Mattekonvent. Matematik. Keep calm and do math. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov. Plugga inför nationella provet med Mattecentrum!

Transkript

1 Keep clm d do mth Mttekoet Plgg iför tioell proet med Mttecetrm Mtemtik Iehåll: Plggtips Formelsmlig Ntioell pro 5 mtteoke.se plggkte.se formelsmlige.se

2 Så lcks d med det tioell proet För tt få t så mcket som möjligt källes mttekoet ill i ppmtr dig tt ställ måg frågor till olotärer. De fis på plts idg för di skll och de ill hjälp till Själklrt k d ställ ilk mttefrågor d ill; de ehöer ite hdl om e specifik ppgift på öigsproet. Här följer ågr plggtips frå oss på Mttecetrm: Rit pp prolemet: Iget förklrr ett prolem så r som e figr och det mest går tt rit. Sk d räk t måtte på e hge? Rit hge Sk d lös e trigoometrisk ektio? Rit ehetscirkel T prolemet steg för steg: De flest oss k ite håll mssor steg i hdet smtidigt så h för tt lltid skri er ll delr i di träkig så lir det färre slrfel och åde d, lärre och olotärer k lättre följ med i hr d hr täkt. Jo med grdtekiker: Iom mtemtike gger de mer cerde metoder oft på grdtekiker som m hr lärt sig i tidigre mttekrser eller kpitel så se till tt ö lite etr på eempelis prioriterigsregler, ektioslösig och dr grdtekiker om de mer cerde metoder käs kepig. Prt mtte: Hjälp dig själ och dr geom tt diskter proleme tillsmms. Geom tt prt mtte ör d på llt möjligt: di ege förståelse, hr prolem k ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälförtroede. K d förklr e metod för e kompis så et d tt d själ ehärskr de. Prtr d mtte ör och förereder d dig äe iför det mtlig tioell proet Klitet istället för ktitet: Täk klitet istället för ktitet. Äg hellre e hel lektio åt tt erklige försök förstå Ptghors sts ä tt räk t hpotes i 0 olik triglr t tt förstå d d fktiskt gör.

3 Tips för tt lös e specifik ppgift Läs ppgifte oggrt Förstår d ppgifte? Vd frågs det efter egetlige? Det k r ågot som sk räks t eller ågot som sk ställs pp för tt sed räks t. Om ite, d är det d ite förstår? Är det iss ord i ppgifte eller är det ett räkesätt som ppgifte er dig tt äd? Koll pp de delr som d ite förstår geom tt slå pp orde, äddr kåt i oke för tt fräsch pp miet eller fråg e olotär I d örjr lös ppgifte, ställ dig fråg: Förstår jg ilke metod som sk äds för tt lös ppgifte? Om ite, koll pp likde ppgifter och titt på hr lösigsmetoder är där. När d et ilke metod som sk äds till de ppgift d sitter med k d ställ dig själ följde frågor: Förstår jg metode som äds? Förstår jg rför jst de metod äds till de tp prolem? Om ite, gå tillk till sittet med de metode i oke och fräch pp miet eller fråg e olotär. Räkt klrt och sret är glet? Då sk d felsök sret Gå oggrt igeom träkigr för tt se om d gjorde ågr räkefel och ställ dig ä e gåg frågor i de först tå pkter för tt försäkr dig om tt d erklige hr förstått fråg och ät rätt räkeopertioer. Käs träkige och metode fortfrde rätt, räk om ppgifte på e helt sid t tt tjkik på de gml träkige Fortfrde fel sr och sret är detsmm som d fick först gåge d räkde? Då hr d troligtis ite gjort ett slrfel, t äder fel metod. Gå tillk och koll hr likde ppgifter hr lösts. Käer d tt d ädå ite kommer idre på ege hd, fråg e olotär Läs mer igåede tips på mtteoke.se

4 ( Skolerket Formelld mtemtik 5 Alger Regler ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Adrgrdsektioer 0 q p q p p 0 c c 4 Biomilstse k k k k ( Aritmetik Prefi T G M k h d c m p ter gig meg kilo hekto deci ceti milli mikro o piko Poteser ( ( 0 Logritmer 0 lg e l lg lg lg lg lg lg p p lg lg Asoltelopp 0 om 0 om

5 (8 Fktioer Rät lije Adrgrdsfktioer k m k c 0 c 0, där ite åde och är oll Potesfktioer C Epoetilfktioer C 0 och Sttistik och solikhet Stdrdikelse för ett stickpro ( ( s... ( Lådgrm Normlfördelig Täthetsfktio för ormlfördelig f ( e Skolerket

