3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

Transkript

1 Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: BInnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Ntionell prov från tidigre år Mtteoken.se Pluggkuten.se I smrete med retsgivrorgnistionen

2 Så lcks du med det ntionell provet För tt få ut så mcket som möjligt v kvällens mttekonvent vill vi uppmuntr dig tt ställ mång frågor till volontärern. De finns på plts idg för din skull och de vill hjälp till! Självklrt kn du ställ vilk mttefrågor du vill; de ehöver inte hndl om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer någr pluggtips från oss på Mttecentrum: Rit upp prolemet: Inget förklrr ett prolem så r som en figur och det mest går tt rit. Sk du räkn ut måtten på en hge? Rit hgen! Sk du lös en trigonometrisk ekvtion? Rit enhetscirkeln! T prolemet steg för steg: De flest v oss kn inte håll mssor v steg i huvudet smtidigt så h för vn tt lltid skriv ner ll delr i din uträkning så lir det färre slrvfel och åde du, lärren och volontärern kn lättre följ med i hur du hr tänkt. Jo med grundteknikern: Inom mtemtiken gger de mer vncerde metodern oft på grundtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekurser eller kpitel så se till tt öv lite etr på eempelvis prioriteringsreglern, ekvtionslösning och ndr grundtekniker om de mer vncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själv och ndr genom tt diskuter prolemen tillsmmns. Genom tt prt mtte övr du på llt möjligt: din egen förståelse, hur prolem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälvförtroende. Kn du förklr en metod för en kompis så vet du tt du själv ehärskr den. Prtr du mtte övr och förereder du dig även inför det muntlig ntionell provet! Kvlitet istället för kvntitet: Tänk kvlitet istället för kvntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt verkligen försök förstå Ptghors sts än tt räkn ut hpotenusn i 0 olik tringlr utn tt förstå vd du fktiskt gör.

3 Tips för tt lös en specifik uppgift Läs uppgiften noggrnt! Förstår du uppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn vr något som sk räkns ut eller något som sk ställs upp för tt sedn räkns ut. Om inte, vd är det du inte förstår? Är det viss ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften er dig tt nvänd? Koll upp de delr som du inte förstår genom tt slå upp orden, äddr kåt i oken för tt fräsch upp minnet eller fråg en volontär! Innn du örjr lös uppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg vilken metod som sk nvänds för tt lös uppgiften? Om inte, koll upp liknnde uppgifter och titt på hur lösningsmetodern är där. När du vet vilken metod som sk nvänds till den uppgift du sitter med kn du ställ dig själv följnde frågor: Förstår jg metoden som nvänds? Förstår jg vrför just denn metod nvänds till denn tp v prolem? Om inte, gå tillk till vsnittet med den metoden i oken och fräch upp minnet eller fråg en volontär. Räknt klrt och svret är glet? Då sk du felsök svret! Gå noggrnt igenom uträkningrn för tt se om du gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först två punktern för tt försäkr dig om tt du verkligen hr förstått frågn och nvänt rätt räkneopertioner. Känns uträkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om uppgiften på en helt n sid utn tt tjuvkik på den gml uträkningen! Fortfrnde fel svr och svret är detsmm som du fick först gången du räknde? Då hr du troligtvis inte gjort ett slrvfel, utn nvänder fel metod. Gå tillk och koll hur liknnde uppgifter hr lösts. Känner du tt du ändå inte kommer vidre på egen hnd, fråg en volontär! Läs mer ingående tips på mtteoken.se!

4 (6) Skolverket Formler till ntionellt prov i mtemtik, kurs Alger Regler ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( Andrgrdsekvtioner 0 q p q p p 0 c c 4 Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser ) ( ) ( n n 0 Geometrisk summ där ) (... k k k k k k n n Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg p p lg lg Asolutelopp 0 om 0 om

5 (6) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner k m k c 0 c 0, där inte åde och är noll Potensfunktioner Eponentilfunktioner C C 0 och Sttistik och snnolikhet Stndrdvvikelse för ett stickprov s ( ) (... ( n ) n ) Lådgrm Normlfördelning Skolverket

6 (6) Differentil- och integrlklkl Derivtns definition f ( ) lim h0 f ( h) h f ( ) lim f ( ) f ( ) Derivtor Funktion Derivt n där n är ett reellt tl n n ( > 0) ln e k e e k k e k f () k f () f ( ) g( ) f ( ) g( ) Primitiv funktioner Funktion k Primitiv funktioner k C n e ( n ) n C n e C k e e C k k ( 0, ) C ln Skolverket

7 4(6) Geometri Tringel h A Prllellogrm A h Prllelltrpets h( ) A Cirkel A πr O d π 4 πr πd Cirkelsektor v 60 πr A v 60 r r π Prism V Bh Clinder V πr h Mntelre A πrh Prmid V Bh Kon πr h V Mntelre A πrs Klot 4πr V A 4 πr Likformighet Tringlrn ABC och DEF är likformig. d e c f Skl Areskln = (Längdskln) Volmskln = (Längdskln) Skolverket

8 5(6) Topptringel- och trnsverslstsen Om DE är prllell med AB gäller Bisektrisstsen AD BD AC BC DE AB CD AC CD CE AD BE CE och BC Vinklr u v 80 Sidovinklr w v Vertiklvinklr L skär två prllell linjer L och L v w Likelägn vinklr u w Alterntvinklr Kordstsen cd Rndvinkelstsen u v Pthgors sts c Avståndsformeln d ( ) ( ) Mittpunktsformeln m och h m Skolverket

9 6(6) Trigonometri Definitioner sin v c cos v c tn v Enhetscirkeln sin v cos v tn v Sinusstsen sin A sinn B sin C c Cosinusstsen c c cos A Arestsen T sin C Cirkelns ekvtion ( ) ( ) r Ekt värden Vinkel v sin v cos v tn v Ej def Skolverket

10 NpM ht 0 Del B: Digitl verktg är inte tillåtn. Endst svr krävs. Skriv din svr direkt i provhäftet.. Vilken är den fjärde termen i den geometrisk summn...? (/0/0). För vilket värde på är uttrcket 6 inte definiert? (/0/0). Vilket v lterntiven A-E visr ett polnom? 4 A. 4 B. C. D. E., (/0/0) 4. Hur mång reell lösningr hr ekvtionen nedn? ( )( 4) 0 (/0/0) 5. Deriver 4 ) f ( ) 6 0 (/0/0) ) f ( ) e e (0//0) c) f ( ) (0//0)

11 NpM ht 0 6. Nedn ges någr olik situtioner som kn eskrivs med en funktion. Vilket v lterntiven A-D eskrivs äst med en diskret funktion? A. Bensinförrukningen hos en il eror v hur långt ilen körs. B. Volmen v en ku eror v sidns längd. C. Intäkten eror v hur mång stolr som tillverks i företget. D. Kostnden för nner eror v vikten på nnern. (0//0) 7. Figuren nedn visr grfen till derivtn f för en tredjegrdsfunktion f. ) För vilket värde på hr grfen till f en minimipunkt? (0//0) ) För vilk värden på är f vtgnde? (0//0) 8. Ange ll funktioner som hr egenskpen tt f ( ) f ( ) där f ( ) 0 (0//) 4

12 NpM ht 0 9. Bestäm ) lim(e 7) 0 (/0/0) ) lim (0/0/) 0. I figuren viss grfen till tredjegrdsfunktionen f. Använd grfen för tt esvr följnde frågor. ) Lös ekvtionen f ( ) 6, 5 0 (0/0/) ) För funktionen g gäller tt g ( ) f ( ) k där k är en positiv konstnt. För vilk värden på k hr ekvtionen g ( ) 0 endst en reell lösning? (0/0/) 5

13 NpM ht 0 Del C: Digitl verktg är inte tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper.. Beräkn 6 d lgeriskt. (/0/0). För funktionen f gäller tt f ( ) Bestäm med hjälp v derivt koordintern för eventuell mimi-, minimi- och terrsspunkter för funktionens grf. Bestäm också krktär för respektive punkt, det vill säg om det är en mimi-, minimi- eller terrsspunkt. (/0/0). För funktionern f och g gäller tt f ( ) 5 och g ( ) 8 ) Bestäm det värde på där grfen till f hr lutningen 8 (/0/0) ) Grfen till g hr en tngent i den punkt där 6 Bestäm koordintern för tngentens skärningspunkt med -eln. (0//0) 4. Förenkl så långt som möjligt. ) ) ( )( ) (/0/0) (0//0) 6

14 NpM ht 0 5. F är en primitiv funktion till funktionen f. I figuren viss grfen till funktionen F. Bestäm f ( ) d (0/0/) 5 6. Bestäm derivtn till A f ( ) med hjälp v derivtns definition. (0//) 7

15 NpM ht 0 Del D: Digitl verktg är tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 7. Bestäm det värde på där derivtn till f ( ) 5 är lik med derivtn till g ( ) 5 4 (/0/0) 8. Kndgåsen infördes till Sverige på 90-tlet. Därefter hr popultionen ökt. Vid smm tidpunkt vrje år görs en inventering v ntlet kndgäss. Popultionens tillvät kn eskrivs med en eponentiell modell. Digrmmet nedn visr ntlet kndgäss K som funktion v tiden t år, där t 0 motsvrr år 977. ) Bestäm ett närmevärde till K (0) med hjälp v grfen. (/0/0) ) Ge en tolkning v vd K ( 0) 800 etder för ntlet kndgäss i dett smmnhng. (0//0)

16 NpM ht 0 9. Mrcel tänker sätt in 000 kr på ett sprkonto i slutet v vrje år. Hn tänker gör sin först insättning i slutet v år 0 och den sist i slutet v år 00. Mrcel räknr med en årlig ränt på %. Hur mcket pengr kommer hn tt h på sitt konto omedelrt efter den sist insättningen? (/0/0) 0. Sture hr ett enmnsföretg som köper in färdig trädetljer i furu. Hn tillverkr enrt två produkter, pllr och råer. Stures retsuppgifter estår v tt monter och lck dess, vilket hn inte kn gör smtidigt. Följnde dt gäller för hns produktion: Pll Brå Pll Aretstimmr (h) Brå Tillgänglig retstimmr per veck (h) Montering 0,5 0,50 5 Lckning 0,40,00 5 Vinst per produkt 50 kr 0 kr Antg tt Sture tillverkr pllr och råer under en veck. ) Sture får en order på 40 pllr och 0 råer. Hinner hn tillverk dess under en retsveck? (/0/0) ) Bestäm den miml vinst som Stures företg kn gör under en retsveck. (0/4/0). Är följnde påståenden korrekt? Motiver din svr. ) F ( ) e är en primitiv funktion till f ( ) e (/0/0) ) Grfen till f ( ) hr tre olik nollställen om konstnten 0 (0//)

17 NpM ht 0. Krolin häller upp en kopp kffe i ett rum där temperturen är 0C. Hon mäter kffets tempertur direkt och därefter vrje minut under de först 5 minutern. Krolin npssr sedn en mtemtisk modell till sin mätvärden: T ( t ) 95e 0,09t där T är kffets tempertur i C och t är tiden i minuter efter tt Krolin strtde sin mätning v temperturen. ) Bestäm temperturen hos kffet då Krolin strtde sin mätning. (/0/0) ) Bestäm med hur mång procent temperturen hos kffet minskr per minut. (0//0) c) Krolins modell stämmer väl överens med verkligheten i örjn. Utvärder hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten över tid. (0//). Trtgli ( ) Itlienren Trtgli vr en mtemtiker som levde på 500-tlet. Hn nses h formulert följnde mtemtisk prolem, här återgivet i modern översättning: Summn v två positiv tl är 8. Bestäm tlen så tt produkten v tlens differens och tlens produkt lir så stor som möjligt. Din uppgift är tt lös Trtglis mtemtisk prolem. (0/0/) 4

18 NpM ht 0 4. För tredjegrdsfunktionen f gäller tt f ( ) f ( 4 ) 0 Bestäm f ( 6 ) (0/0/) 5. När Mrio föds estämmer sig hns mormor för tt spr pengr åt honom i en urk. Mormor tänker lägg ett elopp som motsvrr kvdrten v Mrios ålder multiplicert med 00, vrje gång hn fller år. Mrios frröder Sergio och Riccrdo funderr över hur mcket pengr mormor kommer tt h i urken på Mrios 6-årsdg. Sergio säger: Mn får red på hur mcket pengr som finns i urken genom tt eräkn integrlen d Riccrdo funderr ett tg och svrr: Nej, den ger ett för litet värde. Förklr vrför integrlen ovn ger ett för litet värde om mn nvänder den för tt räkn ut hur mcket pengr det finns i urken på Mrios 6-årsdg. (0//) 5

19 Bedömningsnvisningr NpM ht 0 Eempel på ett godtgrt svr nges inom prentes. Till en del uppgifter är edömd elevlösningr ifogde för tt nge nivån på edömningen. Om edömd elevlösningr finns i mterilet mrkers dett med en smol. Del B. M /0/0 Korrekt svr ( ) + E B. M /0/0 Korrekt svr (6) + E B. M /0/0 Korrekt svr (D: 4 ) + E B 4. M /0/0 Korrekt svr () + E B 5. M //0 ) Korrekt svr ( f ( ) 6 ) + E P ) Korrekt svr ( f ( ) e e ) + C P c) Korrekt svr f ( ) + C P Kommentr: Svr utn f ( ) nses vr korrekt. 6. M 0//0 Korrekt svr (C: Intäkten eror v hur mång stolr som tillverks i företget.) + C B 8

20 NpM ht 0 7. M 0//0 ) Korrekt svr ( 4 ) + C B ) Korrekt intervll, t.e. är större än eller lik med och är mindre än eller lik med 4 + C B där det korrekt intervllet kommunicers på en nivå som motsvrr kunskpskrven för C, dvs. med korrekt nvänd olikhetstecken ( 4 ) + C K Kommentr: Viss läromedel inkluderr inte derivtns nollställen i intervllet. Vid edömning ör dett ekts. 8. M 0// Anger en korrekt funktion, t.e. e + C B med korrekt införd konstnt ( e ) + A B 9. M /0/ ) Korrekt svr (8) + E B ) Korrekt svr () + A PL 0. M 0/0/ ) Godtgrt svr (, ; och, 8 ) + A PL ) Godtgrt svr ( k 0 ) + A B 9

21 Del C NpM ht 0. M /0/0 Godtgr nsts, estämmer korrekt primitiv funktion, med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr (4) + E P + E P. M /0/0 Korrekt estämning v derivtns nollställen, 0, + E P med korrekt estämning v etrempunkterns koordinter, ( 0, 0 ) och (, 4 ) + E P Godtgr verifiering v etrempunkterns krktär (mimipunkt ( 0, 0 ) och minimipunkt (, 4 ) ) + E P Se vsnittet Bedömd elevlösningr.. M //0 ) Godtgr nsts, t.e. tecknr ekvtionen E PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr (, 5 ) + E PL ) Korrekt estämning v tngentens ekvtion, C PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( (, 8 ; 0 ) ) + C PL Lösningen (deluppgift ) kommunicers på C-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, eteckningr såsom f ( ), f ( ), f (6), termer såsom koordinter, tngent och - el smt hänvisning till tngentens ekvtion etc. + C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 4. M //0 ) Godtgr lösning med korrekt svr ) Godtgr nsts, t.e. skriver om uttrcket till 8 6 ( 4)( 4) 4 med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( 4 ) + E P + C P + C P 0

22 NpM ht 0 5. M 0/0/ Godtgr lösning, där insikt viss om tt prolemet löses genom direkt vläsning i grf, med korrekt svr ( ) + A PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 6. M 0// A A ( h ) Korrekt tecknd ändringskvot, + C B h Ah med korrekt förenkling v ändringskvoten, t.e. + C P h( h) med korrekt estämning v derivtn, A f ( ) + A B Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, eteckningr såsom f ( ), f ( ), f ( h ), korrekt nvändning v smolen, råkstreck och hänvisning till derivtns definition etc. lim h0 + A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. Del D 7. M /0/0 Godtgr nsts, t.e. ritr grfern till derivtorn i ett och smm koordintsstem + E PL med i övrigt godtgr lösning med korrekt svr ( 0, 75 ) + E PL 8. M //0 ) Godtgr lösning med godtgrt svr ( K ( 0) 700 ) + E B ) Godtgr tolkning (t.e. Antlet kndgäss ökr med 800 per år då t 0 år ) + C B Käll: Jägreförundet (009). Kndgås, pul , (hämtt ), Se vsnittet Bedömd elevlösningr.

23 NpM ht 0 9. M /0/0 Godtgr nsts, t.e. nvänder formeln för geometrisk summ med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (766 kr) + E M + E M 0. M /4/0 ) Godtgr inledning till resonemng, t.e. undersöker hur mång retstimmr som krävs för tt monter 40 pllr och 0 råer med godtgrt slutfört resonemng med korrekt svr (Nej) + E R + E R ) Godtgr nsts, t.e. estämmer det sstem v olikheter som motsvrr krven 0,5 0,50 5 0, C PL med godtgr fortsättning, estämmer vinstfunktionens värde för någon v de ktuell punktern + C PL med i övrigt godtgr lösning med godtgrt svr (900 kr) Lösningen (deluppgift ) kommunicers på C-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, prenteser, tdlig figur, olikhetstecken och termer såsom rät linje, koordintsstem, olikheter, skärningspunkt etc. + C PL + C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr.. M // ) Godtgrt svr som visr insikt om tt villkoret F ( ) f ( ) inte är uppfllt, (t.e. Nej, för om mn deriverr F får mn inte f. ) + E R ) E C A Troliggör för minst två specilfll tt påståendet stämmer om 0 eller visr tt påståendet inte stämmer om 0. Troliggör för mer än två specilfll tt påståendet stämmer om 0 och visr tt påståendet inte stämmer om 0. Visr tt påståendet stämmer för ll 0 och visr tt påståendet inte stämmer om 0. C R C R C R och A R Se vsnittet Bedömd elevlösningr.

24 Forts. uppgift NpM ht 0 Kommentr (införd ): Bedömningsnvisningen ovn utgår från tt eleven utreder fllen 0 och 0 seprt och sedn drr seprt slutstser om dess. Om någon smmnfttning v slutstsern görs så är den v tpen Det stämmer ilnd eller Det stämmer inte lltid. Om eleven istället visr tt påståendet Grfen till f ( ) hr tre olik nollställen om konstnten 0 är flskt genom tt t.e. pek på tt fllet 0 strider mot påståendet, så ges två resonemngspoäng på C- och en resonemngspoäng på A-nivå.. M // ) Godtgr lösning med korrekt svr ( 95 ) + E M ) Godtgr lösning med godtgrt svr (,8 %) + C M c) E C A Utvärderr Krolins modell med ett enkelt omdöme. Utvärderr Krolins modell med ett nnsert omdöme. Omdömet visr insikt om tt Krolins modell inte tr hänsn till omgivningens tempertur. Omdömet visr insikt om tt Krolins modell inte tr hänsn till omgivningens tempertur och hur denn rist påverkr modellens egenskper. C M C M och A M Se vsnittet Bedömd elevlösningr.. M 0/0/ Korrekt tecknd funktion för produkten i två vriler, t.e. D ( ) + A B där en vriel eliminerts korrekt, t.e. D ( 8 )(8 ) + A PL med i övrigt godtgr lösning, inklusive godtgr verifiering v mimum, med godtgrt svr ( 6, och, 69 ) + A PL Kommentr: Oserver tt om eleven härlett funktionen D 4 64 erhålls mimum då, 7 och om eleven härlett funktionen D 4 64 erhålls mimum då 6, Käll: Tichomirov, V.M. (990). Stories out Mim nd Minim. Providence, R.I.: Americn Mthemticl Societ. Sid.7 Se vsnittet Bedömd elevlösningr.

25 NpM ht 0 4. M 0/0/ Godtgr nsts, t.e. förklrr tt derivtn är en funktion v ndr grden som hr en etrempunkt då 4 + A R med godtgrt slutfört resonemng med korrekt svr (På grund v smmetri hos ndrgrdsfunktionen måste f ( 6 ) f ( ) ) + A R Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr likhetstecken, eteckningr såsom f ( ), f ( ), f (6) och termer såsom smmetri, ndrgrdsfunktion, tredjegrdsfunktion, grf, derivt och en tdlig figur med införd eteckningr etc. + A K Kommentr: Även en lgerisk nsts som utgår från de givn villkoren och en generell tredjegrdsfunktion (t.e. f ( ) c d ) och som leder till smnden 4 0 och 4 c ges den först poängen. Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 5. M 0// E C A Anger någon relevnt egenskp hos minst en v modellern (summn eller integrlen) som förklring till skillnden, t.e. ntder tt skillnden hr tt gör med tt mormor r sätter in pengr ilnd eller tt hon inte sätter in pengr hel tiden. Kopplr skillnden till tt de två modellern (summn och integrlen) sers på en diskret respektive en kontinuerlig funktion, men ger ingen godtgr förklring till vrför summn är större än integrlen eller diskuterr/visr tt integrlen motsvrr ren under kurvn och tt summn motsvrr ren v ett ntl stplr. Diskuterr/visr tt integrlen motsvrr ren under kurvn och tt summn motsvrr ren v ett ntl stplr och förklrr vrför summn lir större än integrlen genom tt t.e. hänvis till en figur som visr hel tidsperioden där det frmgår tt ren under kurvn (integrlen) är mindre än den smmnlgd ren v de se stplrn (summn). C R C R och A R C R och A R Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4. För denn uppgift kn mtemtisk smoler och representtioner (se punkt sidn 4) vr integrleteckningr, likhetstecken och termer såsom funktionsvärde, diskret och kontinuerlig funktion, re, summ och en tdlig figur över hel tidsperioden etc. + A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 4