TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER"

Transkript

1 TMV151/181 Matematisk analys i en variabel M/Td, 2013 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Beskrivning och mål. Den här laborationen syftar till att ge en grundläggande förståelse för numerisk approximation av ordinära differentialekvationer samt kännedom om de viktigaste färdiga ODE-lösarna i Matlab. Efter genomförd laboration skall du kunna beskriva hur enkla approximationsmetoder så som framåt-euler, bakåt-euler och mittpuktsmetoden fungerar. Kunna skriva om högre ordningens differentialekvationer som system av första ordningens och definiera dessa i funktionsfiler som Matlabs ODE-lösare kan hantera. kunna skriva program som använder sig av dessa för att approximera lösningen till en differentialekvation. förstå och gärna skriva while-loopar. kunna diskutera begreppet effektivitet hos ett program i termer av tid, minne och antal operationer med handledaren. känna till och kunna använda några av Matlabs inbyggda ODE-lösare. kunna förstå viktiga delar av hjälptexten i dessa. därifrån dra slutsatser om vilken funktion du lämpligen bör använda på den aktuella differentialekvationen. Arbeta gärna två och två och diskutera er fram till lösningar. Se till att båda har förstått vad ni gör. Spara alla filer på bådas användarkonton och kommentera programmen på egen hand efter laborationstillfället för att repetera. Det kan vara lämpligt att den som har minst programmeringsvana sitter vid tangentbordet, eller att ni turas om. Ta för vana att alltid plotta de erhållna lösningar. Det är viktigt att inte bara veta hur man löser differentialekvationer utan också hur man tolkar lösningarna. Laborationen är uppdelad i fyra olika delar. I avsnitt 1 skall du programmera lösare som hittar primitiva funktioner. I avsnitt 2 skriver du om dessa lösare så att de kan lösa första ordningens skalära ekvationer och i avsnitt 3 lär du dig att skriva om högre ordningens ordinära differentialekvationer som ett system av första ordningens ekvationer. Du skall dessutom modifiera lösarna ytterligare så att de klarar av att lösa dessa system. När det är gjort passar vi på att lösa även andra system, som inte kommer från högre ordningens ekvationer. Det görs i avsnitt 4. Upplägget siktar egentligen mot att skriva några olika lösare för första ordningens system. Vi når dit i uppgift 3.3. Lösarna som skrivits då kan användas för att lösa alla andra differentialekvationer i den här laborationen och hur du tar dig dit är din sak men vi hoppas att upplägget här skall vara en bra guide genom de svårigheter detta innebär. (1) 1. Primitiva funktioner Det enklaste tänkbara begynnelsevärdesproblemet u (t) = f(t), t (0,T], u(0) = u 0 har en lösning som är en primitiv funktion F(x)+C till f(x) där C väljes så att begynnelsevärdet är uppfyllt. Vi kan approximera det genom att dela upp intervallet [0, T] i delintervall med ändpunkter Date: , Fredrik Lindgren, Matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola. 1

2 2 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i 0 = t 0 < t 1 <...t N 1 < t N = T approximera derivatan i punkt t n 1 enligt formeln u(t n ) u(t n 1 ) t n t n 1 u (t n 1 ) = f(t n 1 ) Här kan vi lösa ut u(t n ) och får med k = t n t n 1 att (2) u(t n ) = u(t n 1 ) + kf(t n 1 ). Eftersom vi vet u(t 0 ) kan vi räkna ut u(t 1 ) och sedan u(t 2 ) och så vidare. Metoden ovan, då man använder f(t n 1 ) i högerledet kallas för Eulers framåtmetod, Euler framåt, Eulers explicita metod eller bara Eulers metod Eulers framåtmetod. Skriv en funktionsfil med namnet minprim1.m som tar emot ett funktionshandtag f, en vektor I med ett intervalls början och slut (två värden) samt en variabel X 0 med ett begynnelsevärde och en variabel N med antal delintervall. Det ska lösa differentialekvationen (1) med Eulers framåtmetod. Du ska alltså färdigställa följande program: function [t,u]=minprim(?,?,?,?) %Vi börjar testa antalet inargument och tillåter användaren %att inte bry sig om hur många delintervall det ska vara. NrIn==nargin; %Returnerar antalet inargument som användaren angett. if NrIn==? %Gör ingenting elseif NrIn=? N=100; else error( Wrong number of input arguments! ) U=zeros(1,N+1); %Programmet blir snabbare om vi skapar en %vektor som har rätt storlek innan vi börjar %loopa. k=? %steglängden. t=? %Vektor med alla t_n U(1)=U0; for j=2:? U(?)=U(?)+k*f(?); Använd programmet för att lösa differentialekvationerna nedan. Använd olika antal steg. Jämför med den analytiska lösningen. (a) u (x) = x 2, x [0,2], u(0) = 3, (b) u (x) = x 2, x [1,4], u(1) = 3, (c) u (x) = cos(2x), u(0) = 0, x [0,π], (d) u (x) = e x2, x [0,10], π u(0) = 2,

3 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 3 (Jämför problemet ovan med föregåe laboration: vilket värde konvergerar u(x) mot då x?) (e) u (x) = 1/x, x [1,10], u(1) = 0, 1.2. Matlabs färdiga lösare. Lös samma problem med Matlabs ode45.m som är standardlösaren i Matlab. För att det ska gå måste du skriva om funktionsfilerna som definierar f en liten, liten smula. Läs hjälptexten till ode45! 1.3. Eulers bakåtmetod. Om man istället gör approximationen u(t n ) u(t n 1 ) t n t n 1 u (t n ) = f(t n ) och löser ut u(t n ) får man en annan approximationsmetod som har fått namnet Euler bakåt eller Eulers implicita metod. Härled motsvarigheten till (2) för denna metod och skriv en funktion minprim2.m så att den använder denna metod istället. Testa på problemen (a)-(e) ovan! (3) Betrakta differentialekvationen 2. Första ordningens differentialekvationer u (t) + u(t) = t 2, t (0,T], u(0) = u 0. Den går inte att lösa med ditt program som det är. Men om vi använder Euler framåt så krävs bara en liten, liten ändring för att det ska fungera. Vi skriver om första raden i (3) så att u (t) = t 2 u(t) =: g(t,u(t)). På så sätt ser vi att den är en differentialekvation där högerledet beror av både funktionsvärdet och tiden. Vi kan i princip ta vilken funktion av två variabler, f(t,x) som helst och definera en differentialekvation på formen (4) u (t) = f(t,u(t)), t [a,b] u(a) = u a där vi alltså har stoppat in värdet av u(t) på variabeln x:s plats ovan. Lösningen, u(t), till denna ekvation kommer inte längre vara en primitiv funktion till f, åtminstone inte i den meningen vi är vana vid. Däremot är u en primitiv funktion till funktionen g(t) = f(t,u(t)). Men g(t) beror ju av den för oss okända u som är funktionen vi söker här. För att hitta den ska vi försöka formulera och implementera Eulers framåt- och bakåtmetod för differentialekvationen (4), men först försöker vi lösa den med ode Lösa differentialekvation vars högerled beror av både t och u med ode45. Skriv en funktionsfil som tar två argument t och x och returnerar värdet av x t 2. Använd denna funktion för att lösa differentialekvationen (3) med ode45. Sätt u 0 = 2 och T = 3. Jämför med den analytiska lösningen! 2.2. Härled Euler framåt för problemet (4). För Euler framåt så approximerar vi återigen derivatan u (t n 1 ) med differenskvoten u(tn) u(tn 1) k. Visa att ett steg med Eulers framåtmetod ser ut som följer för problemet (4). (5) u(t n ) = u(t n 1 ) + kf(t n 1,u(t n 1 )) Implementera Euler framåt. Spara om ditt program minprim1.m under namnet myode1.m och ändra det så att det löser godtyckliga differentialekvationer på formen (4) med Eulers framåtmetod (5). Den skall kunna ta samma typ av funktionshandtag som ode45 som argument.

4 4 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 2.4. Några ODE:er att lösa. Lös de följande differentialekvationerna med både ode45 och myode1. Lös dem också analytiskt. { u (t) = cu(t), t [0,2], (a) u(0) = u 0. (b) { u (x) = xu(x), x [0,3], u(0) = 1. Tips: Ekvationerna är separabla Eulers bakåtmetod för första ordningens differentialekvationer. Eulers bakåtmetod använder som vi sett differensekvationen u(tn) u(tn 1) k för att approximera derivatan av den sökta funktionen u i tiden t n (medan Eulers framåtmetod använder samma differenskvot för approximation av derivatan i tiden t n 1 ). Visa att givet att man har värdet av u(t n 1 ) så fås en approximation av u(t n ) till lösningen av (4) om man löser ekvationen (6) u(t n ) = u(t n 1 ) + kf(t n,u(t n )) för det okända värdet u(t n ). Vad är alltså problemet med Eulers bakåtmetod när man ska lösa generella ekvationer på formen (4)? 1 Detta problem åtgärdas med t.ex. fixpunktsiteration som i följande program backwardeuler.m En bakåtlösare för (4). Här är ett skal till en bakåteulerlösare som även klarar första ordningens differentialekvationer. Notera att det innehåller en for-loop som tar ett tidssteg i varje varv. Inuti den löses en fixpunktsekvation. function [t,u]=backwardeuler(f,i,u0,n) t=linspace(i(1),i(2),n+1); %Genererar tidsnoder U=zeros(1,size(t,2)); %Vektor där lösningen sparas U(1)=U0; %Första värdet är begynnelsevärdet k=t(2)-t(1); %Steglängden tol=k^2; %Fixpunktstolerans for n=2:n+1 Ugissning=U(n-1); % Vi sätter en första gissning på till föregåe värde. % Fixpunktsfunktionen ändras varje varv. U(n)=fixedpoint(g, Ugissning, tol); U=U ; % Vi gör om till kolonnvektorer... t=t ; %... för att göra lika som ode45. Färdigställ programmet och lös differentialekvationerna (a) och (b) i uppgift 2.4 även med detta program Den logistiska ekvationen. Betrakta differentialekvationen dy (1 dt = ky y ), t > 0, L y(0) = y 0. Den kallas den logistiska ekvationen. Låt L = 5 och k = 1. Lös den för samtliga heltaltsvärden från 0 till 10 på y 0 och rita lösningarna i en och samma figur. Välj sluttid så att det blir tydligt vilka lösningsbanor som närmar sig y = 5 när tiden går mot oändligheten. Jämför med kursboken sidorna Svar: Vi måste lösa ekvationen (6) för varje steg eller om du vill ekvationen x = u(tn 1 ) + kf(t n, x) =: g n(x)

5 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 5 Betrakta differentialekvationen med lösningen 3. Högre ordningens ODE u (t) = c 2 u(t), t [0,b], (b > 0) u(0) = u 0, u (0) = u 1, (7) u(t) = u 0 cos(ct) + u 1 c sin(ct). Verifiera detta genom att derivera och genom att sätta in t = 0 i lösningen såväl som dess derivata! Denna differentialekvation är av andra ordningen. För att kunna använda t.ex. ode45 eller bakåtlösaren ovan skriver vi om ekvationen som ett system av två differentialkevationer av första ordningen. Vi inför två nya variabler Vi deriverar w 1 = u, w 2 = u. w 1 = u = w 2, w 2 = u = c 2 u = c 2 w 1. Begynnelsevillkoren blir w 1 (0) = u 0, w 2 (0) = u 1. Vi ser att w 1 och w 2 löser begynnelsevärdesproblemet { { w 1 = w 2, w1 (0) = u 0, w 2 = c 2 w 1, w 2 (0) = u 1. Om Eulerlösarna modifieras så att de kan ta emot vektorer så kan man nu lösa detta system om man definierar en funktionsfil ode2solve.m enligt function Uprim=ode2solve(t,U) c=1; Uprim(1,1)=U(2); Uprim(2,1)=-c^2*U(1); Man behandlar högre ordningens system analogt Några andra ordningens differentialekvationer. Skriv om följande andra ordningens differentialekvationer som system av första ordningens differentialekvationer och hitta den numeriska lösningen med hjälp av ode45 och plotta lösningarna tillsammans med den analytiska lösningen. Innan du kan använda backwardeuler måste du ändra i programmet så att den kan hantera vektorvärda funktioner! Du måste dessutom ändra i fixpunktslösaren så att den också hanterar vektorvärda funktioner. Du måste skriva filer av samma typ som ode2solve.m ovan för att det skall fungera. (a) { u = c 2 u, t [0,10] u(0) = u 0, u (0) = u 1. (b) { u + 4u + 13u = e t, t [0,10] u(0) = 1, u (0) = 2.

6 6 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 3.2. Bakåt- och framåt-eulerlösare för system. Här är en lösare som löser begynnelsevärdesproblem för system av ODE:er med Eulers framåtmetod. function [t,u]=fesyst(f,i,u0,n) % Vad är det för typer och storlekar som inargumenten ska ha? if nargin<4 N=100; if nargin <3 error( Too few input arguments ) dt=(i(2)-i(1))/n; % Tidssteg t=linspace(i(1),i(2),n+1); % Samtliga tider U=zeros(length(U0),length(t)); % Minnesallokering. Längden av U0 är antal % ekvationer dvs antal derivator om systemet % härrör från en skalär ekvation. U får % alltså så många rader som det är % begynnelsevärden och så många kolonner som % det är tidsnoder i partitionen av % intervallet som ges av I (dvs N+1). I en % kolonn U(:,i) kommer vi spara de % approximativa värdena av funktionen vid % tiden t(i). U(:,1)=U0; % Vi stoppar in begynnelsevärdena i U:s första kolonn. for i=1:n % Ett tidssteg med Eulers framåtmetod: U(:,i+1)=U(:,i)+dt*f(t(i),(U(:,i))); % Egentligen onödigt men för att resultatet ska bli analogt med ode45 etc: t=t ; U=U ; Försök förstå den och använd den och din bakåt-eulerlösare för skalära ekvationer för att skriva en bakåt-eulerlösare backwardeuler.m för system! Du kommer behöva en fixpunktslösare som kan hantera vektorvärda kontraktioner. Testa de båda lösarna på ekvationerna i uppgift 3.1! 3.3. Olika lösare ger olika typer av fel. Vi ska undersöka hur den approximativa lösningen till svängningsekvationen (a) ovan beror av den numeriska metoden. Vi börjar med att spara om programmet backwardeuler.m som mittpunkt.m och skriva om det så att det istället använder mittpunktsmetoden 2 (8) u(t n ) = u(t n 1 ) + kf( t n + t n 1 2, u(t n) + u(t n 1 ) ). 2 2 Idén bakom mittpunktsmetoden är att vi först tänker oss att vi ser den nu välbekanta differenskvoten u(t n) u(t n 1 ) t som en approximation av derivatan i tiden mitt i mellan t k n 1 och t n nämligen i n 1 +t n. Det 2 innebär alltså att vi sätter u(t n) u(t n 1 ) = f( t n 1+t n, u( t n 1+t n )). k 2 2