6 (8 Differetil- och itegrlklkl Derits defiitio f ( lim h0 f ( h h f ( lim f ( f ( Deritor Fktio Derit där är ett reellt tl ( > 0 l l ( 0 e k e e k k e si si t t k f ( k f ( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( f ( g( ( ( 0 f ( g( f ( g( g ( g( Kedjeregel Om f ( z och z g( är tå derierr fktioer så gäller för f ( g( tt d d dz f ( g( g( eller d dz d Skolerket

7 4(8 Primiti fktioer Fktio k ( Primiti fktioer k C C l C ( 0 e e C k e e C k ( 0, k C l si C si C Komple tl Represettio i z i re r( isi där i Argmet rg z t Asoltelopp z r Kojgt Om z i så z i Räkelgr zz r r (( isi( z z r (( isi( r de Moires formel ( isi ( isi z ( r r Skolerket

8 5(8 Geometri Trigel h A Prllellogrm A h Prllelltrpets h( A Cirkel A πr d π 4 O πr πd Cirkelsektor 60 πr r A πr 60 Prism V Bh Clider V πr h Mtelre A πrh Prmid Bh V Ko Klot πr h V Mtelre A πrs 4πr V A 4πr Likformighet Skl Triglr ABC och DEF är likformig. d e c f Areskl = (Lägdskl Volmskl = (Lägdskl Skolerket

9 6(8 Topptrigel- och trserslstse Om DE är prllell med AB gäller Bisektrisstse AD BD AC BC DE AB CD CE och AC BC CD CE AD BE Viklr 80 Sidoiklr w Vertikliklr L skär tå prllell lijer L och L w Likeläg iklr w Altertiklr Kordstse Rdikelstse cd Pthgors sts c Astådsformel d ( ( Mittpktsformel m och m Skolerket

10 7( Skolerket Trigoometri Defiitioer c si c t Ehetscirkel si t Sisstse c C B A si si si Cosisstse A c c Arestse si C T Trigoometrisk formler si si si si( si si si( si si ( si si ( si si ( si ( ( si si( si c där c och t Cirkels ektio ( ( r

11 8(8 Ekt ärde Vikel (grder (rdier 0 π π π π π π 5π π si t 0 Ej def. 0 Mägdlär A B A och B A B A eller B A \ B A och B A C G och A Tlteori Kogres (mod c om differese är delr med c Om (mod c och (mod c gäller tt. (mod c. (mod c Om (mod c gäller tt. m m (mod c för ll heltl m 4. (modc för ll heltl 0 Aritmetisk s smm där ( d Geometrisk k s smm k där k Komitorik Permttioer Komitioer P(, k ( (... ( k där 0 k ( k P(, k C(, k där 0 k k k k( k Skolerket

12 KrsproMtte5 DethärproetärgjortMttecetrmpågrdttdekrsärsåttiggmlkrsprofis.Därför reflekterriehålletiteödädigtishrdetriktigproetlirttset. Seiställetdettsomemöjlighetttrepeterochpptäcktddehöerträmerpå.Igpoägärtstt.Istället ärissppgifter,somksketrmertidädr,mrkerdemed(#. Lck&till& Uppgift Agelldelretilltlet0. Vilkdessärtriildelre? cvilktleärprimtl? Uppgift Bestämdetmisttrligtletsomppfller 7 + 4'(*+'5 Uppgift(# Beis,medhjälpidktio,ttsmmdeförstddtleärlikmed..Meddrordtt: =. Uppgift4 LåtmägdeArdefiierdsom4 = N 7: 7 5. MägdeNrepreseterrmägdelltrligtl0,,,,4,5, Agestellerflsktförföljdepåståede:. 4 > {,} 4 c 4 d 4 = 5 e 4 (

