II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

Transkript

1 II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå

2 Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl,

3 1: Tröghetslagen Newtons Lagar Philosophiae Naturalis Principia Mathematica En kropp förblir i vila eller likformig rörelse (konstant hastighet v) om den inte påverkas av yttre krafter. v v 2: Accelerationslagen En kropp med konstant massa m som påverkas av en yttre nettokraft F net får en acceleration a=dv/dt så att F net = ma v F v trög massa v v 3: Reaktionslagen Om en kropp påverkar en annan med en given kraft, återverkar den senare kroppen på den första med en lika stor men motsatt riktad kraft. B F AB = F BA A F BA F AB

4 Kommentarer till reaktionslagen: Stenhuggaren kan flytta blocket längs golvet utan att själv röra sig relativt golvet. Varför? {4.28} Kenneth Järrendahl,

5 Superposition Krafter som verkar i samma punkt kan adderas (vektoraddition). En kraftvektor kan därför också delas upp i ett antal komponentvektorer. Om alla krafter som verkar på ett föremål adderas får vi den nettokraft som verkar på föremålet, net N F F = F + F + F i= 1 i F N {RK5.1} RK5.5 Kenneth Järrendahl,

6 Vi granskar nu en person på rullskridskor i en järnvägsvagn. Personen accelererar relativt vagnen utan påverkan av någon nettokraft. Varför? Newtons 1:a lag gäller bara i ett tröghetssystem dvs. ett icke accelererande referenssystem. Jorden utgör (approximativt) ett sådant tröghetssystem Kenneth Järrendahl,

7 Vi granskar nu en person på rullskridskor i en järnvägsvagn. Personen accelererar relativt vagnen utan påverkan av någon nettokraft. Varför? Newtons 1:a lag gäller bara i ett tröghetssystem dvs. ett icke accelererande referenssystem. Jorden utgör (approximativt) ett sådant tröghetssystem Kenneth Järrendahl,

8 Några kraftmodeller {RK5.1,2, 6.3,4,5} Avståndsverkande krafter (distanskrafter) Gravitationskraft (Newtons gravitationslag) Newtons Gravitationslag (m 2 påverkas av m 1 ) FG = G m 1m 2 R 2 {RK6.3} ˆR gravitationskonstanten G 11 G = 6, (Nm 2 /kg 2 ) tung massa m F G m 1 R -F G F G m 2 = enhetsvektor riktad från m 1 till m 2 nära jordytan FG = mg -F G tyngdaccelerationen g Gravitationskrafterna på äpplet och jorden i figuren utgör ett kraftpar enligt Newtons 3:e lag. Kenneth Järrendahl,

9 RK22.2 Kenneth Järrendahl,

10 För att effektivt beskriva fysikaliska fenomen introduceras även kontaktkrafter. Kontaktkrafter är makroskopiska uttryck för mikroskopisk växelverkan mellan många molekyler i kontaktytorna. Kenneth Järrendahl,

11 Science friction Kenneth Järrendahl,

12 Science friction Statisk motriktad kraften som försöker flytta föremålet. } Kinetisk motriktad rörelsen. } i allmänhet (se RK Table 6.1) Kenneth Järrendahl,

13 Science friction Friktion mot gas eller vätska (Alt. ) D F D ("Drag") Vanliga modeller för ett föremåls kinetiska friktion mot en gas (eller vätska) är en funktion av föremålets hastighet v v För medelhöga farter: D = c v v ( D = cv 2 ) D C 0.5 C d d C d Kenneth Järrendahl,

14 Science friction Friktion mot gas eller vätska (Alt. ) D F D För låga farter används ofta, D = bv ( D = bv) v där b är en konstant. Exempel är föremål som rör sig sakta i en vätska. D Kenneth Järrendahl,

15 Fjäderkraft, Hookes lag. F sp (m 1 påverkar m 2 ) Fsp = k( R l) ˆR Fjäderkonstanten k Fjäderns naturliga längd l Fjäderns faktiska längd R 2 F sp R l -F sp 1 Krafter i rep och block (Alt. ) ("Tension") T F T Kenneth Järrendahl,

16 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Känner vi till den totala kraften på en partikel så känner vi också till dess acceleration a dv dt v t a = F net m Þ v a t = F net m t eller v( T + t) v( T) + F net t m v dr dt r t Þ r v t Leapfrog integration = t + t 2 eller r ( t + t) r ( t) + v( T + t) t

17 ( ) Newtons lagar och kraftmodeller F r, v ( ) + ( F ( r, v) / m) t net v( t + t / 2) v t t / 2 r ( t + t) r ( t) + v( t + t / 2) t r ( 0) v( t / 2) r ( t) v( 3 t / 2) r ( 2 t) ( ) v 5 t / 2 tid t v( 0) v( t / 2) v( 0) + F net ( t = 0) m t 2 Leapfrog integration

18 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Newton har alltså gett oss ett program. indexera de diskreta tidsstegen n = 0,1,2,3,.. r 0 ( ) och v( 0) kända (begynnelsevillkor för n = 0) Beräkningsalgoritm 1) Bestäm den totala kraften på partikeln (kraftlagar) F net = F 1 + F 2 + F ) Bestäm partikelns acceleration från kraften a(n) = F net m 3) Bestäm partikelns hastighet vid senare tidpunkt v(n+1) = v(n)+ a(n) t 4) Bestäm partikelns position vid senare tidpunkt r n+1 Upprepa för varje partikel i systemet γ = 0.5 if n = 0, γ =1 if n > 0 γ ( ) = r(n)+ v(n+1) t r = xˆx+ yŷ+... v = v x ˆx+ v y ŷ+... a = a x ˆx+ a y ŷ+... F = F x ˆx+ F y ŷ+...

19 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel 0jämviktsläge m x ˆx F net = ma F net x ˆx = ma x ˆx F net x = ma x Vi kan kasta hattarna när vi har ett 1D problem, eller när vi behandlar en dimension i taget.

20 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel m F net = ma F net x ˆx = ma x ˆx 0jämviktsläge x ˆx Fjäderkraft Enbart fjäderkraften verkar på massan F net x = ma x Þ F sp = kx F net x = F sp F net x = kx 1 Þ a x = kx m 2 Rörelseekvationen (differentialekvation) d2 x dt = kx m

21 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel Vid tidpunkten t = 0 är positionen x = 1.00 m och v x = 0. Beräkna positionen och hastigheten efter 0.1 s, 0.2 s, o.s.v. Ett enkelt exempel: k / m = 1 [N/(kg m)] Tidsstegen indexerade med n: a ( x n) = kx ( n ) m æ v x (n+1) = v x (n)+ ç kx n è m ( ) ö t ø x(n+1) = x(n)+ v ( x n+1 4 ) t 2 3

22 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) 1D exempel: fjäderkraft verkande på en partikel Vid tidpunkten t = 0 är positionen x = 1.00 m och v x = 0. Beräkna positionen och hastigheten efter 0.1 s, 0.2 s, o.s.v. numerisk lösning cos(t)

23 F r ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? ( ) Newtons lagar och kraftmodeller F r, v när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i Fi = k( R l) ˆR R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j y i ŷ i j y j x j x i ˆx

24 Newtons lagar och kraftmodeller F r, v F r ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? ( ) när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i F = k( R l) ˆR i R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j y i ŷ Fix i Fiy j Fi y j x j xi ˆx

25 Newtons lagar och kraftmodeller F r, v Fi = k( R l) ˆR = F ˆR i R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j Likformiga trianglar x i x j F iy R F ix F i F ix F i F r 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? y i y j ŷ = x i x j R j x j ( ) när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) F i = k R l ( ) Fix Fi F iy på samma sätt Þ F ix = k R l i xi Fiy ˆx ( ) x i x j R

26 Newtons lagar och kraftmodeller F r, v F r ( ) = F x ˆx+ F y ŷ+ F z ẑ Hur bestämma? ( ) när kraften beror på avståndet mellan två partiklar (t.ex. fjäder- eller gravitationskraft) 2D exempel: fjäderkraft verkande på partikel i R= ( x i x ) 2 j + ( y i y ) 2 j F i = k R l ( ) Likformiga trianglar y i ŷ j Fix F i i Fiy Þ F ix = k( R l) x i x j R y j x j xi ˆx Þ F iy = k( R l) y i y j R Vi klarar oss utan trigonometri!

27 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

28 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

29 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) ( ) Exempel 2: Planetrörelse F = ma = m dv dt M kg sol jord R km F = ma ì í î F m kg v 30 km/s x x x / y = may = m dvy / FG = G mm G ( dt) ) R R 2 11 [m 3 kg -1 s -2 ] y F x jord x, ) ( y Antag att solen är oändligt tung i meningen att den inte rör sig. Ansätt ett koordinatsystem med solen i origo. sol F G x F y Utnyttja likformighet F x / F G = x / R Fy / FG = y / R R= x 2 + y 2

30 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Rörelseekvationer för en planet kring en fix sol x-led m(dv x / dt) = G mm R 3 R= x 2 + y 2 x och en algoritm för n=1,2,3... γ = 0.5 if n = 0, γ =1 if n > 0 a x (n) = G M R 3 x v x (n+1) = v x (n)+ a x (n) t γ ( ) = x(n)+ v x (n+1) t x n+1 y-led m(dv y / dt) = G mm R 3 y a y (n) = G M R 3 y v y (n+1) = v y (n)+ a y (n) t γ y( n+1) = y(n)+ v y (n+1) t

31 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Beräknad planetbana t = s = 10dagar 1 år x-koordinat solen y-koordinat

32 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Beräknad planetbana t = s = 10dagar solen Begynnelsefart 30 km / s 22 km / s

33 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Generalisera rörelseekvationerna till 3D och med ett godtyckligt antal (N) månar, planeter och solar (indexerade med i & j): Partikel i : position x i, y i och z i hastighet v ix, v iy och v iz massa m i Den totala kraften som verkar i x-led på partikel i (F ix ) är summan av de x-riktade krafterna orsakade av alla övriga partiklar j i m ( dv / dt) = F F ix = G mm i j i xi a ix ix j i R ij 3 ( x i x ) j R ij = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 + (z i z j ) 2

34 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Generalisera rörelseekvationerna till 3D och med ett godtyckligt antal (N) månar, planeter och solar (indexerade med i & j): m ( dv / dt) = F F ix = G mm i j i i ix a ix m ( dv / dt) = i Newtons 2a lag iy a iy m ( dv / dt) = iz a iz F F ix iy iz F iy = F ix = Gravitationskraften j i j i j i R ij 3 G m i m j R ij 3 G m i m j R ij 3 F G ( x i x ) j ( y i y ) j ( x i x ) j R ij = (x i x j ) 2 + (y i y j ) 2 + (z i z j ) 2

35 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

36 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

37 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Vi kan på samma sätt hitta generella uttryck för fjäderkrafter mellan N partiklar i 3D. j i F ix = k ij l ij R ij j i F iy = k ij l ij R ij ( ( ) x i x ) j R ij ( ( ) y i y ) j R ij där k ij är fjäderkonstanten, l ij är fjärdens naturliga längd och R ij är fjäderns längd (avståndet mellan partiklarna). j i F iz = k ij l ij R ij ( ( ) z i z ) j R ij

38 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Tyngdacceleration för partikel i F iy = m g i Friktion Luftmotstånd för partikel i: F F F = = = ix bv ix iy bv iy iz bv iz F i = bv i Dämpad fjäder mellan partiklarna i och j: F i = b ij R R ( v i v ) j F j = F i

39 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

40 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

41 Newtons lagar och kraftmodeller F( r, v) Simuleringsexempel

42 Kenneth Järrendahl,

43

44 Kenneth Järrendahl,

45

46

47

48

49