Övningar i MATLAB. 1. Antag x = 2 och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/2y c) 3xy/2 d) x 5 /(x 5-1)

Transkript

1 Övningar i MATLAB V1 1. Antag x = och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/y c) 3xy/ d) x 5 /(x 5-1). a, b, c, d och f är skalärer. Skriv MATLAB uttryck för att beräkna och visa följande uttryck. Testa uttrycken för värdena: a = 1.1, b =.34, c = 0.7, d = 0.81 och f = a) x = 1+a/b+c/f b) s = (b-a)/(d-c) c) r = 1/(1/a+1/b+1/c+1/d) d) y = abf /(c) 3. Hur manga element är det i vektorn [sin(-pi/):0.05:cos(0)]. Använd MATLAB för att bestämma det tionde elementet. 4. Hitta rötterna till polynomet 13x 3 +18x -184x+503 = Rita funktionen T = 6 ln t - 7e 0.t i intervallet 1 t 3. Ge bilden ett namn och korrekta storheter och enheter på axlarna. T är temperatur i Celsius och t är tid i minuter. 6. Ett staket runt ett fält är format enligt figuren. Antag att bredden W och hela arean A är kända. Skriv en m-fil som beräknar längden L för att den inhängande arean ska bli A. Beräkna även totala längden på staketet. Testa programmet med värdena W = 6m och A = 80m. V 1. Bilda en vektor x med sex värden mellan 0 och 10 (inkludera både 0 och 10). Bilda en matris med första raden med värdena 3x och andra raden värdena 5x-0.. Beräkna längden och absolutvärdet för vektorerna: a) x = [, 4, 7] b) y = [, -4, 7] c) z = [5 + 3i, i, - 7i]

2 3. För matrisen 3 7 A= a) Hitta maximala och minimala värdet i varje kolumn b) Hitta maximala och minimala värdet i varje rad 4. Arbetet U som görs av kraften F då en låda puttas sträckan s är U = Fs. Tabellen ger data för kraften som behövs för fem olika delar av en viss sträcka. Kraften varierar på grund av olika friktion på olika delar av sträckan. Beräkna: a) arbetet för varje del b) totala arbetet Kraft (N) Sträcka (m) En kabel med längden L c =5m håller uppe en balk med längden L b = 3m. På änden av L balken är en tyngd W = 400N fastsatt. Från statiken fås att: T = b L c W D L b D L C D Lb W a) Beräkna för vilket värde på D som T blir som minst. Använd elementvis beräkningar samt min-funktionen i MATLAB. b) Rita T som funktion av D och undersök hur mycket D kan ändras innan T ökar 10% från sitt minsta värde. 6. Vektorer med tre element kan representera position, hastighet och acceleration. En massa på m = 5kg har hastigheten v = [0,10,0], parallellt med y-axeln, och positionen r = [,10t+3,0]. Dess rörelsemängdsmoment är L = m(r v) a) Beräkna matrisen P vilkens 11 rader är värdena på r vid tiderna t = 0, 0.5, 1, 5s. b) Vad är positionen för massan då t = 5s? c) Beräkna L. Vilken riktning har den? 7. Trippelprodukten beräknar storleken M hos momenten från kraftvektorn F längs en viss linje, M = (r F) n, där r är positionsvektorn för kraften och n är en enhetsvektor i linjens riktning. Beräkna M för fallet: F = [10,-5,4] N, r = [-3,7,] m och n = [6,8,-7].

3 8. Beräkna följande problem med hjälp av inversen av en matris. Kolla resultatet med hjälp av att beräkna A -1 A. x + y = 5 3x 9y = 9. Beräkna följande problem med hjälp av inversen av en matris. Kolla resultatet med hjälp av att beräkna A -1 A. -8x - 5y = 4 -x + 7y = 10 V3 1. När en rem läggs över en cylinder bestäms relationen mellan krafterna i remmens båda ändar av F 1 = Fe µβ där µ är friktionskoefficienten och β den vinkel som remmen virats runt cylindern. Skriv en kod som först uppmanar användaren att ange µ, β och F och därefter beräknar F 1. Numeriska värden: µ = 0.3, β = 130 och F = 100N (Obs. Var försiktig med β.. Ett föremål som kastas vertikalt med hastigheten v 0 når höjden h vid tiden t enligt 1 sambandet h = v0t gt Skriv en kod som beräknat den tid t det tar för ett föremål att nå höjden h vid ett givet värde på v 0. Indata skall vara h, v 0 och g. Sätt speciellt h=100m, v 0 =50m/s och g=9.81m/s. 1 3.Volymen V och ytan A hos en kon ges av V= πrh, A= πr r + h 3 Där r är konens basytas radie och h konens höjd. a) Bestäm A som funktion av r och V genom att eliminera h. b) Skapa en egendefinierad funktion som har R som enda argument och beräknar A för givet värde på V. Deklarera V globalt. c) Använd koden tillsammans med fminbnd-funktionen i MATLAB för att beräkna det värde r som minimerar A. Sätt V=10in 3. Vilket är motsvarande värde på h? Undersök känsligheten hos lösningen genom att plotta V som funktion av r. Hur mycket kan R variera kring sitt optimala värde innan arean ökat 10% över sitt minsta värde? 3 4. Antag att det är känt att grafen till funktionen y = ax + bx + cx + d går genom fyra kända punkter ( xi, yi), i = 1,,3,4. Skapa en egendefinierad funktion som accepterar dessa fyra punkter som indata och beräknar koefficienterna a,b,c och d. Den egendefinierad funktion skall lösa ett linjärt ekvationssystem med fyra ekvationer och fyra obekanta a,b,c och d. Sätt (x i, y i )= (-, -0), (0, 4), (, 68), (4, 508), (Svar: a = 7, b= 5, c= 6, d = 4 )

4 V4 1. Antag x=6. Lös följande uppgifter för hand och kontrollera resultaten med MATLAB. a) z = (x<10) b) z = (x==10) c) z = (x>=4) d) z = (x : =7). En projektils höjd h och fart v (som när man kastar en boll) ges av h( t) = v t sin A 0.5gt 0 v( t) = v0 v0gt sin A + g t där v 0 är utgånghastigheten, A är elevationsvinkeln och g tyngdaccelerationen. Projektilen landat då h(t) = 0 vid tiden t = thit = ( v0 / g)sin A. Antag A= 30, v0 = 40m/s, g = 9.81m/s. Använd relationsoperatorer och logiska operatorer för att beräkna följande tider: a) När höjden överstiger 15m. b) När höjden överstiger 15m samtidigt som hastigheten inte överstiger 36m/s. c) När höjden understiger 5m eller hastigheten överstiger 35m/s. 3 Skriv en kod som accepterar ett numeriskt värde på x mellan 0 och 100 som indata och som utdata skriver ett bokstavsbetyg enligt följande tabell: A x 90 B 80 x 89 C 70 x 79 D 60 x 69 F x < 60 a) Använd nästade if-kommandon (använd inte elseif). b) Använd enbart elseif. 4 Figuren visar en massa-fjädermodell av en typ som till exempel används inom fordonsindustrin för att dimensionera olika upphängningssytem. Kraften i en fjäder är proportionell mot dess hoptryckning, och proportionalitetskonstanten är fjäderkonstanten k. De två fjädrarna placerade på sidorna kommer att aktiveras om mittfjädern inte orkar bära tyngden W. När tyngden W försiktigt läggs på plattan kommer den att röra sig sträckan x innan den stannar. I detta läge råder statisk jämvikt: W= kx 1 if x< d W= kx 1 + k( x d) if x d a) Skapa en funktionsfil som beräknar avståndet x från indataparametrarna W, k 1, k 4 4 och d. Sätt k1 = 10 N/m, k = N/m, d = 0.1m. Bestäm x för W=500N och W=000N. b) Plotta x mot W för 0 W 3000för samma värden på k 1, k och d. som i a).

5 W d x k k 1 k 3 5. Rita funktionen y e x /4 = 10(1 ) i intervallet max 0 x x genom att använda en whileloop och bestäm x max så att yx ( max ) = 9.8. Gradera och märk axlarna. Variabeln y representerar kraft i N och variabeln x tid i s. 6. För ett objekt är koordinaterna (x,y) som funktioner av tiden t givna av xt ( ) = 5t 10, yt ( ) = 45t 10t+ 144 för 0 t 4. Skriv ett program som bestämmer den tid då objektet är som närmast origo (0,0). Bestäm också detta minsta avstånd. Använd en forloop. 7. En vikt W hålls uppe av två kablar som maximalt kan klare dragkraften W. För att jämvikt ska råda måste krafterna i horisontell och vertikal riktning vara lika med noll vilket ger följande ekvationer: - T AB cos θ + T AC cos ϕ= 0 T AB sin θ + T AC sin ϕ= W Cosinuslagen: θ = ccc 1 D +L AA LAA DL AA Sinuslagen: θ = sss 1 L AAssss L AA För värdena D = 6ft, L AB = 3ft och W = 000lb, använd en loop för att hitta L ACmin utan att T AB eller T AC överskrider W. Rita kraften i T AB och T AC för L ACmin 6.7. L AB θ W D ϕ L AC 8. I figuren håller tre balkar upp av sex vajrar. Vajer 1 och kan maximalt ta upp 100N, vajer 3 och 4 maximalt 400N och vajer 5 och 6 maximalt 00N vardera. Tre lika stora vikter W är fästa på balkarna. Om man antar att balkarnas vikt är försumbar och att jämvikt råder fås följande ekvationer, då T i är dragkraften i vajer i: 1 T 1 + T = T 3 + T 4 + W + T 6 -T 3-4T 4-5W 6T 6 + 7T = 0 T 3 + T 4 = W + T W T 5 + 3T 4 = 0 6 T 5 + T 6 = W -W +3T 6 = 0 5 W

6 Hitta det maximala värdet av W strukturen kan klara. W V5 1. Uppskatta rötterna till ekvationen: x 3 3x + 5xxxx ππ 4 5π = 0 a) genom att rita den b) använda funktionen fzero. En tung jämntjock kabel som är fastsatt i sina ändpunkter får formen enligt en kedjekurva: y = aaaah x där a är höjden över lägsta punkten på kabeln, x är horisontella koordinaten a till höger räknad från lägsta punkten och y är vertikala koordinaten. Sätt a = 10m. Rita kabelns form för -0 x 30m. Hur högt är varje ändpunkt? 3. Höjden h(t) och horisontella avståndet x(t) en boll förflyttar sig, kastad med vinkeln A och hastigheten v ges av: h(t) = vvvvvv 1 gt x(t) = vvvvvv Antag v = 10m/s och A = 35. Beräkna hur högt bollen kommer att lyfta, hur långt den kommer att åka och hur lång tid det tar innan den når marken. 4. Samma som uppgift 3 men rita nu bollbanan, dvs h(x) för positiva värden på x. 5. Volymen V och arean A av en sfär med radien r är: V = 4 3 πr3, A = 4πr a) Rita V(r) och A(r) i två subplottar för 0.1 r 100m. Välj axlar så att båda kurvorna blir raka linjer. b) Rita V(A) och r(a) i två subplottar för 1 A 10 4 m. Välj axlar så att båda kurvorna blir raka linjer. 6. Avståndet som en fjäder sträcks ut är en funktion av dragkraften den utsätts för.tabellen nedan ger några mätdata för en viss fjäder. Hitta relationen mellan kraften f och fjäderförlängningen x (x = y - 4.7). Kraft f (lb) Fjäderlängd y (in.)

7 7. Befolkningsmängden (i miljoner) för ett visst land ges av: År Befolkning Hitta en funktion som beskriver värdena. Rita funktionen och alla värden i samma figur och uppskatta när befolkningen kommer att vara dubbelt så hög som Följande värden ger stoppsträcka d som funktion av starthastighet v för en viss bilmodell. Hitta ett kvadratiskt polynom som passar till värdena. v (mi/hr) d (ft) En robot roterar runt sin bas med två varv per minut medan den sänker sin 0.5 m långa arm med 10 per minut och sträcker ut sin hand med 5 m/min. Handens xyz koordinater ges av: x = ( t)sss π 3 y = ( t)sss π 3 t ccc(4ππ) t sss(4ππ) z = ( t)ccc π 3 t Gör en 3D figur av handens rörelse för tiden 0 t 0. min. V6 1. Ett objekt rör sig med hastigheten v(t) = 5 + 7t m/s då det startar från x(t = s) =5m. Bestäm x(t = 10s).. Sträckan ett objekt rör sig som har hastigheten v(t) från tiden t = a till t = b är: b x(b) = v(t) dd + x(a) a Antag att objektet startar vid tiden t = 0 och rör sig med en hastighet v(t) = cos(πt) m. Hitta objektets position vid t = 1s om x(0)=m. 3. Ett objekt startar med hastigheten 3 m/s vid t = 0 och accelererar med accelerationen a(t)=5t m/s. Beräkna avståndet objektet färdats efter 5s.

8 4. Ett objekt har hastigheten v(t) enligt tabellen nedan. Bestäm objektets position x(t) vid t = 10s om x(0) = 3. Tid (s) Hastighet (m/s) En rakets massa minskar när bränslet bränns. Rörelseekvationen för raketens vertikala rörelse lyder: m(t) dd = T m(t)g dd Där T är raketens framdrift och massan beskrivs av funktionen m(t) = m 0 (1-rt/b). Raketens initiala massa är m 0, brinnteiden är b och r är andelen av den totala massan som är bränsle. För värdena T = 48000N, m 0 = 00kg, r = 0.8 och b = 40s, bestäm raketens hastighet när bränslet är slut. 6. Beräkna uttrycket för dp /dx, d(p 1 p ) /dx, och d(p 1 /p ) /dx för p 1 =3x +7 och p =5x -6x+8.