13 Uppgift5 Lottoärettspeldärdskälj7tl5.Omdfårllrätt(deehöeriteriågospecifikordigier dhögstiste. A. Hrmågoliklottorderfisdet? Påstrktipsetskdiställetälj,förmtcher,omdesltrmed:ttlgAier,ttlgBier,elleromdetlir ogjort.treltertiförrjemtch.härspelrlltsåordigeroll. B. Ärdetstörstsolikhetttfå7rättpålottoellerrättpåstrktipset? Uppgift6 Förklrdsommesmedföljdegrfteoretiskegrepp: A. Vdrig B. Väg C. Eleräg D. Stig E. Hmiltostig F. Hmiltockel Uppgift7 Ritegrfmedmist5odersomhreElerkrets. Uppgift8 Lösdifferetilektioe DE = 7 + medillkoretg(0 =. Uppgift9(# DF HittdellmälösigetilldeihomogedifferetilektioeG H 8G = 67.Srekt. Uppgift0 Nedfistårekrsitdefiierdetlföljder.Beräkågrelemetiföljdeochgöromdetäreritmetisk ellergeometrisktlföljd.beräksedsmmde0försttle. K L =,''''''K M = K MNL + K L =,''''''K M = K MNL (

14 Uppgift Förttseometttlärdelrtmed6räckerdetmedttekräftttdetärdelrtmedoch.Förklrrfördetär så. Uppgift OmK '(*+'4,ochO '(*+'4,estämmistpositiheltlsomppfller: KO' '(*+'4 Uppgift(# Beistt > 'ärdelrtmedförll N. Uppgift4(# Atttetj,somförsökerkäckdittFceook\löseord,ktest00000oliklöseordrjesekd. A. Omdittlöseordrestårsiffror0\9,hrlågtmåstedetrförtttjeiteskkhi testllmöjligheteriomerimligtid?esäker rimligtid ktilleempelr0årellerlägre. B. Omlöseordetfåreståsiffror,år9storokstäerochår9småokstäer,hrlågtehöerdå löseordetrförtttjeiteskhitestllmöjligheteriomerimligtid? Esäker rimligtid ktilleempelr0årellerlägre. Uppgift5 Emäiskhrmell0och00000hårstråpåhdet.FörklrdDirichletslådpricipär,ochäddeför tteisttmisttåpersoerpåjordehrlikmåghårstråpåhdet. Uppgift6 Bestämeprtiklärlösigtilldifferetilektioe G H + '7G = si (

15 Uppgift7(# Newtossligslgsertsomföljer: +U +V = W(U U 0 DärUärettföremålstempertrefterVmiter,U X äromgiigestempertrochwärekostt.låtidethär flletw = 0,07. A. Epizztstrgeochärdå75grder.Deställspåettordiettgrderrmtrm.Hrlåg tidtrdetipizzär75grderrm? B. Atttrmmetlltidhrsmmtempertr.Förklriorddttrcketetder: lim ](V = U 0 V Uppgift8(# Ertfåglrärtrotigshotdeochiologerärdärföritresserdettförsökförståhrmågdefågelrte somkommerfisifrmtide. A. Ekeltttrcktosererrdeföljde:jflerfåglrsomfis,destoflerföds.Alltsåärtilläthstighete proportioellmottletfåglr.ställppedifferetilektiosomeskrierdett. B. Bestämdellmälösigetilloståede(homogedifferetilektio. C. LåttidsrielVrepresetertlårefter004.UtgåfråtideV = 0år004,dådetfs0fåglr.År 04fsdet00dessfåglr.Bestämelösigtilldifferetilektioesomppfllerdessillkor. D. Eligtdemodell,hrmågfåglrkommerdetfisår04? E. Eligtdemodellkommerdetår04fis] 00 = 955'677'95'7'4'76,lltsåäste triljo,fåglr.ärdetrimligt?vrför/rförite? Uppgift9 Utecklttrcket 7 + G _ medhjälpiomilstse. Uppgift0 Tlethrdelr,,, 4, 6,.Smmlldelretilletttlkskrismedfktioe`(somttls sigm.idethärflletär ` = = 8 Viserlltsått` >. A. Förklrrfördetlltidgällertt`. B. Detäritelltidsttt`.Hittettmoteempelsomisrdet. 4(

16 Lösigsförslgochfcit Uppgift'' A. Delrär:,,, 5, 6, 0, 5, 0 B. Triildelreärochtletsjält,lltså:, 0 C.,, 5.(Komihågttiteärettprimtl. Uppgift'' Vikräkttt7 '(*+'5,såikskrippgiftesom: '(*+'5 Ochfrå + 4'(*+'5'seritt =. Uppgift'' Vårtsfllär =,förilketifår =. Våridktioshpotes:Atttpåståedetärstförettheltl = c: de f = (c = c. = ge f Idktiossteget( = c + : de fhl = c + c + = c ge fhl = c +. = c. + c + f i + (c + ' Fråidktioshpoteseetitt: de fhl = c. + (c + Vilketjärprecislikmedge fhl.alltsåärpåståedeteistförllheltl. Uppgift'4' Mägde4 = {0,,,,4,5}. A. Flskt,4iehålleredstheltl. B. St,{,}äredelmägd. C. Flskt,4iehållerigegtitl. D. Flskt,detfis6elemeti4. E. St,detommmägdeäredelmägdtillllmägder. 5(

