Inledning. Kapitel Bakgrund. 1.2 Syfte

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Inledning. Kapitel 1. 1.1 Bakgrund. 1.2 Syfte"

Transkript

1 Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar. Målet var att få simuleringen så realistisk som möjligt, detta genom att experimentellt ta fram värden på parametrarna till fjädrar och friktion. En kollisionsmodell har implementerats för att sätta in geléobjektet under mer realistiska förhållanden. Om man är vill göra en simulering som visar de grundläggande egenskaperna hos gelé är detta en bra modell. Simuleringen klarar att köras i realtid med en begränsning med ca 260 masspunkter vilket blir ca 2500 fjädrar för geléobjektet.

2 2

3 Innehåll 3

4 4

5 Kapitel 1 Inledning 1.1 Bakgrund Detta arbete är ett resultat av projektet i kursen Modelleringsprojekt TNM085, vårterminen Denna kurs baserar sig på den tidigare kursen Modellbygge och Simulering TNG022 där man lär sig att bygga en modell av ett fysikaliskt system. Eftersom vi läser civ. ing. medieteknik är det viktigt för oss att kunna implementera och åskådliggöra fysikaliska modeller i en grafisk representation. 1.2 Syfte Syftet med projektet är att simulera ett fysikaliskt system i form av ett geléobjekt samt visa det grafiskt. Detta ska ske i realtid på en modern dator. Projektet kommer även ge oss kunskaper om hur de teoretiska modellerna implementeras i en simulering. 5

6 6

7 Kapitel 2 Metod 2.1 Förstudie Det vanligaste sättet att simulera gelé är att använda sig av masspunkter som är sammankopplade med flera fjädrar. Genom att justera fjädrarnas parametrar kan man få önskade egenskaper hos geléobjektet. För att motverka att fjädersystemet förlorar volym vid deformation tillämpas en gaslag som ser till att systemet har en konstant volym. För att det ska bli mer intressant att se på kommer även en kollisionshantering att implementeras. Vi valde att göra ett geléobjekt i form av en kub för att begränsa projektets storlek. Masspunkterna kan då placeras likt hörnpunkterna i många små inre kuber. Detta gör det enklare att konstruera fjäderstrukturen. Det finns olika alternativ att binda ihop masspunkterna med fjädrar. Enklast är att ta de sex närmaste masspunkterna och koppla ihop dem med fjädrar som härmed benämns sidofjädrar. Detta kommer dock ge en svag struktur som lätt kollapsar. För att motverka detta kan dras fjädrar mellan diagonalerna och rymddiagonalerna. (a) sidofjädrar (b) diagonalfjädrar (c) rymddiagonalfjädrar Figur 2.1: De olika typer av fjädrar vi implementerar Det är svårt att uppskatta bra värden på fjäder- och dämningskonstanter därför kommer dessa att tas fram experimentellt. Densiteten uppskattats till att överensstämma med densiteten hos riktigt gelé. Ett enkelt test av systemet gjordes genom att bygga fjädermodellen i 3D Studio Med detta test bekräftade att modellen var tillräckligt realistisk. Vid implementeringen användes programmeringsspråket C med ramverket XNA. 2.2 Matematisk modell En Bond graf ställdes upp för en masspunkt med en ansluten fjäder. Grafen tog även hänsyn till dämpningen och yttre krafter som gravitation. Från detta kunde vi sedan härleda en differentialekvation. x 2 t 2 = v = a = 1 m ( F Hook F dämpning F yttre ) (2.1) 7

8 Figur 2.2: bindningsgraf 2.3 Eulers stegmetod Denna metod används för att lösa differentialekvationen (2.1). Metoden använder andra ordningens taylorutveckling för att approximera lösningen till differentialekvationer. Standardformen på Eulers stegmetod ser ut som följande: och i diskret fall y(t + h) = y(t) + f(t, y(t))h (2.2) y k+1 = y k + f(t k, y k )h (2.3) h är steglängden, y k+1 är värdet i nästa tidspunkt, y k är det föregående värdet och f(t k, y k ) är derivatan till y k. Initialvärden på y k och f(t k, y k ) behövs för att approximera första steget. Man använder alltså derivatans riktning i tidpunkten k och rör sig sedan i denna riktning under tiden h. Denna metod körs iterativt. 2.4 Fysikaliska formler För att beräkna kraften av fjädern användes Hookes lag (2.4) där k Hook är fjäderkonstanten och x 0 viloläget för fjädern. F = k Hook (x x 0 ) (2.4) Denna måste utökas till tre dimensioner med vektorer för att få rätt riktning på kraften, vilket ger oss formeln (2.5). L är vektorn från masspunkt B till A. F = k Hook ( L x 0 ) L Eftersom fjädrarna inte oscillerar i all oändlighet måste man ta hänsyn till dämpning. L (2.5) Även denna ska gälla för tre dimensioner, och skall därför också utökas. F = k Dämpning v (2.6) För att simulera friktion användes friktionsformeln: ( v A v B ) F = k L L Dämpning L L (2.7) F = µn (2.8) Gravitation: F = mg (2.9) 8

9 Figur 2.3: De krafter som påverkar en masspunkt (rymddiagonalkraften är ej inkluderad) 2.5 Implementation D simulering För att minska komplexiteten och få ett snabbare resultat gjordes inledande simulering av gelén i endast två dimensioner. Detta bekräftade att komponenter som Euler integration, fjäderberäkningar och visualiseringen funkade. Klass Particle Denna klass representerar en masspunkt med parametrarna: position, vikt, hastighet, acceleration och resulterande kraft (total kraft som påverkar masspunkten). Här beräknas accelerationen med hjälp av ekvation (2.1), samt hastigheten och den nya positionen med ekvationen (2.3) i klassen Euler. Gravitationen (2.9) läggs också till som ursprungligt värde i den resulterande kraften Klass Spring Denna klass representerar en fjäder med parametrarna: längd (fjäderns längd i viloläge), fjäderkonstant och dämpningskonstant. Här beräknas fjäderkraften givet avståndet och relativa hastigheten, med hjälp av (2.5) och (2.7). Klass Euler Denna klass utför numerisk integrering då derivata och tidigare värde är givna. Klass BaseCube2D Denna klass skapar alla masspunkter och binder ihop dem med fjädrar. Härifrån anropas också metoderna i klasserna Spring och Particle för att beräkna krafter och nya positioner. Klass PolygonCube2D Denna klass ritar ut polygoner med masspunkter som referens. Struktur Vid körning skapas först ett BaseCube2D objekt som lägger in masspunkter i en matris av önskad storlek. Utifrån denna matris skapas sedan de olika fjädrarna som sammankopplar masspunkterna med varandra. Dessa lagras i en matris där varje rad innehåller två masspunkter som är sammankopplade med en fjäder. Detta behöver bara köras en gång och är grunden till simuleringen. För varje bildruta beräknas fjäderkraften för alla fjädrar. Dessa krafter adderas sedan till respektive masspunkts resulterande kraft. Den resulterande kraften hos en masspunkt används för att beräkna dess acceleration. Då accelerationen har beräknats kan den nya hastigheten tas fram med hjälp av Euler integration. På samma sätt kan den nya positionen bestämmas utifrån hastigheten. För att kompensera avsaknaden av kollisionshantering fixerades vissa Masspunkter så att den inte faller fritt D simulering I den tredimensionella simuleringen utökades befintliga klasser. Klasserna Particle, Spring och Euler förblir dock oförändrade. 9

10 Klass BaseCube3D Precis som BaseCube2D skapar denna klass alla masspunkter och binder ihop dem med fjädrar. Skillnaden är att masspunkterna lagras i en tredimensionell matris, vilket ger en direkt motsvarighet till positionerna i kuben, samt att fjäderstrukturen har utökats med rymddiagonala fjädrar. Här ligger även kollisionshanteringen och friktionsberäkningarna. Klass PolygonCube3D Precis som PolygonCube2D ritar denna ut polygonerna utifrån masspunkterna. Skillnaden är att den nu plockar ut de yttre masspunkterna och ritar upp var och en av kubens sex sidor för sig. För att ljussättningen ska bli rätt beräknas också normalen för varje vertex (masspunkt), varje gång bilden uppdateras. Enkel kollisionshantering Som en inledande, förenklade version av kollisionshantering bestämdes en höjd på y-axeln som masspunkterna i kuben hindrades från att komma under. För att göra detta flyttades masspunkterna upp till den givna höjden, samt nollställa den resulterande kraften i y-led. Detta görs innan acceleration, hastighet och positionen uppdateras. Avancerad kollisionshantering I varje tidsteg kontrolleras varje masspunkt i geléobjekt om den befinner sig inuti ett annat objekt. Detta görs genom att för varje polygon i det objektet beräknas skalärprodukten mellan polygonens normal (N) och en vektor (v) från en punkt på polygonen till den aktuella masspunkten (se figur 2.4(a)). Det ger avståndet h mellan polygonen och masspunkten. Om det är negativ ligger masspunkten på baksidan av polygonen (se figur 2.4(b)). Om alla avstånd för en masspunkt är negativa befinner den sig i objektet och då måste åtgärder vidtas. De punkter som upptäcks vara i objektet flyttas ut ur objektet (se figur 2.4(c)). Hastighet och acceleration måste också uppdateras. För att veta vart punkten skall flyttas kontrolleras vilket avstånd som är minst, då vet man vilken polygon som är närmast. Masspunkten flyttas sedan det avståndet enligt den närmaste polygonens normalriktning. För masspunkten räknas normalkraften genom att beräkna skalärprodukten mellan polygonens normal och resulterande kraft på masspunkten. Det multipliceras sedan med normalen för att få rätt riktning på kraften. Normalkraften adderas sedan från masspunkten resulterande kraft. Samma princip används för att beräkna en ny hastighet, men istället för resulterande kraft används masspunktens hastighet. Allt detta görs för att masspunkten inte skall fortsätta in i objektet. (a) Före kollision (b) Upptäckt kollision (c) Justerad Figur 2.4: Kollisionshanteringen Friktion Friktionen beräknas bara för de masspunkter som fångas upp av kollisionshanteraren. Detta beräknades genom att använda friktionsformeln (2.8) där normalkraften är lika stor som masspunktens resulterande kraft i y-led (innan denna nollställs), men vänd åt andra hållet. Precis som i riktig friktion har olika friktionskonstanter implementerats för stillastående och för rörelse. Om masspunkten är stillastående jämförs längden av kraftvektorn, efter att den nollställts i y-led, med längden av friktionskraftens vektor. Om friktionskraften är störst nollställs hela kraften på masspunkten, så att den inte rör på sig. Om friktionskraften är minst kommer masspunken att vara i rörelse och en ny friktionskraft beräknas, med lägre friktionskonstant. Friktionskraften vid rörelse verkar som en konstant kraft, motsatt rörelseriktningen. Grafik 10

11 Vi skapar först en abstrakt version av vår gelékub, men för att kunna visualisera den måste vi även skapa en grafisk representation av den. För detta skrev vi en funktion som efter givna data skapar en polygon kub. Varje sida av kuben är uppdelad i ett antal mindre polygoner, där storleken bestäms av partikelavståndet. För enkelhetens skull sätter vi samma färg på alla polygoner. 2.6 Pseudokod För varje blidruta För varje fjäder i fjädermatrisen Beräkna fjäderkraften Beräkna dämpningskraften Addera resulterande kraft till masspartiklarna För varje masspunkt (I 3D fallet görs även detta) Om masspunkt kolliderar med ytan Flytta upp masspunkt och nollställ resulterande kraft i y-led Beräkna friktion och uppdatera den resulterande kraften Addera gravitationen till resulterande kraft Beräkna acceleration Beräkna hastighet med hjälp av euler integration Beräkna position med hjälp av euler integration Uppdatera position

12 12

13 Kapitel 3 Resultat De fjäderkonstanter och dämpningskonstanter som ger en simulering som är mest verklighetstrogen är listade i tabellen nedan (Tabell 3.1). Tabell 3.1: Fjäder- och dämpningskonstanter Sidofjäder Diagonalfjäder Rymddiagonalfjäder Fjäderkonstant 400N 420N 440N Dämpningskonstant 1,5 1,5 1,5 Densiteten har vi valt till: 1000kg/m 3 Storleken har vi valt till: 5x5x5x0,02 (Bredd x Höjd x Tjockleck x Partikelavstånd) Vilket ger oss en massa på 1kg För Eulersteget använder vi : h = Resultatet i två dimensioner: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figur 3.1: 2D-simulering 13

14 Resultatet i tre dimensioner: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figur 3.2: 3D-simulering Begränsningen för vår simulering är ca 260 masspunkter, vilket blir ca 2500 fjädrar. Detta kommer resultera i ca fjäderberäkningar/sek. Även kollision och grafikberäkningarna som utförs tar en del prestanda. Den dator vi har utfört simuleringen på har följande specifikationer: Intel Core 2 Duo 2.0Ghz 2048 Mb ram ATI X1800 mobility 256Mb Gelékuben kan kollapsa om den utsätts för stora krafter. Anledningen till att detta sker är att fjädern trycks ihop så mycket att startpunkten passerar slutpunkten och trycks ut åt fel håll då den söker sitt viloläge. Det leder till att kuben bli deformerad. 14

15 Kapitel 4 Slutsats och diskussion Strukturen på vår modell består av sido-, diagonal- och rymddiagonalfjädrar. Detta ger en acceptabel simulering av gelé i realtid, så länge inga stora krafter påverkar geléobjektet. För att undvika detta utförde vi test med fyra stycken rymddiagonalfjädrar på hela kuben. Detta ökade stabiliteten något men medförde också ett orealistiskt beteende hos kuben. Därför valde vi att inte använda det. Simuleringen kan köras med endast sido- samt diagonalfjädrar dock ger det bättre stabilitet med rymdiagonalfjädrar. Gaslagen implementerades inte. Detta för att det gav ett tillräckligt bra resultat med rymddiagonalfjädrarna. De fjäder- och dämpningskonstanter som används ger en acceptabel dallrande konsistens samt en stabil struktur som inte kollapsar. Högre fjäderkonstanterna ger en fastare struktur och högre dämpningskonstant gör att dallringarna minskar. Euler stegmetod är beroende av en liten steglängd för att simuleringen skall vara stabil. Om en större kraft verkar på en masspunkt och steglängden är för stor kommer detta leda till att krafterna blir okontrollerbara. Inträffar det kommer objektet att exploder. För att undvika det har vi valt att använda en liten steglängd, detta ger dock en långsam simulering. Detta löstes genom att uppdatera simuleringen flera gånger för varje bild som visas. Det som sätter begränsningen på hur många uppdateringar man kan köra är datorns prestanda. Vår kollisionsmodell fungerar för konvexa och statiska objekt. Kollisionsmodellen beräknar endast för geléobjektets masspunkter och inte polygoner, vilket kan leda till att en av geléobjektets polygoner kan hamna innanför ett statiskt objekt. Detta inträffar sällan då masspunktsavståndet är relativt litet och är därför inget stort problem. Friktionskonstanterna som används har även den tagits fram via experiment mot ett underlag som vi definierade som plast. Fjädermodellen som vi har använt oss av kan tillämpas på andra mjuka objekt. T.ex. om vi ändrar storleken kan vi simulera objekt som tyg och rep dock är vår simulering inte anpassad till dessa. Om kursen haft en större omfattning skulle vi kunnat utöka vår modell. Bl.a. Kollisionsmodell mellan mjuka kroppar Implementering av gaslag Optimering av kod för bättre prestanda Snyggare grafisk representation 15

Gel esimulering 22 mars 2008

Gel esimulering 22 mars 2008 Gelésimulering 22 mars 2008 2 Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika

Läs mer

Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt. Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson

Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt. Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson 25 April 2010 0.1 Förord Gruppen vill tacka Adam Grudzinski för att ha fått tillåtelse att

Läs mer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer 2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder

Läs mer

Två gränsfall en fallstudie

Två gränsfall en fallstudie 19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion

Läs mer

TNM085 MODELLERINGSPROJEKT FLYGSIMULATOR. Albin Törnqvist, Emil Rydkvist, Oskar Krantz 15 mars Linköpings Tekniska Högskola

TNM085 MODELLERINGSPROJEKT FLYGSIMULATOR. Albin Törnqvist, Emil Rydkvist, Oskar Krantz 15 mars Linköpings Tekniska Högskola TNM085 MODELLERINGSPROJEKT FLYGSIMULATOR Albin Törnqvist, Emil Rydkvist, Oskar Krantz 15 mars 2013 Linköpings Tekniska Högskola Sammanfattning Syftet med detta projekt var att ta fram en matematisk modell

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Obligatoriska uppgifter i MATLAB

Obligatoriska uppgifter i MATLAB Obligatoriska uppgifter i MATLAB Introduktion Följande uppgifter är en obligatorisk del av kursen och lösningarna ska redovisas för labhandledare. Om ni inte använt MATLAB tidigare är det starkt rekommenderat

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system

Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system 1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Laboration 2 Mekanik baskurs

Laboration 2 Mekanik baskurs Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2014 12 11 1 Introduktion När man placerar ett föremål på ett lutande plan så kommer föremålet att börja glida längs med

Läs mer

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. öreläsning 2,dynamik Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. Exempel ges på olika typer av krafter, dessa kan delas in i mikroskopiska och makroskopiska. De makroskopiska krafterna kan

Läs mer

Vågrörelselära och optik

Vågrörelselära och optik Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:

Läs mer

Simulering och rendering av gräs och vind i realtid

Simulering och rendering av gräs och vind i realtid Simulering och rendering av gräs och vind i realtid Linköpings universitet, ITN, TNM085, VT2010 Carl Claesson, 850508-1672, carcl268@student.liu.se Lucas Correia, 870325-7496, lucco863@student.liu.se David

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n

KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2# n KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång

Läs mer

Mer Friktion jämviktsvillkor

Mer Friktion jämviktsvillkor KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning

Läs mer

Kapitel 4 Arbete, energi och effekt

Kapitel 4 Arbete, energi och effekt Arbete När en kraft F verkar på ett föremål och föremålet flyttar sig sträckan s i kraftens riktning säger vi att kraften utför ett arbete på föremålet. W = F s Enheten blir W = F s = Nm = J (joule) (enheten

Läs mer

TNM087 - MoS Projekt Group 7 - ICE ICE BABY

TNM087 - MoS Projekt Group 7 - ICE ICE BABY TNM087 - MoS Projekt Group 7 - ICE ICE BABY Viktor Nilsson, vikni067@student.liu.se Amaru Ubillus, amaub859@student.liu.se Anders Nord, andno922@student.liu.se Mirza Talovic,mirta980@student.liu.se 11

Läs mer

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Grundläggande om krafter och kraftmoment Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan

Läs mer

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel

LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Uppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars

Uppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars LEGO projekt Projektets mål är att ni gruppvis skall öva på att genomföra ett projekt. Vi använder programmet LabVIEW för att ni redan nu skall bli bekant med dess grunder till hjälp i kommande kurser.

Läs mer

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Institutionen för teknik, fysik och matematik Nils Olander och Herje Westman Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Max: 30 p A-uppgifterna 1-8 besvaras genom att ange det korrekta

Läs mer

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten. Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på

Läs mer

TANA81: Simuleringar med Matlab

TANA81: Simuleringar med Matlab TANA81: Simuleringar med Matlab - Textsträngar och Texthantering. - Utskrifter till fil eller skärm. - Exempel: Slumptal och Simulering. - Exempel: Rörelseekvationerna. - Vanliga matematiska problem. Typeset

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

Övningsuppgifter till Originintroduktion

Övningsuppgifter till Originintroduktion UMEÅ UNIVERSITET 05-08-01 Institutionen för fysik Ylva Lindgren Övningsuppgifter till Originintroduktion Uppgift 1. I ett experiment vill man bestämma fjäderkonstanten k för en viss fjäder. Med olika kraft

Läs mer

Övningar till datorintroduktion

Övningar till datorintroduktion Institutionen för Fysik Umeå Universitet Ylva Lindgren Sammanfattning En samling uppgifter att göra i MATLAB, vilka ska utföras enskilt eller i grupp om två. Datorintroduktion Handledare: (it@tekniskfysik.se)

Läs mer

E-II. Diffraktion på grund av ytspänningsvågor på vatten

E-II. Diffraktion på grund av ytspänningsvågor på vatten Q Sida 1 av 6 Diffraktion på grund av ytspänningsvågor på vatten Inledning Hur vågor bildas och utbreder sig på en vätskeyta är ett viktigt och välstuderat fenomen. Den återförande kraften på den oscillerande

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO TMV036c - 0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning Vi har i tidigare studioövningar sett på allmäna system

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.

Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Inlämningsuppgift 1 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Oftast använder vi apparater och motorer till att omvandla

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse

Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik 1 Heureka: kapitel 11 11.1.-11.2 Se facit eller figurerna nedan. 1 11.3 Titta på figuren. Dra linjer parallella

Läs mer

Rotationsrörelse laboration Mekanik II

Rotationsrörelse laboration Mekanik II Rotationsrörelse laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2015 04 19 Sida 1 av 10 Sammanfattning För att förändra en kropps rotationshastighet så krävs ett vridmoment,

Läs mer

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

 e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------

Läs mer

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid

Läs mer

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-08-25 Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina

Läs mer

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren

Läs mer

Ordinära differentialekvationer,

Ordinära differentialekvationer, Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1

Läs mer

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen 005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

14. Elektriska fält (sähkökenttä)

14. Elektriska fält (sähkökenttä) 14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Funktioner Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna laboration skall vi träna på att

Läs mer

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen 2015-06-12 Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. Med hjälp av en tråd kan ett homogent block

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

Datorsimuleringsuppgift i Mekanik I del 2, Ht Stela Kroppens Dynamik (TMME18) Rulle på Cylinder. Deadline för inlämning: , kl 15.

Datorsimuleringsuppgift i Mekanik I del 2, Ht Stela Kroppens Dynamik (TMME18) Rulle på Cylinder. Deadline för inlämning: , kl 15. (6) Bakgrnd Datorsimleringsppgift i Mekanik I del, Ht 0 Stela Kroppens Dynamik (TMME8) Rlle på Cylinder Deadline för inlämning: 0--09, kl 5.00 I ppgiften skall d ställa pp rörelseekvationerna för ett mekaniskt

Läs mer

Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare

Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 02/03. Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare Lennart Edsberg Nada,KTH Mars 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 02/03 Laboration 3 4. Elmotor med resonant dämpare 1 Laboration 3. Differentialekvationer Elmotor med

Läs mer

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).

(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning). STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.

Läs mer

" e n och Newtons 2:a lag

 e n och Newtons 2:a lag KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar

Läs mer

Datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 15 Inför tentamen

Datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 15 Inför tentamen Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 15 Inför tentamen 1 Innehåll Kursvärdering Vi behöver granskare! Repetition Genomgång av gammal tenta 2 Första föreläsningen: målsättningar Alla ska höja sig ett

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t

Läs mer

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste

Läs mer

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen

Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från

Läs mer

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar

DN1240, numo08 Stefan Knutas, Fredrik Båberg, B.10: Nalle-Maja gungar DN140, numo08 Stefan Knutas, 8811-0056 Fredrik Båberg, 88031-0511 3B.10: Nalle-Maja gungar Sammanfattning Detta arbete är skrivet som en del av Numeriska Metoder, Grundkurs. Uppgiften vi valde gick ut

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

27,8 19,4 3,2 = = 1500 2,63 = 3945 N = + 1 2. = 27,8 3,2 1 2,63 3,2 = 75,49 m 2

27,8 19,4 3,2 = = 1500 2,63 = 3945 N = + 1 2. = 27,8 3,2 1 2,63 3,2 = 75,49 m 2 Lina Rogström linro@ifm.liu.se Lösningar till tentamen 150407, Fysik 1 för Basåret, BFL101 Del A A1. (2p) Eva kör en bil med massan 1500 kg med den konstanta hastigheten 100 km/h. Längre fram på vägen

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Basala kunskapsmål i Mekanik

Basala kunskapsmål i Mekanik Basala kunskapsmål i Mekanik I kunskapsmålen nedan används termerna definiera, förklara och redogöra återkommande. Här följer ett försök att klargöra vad som avses med dessa. Definiera Skriv ner en definition,

Läs mer

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j. 1 KOMIHÅG 4: --------------------------------- Enkraftsresultantens existens. Vanliga resultanter vid analys av jämvikter. Jämviktsanalys: a) Kraftanalys - rita+symboler b) Jämviktslagar- Euler 1+2 c)

Läs mer

Laboration Svängningar

Laboration Svängningar Laboration Svängningar Laboranter: Fredrik Olsen Roger Persson Utförande datum: 2007-11-22 Inlämningsdatum: 2007-11-29 Fjäder Högtalarmembran Stativ Fjäder Ultraljudssensor Försökets avsikt Syftet med

Läs mer

Kravspecifikation. TDP005 Projekt: objektorienterade system. Version 4.0 Datum Anna Ahlberg Johan Almberg

Kravspecifikation. TDP005 Projekt: objektorienterade system. Version 4.0 Datum Anna Ahlberg Johan Almberg Kravspecifikation TDP005 Projekt: objektorienterade system Version 4.0 Datum 2008 12 05 Anna Ahlberg Johan Almberg 1 Innehållsförteckning 1. Spelidé...3 1.1 Svårighetsgrad...3 2. Målgrupp...3 3. Spelupplevelse...3

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet (fylls i av ansvarig) Datum för tentamen Sal Tid Kurskod Provkod Kursnamn/benämning Institution Antal uppgifter i tentamen Antal sidor på

Läs mer

Kollisioner, rörelsemängd, energi

Kollisioner, rörelsemängd, energi Kollisioner, rörelsemängd, energi I denna laboration kommer ni att undersöka kollisioner, rörelsemängd och energi, samt bekanta er ytterligare med GLX Xplorer som används i mekaniklabbet för utläsning

Läs mer

Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB. Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet

Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB. Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet 17 april 2013 Innehåll Introduktion 3 Redovisning 3 Simulering av Newtons rörelseekvationer 4 Gravitation

Läs mer

Universe Engine Rapport

Universe Engine Rapport 1 Universe Engine Rapport Alexander Mennborg 2017-05-08 2 Inledning I denna rapport diskuteras utvecklingsprocessen till projektet Universe Engine. Denna diskussion omfattar hela utveckling från starten

Läs mer

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll

4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 4 rörelsemängd. en modell för gaser. Innehåll 8 Allmänna gaslagen 4: 9 Trycket i en ideal gas 4:3 10 Gaskinetisk tolkning av temperaturen 4:6 Svar till kontrolluppgift 4:7 rörelsemängd 4:1 8 Allmänna gaslagen

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Vektorberäkningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall vi träna på

Läs mer

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I Mekanik FK2002m Föreläsning 4 Kraft och rörelse I 2013-09-05 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 4 Introduktion Hastighet Langt under 3x10 8 Nara : 3x10 8 Storlek 10 9 Langt over : 10 9 Klassisk

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Tentamen i Miljö och Matematisk Modellering för TM Åk 3, MVE345 MVE maj 2012,

Tentamen i Miljö och Matematisk Modellering för TM Åk 3, MVE345 MVE maj 2012, Tentamen i Miljö och Matematisk Modellering för TM Åk 3, MVE345 MVE345 24 maj 2012, 8.30-13.00 1. Ge exempel på en avklingningsfunktion för att beskriva en gas som bryts ner i atmosfären. Presentera också

Läs mer

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning

Helsingfors universitet, Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning Helsingfors universitet, 18.5.2015 Agrikultur-forstvetenskapliga fakulteten Skoglig ekologi och resurshushållning DEL 2 Matematik (max 0 p.) 7. a) Matti och Maija börjar vandra från samma punkt i motsatta

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 014-03-17 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! 1 KTH Mekanik Problemtentamen En tunn homogen stav i jämvikt med massan m har i ena ändpunkten

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Översikt Kursintroduktion Kursens syfte och mål Kursprogram Upprop Inledande föreläsning Föreläsning: Kapitel 1. Introduktion till statik Kapitel 2. Att räkna med krafter

Läs mer