Miniräknare och formelsamling i signalbehandling. [Allowed items on exam: calculator and DSP table of formulas ]

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 6--7 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS Tid:. 9. Sal: MA 8 Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling i signalbehandling. [Allowed items on exam: calculator and DSP table of formulas ] Observandum: För att underlätta rättningen: [In order to simplify the correction:] -Lös endast en uppgift per blad. [Only solve one problem per paper sheet.] -Skriv kod+personlig identifierare på samtliga blad. [Please write your code+personal identifier on every paper sheet.] Påståenden måste motiveras via resonemang och/eller ekvationer. [Statements must be motivated by reasoning and/or equations.] Poäng från inlämningsuppgifterna adderas till tentamensresultatet. [The points from the tasks will be added to the examination score.] Max Tot. poäng (tentamen + båda inl.uppg) = = 6. [Max Tot. score (exam + tasks) = = 6. ] Betygsgränser för kursen: 3 ( 3.p), (.p), (.p). [Grading; 3 ( 3.p), (.p), (.p).]. Vi har ett snurrande hjul med FYRA ekrar vars rotationshastighet vi vill bestämma. Vi målar dessa ekrar med reflektiv färg och belyser dem med ett stroboskop (i.e. en blinkande lampa vars blinkningsfrekvens är valbar) i ett mörkt rum. Vi ställer in stroboskopet så att vi ser stillastående ekrar och detta sker vid lägsta blinkfrekvensen F s = rpm (revolutions per minute, varv/min). Vi dubblerar F s (dvs dubblerar blinkningshastigheten på stroboskopet) och får fortfarande samma effekt, dvs vi ser stillstående ekrar. Vilka frekvenser i Hz kan vårt hjul snurra med? (.p) [We have a rotating wheel with FOUR spokes and we wish to determine the rotation speed. We paint the spokes with a reflective colour and we illuminate the wheel with a stroboscope (i.e. a twinkling lamp which allows for an adjustable twinkle speed) in a dark room. We set the stroboscope such that we see non-rotational spokes, which happens at the smallest F s = rpm (revolutions per minute). We double F s and still see non-rotational spokes. What frequencies can our wheel rotate at, given in real frequency Hz?]. Följande tids-diskreta signaler är givna; [The following discrete time signals are given] x (n) = [ ], x (n) = [ ]

2 Bestäm följande; [Determine the following;] a) Den linjära faltningen av sekvenserna, dvs y(n) = x (n) x (n). (.p) [The linear convolution between the sequences, i.e. y(n) = x (n) x (n).] b) Den cirkulära faltningen modulo av sekvenserna, dvs y(n) = x (n) x (n). (.p) [The circular convolution modulus between the sequences, i.e. y(n) = x (n) x (n).] c) Den linjära korrelationen av sekvenserna, dvs r x x (n) = x (n) x ( n) (.p) [The linear correlation between the sequences, i.e. y(n) = x (n) x ( n).] d) Den cirkulära korrelationen av sekvenserna modulo, dvs r x x (n) = x (n) x ( n) (.p) [The circular correlation modulus between the sequences, i.e. r x x (n) = x (n) x ( n).] 3. På följande sidor återfinns fyra pol-nolställe diagram tillsammans med tillhörande amplitudfunktioner, fasfunktioner samt systemdiagram (grafer). Förena figurerna enligt delfrågor nedan. En bonus på upp till. poäng ges om även korrekta motiveringar ges för frågorna a) till d). [On the following pages there are four pole-zero plots. There are also corresponding amplitude responses, phase responses, impulse responses and system diagrams. Combine the the plots according to the subquestions below. An additional bonus of. points is awarded if you also provide correct motivation for a) to d).] a) Kombinera rätt pol-nollställe diagram med tillhörande amplitudfunktion. (.) [Match the pole-zero plots with the corresponding amplitude response.] b) Kombinera rätt pol-nollställe diagram med tillhörande fasfunktion. (.) [Match the pole-zero plots with the corresponding phase response.] c) Kombinera rätt pol-nollställe diagram med tillhörande impulssvar. (.) [Match the pole-zero plots with the corresponding impulse response.] d) Kombinera rätt pol-nollställe diagram med tillhörande systemdiagram (graf). (.) [Match the pole-zero plots with the corresponding system diagram.]

3 Pole/zeros plot Pole/zeros plot imag(z). -. imag(z) real(z) Pole/zeros plot 3 - real(z) Pole/zeros plot imag(z). -. imag(z) real(z) - real(z) 6 Frequency response A 6 Frequency response B Amplitude Amplitude...3. Frequency response C Frequency response D Amplitude Amplitude

4 Phase response A Phase response B Phase [rad] Phase [rad] Phase response C Phase response D Phase [rad] Phase [rad] Impulse response A Impulse response B h(n) h(n) index n Impulse response C - index n Impulse response D h(n) h(n) index n - index n

5 System diagram A. v(n) x(n) + + y(n) z + + z System diagram B. x(n) z z z z y(n) System diagram C. x(n) + + y(n) z z System diagram D. x(n) z z + + y(n)

6 . En linjär tids-invariant krets beskrivs med differens-ekvationen, [The following linear time-invariant difference equation is given,] y(n) y(n ) + 3 y(n ) = x(n) 6 bestäm utsignalen då x(n) = ( )n u(n) + sin(π n), n. (.p) [Determine the output signal when x(n) = ( )n u(n) + sin(π n), n.]. Följande allmänna :a-grads systemfunktion är given, [The following general :nd order system function is given, ] H(z) = b + b z + b z + a z + a z där insignalen x(n) = 3sin( π n)u(n) och y( ) = 3, y( ) = och b =, b =, b = samt a =, a =. Bestäm, [where the input signal x(n) = 3sin( π n)u(n) och y( ) = 3, y( ) = och b =, b =, b = and a =, a =. Determine, ] a) Zero-input-lösningen, y zi (n)! (.p) [The Zero-input solution] b) Zero-state-lösningen, y zs (n)! (.p) [The Zero-state solution] c) Den totala transienta lösningen, y trans (n)! (.p) [The total transient solution] d) Den stationära lösningen, y ss (n)! (.p) [The steady-state solution] e) Den totala lösningen, y(n)! (.p) [The total solution] 6. Bestäm ett LTI filter g(n) så att det uppfyller följande egenskap: Om insignalen är summan av impulssvaret och stegsvaret från ett LTI-system (vilket som helst) så skall utsignalen vara impulssvaret från samma system! Motivera ditt svar! (.) [Determine an LTI filter g(n) such that it fulfills the following property: If the input signal is the sum of the impulse response and the step response from ANY linear and time invariant system, then the output signal should be the impulse response from the same system. Motivate your answer!] Lycka till! / Good Luck! Please remember to answer the Course Evaluation Questionnaire (CEQ), which will be sent out via ! 6

7 Svar och lösningar till Tentamen 6--7 SVAR. Följande ekvationssystem skall uppfyllas [i enheten rpm]. F = ± k. F = ± k Där k och k är godtyckliga heltal. Följande frekvens F uppfyller ovanstående ekvationer; F = 6 rpm = Hz men även F = 6 k rpm = k Hz, där k är ett heltal, uppfyller ovanstående och samtidigt visar stillastående hjul i samtliga fall. SVAR. a) b) y(n) = x (n) x (n) = [ ] y(n) = x (n) x (n) = [ 3 3 ] = [ 3 3 ] c) r x x (n) = x (n) x ( n) = [ 7 3 ] d) y(n) = x (n) x ( n) = [ 3 ] SVAR 3. -B, -C, 3-A, -D -D, -A, 3-B, -C -B, -D, 3-A, -C -D, -B, 3-C, -A SVAR. Vi Z-transformerar differensekvationen; y(n) y(n ) + 3 y(n ) = x(n) 6 Y (z) ( z + 36 ) z = X(z) Poler Y (z) = ( z p, = { / 3/ z ) X(z) 7

8 Låt där Y (z) = ( z ) ( 3 x(n) = x (n) + x (n) ( ) n x (n) = u(n) x (n) = sin (π ) n, n z ) X(z) X (z) = z Y (z) = 9 + z x (n) = sin (π ) n n 3 z z Systemets förstärkning och fasförskjutning för frekvensen f= ges av; ( H w = π ) = e jπ + = 3 6 e j π 3 + j =.776e j Inverstransformering och insättning ger; ( ( ) n y(n) = + 9 ( ) n ( ) n ) 3 u(n) sin (π ) n.888 SVAR. We have the following system function. H(z) = z + z ( π ) x(n) = 3 sin n u(n) X(z) = 3 z + z y(n) = y(n ) + x(n ) ; y( ) = 3 8

9 Z + -transform yields Y + (z) = z {Y + (z) + y( ) z} + z X(z) Y + (z) = = ( z z + z ) ( + z ) }{{ z z { + z }}{{ + z } zero-input, T steady-state + }{{ z } T } {{ } zero-state } where T och T denotes the transients and. The inverse transform by respective components gives; y zi (n) = 6 { y zs (n) = 6 ( π ) cos (n ) ( ) n u(n) ( π ) ( + sin (n ) ) } n u(n ) y trans (n) = 6 ( ) n u(n) 6 ( n u(n ) ) y ss (n) = 6 ( π ) ( π ) cos (n ) + sin (n ) u(n ) The total solution is given by; y(n) = ( n u(n) 6 ) { + 6 ( π ) cos (n ) ( π ) ( + sin (n ) ) } n u(n ) SVAR 6. We have the following scenario; δ(n)+u(n) {ANY system} h(n)+s(n) {syst. g(n)} y(n) = [h(n) + s(n)] g(n) where s(n) is the step response. In the Z-domain this becomes, + {ANY system} H(z)+S(z) {syst. G(z)} Y (z) = [H(z) + S(z)] G(z) z 9

10 We need to chose G(z) such that the output Y (z) = H(z), and since S(z) = H(z), we have; z [ Y (z) = H(z) + H(z) z ] [ G(z) = H(z) + ] G(z) = H(z) z [ z z So if we choose G(z) as the inverse of the term within the right hand brackets as G(z) = z..z = z.z we get the desired output. The inverse Z-transform of G(z) is, g(n) =.( )n u(n).( )n u(n ) =.δ(n) ( )n+ u(n ) ] G(z)