17 Uppgift'5' AtletmöjligLottorderärekomitio7tlfrå5möjlig: Atletmöjligstrktipsrder: L> = '594'. Eftersom67450' > '594etderdet: k e*vv*lmv = < 594 = k pvqgwvmclmv Såsolikheteärstörrettipåstrktipset. >_ j = 6'74'50 Desstom,eftersomdetfismeriformtiotillgägligidstrktipsetsmtcher(iformtioomlge,spelr, derssestemtcheretc.såkoddseräättre.ilottofisigesådiformtiotttillgå. Uppgift'6' A. Vdrig:Eförflttigiegrffråhörtillhörlägseellerflerkter. B. Väg:Edrigdärigektpssersmeräegåg. C. Eleräg:Eägsompsserrrochekterigrfeektegåg. D. Stig:Edrigdärigethörpssersmeräegåg. E. Hmiltostig:Estigdärrjehörigrfeesöksektegåg. F. Hmiltockel:EHmiltostigsompåörjsochsltsismmhör. Uppgift'7' EElerkretsäreElerägsomörjrochsltrismmhör.Häräretteempelmedsehörhämttfrå mtteoke.se,medetfisoädligtmågmöjligheter: Detiktigsteärttllhörhrjämgrd. 6(

18 Uppgift'8' Geomttitegrerådsidorfåri G 7 = ' = 7. Sedkieräk: G 0 = r = r r EftersomietG 0 = etilltsåttr = ochsretär: G 7 = Uppgift'9' DehomogelösigeärG t = r F. AsättprtiklärlösigetillG f = 47 + w,deritlirdåg f = 4.Isättigiektioeger: w = w = 67 Vilketgerföljdetåektioer: 84 = 6 4 8w = 0 Dettger4 = N> N> ochw = >. Fllstädigllmälösiggesdå: G = G t + G f = r F 4 7 därrärekostt. Uppgift'0' A.Dettäreritmetisktlföljd,eftersomdifferesemellrjeelemettillästärkostt. Förstelemetet:K L =. Förttfåfrmärdetpåettelemetkiädföljdeformel:K M = K L + ( + Tiodeelemetetärdå:K LX = + 9 = 9 Smmeritmetisktlföljdfåsföljdeformel: M = M { h{ }. LX = K L + K LX = 0( + 9 = 55 7(

19 B.Dettäregeometrisktlföljd,eftersomkotemellrjeelemetochdetföregåedeärkostt. Förstelemetet:K L =. Kote:W =. Smmegeometrisktlföljdfåsföljdeformel: M = K L(W M W LX = K L(W M W = (LX = 069 Uppgift'' Etttlsomärdelrtmedochärocksådelrtmed = 6. Vikocksåskridetmermtemtiskttförligtsåhär: Omtletärdelrtmedetderdetttäremltipel,lltså = KförågottlK. Påsmmsätt,omärdelrtmed,etderdettt = Käremltipel.Eftersomsjälklrtiteärdelrt med,måstedetrksomärdelrtmed,ochkskrisk = OförågottlO. Alltsåkiskritletsom: = O = 6O Dettäremltipel6ochdärförärdelrtmed6,meddrord: 0'(*+'6 Uppgift'' Eligträkereglerförkogreserkiskri: K O '(*+'4 Vikräkt = 4: KO 4'(*+'4 Eftersom4 '(*+'4ärrättsr =. Uppgift'' Vieisrdettmedidktio.Upperligeär > = = 0delrtmed,eftersom0ärdelrtmedll tl.dettgöråridktioss. Idktioshpotes:Atttpåståedetgällerförågottl = c: ' 'c > c Idktiossteg:Låt = c + ochföreklpreteser: 8(

20 c + > c + = c > + c. + c + c Termer+och trtrdr,ochgeomttflttomtermerfåri: c > c + c. + c Fråidktioshpoteseetittc > cärdelrtmed.desstomärdedrtermermltipleroch därmedocksådelrmed. Alltså,eftersomrjetermärdelrmed,ärhelttrcketdelrtmed,ochpåståedetäreistförllheltl. Uppgift'4' Rimligtid låterihärrmist0år,lltså = 5'60'000sekder. ViklåtU(refktiosomgertideUeroedelägdepålöseordet,lltsåtltecke,. Idethärflletär U = 0M 00'000 = 0M 0 _ = 0MN_ ViillhittsåttU > 5'60'000: 0 MN_ > 5'60'000 5 > log'(5'60'000 > log 5'60' ,5 Alltsåehöerlöseordetrmist4teckelågt. Idethärflletfisdet = 68möjligtecke,såihr U = 68M 0 _ Medsmmolikhet,U > 5'60'000fåriträkige: 68 M 0 _ > 5'60'000 ' log 68 > log'(5'60'000 0 _ > log'(5'60'000 0_ log 68 = 7,4 Alltsåehöerlöseordetedstrmist8teckelågt. (Attdettrmist0årtttestllmöjligheteretderdockitettlöseordetödädigtisärsäkert,förmodlige ehöeritellmöjlighetertestsidittlöseordkommerpp. 9(

21 Uppgift'5' Dirichletslådpricip:Omföremålskplcersilådor,och >,såkommermistelådttiehållmerä ettföremål. Idethärfllettgörs lådor tlethårstråpåhdet.detfislltså = 00'000lådor. Föremåle är lltsåtletmäiskor,somär 7 0 Å.Eftersom > måstedetfismistetttlhårstråsomfler mäiskorhr. Uppgift'6' Ekorrektsättigär:G f = 4 si 7 + w 7 + r förkostter4, w, r.dessderitär:g f = 4 7 w si 7 Isättigidifferetilektioeger: 4 7 w si si 7 + w 7 + r = si w si si 7 7w 7 + 7r = si w si w 7 + 7r = si Geomttmtchkoefficieteriäster\ochhögerledfåriföljdeektioer: 74 w = 4 + 7w = ' 7r = ' Vilketgerföljdelösigr: 4 = 4 5 ''''w = 5 '''r = 7 ' Eprtiklärlösigärlltså: G f = 4 5 si Uppgift'7' VihrttU X = ochw = 0,07ochsätteriärdeidifferetilektioe: +U = 0,07(U +V Förekligger: U H + 0,07U =,54 EkorrektsättigtillprtiklärlösigeärU f = 4,ochderitärU f = 0.Isättigiektioeger: =,54 0(

22 Medlösige: 4 = DehomogelösigeärU t = r NX,XjÇ.Lösigelirlltså: U V = r NX,XjÇ + VillkoretU 0 = 75gerr = 5. VisklösU V = 75: 5 NX,XjÇ + = 75 NX,XjÇ = 5 5 V = É 5 5 0,07 5 Sr:Dettrcirk5miterförpizzttsltill75grder. Närtidegårmotoädlighetesåkommerpizzstemperträrmreochärmreomgiigestempertr. Uppgift'8' Idethärflletrepreseterr](VtletfåglridtideVochrärekostt. DÑ DÇ = r ](V Ektioeoskrisomtill] H V r] V = 0ilketärelijärhomogedifferetilektioförst ordigeochdärförhrlösige] V = w ÖÇ förkostterwochr. cdedtihrärlltså] 0 = 0och] 0 = 00: ] 0 = w Ö X = w = 0 ] 0 = 0 Ö LX = 00 Ö LX = 00 0 r = l' ,9 Lösigeär: ] V = 0 X,LÅÇ dår04är0årefter004,ochdärmedskieräk] 0 : ] 0 = 0 X,LÅ.X 4 enej,detäriterimligt.emtemtiskmodellsomgällerförissomstädigheterochtidssklorehöeritelltid gäll.förmodligeörjrdetliotommtfördesseormtmågfåglrdåisåfllfödsdetogitelikmåg.e differetilektio,emersofistikerdmodell,ehös. (

23 Uppgift'9' Eligtiomilstseärtecklige: _ G X G L > G G > ' L G X G _ = 7 _ G X G L > G G > L G + 7 X G _ = 7 _ G > 4G G > G + G _ = 7 _ G + 07 > G G > + 607G + G _ Uppgift'0' Eftersomochärdelretillrjetl,såärsmmlldelreåtmistoe + ilketärstörreä. Ettprimtlcärrdelrtmedochc,såifår:` c c = + c c = ilketdefiititärmidreäc.detfisocksågottommoteempelsomiteärprimtl,tilleempel6: ` 6 6 = = 5 6 (Smole tläses itestörreäellerlikmed (