7 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 7 Det behövs bara en liten förändring i fixpunktssteget för att åstadkomma ett program med denna nya metod. Spara slutligen om programmet myode1.m som forwardeuler.m och skriv om det så att det klarar att lösa system av första ordningens ODE. Det handlar om att hantera begynnelsevärdet på samma sätt som i backwardeuler.m samt att klara av att ta emot vektorer från funktionen f på samma sätt. Eulers framåtmetod har inte u(t n ) i högerledet så fixpunktslösningen i backwardeuler skall inte vara med. Testa alla programmen med N = 10, 100, 1000, Plotta lösningarna tillsammans med den analytiska lösningen. Blir lösningen bättre med högre N? Beskriv hur felet beter sig för de olika lösarna. Notera att framåt-euler felaktigt lägger till energi till lösningen medan bakåt-euler stjäl energi ur lösningen. Man kan bevisa detta liksom det faktum att mittpunktsmetoden bevarar energin i svängningsekvationen. Detta är ibland en viktig egenskap. För någon av lösarna kommer det kanske inte att fungera för N = 10. Funktionen g(x) := x + kf(t,x) uppfyller då inte villkoren i fixpunktssatsen, sid. 221 i Adams och while-loopen bara fortsätter, det konvergerar inte mot någon lösning. 4. System av ordinära differentialekvationer Vi kan tänka oss system av obekanta där de olika obekanta inte är varandras derivator utan olika fysikaliska storheter. Det kan vara olika spänningar i elektriska kretsar eller koncentrationer av kemiska ämnen som reagerar med varandra. Ett exempel är Volterra-Lotka-ekvationerna nedan. Lägg lite kraft på att förstå vad de olika termerna i differentialekvationen betyder Volterra-Lotka: kaniner och rävar. Vi betraktar population av bytesdjur (kaniner) som lever tillsammans med en population rovdjur (rävar). Låt u 1 (t) respektive u 2 (t) beteckna antalet kaniner respektive rävar vid tiden t. En enkel matematisk modell för populationernas utveckling ges av Volterra-Lotka-ekvationerna: (9) u 1(t) = au 1 (t) bu 1 (t)u 2 (t) u 2(t) = cu 2 (t) + du 1 (t)u 2 (t) Koefficienterna a,b,c,d är positiva. Termen au 1 (t) representerar netto-födelse-dödstalet i en ensam kaninpopulation. Termen cu 2 (t) är motsvarande för rävarna. Termen bu 1 (t)u 2 är antalet kaniner som blir uppätna per tidsenhet. Termen du 1 (t)u 2 (t) är antalet rävar per tidsenhet som överlever på grund av tillgång på föda. Observera teckenkombinationen i ekvationerna. Vad blir lösningen om populationerna är ensamma (b = d = 0)? Den modellen passar kanske bra för en rävpopulation utan tillgång till föda (åtminstone i början) men knappast för en ensam kaninpopulation. Man kan förvänta sig att brist på mat hindrar tillväxten efter ett tag. Hur tror du en modell som tar hänsyn till det skulle kunna se ut? Inom populationsekologin jobbar man ofta med den här typen av modeller och försöker skatta koefficienterna för att bedömma populationers känslighet för störningar etc. Lös Volterra-Lotka-ekvationerna med din mittpunktslösare. Lämpliga värden är a = 0.5, b = 1, c = 0.2, d = 1. Testa med lite olika begynnelsevärden! Försök hitta några där populationen håller sig relativt stabil. Vad har en sådan situation för ekologisk tolkning? Vad innebär det att lösningen närmar sig noll? 4.2. Ett styvt system från kretselektroniken. Skriv doc ode45 vid Matlabs kommandoprompt. Då öppnas dokumentationen inte bara för ode45 utan för alla(?) Matlabs ODE-lösare (åtminstone gäller detta Matlab version 7.11). En bit ned finns en lista som beskriver dessa och när de ska användas. Där framgår att ode45 är den som ska användas oftast. Har man däremot ett styvt problem så rekommeras ode15s. Ett styvt problem är ett problem där lösningen Dock vill vi slippa räkna ut u( t n 1+t n ) så vi approximerar det med medelvärdet av u(t 2 n 1 ) och u(t n 1 ). Vi sätter alltså u( t n 1+t n ) u(t n 1)+u(t n) och får således tidsstegningen 2 2 som är ekvivalent med (8). u(t n) u(t n 1 ) k = f( t n 1+t n 2, u(t n 1)+u(t n) 2 ))

8 8 MATLAB NUMERISK LÖSNING AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER ibland förändras snabbt och ibland långsammare. Där den förändras snabbt så vill man ta små steg för att fånga denna förändring utan att få för stora fel. Där den inte förändras lika snabbt kan det dock vara bra att ta längre steg för att snabba upp beräkningarna. Matlabs ode45 klarar inte av det senare. Det framgår med all önskvärd tydlighet om man gör exempel 2 i nämnda dokumentation först med ode15s som föreslås och sedan med ode45. Gör det! Vad händer? van der Pols ekvation kommer urspungligen från studier av elektriska kretsar om man får tro der Pol oscillator. Testa också med någon av dina egna lösare!

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer 2 mars 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 3 Numerisk lösning av differentialekvationer Syftet med denna matlab-övning är att studera differentialekvationer och introducera hur man använder

Läs mer

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod TANA21+22/ 30 september 2016 LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 1 Inledning Vi skall studera begynnelsevärdesproblem, både med avseende på stabilitet och noggrannhetens beroende av steglängden. Vi

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

Laboration 1, M0039M, VT16

Laboration 1, M0039M, VT16 Laboration 1, M0039M, VT16 1 Förberedelser Ove Edlund, Staffan Lundberg LTU (1) Gör dig bekant med Matlab-manualen finns för nedladdning på Fronter. (2) Läs igenom laborationens teoridel, avsnitt 2 nedan.

Läs mer

Ordinära differentialekvationer,

Ordinära differentialekvationer, Sammanfattning metoder Ordinära differentialekvationer, del 2 Beräkningsvetenskap II n Eulers metod (Euler framåt, explicit Euler): y i+1 = y i + h i f (t i, y i ) n Euler bakåt (implicit Euler): y i+1

Läs mer

Ordinära differentialekvationer fortsättning

Ordinära differentialekvationer fortsättning CTH/GU STUDIO 6 TMV36b - /3 Matematiska vetenskaper Ordinära differentialekvationer fortsättning Analys och Linjär Algebra, del B, K/Kf/Bt Inledning Vi skall se lite mer på system av ordinära differentialekvationer

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20. Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Institutionen för datavetenskap Umeå universitet 18 december 15 Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154 Deltentamen inkusive svar Tid: 9. 13. Hjälpmedel: Matlab. Maximalt antal poäng: 1 5 poäng är tillräckligt

Läs mer

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Institutionen för datavetenskap Umeå universitet december 06 Teknisk beräkningsvetenskap I Repetitionsfrågor: 5DV54 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem Del

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Målen för föreläsningen Stabilitet vid diskretisering av ODE med numeriska metoder Definition: Den analytiska lösningen till en ODE är begränsad. En numerisk metod för

Läs mer

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering

LABORATION 2. Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering SF1518,SF1519,numpbd15 LABORATION 2 Trapetsregeln, MATLAB-funktioner, ekvationer, numerisk derivering - Genomför laborationen genom att göra de handräkningar och MATLAB-program som begärs. Var noga med

Läs mer

Laboration 2 M0039M, VT2016

Laboration 2 M0039M, VT2016 Laboration 2 M0039M, VT2016 Ove Edlund, Staffan Lundberg, TVM 24 februari 2016 1 Teoridel 1.1 Serielösningar till differentialekvationer Den grundläggande idén (se t.ex. utdelat material, Lektion 18) är

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer

Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Teknisk Beräkningsvetenskap I Tema 3: Styvhetsmodellering av mjuk mark med icke-linjära ekvationer Eddie Wadbro 18 november, 2015 Eddie Wadbro, Tema 3: Icke-linjära ekvationer, 18 november, 2015 (1 : 37)

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Linjära system av differentialekvationer

Linjära system av differentialekvationer CTH/GU STUDIO TMV036c - 0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning Vi har i tidigare studioövningar sett på allmäna system

Läs mer

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

LABORATION cos (3x 2 ) dx I = SF1518,SF1519,numpbd14 LABORATION 2 Trapetsregeln, ekvationer, ekvationssystem, MATLAB-funktioner Studera kapitel 6 och avsnitt 5.2.1, 1.3 och 3.8 i NAM parallellt med arbetet på denna laboration. Genomför

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6. Denna föreläsning DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN6 09-03-17 Hedvig Kjellström hedvig@csc.kth.se Repetition av FN5 (GNM kap 6.1-2B) Differentialekvationer Standardform för begynnelsevärdesproblem

Läs mer

Inlämningsuppgift 4 NUM131

Inlämningsuppgift 4 NUM131 Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter

Läs mer

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.

Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod. Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system

Läs mer

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper

Newtons metod. 1 Inledning. CTH/GU LABORATION 3 MVE /2014 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION 3 MVE270-2013/2014 Matematiska vetenskaper Newtons metod 1 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer. Som exempel kan vi ta, { x1 (1 + x 2 2) 1 = 0 x 2 (1 + x 2 1 ) 2

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

Linjärisering och Newtons metod

Linjärisering och Newtons metod CTH/GU STUDIO 5 TMV36a - 214/215 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjärisering och Newtons metod Vi skall fortsätta med att lösa ekvationer. I förra studioövningen såg vi på intervallhalveringsmetoden.

Läs mer

Två gränsfall en fallstudie

Två gränsfall en fallstudie 19 november 2014 FYTA11 Datoruppgift 6 Två gränsfall en fallstudie Handledare: Christian Bierlich Email: christian.bierlich@thep.lu.se Redovisning av övningsuppgifter före angiven deadline. 1 Introduktion

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 14:e Mars, 2017 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:

Läs mer

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 4. Funktioner 1 Egna Funktioner Uppgift 1.1 En funktion f(x) ges av uttrycket 0, x 0, f(x)= sin(x), 0 < x π 2, 1, x > π 2 a) Skriv en Matlab funktion

Läs mer

Datorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys

Datorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys Datorövningar i funktionalanalys och harmonisk analys Sven Spanne 28 september 21 1 Normer och approximation Inledning Funktionalanalys är ett abstrakt område, och för att förstå innebörden av begrepp,

Läs mer

Laboration 1: Optimalt sparande

Laboration 1: Optimalt sparande Avsikten med denna laboration är att: Laboration 1: Optimalt sparande - snabbt komma igång med träning på matlabprogrammering (uttnyttja gärna alla schemalagda laborationstillfällen, - lösa ett optimeringsproblem

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid

Läs mer

Ickelinjära ekvationer

Ickelinjära ekvationer Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t

Läs mer

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden

Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Kurs 2D1213, Laboration 2: Att lösa ordinära differentialekvationer med finita differensmetoden Michael Hanke October 19, 2006 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller i vetenskap och ingenjörsvetenskap

Läs mer

Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008

Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är

Läs mer

TANA81: Simuleringar med Matlab

TANA81: Simuleringar med Matlab TANA81: Simuleringar med Matlab - Textsträngar och Texthantering. - Utskrifter till fil eller skärm. - Exempel: Slumptal och Simulering. - Exempel: Rörelseekvationerna. - Vanliga matematiska problem. Typeset

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-06-07 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars

Läs mer

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0

k 1 B k 2 C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 (0) = 100 dx 2 /dt = k 1 x 1 k 2 x 2 x 2 (0) = 0 dx 3 /dt = k 2 x 2 x 3 (0) = 0 Radioaktivt sönderfall 2D124 numfcl, Fö 5 Ekvationerna som beskriver hur ett radioaktivt ämne A sönderfaller till ämnet B som i sin tur sönderfaller till C ges av dx 1 /dt = k 1 x 1 x 1 () = 1 dx 2 /dt

Läs mer

Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer

Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Kapitel 8. Lösning av ordinära differentialekvationer Eftersom endast ett mindre antal differentialekvationer kan lösas analytiskt, är numeriska lösningsmetoder ofta av stor betydelse. Nära besläktade

Läs mer

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering.

F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 050301 p 1 (10) F 4 Ch.4.2-3 Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering. 1. Styckevis polynom: linjär och spline-interpolation; En funktion f representerad i en tabell (x i,f i ), i = 0,...,n,

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Per Wahlund, tel. 471 2986, 0702-634722 Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-10-17 Skrivtid: 8 00 11 00 (OBS!

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 8 december 2015 Sida 1 / 22

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 8 december 2015 Sida 1 / 22 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 8 december 2015 Sida 1 / 22 Föreläsning 8 God programmeringsstil. Sammansatta datatyper: Poster. Cell-matriser.

Läs mer

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 & 2 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med

Läs mer

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.

Läs mer

Partiella differentialekvationer (TATA27)

Partiella differentialekvationer (TATA27) Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................

Läs mer

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp, 2015-12-17 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!)

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en

Läs mer

Signalanalys med snabb Fouriertransform

Signalanalys med snabb Fouriertransform Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör

Läs mer

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning 1 SF1520 K2 HT2014 NA 21 december 2015 Laboration 3 Funktioner, vektorer, integraler och felskattning Efter den här laborationen skall du kunna använda och skriva egna funktioner med flera in- och utparametrar,

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer

Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab

Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Laboration: Grunderna i Matlab

Laboration: Grunderna i Matlab Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid

Läs mer

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor

CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig

Läs mer

Studio 6: Dubbelintegral.

Studio 6: Dubbelintegral. Studio 6: Dubbelintegral. Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1, vt09 20 februari 2009 1 Repetition av enkelintegral I ALA B skrev du en MATLAB-funktion minintegral som beräknar integralen av en

Läs mer

Mer om funktioner och grafik i Matlab

Mer om funktioner och grafik i Matlab CTH/GU 2017/2018 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och

Läs mer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer

AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer AB2.8: Laplacetransformation av derivator och integraler. Differentialekvationer Laplacetransformen som an analytisk funktion SATS 1 Om Laplaceintegralen F (s) = L (f) = e st f(t)dt är konvergent för s

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

TMV156/TMV155E Inledande matematik E, 2009

TMV156/TMV155E Inledande matematik E, 2009 TMV156/TMV155E Inledande matematik E, 2009 DATORÖVNING 2 PÅ VÄG MOT PROGRAMMERING Instruktioner Skapa en ny filkatalog ( directory ) Lab2 för denna övning. Gör alltid uppgifterna i script-filer eller funktionsfiler.

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

Anders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95

Anders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95 Anders Logg Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till en differentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannhet

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!! Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I Erik Lindblad H4 Varning!!! Detta är inte en komplett genomgång av materialet i kursen Beräkningsvetenskap I. Genom att lära sig materialet nedan har man skaffat

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna Linjära system 7. (a) Falskt. Kondition är en egenskap hos problemet oberoende av precisionen i beräkningarna. (b) Falskt. Pivotering påverkar

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 8-8-8 DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: 8.3 -.3 SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

b) Harled en uppskattning for u's andraderivata uttryckt i givna data f och g. Under vilken forutsattning galler en motsvarande uppskattning for u's a

b) Harled en uppskattning for u's andraderivata uttryckt i givna data f och g. Under vilken forutsattning galler en motsvarande uppskattning for u's a TMA 690 Partiella dierentialekvationer F, 000-0- Hjalpmedel: Beta och typgodkand kalkylator. Telefonjour/rond: Anders Logg, ankn. 0740-4590. ========================================== Som vanligt betecknar

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Inledande matematik M+TD

Inledande matematik M+TD Introduktionsföreläsning p. 1/13 Introduktionsföreläsning Inledande matematik M+TD Stig Larsson http://www.math.chalmers.se/ stig Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Göteborgs universitet

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer