Inledning. Kapitel Bakgrund. 1.2 Syfte
|
|
- Robert Lindström
- för 9 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika typer av fjädrar med olika parametrar. Målet var att få simuleringen så realistisk som möjligt, detta genom att experimentellt ta fram värden på parametrarna till fjädrar och friktion. En kollisionsmodell har implementerats för att sätta in geléobjektet under mer realistiska förhållanden. Om man är vill göra en simulering som visar de grundläggande egenskaperna hos gelé är detta en bra modell. Simuleringen klarar att köras i realtid med en begränsning med ca 260 masspunkter vilket blir ca 2500 fjädrar för geléobjektet.
2 2
3 Innehåll 3
4 4
5 Kapitel 1 Inledning 1.1 Bakgrund Detta arbete är ett resultat av projektet i kursen Modelleringsprojekt TNM085, vårterminen Denna kurs baserar sig på den tidigare kursen Modellbygge och Simulering TNG022 där man lär sig att bygga en modell av ett fysikaliskt system. Eftersom vi läser civ. ing. medieteknik är det viktigt för oss att kunna implementera och åskådliggöra fysikaliska modeller i en grafisk representation. 1.2 Syfte Syftet med projektet är att simulera ett fysikaliskt system i form av ett geléobjekt samt visa det grafiskt. Detta ska ske i realtid på en modern dator. Projektet kommer även ge oss kunskaper om hur de teoretiska modellerna implementeras i en simulering. 5
6 6
7 Kapitel 2 Metod 2.1 Förstudie Det vanligaste sättet att simulera gelé är att använda sig av masspunkter som är sammankopplade med flera fjädrar. Genom att justera fjädrarnas parametrar kan man få önskade egenskaper hos geléobjektet. För att motverka att fjädersystemet förlorar volym vid deformation tillämpas en gaslag som ser till att systemet har en konstant volym. För att det ska bli mer intressant att se på kommer även en kollisionshantering att implementeras. Vi valde att göra ett geléobjekt i form av en kub för att begränsa projektets storlek. Masspunkterna kan då placeras likt hörnpunkterna i många små inre kuber. Detta gör det enklare att konstruera fjäderstrukturen. Det finns olika alternativ att binda ihop masspunkterna med fjädrar. Enklast är att ta de sex närmaste masspunkterna och koppla ihop dem med fjädrar som härmed benämns sidofjädrar. Detta kommer dock ge en svag struktur som lätt kollapsar. För att motverka detta kan dras fjädrar mellan diagonalerna och rymddiagonalerna. (a) sidofjädrar (b) diagonalfjädrar (c) rymddiagonalfjädrar Figur 2.1: De olika typer av fjädrar vi implementerar Det är svårt att uppskatta bra värden på fjäder- och dämningskonstanter därför kommer dessa att tas fram experimentellt. Densiteten uppskattats till att överensstämma med densiteten hos riktigt gelé. Ett enkelt test av systemet gjordes genom att bygga fjädermodellen i 3D Studio Med detta test bekräftade att modellen var tillräckligt realistisk. Vid implementeringen användes programmeringsspråket C med ramverket XNA. 2.2 Matematisk modell En Bond graf ställdes upp för en masspunkt med en ansluten fjäder. Grafen tog även hänsyn till dämpningen och yttre krafter som gravitation. Från detta kunde vi sedan härleda en differentialekvation. x 2 t 2 = v = a = 1 m ( F Hook F dämpning F yttre ) (2.1) 7
8 Figur 2.2: bindningsgraf 2.3 Eulers stegmetod Denna metod används för att lösa differentialekvationen (2.1). Metoden använder andra ordningens taylorutveckling för att approximera lösningen till differentialekvationer. Standardformen på Eulers stegmetod ser ut som följande: och i diskret fall y(t + h) = y(t) + f(t, y(t))h (2.2) y k+1 = y k + f(t k, y k )h (2.3) h är steglängden, y k+1 är värdet i nästa tidspunkt, y k är det föregående värdet och f(t k, y k ) är derivatan till y k. Initialvärden på y k och f(t k, y k ) behövs för att approximera första steget. Man använder alltså derivatans riktning i tidpunkten k och rör sig sedan i denna riktning under tiden h. Denna metod körs iterativt. 2.4 Fysikaliska formler För att beräkna kraften av fjädern användes Hookes lag (2.4) där k Hook är fjäderkonstanten och x 0 viloläget för fjädern. F = k Hook (x x 0 ) (2.4) Denna måste utökas till tre dimensioner med vektorer för att få rätt riktning på kraften, vilket ger oss formeln (2.5). L är vektorn från masspunkt B till A. F = k Hook ( L x 0 ) L Eftersom fjädrarna inte oscillerar i all oändlighet måste man ta hänsyn till dämpning. L (2.5) Även denna ska gälla för tre dimensioner, och skall därför också utökas. F = k Dämpning v (2.6) För att simulera friktion användes friktionsformeln: ( v A v B ) F = k L L Dämpning L L (2.7) F = µn (2.8) Gravitation: F = mg (2.9) 8
9 Figur 2.3: De krafter som påverkar en masspunkt (rymddiagonalkraften är ej inkluderad) 2.5 Implementation D simulering För att minska komplexiteten och få ett snabbare resultat gjordes inledande simulering av gelén i endast två dimensioner. Detta bekräftade att komponenter som Euler integration, fjäderberäkningar och visualiseringen funkade. Klass Particle Denna klass representerar en masspunkt med parametrarna: position, vikt, hastighet, acceleration och resulterande kraft (total kraft som påverkar masspunkten). Här beräknas accelerationen med hjälp av ekvation (2.1), samt hastigheten och den nya positionen med ekvationen (2.3) i klassen Euler. Gravitationen (2.9) läggs också till som ursprungligt värde i den resulterande kraften Klass Spring Denna klass representerar en fjäder med parametrarna: längd (fjäderns längd i viloläge), fjäderkonstant och dämpningskonstant. Här beräknas fjäderkraften givet avståndet och relativa hastigheten, med hjälp av (2.5) och (2.7). Klass Euler Denna klass utför numerisk integrering då derivata och tidigare värde är givna. Klass BaseCube2D Denna klass skapar alla masspunkter och binder ihop dem med fjädrar. Härifrån anropas också metoderna i klasserna Spring och Particle för att beräkna krafter och nya positioner. Klass PolygonCube2D Denna klass ritar ut polygoner med masspunkter som referens. Struktur Vid körning skapas först ett BaseCube2D objekt som lägger in masspunkter i en matris av önskad storlek. Utifrån denna matris skapas sedan de olika fjädrarna som sammankopplar masspunkterna med varandra. Dessa lagras i en matris där varje rad innehåller två masspunkter som är sammankopplade med en fjäder. Detta behöver bara köras en gång och är grunden till simuleringen. För varje bildruta beräknas fjäderkraften för alla fjädrar. Dessa krafter adderas sedan till respektive masspunkts resulterande kraft. Den resulterande kraften hos en masspunkt används för att beräkna dess acceleration. Då accelerationen har beräknats kan den nya hastigheten tas fram med hjälp av Euler integration. På samma sätt kan den nya positionen bestämmas utifrån hastigheten. För att kompensera avsaknaden av kollisionshantering fixerades vissa Masspunkter så att den inte faller fritt D simulering I den tredimensionella simuleringen utökades befintliga klasser. Klasserna Particle, Spring och Euler förblir dock oförändrade. 9
10 Klass BaseCube3D Precis som BaseCube2D skapar denna klass alla masspunkter och binder ihop dem med fjädrar. Skillnaden är att masspunkterna lagras i en tredimensionell matris, vilket ger en direkt motsvarighet till positionerna i kuben, samt att fjäderstrukturen har utökats med rymddiagonala fjädrar. Här ligger även kollisionshanteringen och friktionsberäkningarna. Klass PolygonCube3D Precis som PolygonCube2D ritar denna ut polygonerna utifrån masspunkterna. Skillnaden är att den nu plockar ut de yttre masspunkterna och ritar upp var och en av kubens sex sidor för sig. För att ljussättningen ska bli rätt beräknas också normalen för varje vertex (masspunkt), varje gång bilden uppdateras. Enkel kollisionshantering Som en inledande, förenklade version av kollisionshantering bestämdes en höjd på y-axeln som masspunkterna i kuben hindrades från att komma under. För att göra detta flyttades masspunkterna upp till den givna höjden, samt nollställa den resulterande kraften i y-led. Detta görs innan acceleration, hastighet och positionen uppdateras. Avancerad kollisionshantering I varje tidsteg kontrolleras varje masspunkt i geléobjekt om den befinner sig inuti ett annat objekt. Detta görs genom att för varje polygon i det objektet beräknas skalärprodukten mellan polygonens normal (N) och en vektor (v) från en punkt på polygonen till den aktuella masspunkten (se figur 2.4(a)). Det ger avståndet h mellan polygonen och masspunkten. Om det är negativ ligger masspunkten på baksidan av polygonen (se figur 2.4(b)). Om alla avstånd för en masspunkt är negativa befinner den sig i objektet och då måste åtgärder vidtas. De punkter som upptäcks vara i objektet flyttas ut ur objektet (se figur 2.4(c)). Hastighet och acceleration måste också uppdateras. För att veta vart punkten skall flyttas kontrolleras vilket avstånd som är minst, då vet man vilken polygon som är närmast. Masspunkten flyttas sedan det avståndet enligt den närmaste polygonens normalriktning. För masspunkten räknas normalkraften genom att beräkna skalärprodukten mellan polygonens normal och resulterande kraft på masspunkten. Det multipliceras sedan med normalen för att få rätt riktning på kraften. Normalkraften adderas sedan från masspunkten resulterande kraft. Samma princip används för att beräkna en ny hastighet, men istället för resulterande kraft används masspunktens hastighet. Allt detta görs för att masspunkten inte skall fortsätta in i objektet. (a) Före kollision (b) Upptäckt kollision (c) Justerad Figur 2.4: Kollisionshanteringen Friktion Friktionen beräknas bara för de masspunkter som fångas upp av kollisionshanteraren. Detta beräknades genom att använda friktionsformeln (2.8) där normalkraften är lika stor som masspunktens resulterande kraft i y-led (innan denna nollställs), men vänd åt andra hållet. Precis som i riktig friktion har olika friktionskonstanter implementerats för stillastående och för rörelse. Om masspunkten är stillastående jämförs längden av kraftvektorn, efter att den nollställts i y-led, med längden av friktionskraftens vektor. Om friktionskraften är störst nollställs hela kraften på masspunkten, så att den inte rör på sig. Om friktionskraften är minst kommer masspunken att vara i rörelse och en ny friktionskraft beräknas, med lägre friktionskonstant. Friktionskraften vid rörelse verkar som en konstant kraft, motsatt rörelseriktningen. Grafik 10
11 Vi skapar först en abstrakt version av vår gelékub, men för att kunna visualisera den måste vi även skapa en grafisk representation av den. För detta skrev vi en funktion som efter givna data skapar en polygon kub. Varje sida av kuben är uppdelad i ett antal mindre polygoner, där storleken bestäms av partikelavståndet. För enkelhetens skull sätter vi samma färg på alla polygoner. 2.6 Pseudokod För varje blidruta För varje fjäder i fjädermatrisen Beräkna fjäderkraften Beräkna dämpningskraften Addera resulterande kraft till masspartiklarna För varje masspunkt (I 3D fallet görs även detta) Om masspunkt kolliderar med ytan Flytta upp masspunkt och nollställ resulterande kraft i y-led Beräkna friktion och uppdatera den resulterande kraften Addera gravitationen till resulterande kraft Beräkna acceleration Beräkna hastighet med hjälp av euler integration Beräkna position med hjälp av euler integration Uppdatera position
12 12
13 Kapitel 3 Resultat De fjäderkonstanter och dämpningskonstanter som ger en simulering som är mest verklighetstrogen är listade i tabellen nedan (Tabell 3.1). Tabell 3.1: Fjäder- och dämpningskonstanter Sidofjäder Diagonalfjäder Rymddiagonalfjäder Fjäderkonstant 400N 420N 440N Dämpningskonstant 1,5 1,5 1,5 Densiteten har vi valt till: 1000kg/m 3 Storleken har vi valt till: 5x5x5x0,02 (Bredd x Höjd x Tjockleck x Partikelavstånd) Vilket ger oss en massa på 1kg För Eulersteget använder vi : h = Resultatet i två dimensioner: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figur 3.1: 2D-simulering 13
14 Resultatet i tre dimensioner: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figur 3.2: 3D-simulering Begränsningen för vår simulering är ca 260 masspunkter, vilket blir ca 2500 fjädrar. Detta kommer resultera i ca fjäderberäkningar/sek. Även kollision och grafikberäkningarna som utförs tar en del prestanda. Den dator vi har utfört simuleringen på har följande specifikationer: Intel Core 2 Duo 2.0Ghz 2048 Mb ram ATI X1800 mobility 256Mb Gelékuben kan kollapsa om den utsätts för stora krafter. Anledningen till att detta sker är att fjädern trycks ihop så mycket att startpunkten passerar slutpunkten och trycks ut åt fel håll då den söker sitt viloläge. Det leder till att kuben bli deformerad. 14
15 Kapitel 4 Slutsats och diskussion Strukturen på vår modell består av sido-, diagonal- och rymddiagonalfjädrar. Detta ger en acceptabel simulering av gelé i realtid, så länge inga stora krafter påverkar geléobjektet. För att undvika detta utförde vi test med fyra stycken rymddiagonalfjädrar på hela kuben. Detta ökade stabiliteten något men medförde också ett orealistiskt beteende hos kuben. Därför valde vi att inte använda det. Simuleringen kan köras med endast sido- samt diagonalfjädrar dock ger det bättre stabilitet med rymdiagonalfjädrar. Gaslagen implementerades inte. Detta för att det gav ett tillräckligt bra resultat med rymddiagonalfjädrarna. De fjäder- och dämpningskonstanter som används ger en acceptabel dallrande konsistens samt en stabil struktur som inte kollapsar. Högre fjäderkonstanterna ger en fastare struktur och högre dämpningskonstant gör att dallringarna minskar. Euler stegmetod är beroende av en liten steglängd för att simuleringen skall vara stabil. Om en större kraft verkar på en masspunkt och steglängden är för stor kommer detta leda till att krafterna blir okontrollerbara. Inträffar det kommer objektet att exploder. För att undvika det har vi valt att använda en liten steglängd, detta ger dock en långsam simulering. Detta löstes genom att uppdatera simuleringen flera gånger för varje bild som visas. Det som sätter begränsningen på hur många uppdateringar man kan köra är datorns prestanda. Vår kollisionsmodell fungerar för konvexa och statiska objekt. Kollisionsmodellen beräknar endast för geléobjektets masspunkter och inte polygoner, vilket kan leda till att en av geléobjektets polygoner kan hamna innanför ett statiskt objekt. Detta inträffar sällan då masspunktsavståndet är relativt litet och är därför inget stort problem. Friktionskonstanterna som används har även den tagits fram via experiment mot ett underlag som vi definierade som plast. Fjädermodellen som vi har använt oss av kan tillämpas på andra mjuka objekt. T.ex. om vi ändrar storleken kan vi simulera objekt som tyg och rep dock är vår simulering inte anpassad till dessa. Om kursen haft en större omfattning skulle vi kunnat utöka vår modell. Bl.a. Kollisionsmodell mellan mjuka kroppar Implementering av gaslag Optimering av kod för bättre prestanda Snyggare grafisk representation 15
Gel esimulering 22 mars 2008
Gelésimulering 22 mars 2008 2 Sammanfattning Vi har i kursen Modelleringsprojekt TNM085 valt att simulera ett geléobjekt i form av en kub. Denna består av masspunkter som är sammankopplade med tre olika
Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt. Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson
Byggnationen av Cheopspyramiden - ett visualiseringsprojekt Mathias Bergqvist, Rikard Gehlin, Henrik Gunnarsson 25 April 2010 0.1 Förord Gruppen vill tacka Adam Grudzinski för att ha fått tillåtelse att
Två gränsfall en fallstudie
19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion
Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer
2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder
Ordinära differentialekvationer,
(ODE) Ordinära differentialekvationer, del 1 Beräkningsvetenskap II It is a truism that nothing is permanent except change. - George F. Simmons ODE:er är modeller som beskriver förändring, ofta i tiden
TNM085 MODELLERINGSPROJEKT FLYGSIMULATOR. Albin Törnqvist, Emil Rydkvist, Oskar Krantz 15 mars Linköpings Tekniska Högskola
TNM085 MODELLERINGSPROJEKT FLYGSIMULATOR Albin Törnqvist, Emil Rydkvist, Oskar Krantz 15 mars 2013 Linköpings Tekniska Högskola Sammanfattning Syftet med detta projekt var att ta fram en matematisk modell
Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april
GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1
Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:
Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen,
Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Inlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system
1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla
Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.
öreläsning 2,dynamik Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar. Exempel ges på olika typer av krafter, dessa kan delas in i mikroskopiska och makroskopiska. De makroskopiska krafterna kan
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00
Institutionen för teknik, fysik och matematik Nils Olander och Herje Westman Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p 2007-03-23 kl. 08.00-13.00 Max: 30 p A-uppgifterna 1-8 besvaras genom att ange det korrekta
Obligatoriska uppgifter i MATLAB
Obligatoriska uppgifter i MATLAB Introduktion Följande uppgifter är en obligatorisk del av kursen och lösningarna ska redovisas för labhandledare. Om ni inte använt MATLAB tidigare är det starkt rekommenderat
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Vågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar Tentamensdatum: 005-03- Skrivtid: 9-5 Hjälpmedel: inga Om problembeskrivningen i något fall
Vetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik
Vetenskapsdagen 2016 SciLab för laborativa inslag i matematik eller fysik Fredrik Berntsson (fredrik.berntsson@liu.se) 5 oktober 2016 Frame 1 / 23 Bakgrund och Syfte Inom kursen Fysik3 finns material som
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade
Laboration 4 Mekanik baskurs
Laboration 4 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 015 03 7 Introduktion Denna laboration handlar om två specialfall av kollisioner, inelastiska och elastiska kollisioner. Vi ska
KOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n
KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------
Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen.
Numerisk lösning till den tidsberoende Schrödingerekvationen. Det är enbart i de enklaste fallen t ex när potentialen är sträckvis konstant som vi kan lösa Schrödingerekvationen analytiskt. I andra fall
LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar
Kapitel 4 Arbete, energi och effekt
Arbete När en kraft F verkar på ett föremål och föremålet flyttar sig sträckan s i kraftens riktning säger vi att kraften utför ett arbete på föremålet. W = F s Enheten blir W = F s = Nm = J (joule) (enheten
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 9 mars 6 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 5 april 6 Efter den här laborationen
Grundläggande om krafter och kraftmoment
Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan
Projekt: Filmat tornfall med modell av tornet. Benjamin Tayehanpour, Adrian Kuryatko Mihai
Projekt: Filmat tornfall med modell av tornet Benjamin Tayehanpour, Adrian Kuryatko Mihai Abstrakt Detta dokument avhandlar vad som händer när ett torn faller. Såväl elastiska som stela kroppar behandlas.
Laboration 2 Mekanik baskurs
Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2014 12 11 1 Introduktion När man placerar ett föremål på ett lutande plan så kommer föremålet att börja glida längs med
Omtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Simulering och rendering av gräs och vind i realtid
Simulering och rendering av gräs och vind i realtid Linköpings universitet, ITN, TNM085, VT2010 Carl Claesson, 850508-1672, carcl268@student.liu.se Lucas Correia, 870325-7496, lucco863@student.liu.se David
LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin
Bose-Einsteinkondensation Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin 3 mars, 009 Inledning Denna laboration går ut på att studera Bose-Einsteinkondensation för bosoner i en tredimensionell harmonisk-oscillatorpotential.
Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete
Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång
Mer Friktion jämviktsvillkor
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F! µn. Viskös friktion: F = "cv. Extra villkor för jämvikt: risk för glidning eller stjälpning. ---------------------------------- Föreläsning
Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006
Pass 2 Aktions- reaktionskraft Nu är det dags att presentera grundstenarna inom Mekanik Newtons lagar: 1. Tröghetslagen: En kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse om den inte av
3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.
Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på
TNM087 - MoS Projekt Group 7 - ICE ICE BABY
TNM087 - MoS Projekt Group 7 - ICE ICE BABY Viktor Nilsson, vikni067@student.liu.se Amaru Ubillus, amaub859@student.liu.se Anders Nord, andno922@student.liu.se Mirza Talovic,mirta980@student.liu.se 11
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Vi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta
Niclas Larson Myra på villovägar Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid
Uppdrag för LEGO projektet Hitta en vattensamling på Mars
LEGO projekt Projektets mål är att ni gruppvis skall öva på att genomföra ett projekt. Vi använder programmet LabVIEW för att ni redan nu skall bli bekant med dess grunder till hjälp i kommande kurser.
Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Inlämningsuppgift 1. 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler.
Inlämningsuppgift 1 1/ Figuren visar ett energischema för Ulla som går uppför en trappa. I detta fall sker en omvandling av energi i Ullas muskler. Oftast använder vi apparater och motorer till att omvandla
Sammanfattning av föreläsning 11. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 12. Simulering. Föreläsning 12. Numeriska metoder och Simulering
Sammanfattning av föreläsning 11 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 12. Simulering Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Index för en DAE Antalet derivationer som behövs för att lösa ut ż
f(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Laboration 1 Mekanik baskurs
Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen
TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20
Numerisk Analys - Institutionen för Matematik KTH - Royal institute of technology 2016-05-31, kl 08-11 SF1547+SF1543 TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20 Uppgift 1 Man vill lösa ekvationssystemet
TANA81: Simuleringar med Matlab
TANA81: Simuleringar med Matlab - Textsträngar och Texthantering. - Utskrifter till fil eller skärm. - Exempel: Slumptal och Simulering. - Exempel: Rörelseekvationerna. - Vanliga matematiska problem. Typeset
LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod
TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi
Linjära system av differentialekvationer
CTH/GU STUDIO TMV036c - 0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning Vi har i tidigare studioövningar sett på allmäna system
Numeriska metoder, grundkurs II. Dagens program. Gyllenesnittminimering, exempel Gyllenesnittetminimering. Övningsgrupp 1
Numeriska metoder, grundkurs II Övning 5 för I Dagens program Övningsgrupp 1 Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum :006, Roslagstullsbacken 5 08-790 69 00 Kurshemsida: http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/d0/numi07
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
14. Elektriska fält (sähkökenttä)
14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna
6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Övningar till datorintroduktion
Institutionen för Fysik Umeå Universitet Ylva Lindgren Sammanfattning En samling uppgifter att göra i MATLAB, vilka ska utföras enskilt eller i grupp om två. Datorintroduktion Handledare: (it@tekniskfysik.se)
Övningsuppgifter till Originintroduktion
UMEÅ UNIVERSITET 05-08-01 Institutionen för fysik Ylva Lindgren Övningsuppgifter till Originintroduktion Uppgift 1. I ett experiment vill man bestämma fjäderkonstanten k för en viss fjäder. Med olika kraft
SF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: SF1545 Laboration 1 (215: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa
E-II. Diffraktion på grund av ytspänningsvågor på vatten
Q Sida 1 av 6 Diffraktion på grund av ytspänningsvågor på vatten Inledning Hur vågor bildas och utbreder sig på en vätskeyta är ett viktigt och välstuderat fenomen. Den återförande kraften på den oscillerande
Begrepp:: Kort om Kryssprodukt
Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer
Kravspecifikation TDP005 Projekt: Objektorienterat system
Kravspecifikation TDP005 Projekt: Objektorienterat system Innehållsförteckning 1. Spelidé 3 2. Målgrupp 3 3. Spelupplevelse 3 4. Spelmekanik 3 5. Regler 3 5.1 Spelplan 3 5.2 Spelaren 3 5.3 Token 3 5.4
MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse
Lösningar Kap 11 Kraft och rörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik 1 Heureka: kapitel 11 11.1.-11.2 Se facit eller figurerna nedan. 1 11.3 Titta på figuren. Dra linjer parallella
SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)
Läsåret 11/12 Utförliga lärandemål SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp) Richard Hsieh Huvudsakligt innehåll: Vektoralgebra och dimensionsbetraktelser. Kraft och kraftmoment. Kraftsystem; kraftpar,
FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning
FFM234, Datoruppgift 2: Värmeledning Christian Forssén 1 Ulf Torkelsson 2 1 Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige, Email: christian.forssen@chalmers.se 2 Astrofysik, Chalmers och Göteborgs
Laboration 1: Optimalt sparande
Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8. Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden!
Välkomna till TSRT19 Reglerteknik Föreläsning 8 Sammanfattning av föreläsning 7 Framkoppling Den röda tråden! Sammanfattning föreläsning 8 2 Σ F(s) Lead-lag design: Givet ett Bode-diagram för ett öppet
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER
UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren
(Eftersom kraften p. g. a. jordens gravitation är lite jämfört med inbromsningskraften kan du försumma gravitationen i din beräkning).
STOCHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Mekanik FyU01 och FyU03 Måndag 3 oktober 2005 kl. 9-15 Införda beteckningar skall definieras och uppställda ekvationer motiveras, detta gäller även när
Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2
Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π
Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.
Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-08-25 Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina
Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband
Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska
Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
17.10 Hydrodynamik: vattenflöden
824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl
Vi människor föds in i en tredimensionell värld som vi accepterar och
Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd Symbolen π och tredimensionellt arbete med Geogebra I grundskolans geometriundervisning möter elever oftast tvådimensionella former trots att de har störst vardagserfarenhet
Planering för Matematik kurs E
Planering för Matematik kurs E Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs E Antal timmar: 60 (0 + 0) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att E-kursen studeras på 60 klocktimmar.
SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER
SF1544 LABORATION INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER Avsikten med denna laboration är att: - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda
Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I
Mekanik FK2002m Föreläsning 4 Kraft och rörelse I 2013-09-05 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 4 Introduktion Hastighet Langt under 3x10 8 Nara : 3x10 8 Storlek 10 9 Langt over : 10 9 Klassisk
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Repetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Numeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid