ) är två deriverr funktioner så gäller för f ( g( )) tt d d dz f ( g( )) g( ) eller d dz d Skolverket

7 4(8) Primitiv funktioner Funktion k n ( n ) Primitiv funktioner k C n C n ln C ( 0) e e C k e e C k ( 0, ) k C ln sin cos C cos sin C Komple tl Representtion iv z i re r(cosv isin v) där i Argument rg z v tn v Asolutelopp z r Konjugt Om z i så z i Räknelgr zz r r (cos( v v) isin( v v)) z z r (cos( v v) isin( v )) v r de Moivres formel n n n z ( r(cosv isin v)) r (cosnv isin nv) Skolverket

8 5(8) Geometri Tringel h A Prllellogrm A h Prllelltrpets h( ) A Cirkel A πr O d π 4 πr πd Cirkelsektor v 60 πr A v 60 r r π Prism V Bh Clinder V πr h Mntelre A πrh Prmid V Bh Kon πr h V Mntelre A πrs Klot 4πr V A 4 πr Likformighet Tringlrn ABC och DEF är likformig. d e c f Skl Areskln = (Längdskln) Volmskln = (Längdskln) Skolverket

9 6(8) Topptringel- och trnsverslstsen Om DE är prllell med AB gäller Bisektrisstsen AD BD AC BC DE AB CD AC CD CE AD BE CE och BC Vinklr u v 80 Sidovinklr w v Vertiklvinklr L skär två prllell linjer L och L v w Likelägn vinklr u w Alterntvinklr Kordstsen cd Rndvinkelstsen u v Pthgors sts c Avståndsformeln d ( ) ( ) Mittpunktsformeln m och h m Skolverket

10 7(8) Trigonometri Definitioner sin v c cos v c tn v Enhetscirkeln sin v cos v tn v Sinusstsen Cosinusstsen Arestsen Trigonometrisk formler sin A sin B sin C c T c sin C sin v cos ccos A v sin( v u) sin vcosu cosvsinu sin( v u) sin vcosu cosvsinu cos( v u) cosvcosu sin vsinu cos( v u) cosvcosu sin vsinu sin v sin v cosv cos v sin cosv cos v sin v v () () () sin cosc c sin( ( v) där c och tn v Cirkelns ekvtion ( ) ( ) r Skolverket

11 8(8) Ekt värden Vinkel v (grder) (rdiner) 0 π π π π π π 5π π sin v 0 0 cos v 0 tn v 0 Ej def Skolverket

12 NpM4 vt 0 Del B: Digitl verktg är inte tillåtn. Endst svr krävs. Skriv din svr direkt i provhäftet.. Deriver ) f ( ) = sin (/0/0) ) 5 g ( ) = ( 4 + ) (/0/0). Figuren visr ett komplet tlpln där tlen z och z är mrkerde. ) Bestäm z (/0/0) ) Bestäm z + z (/0/0)

13 NpM4 vt 0. Ange den lodrät smptoten till f ( ) = (/0/0) + 4. Figuren visr grfen till funktionen f. För vilket värde på i intervllet 0 0 ntr 0 f ( ) d sitt störst värde? (0//0) 5. För vilk vinklr i intervllet 0 < v < 90 gäller tt v? sin < (0//) 6. Ange en kontinuerlig funktion f som är definierd för ll och hr värdemängden f ( ) 7 (0/0/)

14 NpM4 vt 0 Del C: Digitl verktg är inte tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. e 7. Någr elever hr fått i uppgift tt eräkn Agnes får svret e Ingel får svret 0 Kerstin får svret d Hr någon v dem räknt rätt? Motiver ditt svr. (/0/0) 8. För två komple tl z och z gäller tt: z z = 7 + i z = i Bestäm z på formen + i (/0/0) sin 9. ) Vis tt cos + = för ll där uttrcken är definierde. (/0/0) cos π ) Vis tt cos( + ) = cos sin (0//0) 4 0. Lös ekvtionen cos = (//0) 4

15 NpM4 vt 0. För funktionen f gäller tt + f ( ) = ) Ange smptotern till funktionen f Endst svr krävs (//0) ) Skiss grfen till funktionen f och dess smptoter. (0//0) c) Lös olikheten f ( ) > där + f ( ) = (0/0/) p. Ekvtionen z = i sk undersöks för olik värden på heltlet p. För viss värden på heltlet p är z = cos9 + i sin 9 en lösning till ekvtionen p z = i ) Vis tt dett gäller för p = 50, det vill säg vis tt z är en lösning till z 50 = i (0//0) ) Bestäm ll heltlsvärden på p för vilk z är en lösning p till ekvtionen z = i (0/0/). För polnomet p gäller tt p ( z ) = z + 4 z z 8 5 ) Vis tt ( z + 4 ) är en fktor i polnomet p. (0//0) 5 ) Lös ekvtionen z + 4 z z 8 = 0 (0//) π / 6 4. Beräkn ( sin + 5 ) cos d (0/0/) 0 5

16 NpM4 vt 0 5. Lsse och Nikls sk lös följnde uppgift: Undersök om funktionen f ( ) = ntr något störst värde då 0 5 Lsse löser uppgiften så här: Nikls säger tt Lsses svr är fel eftersom funktionen kn nt större värden än. Till eempel ntr funktionen värdet då = 5 Utred vilket fel Lsse gör i sin lösning och lös den givn uppgiften. (0/0/) 6

17 NpM4 vt 0 Del D: Digitl verktg är tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 6. Skriv det komple tlet z = + i på polär form. (/0/0) 7. En etesmrk för kor vgränss v skog och en ringlnde äck enligt figuren nedn. Enligt en förenkld modell kn äckens läge eskrivs med funktionen f ( ) = 0, 5 + sin + Beräkn etesmrkens re. (/0/0) 8. Ekvtionen + cos = hr fler lösningr. 5 Smtlig lösningr ligger i intervllet 0 0 ) Bestäm den minst lösningen till ekvtionen. Svr med minst tre värdesiffror. (/0/0) ) Bestäm ntlet lösningr till ekvtionen. (/0/0)

18 NpM4 vt 0 9. I figuren nedn viss det område som egränss v kurvn koordintlrn. = 4 e och När området roters runt -eln ilds en rottionskropp. Teckn ett uttrck för rottionskroppens volm och estäm dess värde med minst tre värdesiffror. (0//0) 0. En fågelunge fller från en 8,0 m hög klipp. För tt förenklt eskriv fllrörelsen kn följnde differentilekvtion ställs upp: dv + 5v = 0 där v är fllhstigheten i m/s efter tiden t sekunder. dt ) Vis tt 5t v ( t ) = e är en lösning till differentilekvtionen. (/0/0) ) Bestäm tiden det tr för fågelungen tt fll 8,0 m. (0//0). Ett företg hr undersökt hur länge kunder som ringer till ders kundservice ehöver vänt innn de får svr. De hr funnit tt väntetiden t minuter hr en t / 6 fördelning som kn eskrivs med täthetsfunktionen f ( t ) = e, t 0 6 ) Bestäm snnolikheten tt en kund som ringer till företget ehöver vänt högst 0 minuter på svr. (0//0) ) Företget vill informer om resulttet v undersökningen genom följnde formulering: Vår kundundersökning visr tt 50 % v vår kunder ehöver vänt högst minuter. Bestäm värdet på. (0//0) 4

19 NpM4 vt 0. Figurern visr kurvorn = p ( ) och = q ( ) smt tngentern till dess för = Låt r ( ) = p ( ) q ( ) och estäm r ( ). (0/0/). I Liss mtemtikok finns följnde uppgift: Figuren visr kurvn = A sin + B Bestäm konstntern A och B. Lis löser uppgiften så här: Liss lösning är inte korrekt. Hjälp Lis tt lös uppgiften korrekt. (0/0/) 5

20 NpM4 vt 0 Bedömningsnvisningr Eempel på ett godtgrt svr nges inom prentes. Till en del uppgifter är edömd elevlösningr ifogde för tt nge nivån på edömningen. Om edömd elevlösningr finns i mterilet mrkers dett med en smol. Del B. M /0/0 ) Korrekt svr ( f ( ) = cos ) + E P 4 ) Korrekt svr ( g ( ) = 0(4 + ) ) + E P. M /0/0 ) Korrekt svr ( i ) + E B ) Korrekt svr ( + 5 i ) + E P. M /0/0 Korrekt svr ( = ) + E B 4. M 0//0 Korrekt svr ( = 9 ) + C B 5. M 0// Anger minst ett v de korrekt intervllen, t e 0 < v < 0 + C B med korrekt svr ( 0 < v < 0 och 50 < v < 90 ) + A B Kommentr: Även svren v < 0 och v > 50 nses godtgr då intervllet 0 < v < 90 är givet. 6. M 0/0/ Korrekt svr (t e f ( ) = + 4 sin ) + A B 8

21 NpM4 vt 0 Del C 7. M /0/0 Godtgr nsts, t e eräknr integrlen till lne ln + E P med i övrigt godtgrt resonemng (t e J, svret lir. Kerstin hr rätt. ) + E R 8. M /0/0 (7 + i)(+ i) Godtgr nsts, t e nger tt z = + E PL ( i)( + i) med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( z = i ) + E PL + 9. M //0 ) Godtgr nsts, t e förenklr VL till sin + cos + E R med i övrigt godtgrt slutfört evis + E R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. ) Godtgr nsts, nvänder dditionsstsen korrekt + C R med i övrigt godtgrt slutfört evis + C R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 0. M //0 Godtgr nsts, estämmer minst en lösning till ekvtionen + E P med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( = 5 + n 80 ) + C P 9

22 NpM4 vt 0. M // ) Anger den vågrät eller lodrät smptoten + E B med korrekt svr ( = och = ) + C B ) Godtgr skissning v grfen där åd smptotern ingår + C P med korrekt inritde smptoter och en grf som tdligt närmr sig smptotern Kommentr: Med godtgr skissning v grfen mens tt grfen, med sitt krkteristisk utseende, ligger på rätt sid om smptotern men ehöver inte vr korrekt inritd punkt för punkt. + C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. c) Godtgr nsts, estämmer det en delintervllet, t e < < 5 + A PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( < < eller < < 5 ) + A B Kommentr: En lösning med svret < < 5 ges nstspoängen för prolemlösning på A-nivå. Se vsnittet Bedömd elevlösningr.. M 0// ) Godtgr nsts, nvänder de Moivres formel korrekt + C P med i övrigt godtgr lösning ) Godtgr nsts, estämmer tterligre minst ett värde på p med den givn egenskpen + C P + A PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( p = 0 + n 40 ) + A PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 0

23 NpM4 vt 0. M 0// ) Godtgr nsts, t e påörjr en korrekt uppställd polnomdivision + C R med i övrigt godtgrt slutfört evis + C R ) Godtgr nsts, estämmer minst tre rötter + C P = med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( z = i, z = i, z, 4 5 z = (cos0 + isin0 ) och z = (cos 40 + isin 40 ) ) + A PL Lösningen (deluppgift och ) kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, minustecken, rottecken, inde, prenteser, termer såsom polär form, koefficient smt hänvisning till de Moivres formel etc. + A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 4. M 0/0/ Godtgr nsts, estämmer en korrekt primitiv funktion + A PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( ) + APL 4 Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 5. M 0/0/ Godtgr nsts, t e nger tt felet eror på tt Lsse inte tr hänsn till tt det finns ett -värde där funktionen inte är definierd + A R med i övrigt godtgrt slutfört resonemng med godtgr slutsts (t e Nej, den hr inget störst värde. ) + A R Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, f ( ), f ( ), prenteser, lim, tdlig skiss, termer såsom nollställe, derivt, störst värde, definierd, grf, smptot, -el etc. + A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr.

24 NpM4 vt 0 Del D 6. M /0/0 Godtgr nsts, t e estämmer rg(z ) + E B med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (,8(cos 45 + isin 45 ) ) + E B 7. M /0/0 9 Godtgr nsts, korrekt tecknd integrl, ( 0, 5 + sin + ) d + E M med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (47 km ) Kommentr: Om grder nvänts i stället för rdiner fås det ej godtgr svret 49 km. 0 + E M 8. M /0/0 ) Godtgr lösning med godtgrt svr ( 5, 97 ) + E P ) Godtgr lösning med korrekt svr (7) + E P 9. M 0//0 Godtgr nsts, estämmer övre integrtionsgränsen eller tecknr integrlen π ( 4 e ) d + C P 0,86 med godtgr fortsättning, tecknr ett uttrck för volmen, π ( 4 e med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (7,8) 0 ) d + C P + C P

25 NpM4 vt 0 0. M //0 ) Godtgr lösning + E P ) Godtgr nsts, t e tecknr en korrekt ekvtion för estämning v tiden, t e ( e ) d t = 8 + C M 0 5t med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (4, s) Lösningen (deluppgift och ) kommunicers på C-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, VL, HL, v ( t ), v ( t ), integrltecken, prenteser, termer såsom differentilekvtion, integrl, integrtionsgräns, primitiv funktion etc. + C M + C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr.. M 0/4/0 ) Godtgr nsts, t e ställer upp en integrl för estämning v snnolikheten tt väntetiden är högst 0 minuter med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (0,8) + C M + C M ) Godtgr nsts, t e ställer upp en korrekt ekvtion för estämning v + C PL med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr ( 4, ) + C PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr.. M 0/0/ Godtgr nsts, t e nger tt r ( ) = p ( ) q ( ) + p ( ) q ( ) + A B med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr ( r ( ) = ) + A PL. M 0/0/ Godtgr nsts, estämmer en v konstntern med godtgr motivering + A PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( A =, B = ) + A PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr.