Exempeltenta 3 Introduktionskurs i Matematik H1009 (1.5 hp) Datum: xxxxxx

Transkript

1 Eempeltenta Introduktionskurs i Matematik H1009 (15 hp) Datum: Tentamen ger maimalt 1p För godkänd tentamen krävs 6p Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar! Inga hjälpmedel tillåtna Skriv din klass på omslaget (TIMEL1, TIELA1, TIDAA1, TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1) Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället, utan ska lämnas in tillsammans med lösningar Uppgift 1 (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck ( A B) Uppgift (1p) Vi betraktar tre mängder A, B och (som ligger i en grundmängd G) Använd lämpliga mängdoperationer för att beskriva en mängd som består av alla element sådana att ligger i eakt två av mängderna A, B, Uppgift (p) Dela uttrycket + 1 i partiella bråk + Uppgift 4 (p ) Lös följande ekvationer a) + + = 40 b) log ( 1) + = Uppgift 5 (p) Låt f ( ) = 1 a) På vilka öppna intervall funktionen väer resp avtar? b) På vilka öppna intervall är funktionen konve resp konkav? Uppgift 6 (p) Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att n n är delbart med för n 0 (Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt) Uppgift 7 (p) Rita följande punktmängder i y-planet a) {(, y) R : + 4y = 4} b) {(, y) R : + 4y 4} Lycka till! Sida 1 av 5

2 FAIT Uppgift 1 (1p) Ställ upp en sanningsvärdestabell till följande logiska uttryck ( A B) A B A B A B ( A B) S S S S S S F S F F F S S F F F F F F S Uppgift (1p) Vi betraktar tre mängder A, B och, som är delmängder av en grundmängd G Använd lämpliga mängdoperationer för att beskriva en mängd som består av alla element sådana att ligger i eakt två av mängderna A, B, Svar: ( A B ) ( A B ) ( A B ) + 1 Uppgift (p) Dela uttrycket i partiella bråk Först faktoriserar vi nämnaren: = + ( + ) Därefter gör vi följande ansats: + 1 A B = + (multiplicera med (+) ) ( + ) = A( + ) + B (*) Eftersom (*) gäller för alla kan vi välja två (vilka som helst) värden på och substituera i (*) för att få två ekvationer på A och B i) Om t e =0 har vi från (*) följande ekvation = A (0 + ) + B 0 dvs 1 = A som ger A=1/ ii) Om t e = har vi från (*) följande ekvation + 1 = A( + ) B dvs = B som ger B=/ Enligt ansatsen har vi + 1 1/ / = + ( + ) + Sida av 5

3 Svar: = + + ( + ) Uppgift 4 (p ) Lös följande ekvationer a) + = 40 b) log ( 1) + = + a) + = 40 (Faktorisera VL genom att bryta ut (1 + ) = 40 eller = 8 Härav = som ger = b) Notera att ekvationen är definierad om + 1 > 0 dvs Från log ( + 1) = har vi ) 1 > + 1 = + 1 = 9 = 8 = 4 (som uppfyller Svar: a) = b) =4 Uppgift 5 (p) Låt f ( ) = 1 a) På vilka öppna intervall funktionen väer resp avtar? b) På vilka öppna intervall är funktionen konve resp konkav? a) Första derivatan är f ( ) = 1 = ( 4) = ( )( + ) Teckentabell för första derivatan 1 > ) ( ) 0 + ( + ) f () = ( )( + ) funktionen f () väer avtar väer visar att funktionen väer om (, ) (, ) och avtar om (,) Svar a) Funktionen väer om (, ) (, ) och avtar om (,) b) Andra derivatan f ( ) = 6 f ( ) > 0 6 > 0 > 0, och f ( ) < 0 6 < 0 < 0, Sida av 5

4 Alltså är funktionen konve i intervallet ( 0, ) och konkav i intervallet (,0) Svar b) Funktionen konve i intervallet ( 0, ) och konkav i intervallet (,0) Uppgift 6 (p) Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att n n är delbart med för alla hela tal n 0 (Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt) a) (Induktionsbas) För n = 0 får vi n n =0 vilket är delbart med Alltså gäller påståendet för n = 0 b) (Induktionssteg) Antag att det för givet n gäller påståendet, P(n), dvs n n =c (*), där c är ett helt tal Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att ( n + 1) ( n + 1) = d för ett heltal d Vi utvecklar ( n + 1) ( n + 1) = n + n + n + 1 n 1 = n n + n + n (enligt (*) gäller n n =c ) = c + n + n = ( c + n + n) = d (där d = c + n + n är uppenbart ett heltal) Detta betyder att ( n + 1) ( n + 1) är delbart med Alltså P ( n) P( n + 1) Från a) och b) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal n 0 Uppgift 7 (p) Rita följande punktmängder i y-planet a) {(, y) R : + 4 y = 4} b) {(, y) R : + 4 y 4} a) Om vi delar ekvationen + 4 y = 4 med 4 får vi + y 4 = 1 y ser vi (genom att jämföra med + = 1) att grafen är en ellips med centrum i origo och b a halvalarna a= och b=1 Sida 4 av 5

5 b) Punktmängden som definieras av {(, y) R : + 4y 4} består av alla punkter som ligger inuti elipsen och på randen till ellipsen i frågan a Svar: Se ovanstående grafer Sida 5 av 5