KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se"

Transkript

1 Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m Länktips: tikcinnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteboken.se Ntionell prov från tidigre år Pluggkuten.se I smrbete med rbetsgivrorgnistionen

2 Så lycks du med det ntionell provet För tt få ut så mycket som möjligt v kvällens mttekonvent vill vi uppmuntr dig tt ställ mång frågor till volontärern. De finns på plts idg för din skull och de vill hjälp till! Självklrt kn du ställ vilk mttefrågor du vill; de behöver inte hndl om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer någr pluggtips från oss på Mttecentrum: Rit upp problemet: Inget förklrr ett problem så br som en figur och det mest går tt rit. Sk du räkn ut måtten på en hge? Rit hgen! Sk du lös en trigonometrisk ekvtion? Rit enhetscirkeln! T problemet steg för steg: De flest v oss kn inte håll mssor v steg i huvudet smtidigt så h för vn tt lltid skriv ner ll delr i din uträkning så blir det färre slrvfel och både du, lärren och volontärern kn lättre följ med i hur du hr tänkt. Jobb med grundteknikern: Inom mtemtiken bygger de mer vncerde metodern oft på grundtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekurser eller kpitel så se till tt öv lite etr på eempelvis prioriteringsreglern, ekvtionslösning och ndr grundtekniker om de mer vncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själv och ndr genom tt diskuter problemen tillsmmns. Genom tt prt mtte övr du på llt möjligt: din egen förståelse, hur problem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälvförtroende. Kn du förklr en metod för en kompis så vet du tt du själv behärskr den. Prtr du mtte övr och förbereder du dig även inför det muntlig ntionell provet! Kvlitet istället för kvntitet: Tänk kvlitet istället för kvntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt verkligen försök förstå Pytghors sts än tt räkn ut hypotenusn i 30 olik tringlr utn tt förstå vd du fktiskt gör.

3 Tips för tt lös en specifik uppgift 1 Läs uppgiften noggrnt! Förstår du uppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn vr något som sk räkns ut eller något som sk ställs upp för tt sedn räkns ut. Om inte, vd är det du inte förstår? Är det viss ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig tt nvänd? Koll upp de delr som du inte förstår genom tt slå upp orden, bäddr bkåt i boken för tt fräsch upp minnet eller fråg en volontär! 3 Innn du börjr lös uppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg vilken metod som sk nvänds för tt lös uppgiften? Om inte, koll upp liknnde uppgifter och titt på hur lösningsmetodern är där. När du vet vilken metod som sk nvänds till den uppgift du sitter med kn du ställ dig själv följnde frågor: Förstår jg metoden som nvänds? Förstår jg vrför just denn metod nvänds till denn typ v problem? Om inte, gå tillbk till vsnittet med den metoden i boken och fräch upp minnet eller fråg en volontär. Räknt klrt och svret är glet? Då sk du felsök svret! Gå noggrnt igenom uträkningrn för tt se om du gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först två punktern för tt försäkr dig om tt du verkligen hr förstått frågn och nvänt rätt räkneopertioner. Känns uträkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om uppgiften på en helt ny sid utn tt tjuvkik på den gml uträkningen! Fortfrnde fel svr och svret är detsmm som du fick först gången du räknde? Då hr du troligtvis inte gjort ett slrvfel, utn nvänder fel metod. Gå tillbk och koll hur liknnde uppgifter hr lösts. Känner du tt du ändå inte kommer vidre på egen hnd, fråg en volontär! Läs mer ingående tips på mtteboken.se!

4 1(4) Formler till ntionellt prov i mtemtik, kurs Algebr Regler ( b) b b ( b) b b ( b )( b ) b Andrgrdsekvtioner p q 0 b c 0 p p b b 4c q Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser y y y y y y ( ) 1 b ( b) b b 1 n n 0 1 Logritmer y 10 lg y lg lg y lg y lg lg y lg y lg p p lg Skolverket

5 (4) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner y k m k y y1 1 y b c 0 by c 0, där inte både och b är noll Potensfunktioner Eponentilfunktioner y C y C 0 och 1 Geometri Tringel bh A Prllellogrm A bh Prllelltrpets h( b) A Cirkel πd A πr 4 O πr πd Cirkelsektor v b 360 πr v A π br r 360 Prism V Bh Cylinder V πr h Mntelre A πrh Pyrmid V Bh Skolverket

6 3(4) Kon πr h V 3 Mntelre A πrs Klot 4πr 3 V 3 A 4πr Likformighet Tringlrn ABC och DEF är likformig. d b e c f Skl Areskln = (Längdskln) Volymskl n = (Längdskln) 3 Topptringel- och trnsverslstsen Om DE är prllell med AB gäller DE CD CE och AB AC BC CD CE AD BE Bisektriss tsen AD BD AC BC Vinklr u v 180 Sidovinklr w v Vertiklvinklr L 1 skär två prllell linjer L och L 3 v w Likbelägn vinklr u w Alterntvinklr Skolverket

7 4(4) Kordstsen b cd Rndvinkelstsen u v Pythgors sts b c Trigonometrii sin v c b cosv c tn v b Avståndsformeln Mittpunktsformeln d 1 ( ( ) y y1) m 1 ocho y m y 1 y Sttistik och snnolikhet Stndrdvvikelsee för ett stickprov s ( 1 ) (... ( n 1 ) n ) Lådgrm Normlfördelning Skolverket

8 NpMc vt 015 Delprov B: Digitl verktyg är inte tillåtn. Endst svr krävs. Skriv din svr direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som sk stå i prentesen för tt likheten sk gäll. ( ) ( 5) = 5 (1/0/0). Lös ekvtionern. Svr ekt. ) 5 = 3 (1/0/0) b) + 1 = 5 (1/0/0) 3. Koordintsystemet visr en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen. ) Ange ekvtionen för den rät linjen L. (1/0/0) b) Ange ekvtionen för en nnn rät linje så tt den tillsmmns med linjen L bildr ett ekvtionssystem som hr sin lösning i punkten P. (1/0/0)

9 NpMc vt På tllinjen finns se punkter A F mrkerde. Vrje tl nedn motsvrs v en mrkerd punkt på tllinjen. Pr ihop vrt och ett v tlen med en punkt på tllinjen genom tt skriv rätt bokstv A F vid rätt tl. (/0/0) 5. Två v ekvtionern A E hr reell lösningr. Vilk två? A. + 3 = 1 B = C. = 9 D = E. ( )( + ) = 0 (0/1/0) 6. Beräkn 10 om lg = 0 (0/1/0) 7. Under år 1998 skickdes 44 miljoner sms i Sverige. Under år 01 skickdes miljoner sms. Ant tt den årlig procentuell ökningen v ntl sms per år hr vrit lik stor under hel tidsperioden. Beteckn den årlig förändringsfktorn med. Teckn en ekvtion med vrs hjälp kn beräkns. (0/1/0) 3

10 NpMc vt Koordintsystemet visr grfern till en rät linje f och en ndrgrdsfunktion g. Besvr frågorn med hjälp v grfern. ) För vilk värden på gäller tt g< ( ) 3? (0//0) b) För vilk värden på gäller tt f( ) g( ) = 0? (0/0/1) 9. Förenkl följnde uttryck så långt som möjligt. ) ( + 3) ( + 3) (0/0/1) b) lg lg lg (0/0/1) 4

11 NpMc vt 015 Delprov C: Digitl verktyg är inte tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 10. Lös ndrgrdsekvtionen 6+ 5= 0 med lgebrisk metod. (/0/0) 11. Lös ekvtionssystemet y = 5 y = 4 med lgebrisk metod. (/0/0) 1. Figuren visr två rektnglr som hr sidlängdern cm respektive ( 8 ) cm. Bestäm den störst totl re som de två rektnglrn kn h tillsmmns. (1//0) b 13. Förenkl uttrycket så långt som möjligt om = och b = 1, 5 (0//0) 14. En ndrgrdsekvtion + ( + 4 ) + ( b + 5 ) = 0 hr lösningrn 1 =1 = 3 Bestäm värdet på och b. (0//0) 5

12 NpMc vt I en rätvinklig tringel ABC finns en grå kvdrt AEFD inritd. Sträckn BE är 4 cm och sträckn CD är cm. Se figur. Vis tt den grå kvdrtens re är 8 cm. (0//0) 16. En cirkel med rdien tngerr de positiv koordintlrn. Den tngerr även en mindre cirkel som hr mittpunkten i origo. Se figur. Vis tt den mindre cirkelns rdie är ( 1 ) längdenheter. (0/0/3) 6

13 NpMc vt För ndrgrdsfunktionen f gäller tt f ( ) = 0, 5 + b ) Bestäm för vilk värden på b som f endst hr ett nollställe. (0//0) I figuren nedn ser du grfern till funktionen f för någr olik värden på b. Grferns mimipunkter är mrkerde. Då b vrierr följer mimipunktern grfen till en ny ndrgrdsfunktion g, se figur. b) Bestäm ndrgrdsfunktionen g. (0/0/3) 7

14 NpMc vt 015 Delprov D: Digitl verktyg är tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 18. En linje går genom punktern (0, 0) och (3; 6,45). En nnn linje hr ekvtionen y =, Vis tt linjern är prllell. (/0/0) 19. För funktionen f gäller tt f ( ) = 4 + C där C är en konstnt. Punkten (5, 7) ligger på funktionens grf. Bestäm koordintern för en nnn punkt som också ligger på grfen. (/0/0) 0. Lådgrmmet visr resulttet från ett stickprov. Stickprovet nger ntlet timmr en person sov per ntt under en period v 15 nätter. Värden i stickprovet nedn är ngivn i storleksordning. Två värden hr erstts med respektive y., 5, 6, 6, 7, 7, 7, y, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 13 Vilk värden hr och y? Motiver ditt svr. (/0/0)

15 NpMc vt Mgnituden M är ett mått på hur strkt en stjärn lyser och kn beräkns med hjälp v formeln r M 5 = 5 lg där r är vståndet i meter från jorden till stjärnn och en konstnt för en specifik stjärn, se tbell nedn. Stjärnns nmn M r Solen 4,80 6, 7 Sirius A 1,46 Proim Centuri 15,5 11,1 11 1, ,14 10 ) Beräkn mgnituden M för stjärnn Sirius A. (/0/0) b) Beräkn vståndet r till stjärnn Proim Centuri. (0//0) 3

16 NpMc vt 015. Ett eemplr v ett känt dtorföretgs först dtormodell såldes under år 013. I smbnd med försäljningen kunde mn läs följnde i en tidningsnotis: Priset för dtorn hr därmed tusenfldigts, sedn den ursprungligen såldes Den tillverkdes för hnd v företgets båd grundre, ledren Steve Jobs och progrmmerren Steve Woznik, hemm i Jobs grge. 1 Enligt tidningsnotisen såldes dtorn år 013 till ett pris som vr tusen gånger så stort som priset år Ant tt den procentuell prisökningen vrit lik stor vrje år. Beräkn den årlig procentuell prisökningen melln år 1976 och år 013 för dtorn. (0/3/0) 3. För en funktion f där f ( ) = k + m gäller tt f ( + ) f ( ) = 3 f ( 4 ) = m Bestäm funktionen f. (0/0/) 1 TT 6 mj 013 4

17 NpMc vt En Gltonbräd är en nordning som nvänds för tt illustrer normlfördelning. Kulor släpps ner och ändrr riktning genom tt psser ett ntl spikr. Kulorn hmnr i olik fck och ntlet kulor i fcken blir ungefär normlfördelt kring mitten v brädn. Se figur. Vid ett eperiment släpptes 1478 kulor ner i en Gltonbräd med 16 fck. I fck 6 hmnde 136 kulor, i fck 7 hmnde 3 kulor och i fck 8 hmnde 81 kulor. Hur mång kulor bör h hmnt i fck 5? (0/0/) 5

18 NpMc vt Ett företg tillverkr nslgstvlor v olik storlekr. Vrje nslgstvl består v en rektngulär pltt omgiven v en rm. Rmen består v fyr delr som sågs till v en 5 cm bred trälist. Delrns ändr är sågde med vinkeln 45 och trälistens utseende gör tt delrn br kn monters på ett sätt. Rmen monters så tt den går cm in över plttns frmsid. Se figur. Mterilkostnden för en nslgstvl beror på plttns re och trälistens längd. Priset för plttn nges i kr/m och för trälisten i kr/m. Mterilkostnden för en nslgstvl med bredden 36 cm och längden 46 cm är 59 kr. För en nslgstvl med bredden 46 cm och längden 56 cm är mterilkostnden 81 kr. Se figur. Teckn ett generellt uttryck för den totl mterilkostnden för nslgstvlor som hr bredden m och längden b m. (0/0/4) 6

19 NpMc vt 015 Bedömningsnvisningr Eempel på ett godtgbrt svr nges inom prentes. Till en del uppgifter är bedömd elevlösningr bifogde för tt nge nivån på bedömningen. Om bedömd elevlösningr finns i mterilet mrkers dett med en symbol. Delprov B 1. M 1/0/0 Korrekt svr ( + 5 ) +1 E P. M /0/0 lg3 ) Korrekt svr ( = ) +1 E P lg5 b) Korrekt svr ( = 4 ) +1 E P 3. M /0/0 ) Korrekt svr ( y = + ) +1 E P b) Korrekt svr (t.e. y = 4) +1 E PL 4. M /0/0 Anger minst tre korrekt lterntiv med korrekt svr +1 E B +1 E B 5. M 0/1/0 Korrekt svr (Alterntiv B: = 0 och E: ( )( + ) = 0 ) +1 C B 6. M 0/1/0 Korrekt svr (0,1) +1 C B 9

20 NpMc vt M 0/1/0 14 Korrekt svr (t.e = 44 ) +1 C M 8. M 0//1 ) Godtgbrt ngivet intervll, t.e. då är melln 3 och 4 +1 C B med korrekt nvänd olikhetstecken ( 3 < < 4 ) +1 C K b) Korrekt svr ( = och = 4) +1 A B 9. M 0/0/ ) Korrekt svr ( 3 ) +1 A P b) Korrekt svr ( lg ) +1 A P Delprov C 10. M /0/0 Godtgbr nsts, sätter in värden korrekt i formeln för lösning v ndrgrdsekvtioner eller motsvrnde för kvdrtkomplettering +1 E P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( 1 = 1, = 5 ) +1 E P Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 11. M /0/0 Godtgbr nsts, bestämmer en vribel med lgebrisk metod +1 E P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( =, y = 1 ) +1 E P 1. M 1//0 Godtgbr nsts, t.e. tecknr korrekt uttryck för rektnglrns totl re, ( 8 ) +1 E PL med godtgbr fortsättning, t.e. visr insikt om tt symmetrilinjen ger funktionens mimum med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (3 cm ) +1 C PL +1 C PL 10

21 NpMc vt M 0//0 Godtgbr nsts, sätter in uttrycken för och b och utvecklr ( ) ( 1, 5 ) 4, +1 C P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( + 1) +1 C P 14. M 0//0 Godtgbr nsts, t.e. tecknr ett korrekt ekvtionssystem +1 C PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( = och b = 8) +1 C PL 15. M 0//0 Godtgbr nsts, t.e. ställer upp en relevnt ekvtion utifrån likformighet med fortstt välgrundt resonemng som visr tt ren är 8 cm +1 C R +1 C R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 16. M 0/0/3 Godtgbr nsts, t.e. bestämmer vståndet melln origo och den stor cirkelns mittpunkt, +1 A R med fortstt välgrundt och nynsert resonemng som visr tt rdien är ( 1 ) l.e. +1 A R Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 11

22 NpMc vt M 0//3 ) Godtgbr nsts, t.e. tecknr ekvtionen = b b 4 för beräkning v funktionens nollställe +1 C P med fortstt välgrundt resonemng med korrekt svr ( b = ) +1 C R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. b) Godtgbr nsts, t.e. visr tt mimipunkterns y-koordint för olik värden på b är 0, 5 b + b +1 A PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt tecknt funktionsuttryck för g ( g ( ) = 0, 5 ) +1 A PL Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 Kommentr: Lösning som bsers på specilfll är också godtgbr eftersom det i uppgiften är givet tt g är en ndrgrdsfunktion. +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. Delprov D 18. M /0/0 Godtgbr nsts, t.e. inser tt k-värdet för linjen genom origo sk bestämms med fortstt enkelt resonemng som visr tt linjern är prllell +1 E R +1 E R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 19. M /0/0 Godtgbr nsts, t.e. bestämmer konstnten C, C = +1 E PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (t.e. (0, )) +1 E PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 1

23 NpMc vt M /0/0 Godtgbr nsts, bestämmer ett värde korrekt +1 E B med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( = 3 och y = 7 ) +1 E B 1. M //0 ) Godtgbr nsts, t.e. ställer upp ett korrekt uttryck för bestämning v M, 16 8,14 10 M = 1,46 5 lg E M med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr (1,37) +1 E M r b) Godtgbr nsts, t.e. skriver om ekvtionen till 0,1 = lg C P med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr ( 3,95 10 m ) +1 C P 16. M 0/3/0 Godtgbr nsts, tolkr problemet och kommer frm till ekvtionen = +1 C M med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr (1 %) Lösningen kommunicers på C-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 C M +1 C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 3. M 0/0/ Godtgbr nsts, t.e. bestämmer funktionens riktningskoefficient, 1,5 +1 A B med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( f ( ) = 1, ) +1 A PL 4. M 0/0/ Godtgbr nsts, inser tt en stndrdvvikelse motsvrr två fck, d.v.s. tt fck 7 och 8 tillsmmns innehåller 34,1 % v totl ntlet kulor med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (65 stycken) +1 A PL +1 A PL 13

24 NpMc vt M 0/0/4 Godtgbr nsts, t.e. ställer upp ett korrekt ekvtionssystem +1 A M med godtgbr fortsättning där t.e. priset v plttn och trälisten beräkns, 150 kr/m för plttn och 5 kr/m för trälisten +1 A M med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (150b b + 0,54 ) +1 A M Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 14

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m Länktips: tikbinnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteboken.se Ntionell prov från tidigre år Pluggkuten.se

Läs mer

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m Länktips: tikainnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteboken.se Ntionell prov från tidigre år Pluggkuten.se

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrum.se Formelsmlingen.se Mtteoken.se Pluggkuten.se 4 Innehåll: Pluggtips Formelsmling Ntionell prov från tidigre

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

Plugga inför nationella provet med Mattecentrum. Pluggtips Formelsamlingen.se

Plugga inför nationella provet med Mattecentrum. Pluggtips Formelsamlingen.se +RELEASE THE MATH IN YOU+ Mttekonvent Plugg inför ntionell provet med Mttecentrum M te m Länktips: tikcinnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteoken.se Ntionell prov från tidigre

Läs mer

3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: BInnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Ntionell prov från tidigre år Mtteoken.se Pluggkuten.se

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN MaB VT 2002 LÖSNINGAR 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN MaB VT 2002 LÖSNINGAR 3 freeleks NpMB vt00 1() Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 3 MB VT 00 LÖSNINGAR 3 Del I, Digitl verktyg är INTE tillåtn 3 Del I # 1 (/0) Linje med riktningskoefficienten 3............

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

NpMa2c vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng.

NpMa2c vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng. NpMac vt 015 Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-17. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal.

Läs mer

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00 Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT. Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3 freeleks NpMB ht006 1(31) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 NpMB HT 006 LÖSNINGAR 3 Del I: Digitl verktg är INTE tillåtn 3 Del 1 # 1 (/0) Lös ekvtionen....................

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

a sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0

a sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0 18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

NpMa2b vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng.

NpMa2b vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift -9. Endast svar krävs. Uppgift 0-7. Fullständiga lösningar krävs. 0 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER

HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Mattekonvent. Matematik. Keep calm and do math. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov. Plugga inför nationella provet med Mattecentrum!

Mattekonvent. Matematik. Keep calm and do math. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov. Plugga inför nationella provet med Mattecentrum! Keep clm d do mth Mttekoet Plgg iför tioell proet med Mttecetrm Mtemtik Iehåll: Plggtips Formelsmlig Ntioell pro 5 mtteoke.se plggkte.se formelsmlige.se Så lcks d med det tioell proet För tt få t så mcket

Läs mer

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 3b Grön lärobok Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) x 5 (1/0/0). Koordinatsystemet

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

Tillämpad Matematik I Övning 4

Tillämpad Matematik I Övning 4 HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba. Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2 Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Nautisk matematik, LNC022, Lösningar

Nautisk matematik, LNC022, Lösningar Nutisk mtemtik, LN022, 2012-05-21 Lösningr 1. () För vilken eller vilk vinklr v melln 0 oh 180 är sin v = 0, 25? Räknren ger oss v 14, 5, då finns okså lösningen 180 14, 5 = 165, 5 i det givn intervllet.

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

Diskreta stokastiska variabler

Diskreta stokastiska variabler Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt

Läs mer

Lösningsförslag till fråga 5

Lösningsförslag till fråga 5 Lösningsförslg till fråg 5 Smmnfttning Följnde lceringr för unktern, som frmgår v Tbell, är de bäst vi hr funnit. Utförligre beskrivningr v ders lägen följer i texten: Fråg ), n unkter i en kvdrt n Plcering

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0 7. Max 0/1/0 14 Korrekt svar (t.ex. 16514 = 44 a ) +1 C M 8. Max 0/2/1 a) Godtagbart angivet intervall, t.ex. då x är mellan 3 och 4 +1 C B med korrekt använda olikhetstecken ( 3 < x < 4 ) +1 C K b) Korrekt

Läs mer

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n

Läs mer

1BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

1BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma tik Länktips: 1BInnehåll: Mattecentrum.se Pluggtips Formelsamlingen.se Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matteboken.se

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

En skarp version av Iliev-Sendovs hypotes

En skarp version av Iliev-Sendovs hypotes School of Mthemtics nd Systems Engineering Reports from MSI - Rpporter från MSI En skrp version v Iliev-Sendovs hypotes Elin Berggren Feb 009 MSI Report 09005 Växjö University ISSN 650-647 SE-35 95 VÄXJÖ

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Räkneövning 1 atomstruktur

Räkneövning 1 atomstruktur Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren

Läs mer

IE1204 Digital Design

IE1204 Digital Design IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentmen ellär 92FY21 och 27 201-08-22 kl. 8 13 Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och eteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst

Läs mer

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma Länktips: tik1ainnehåll: Mattecentrum.se Pluggtips Formelsamlingen.se Formelsamling Matteboken.se Nationella prov från tidigare

Läs mer

1CInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

1CInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma tik Länktips: 1CInnehåll: Mattecentrum.se Pluggtips Formelsamlingen.se Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matteboken.se

Läs mer

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4. Masscentrums x-koordinat för den sammansatta kroppen är allmänt. 1 g1 2 g2 3 g3 4 g4.

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4. Masscentrums x-koordinat för den sammansatta kroppen är allmänt. 1 g1 2 g2 3 g3 4 g4. ÖSNINA TI POBEM I KAPITE P. z åt kroppens totl ss vr, så tt vrje rk stång hr ssn och längden. O Msscentru för en rk hoogen stång ligger självklrt i itten. Msscentrus -koordint för den snstt kroppen är

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

TENTAMEN HF0021 TEN1. Program: Examinator: Datum: Tid: :15-17:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

TENTAMEN HF0021 TEN1. Program: Examinator: Datum: Tid: :15-17:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng TENTMEN Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: Emintor: Dtum: Tid: Hjälpmedel: Omfttning oc etgsgränser: H Mtemtik för sår I TEN Tekniskt sår Nicls Hjelm Nicls Hjelm -8- :-7: ormelsmling: ISBN 78--7-77-8

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Mattekonvent. Matematik. Keep calm and do math. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov. Plugga inför nationella provet med Mattecentrum!

Mattekonvent. Matematik. Keep calm and do math. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov. Plugga inför nationella provet med Mattecentrum! Keep calm and do math Mattekonvent Plugga inför nationella provet med Mattecentrum! Matematik 1A Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov matteboken.se pluggakuten.se formelsamlingen.se Så lyckas

Läs mer