Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken"

Transkript

1 Analys av medelvärden Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111

2 Innehåll Normalfördelningen Konfidensintervall Hypotesprövning P-värde Typ I och Typ II-fel Teststyrka Små stickprov Jämförelse av två medelvärden Två oberoende stickprov Wilcoxon rangsummetest Parvisa observationer Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

3 Normalfördelning En klockformad kurva som är symmetrisk kring medelvärdet Många statistiska beräkningar bygger på att en variabel är normalfördelad x Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

4 Positivt sned fördelning Är icke symmetrisk. Har sin koncentration på vänstersidan. x Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

5 Negativt sned fördelning Är icke symetrisk Har sin koncentration på högersidan x Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

6 T-fördelning En variabel från ett litet stickprov med kvantitativa mätdata är inte riktigt normalfördelad utan följer en annan fördelning, t-fördelningen, även om populationen man drog stickprovet ur är normalfördelad. T-fördelningens form beror på stickprovsstorleken Vid stort stickprov är t-fördelningen och normalfördelningen nästan identiska, men vid mindre stickprovsantal skiljer sig som sagt fördelningarna åt. x Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

7 T-fördelningen Eftersom t-fördelningen blir samma som normalfördelningen vid ökande stickprovsstorlek behöver man inte byta till normalfördelningen om man inte vill, utan kan göra signifikansanalys av kvantitativa data genom olika varianter av t- test. Undantaget är när man har ett mycket stort stickprov som inte är normalfördelat. Då bör man göra ett z-test, som använder normalfördelningen. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

8 Konfidensintervall Det finns alltid en osäkerhet i datat eftersom vi undersöker stickprov och inte hela populationen och slumpen avgör vilka individer som kommer med i stickprovet. Ett bra sätt att ta hänsyn till denna osäkerhet är att beräkna ett konfidensintervall. Vanligen används ett 95% Konfidensintervall Det betyder att intervallet med 95% sannolikhet inkluderar det sanna populationsvärdet eller att intervallet i 95 fall av hundra täcker det sanna värdet. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

9 Konfidensintervall för medelvärden x ± 1.96 s 2 n x = Stickprovsmedelvärdet Standardiserade normalfördelningen (z-värde) 1.96 gäller för ett 95% konfidensintervall Stickprovsmedelvärdets standardavvikelse s Stickprovsmedelvärdets varians = s ² Populationens varians (σ² ) är inte känd, därför används stickprovets varans (s²) som ett skattning av variansen i populationen Denna konfidensintervallsberäkning gäller större stickprov Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

10 Stickprovets varians s 2 = x x ² n 1 Stickprovets varians s² Summa Ʃ Variabelvärdet för varje observation x Aritmetiskt medelvärde x Totala antalet observationer (individer) n Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

11 Repetition tidigare exempel - Olika längd på personerna Id Längd i cm (x) x-x (x-x) 2 Först räknar vi ut medelvärdet: ,2 84, ,8 0,64 Medelvärdet: x = n x ,8 7, ,8 116,64 x = = 176,2 cm ,2 51, ,2 17,64 Variansen (s 2 ) är: ,8 7, ,8 14,44 s 2 = x x ² n 1 = 303,6 = 303, = 33, , ,8 0,64 Variansen är 33,73 Totalt 0 303,6 Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

12 Konfidensintervall för medelvärden - exempel I en tidigare nämnd undersökning gällande längd fann man att man i medtal (aritmetiskt medelvärde, x ) var 176,2 cm lång, beräkna ett 95% konfidensintervall kring detta medelvärde Variansen (s 2 ) = 33,73, antalet observationer=10 se föregående sida. x ± 1.96 s 2 n 176,2 ± ,73 10 = 176,2 ±1,96 3,37 = 176,2 ±1,96 1,84 = 176,2 ± 3.61 Övre konfidensintervallet = 176,2+3,61 = 179,81 Nedre konfidensintervallet = 176,2-3,61 = 172,59 x= 176,2 (172,59 till 179,81), intervallet inkluderar med 95% sannolikhet det sanna (okända) populationsvärdet Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

13 Hypotesprövning Kan även kallas signifikanstest Tar också hänsyn till den statistiska osäkerheten hos en undersökning Vid en hypotesprövning relaterar vi det observerade värdet till ett visst värde som bestäms genom att vi specificerar en sk nollhypotes. Vanligtvis finns det en naturlig nollhyptes, t.ex. att det inte finns någon skillnad i sjukdomsförekomst mellan de två grupper som jämförs Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

14 Hypotesprövning 1. Specificera en nollhypotes och en alternativ hypotes 2. Bestäm signifikansnivå (oftast 5%) 3. Bestäm teststorhet (Z) 4. Beräkna det observerade z-värdet 5. Jämför det observerade värdet på teststorheten med ett kritiskt värde, förkasta nollhypotesen eller ej. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

15 Hypotesprövning Man specificerar en nollhypotes (Ho) och en alternativ hypotes (H1) Testet svarar på frågan: Är slumpen en trolig förklaring till skillnaden mellan det i undersökningen observerade värdet och det som nollhypotesen anger? Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

16 Studie I en undersökning fann man att medelvärdet för stresshormonet kortisol på morgonen (30 min efter uppvaknande) var 23.7 nmol/l för 225 boende nära en internationell flygplats. Standardavvikelsen var 2,7. Medel-kortisolvärdet (30 min efter uppvaknande) i den allmänna befolkningen är 23,3 nmol/l. Är slumpen en trolig orsak till skillnaden? Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

17 Hypotesprövning - exempel Ho = populationsmedelvärdet bland boende kring en flygplats = 23,3 nmol/l H1 = populationsmedelvärdet bland boende kring en flygplats 23,3nmol/L Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

18 Signifikansnivå Sannorlikheten/risken att förkasta nollhypotesen fast den är sann. Vanligtvis väljs 5% signifikansnivå Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

19 Teststorhet Det finns flera olika teststorheter, om vi använder oss av den standardiserade normalfördelningen är teststorheten Z. z = x μ0 s 2 n = 23,7 23,3 2, = 0,4 7,3 225 = 0,4 0,03 = 0,4 0,17 = 2,35 x = det observerade stickprovsmedelvärdet μ0 = populationsmedelvärdet som specificerades via nollhypotesen s 2 = stickprovsmedelvärdets varians (s = standardavvikelse) n = antalet observationer Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

20 Jämförelse med ett kritiskt värde Det kritiska värdet är ett värde på teststorheten (z) som korresponderar med den valda signifikansnivån I detta fall z-värdet som svarar mot 5% signifikansnivå. Vid ett tvåsidigt test är det kritiska z-värdet och 1.96 eftersom dessa tal avgränsar 2.5% (0,025) på vardera sidan om den standardiserade normalfördelningen (sammanlagt 5%, vilket är den valda signifikantnivån). Se tabell 1 i appendix. detta innebär att vi förkastar nollhypotesten om z är mindre än eller större än ,5 % 2,5 % Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

21 Jämförelse med ett kritiskt värde I vårt exempel observerade vi z-värdet 2,35, eftersom detta är större än 1,96 så förkastar vi nollhypotesen Vi kan säga att det förekommer en statistiskt signifikant skillnad i kortisolvärde mellan boende nära flygplatser och den allmänna befolkningen Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

22 P-värde Resultatet från hypotesprövningen kan beskrivas genom ett så kallat p-värde. P-värdet uttrycker sannolikheten att observera ett utfall minst så extremt som det vi faktiskt observerat under förutsättning att nollhypotesen är sann. Relaterat till vårt tidigare exempel, svarar p-värdet på frågan: Vad är sannolikheten att observera ett kortisolvärde på minst 23,7 nmol/l bland boende kring flygplatser i vårt stickprov om populationsmedelvärdet bland de boende i själva verket är 23,3 nmol/l Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

23 P-värde Vi räknade ut z-värdet 2,35, detta z-värde avgränsar 0,009 (se tabell 1 i appendix) = 0,9% av ytan på vardera sidan av den standardiserade normalfördelningen, vilket ger en total yta på 1,8% (0,9+0,9). Detta innebär att ett tvåsidigt p-värde för denna studie är = 1,8% Ensidigt p-värde för denna studie är = 0,9% Sannorlikheten för att finna värdet 23,7 nmol/l om det sanna populationsvärdet är 23,3 nmol/l är 1,8% (för ett tvåsidigt p- värde) Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

24 Typ-I och Typ-II fel vi kan dra felaktiga slutsatser av en hypotesprövning på två olika sätt Typ-I fel (Signifikansnivå) Nollhypotesen kan förkastas fast den är sann Typ-II fel Nollhypotesen förkastas inte fast den är falsk Sannorlikheten för detta = signifikansnivån, den bestämmer vi själva Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

25 Teststyrka (power) Sannorlikheten att förkasta nollhypotesen när den är falsk Motsvarar komplementhändelsen till typ II-fel Beräknas via 1-P(typII-fel) Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

26 Exempel Antag att det verkliga medelvärdet hos boende kring flygplatser är 23,7 nmol/l, vi anger att nollhypotesen är den samma som tidigare d.v.s. att boende kring flygplatser har samma kortisol värde som den allmänna befolkningen 23,3. Vad är sannorlikheten att inte förkasta nollhypotesen trots att den är falsk? typ-ii fel Vi väljer signifikansnivån 5% (0,05) och ett ensidigt test, läs av tabell 1 i Appendix, detta innebär att vi förkastar noll-hypotesen om z är större än 1,65. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

27 Exempel Detta betyder att om z > 1,65 så förkastar vi nollhypotesen Z = x μ0 s 2 n, 1.65> x 23,3 2, vi löser ut: x > 23,3 + 1,65 2, X>23,60 Nollhypotesen förkastas om x är större än 23,6 Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

28 Exempel Var är då sannorlikheten att observera ett kortisolvärde som är mindre än 23,6 om populationsvärdet är 23,7? Vi beräknar återigen z-värdet: Z = x μ0 s 2 n = 23,6 23,7 2, = - 0,56 I tabell 1 i appendix kan man utläsa att z-värdet 0,56 motsvarar ett värde på 0,288 = 29% Detta innebär att risken för typ-ii-fel är 29% Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

29 Exempel Vi kan nu svara på frågan: Vad är sannorlikheten att förkasta nollhypotesen när den är falsk? Sannorlikheten för komplementhändelsen till typ-ii-fel 1 p(typii-fel) = = 0,71, 71% Om populationsvärdet i själva verket är 23,7 har vi 71% sannorlikhet att förkasta nollhypotesen när den är falsk vid signifikansnivån 5% Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

30 Teststyrkan påverkas av tre faktorer Valet av signifikansnivå Antaganden om det sanna populationsvärdet Stickprovsstorleken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

31 Små stickprov Om stickprovet är litet gäller lite andra regler än vid stora stickprov Om vi i ett litet stickprov vill analysera en variabel som i grunden är normalfördelad kan vi beräkna konfidensintervall för populationsmedelvärdet genom t-fördelningen Denna metod ger oavsett stickprovets storlek exakta konfidensintervall Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

32 T-fördelningen T-fördelningens form uttrycks i antal frihetsgrader Frihetsgrader beräknas genom att ta antalet observationer minus ett (n-1). I tabell 3 i appendix anges värden på T-fördelningen för olika antal frihetsgrader Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

33 Beräkna konfidensintervall för medelvärdet i små stickprov x ± t n 1 s2 n I stället för ett z-värde (vanligen 1.96 för ett 95% konfidensintervall) har vi nu ett värde från t-fördelningen i formeln. n-1 anger t-fördelningens antal frihetsgrader Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

34 Exempel längd på personer ur ett litet stickprov Id Längd i cm (x) x-x (x-x) 2 Först räknar vi ut medelvärdet: ,2 84, ,8 0,64 Medelvärdet: x = n x ,8 7, ,8 116,64 x = = 176,2 cm ,2 51, ,2 17,64 Variansen (s 2 ) är: ,8 7, ,8 14,44 s 2 = x x ² n 1 = 303,6 = 303, = 33, , ,8 0,64 Totalt 0 303,6 Eftersom vi har 10 observationer så använder vi t-fördelningen med 9 frihetsgrader vid beräkningen av konfidensintervall. Från tabell 3 i appendix kan vi utläsa att värdet på t-fördelningen med 9 frihetsgrader för ett 95% konfidensintervall är 2,26 Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

35 Exempel - fortsättning x ± t n 1 s2 n = 176,2 ± 2,26 33,73 10 = 176,2 ± 4,15 Konfidensintervallets gränser blir då: 180,35 och Medelvärde: 176,2 (95% Konfidensintervall 172,05 till 180,35) Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

36 Jämförelse av två medelvärden Många gånger är vi intresserade av att jämföra medelvärden mellan två grupper t.ex. Exponerad oexponerad Behandlad - obehandlad Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

37 Jämförelse av två medelvärden Två oberoende stickprov Wilcoxons rangsummetest Parvisa observationer Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

38 Två oberoende stickprov Vi vill jämföra medelvärdet från två stickprov som är tagna ur två olika populationer Vi beräknar skillnaden mellan stickprovs-medelvärderna samt ett konfidensintervall för denna skillnad via följande formel: x 1 x 0 ± 1,96 s 1 2 n 1 + s 02 n 0 Man brukar anse att 30 observationer i varje stickprov är tillräckligt Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

39 Exempel två oberoende stickprov Vi vill titta på skillnaderna i serumkolestrol hos en grupp med klassad fettma >BMI 30 och en grupp som endast klassas som överviktiga BMI Viktklass Antal X mmol/l Standardavvikelse Överviktig Fetma > x 0 = överviktiga och x 1 = fetma x 1 x 0 = 6,9 6,5 = 0,4 mmol/l Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

40 Exempel fortsättning (z-värde 1,96) x 1 x 0 ± 1,96 s s 02 = 0,4 ± 1,96 1,22 + 1,12 n 1 n = 0,4 ± 1,96 1,44 + 1, = 0,4 ± 1,96 0,03 + 0,02 = 0,4 ± 1,96 0,22 = 0,4 ± 0,43 Skillnaden i medelvärde är 0,4 (95% Konfidensintervall = -0,03, 0,83) Skillnaden är inte statistiskt signifikant eftersom konfidensintervallet inkluderar 0. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

41 Exempel fortsättning (t-värde) Om våra stickprover är från normalfördelade populationer kan vi beräkna ett exakt konfidensintervall för skillnaden mellan medelvärderna genom en alternativ metod där vi använder t-fördelningen. x x ± t n1 +n 0 2 s 2 pool 1 n n 0 = 0,4 ± 1,96 1,31 0,03 = 0,4 ± 0,39, vilket ger ett konfidensintervall på 0,01 till 0,79, en statistiskt signifikant resultat s 2 = pool x 1 x x 0 x 0 2 n 1 +n 0 2 man kan skriva om formeln så att den blir lättare att räkna ut s 2 = pool n 1 1 s 2 + n 0 1 s n n 0 1 = , , = 73,44 +89, = 1,31 Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

42 Wilcoxons rangsummetest När man vill jämföra två medelvärden från små stickprov och man inte vet något om fördelningen av variabeln i populationen Nollhypotesen i testet är att de två jämförda populationernas fördelning inte skiljer sig åt. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

43 Wilcoxon - exempel Patient nr Sjukhus 1 Vårdtid, dagar Sjukhus 2 Vårdtid, dagar I tabellen har vi ordnat patienterna efter vårdtid på respektive sjukhus I sjukhus 1 hade patienten med kortast vårdtid varit på sjukhuset i 15 dagar och patienten med längs vårdtid i 41 dagar. De första steget är nu att sammanföra alla observationer från de två stickproven och göra en rangordning (se nästa sida) Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

44 Wilcoxon - exempel Vårdtid sjukhus 1 Vårdtid sjukhus 2 Rangordning sjukhus ,5 3, Rangsummma 136,5 73,5 Rangordning sjukhus 2 Vi tilldelar varje patient en rang (ett tal), det lägsta värdet ger vi rangordningen 1. Observationer med samma värde ger vi det genomsnittliga rangordningsvärdet tex vårdtid 15 dagar som får rangen (3+4)/2=3,5 Rangsumman för det mindre av de två stickproven med ett kritiskt värde. Det kritiska värdet beror av stickprovsstorleken och den valda signifikansnivån. Läs i tabell 5 i appendix. Med urvalsstorlek 10 i båda stickproven och 5% signifikansnivå är det kritiska värdet 78 eller 132, om rangsumman är mindre än 78 eller större än 132 så är skillnaden signifikant. Eftersom 73,5 är mindre än 78 och 136,5 är större än 132 så är skillnaden i vårdtid statistiskt signifikant på 5% signifikansnivå. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

45 Parvisa observationer Är vanligt förekommande i medicinska data Ex. upprepade mätningar på samma person, vanligen rör det sig om data innan eller efter en behandling eller intervention gjorts Parvisa observationer kan inte ses som oberoende observationer i de statistiska analyserna För att komma runt detta kan man skapa en ny variabel som består av skillnaden mellan de två variablerna för varje individ. Om denna nya variabel är normalfördelad kan vi beräkna ett konfidensintervall för skillnaden mellan medelvärden med hjälp av t-fördelningen via följande formel: d ± t n 1 s2 d n d = medelvärdet av alla parvisa skillnader s 2 = skillnadernas varians i stickprovet d Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

46 Exempel parvisa observationer Individnr Diastoliskt tryck (mmhg) före Systoliskt tryck (mmhg) efter d d-d (d-d) Summa I syfte att minska risken för hjärt-kärlsjukdom genomgick 20 medelålders män ett förebyggande program. Programmet innehöll bl.a. regelbunden fysisk aktivitet, ändrade kostvanor och rökstopp. Diastoliskt blodtryck mättes såväl före som efter programmet. För varje individ beräknar vi skillnaden (d) mellan blodtrycket före och efter programmet. Summan av dessa skillnader är i exemplet 120 och beräkning av d ger: d = 120/20 = 6,0 mm Hg, blodtrycket är i genomsnitt 6,0 mmhg högre före än efter programmet. variansen, s 2 = d d ² n 1 = = = 15,8 För ett 95% konfidensintervall och med n-1=19 frihetsgrader är värdet på t-fördelningen 2.09 d ± t n 1 s2 n = 6,0 ± 2,09 15,8 20 = 6,0 ± 1,9 Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

47 Läs kapitel 4 i Grunderna i biostatistik Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

48 Övningsuppgifter i biostatistik Måndagen den 19:e dec , lös de utdelade övningsuppgifterna var och en för sig eller i grupp, ni bestämmer själva vad som passar er. Tisdagen den 20:e dec kl 9.15 vi går igenom övningsuppgifterna i helklass. Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Parade och oparade test

Parade och oparade test Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 6 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Kort om projektet o Hypotesprövning Populationsandel Populationsmedelvärde p-värdet 2 Kort om projektet Syftet med projektet i denna kurs är att

Läs mer

Hur man tolkar statistiska resultat

Hur man tolkar statistiska resultat Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?

Läs mer

Medicinsk statistik II

Medicinsk statistik II Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Analys av proportioner

Analys av proportioner Analys av proportioner Innehåll Proportion konfidensintervall Jämförelse av två proportioner Två oberoende stickprov Relativ risk Parvisa observationer Jämförelse av tre eller flera proportioner x² (chi-två)

Läs mer

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ. P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer

Läs mer

a) Facit till räkneseminarium 3

a) Facit till räkneseminarium 3 3.1 Fig 1. Sammanlagt 30 individer rekryteras till studien. Individerna randomiseras till en av de fyra studiearmarna (1: 500 mg artemisinin i kombination med piperakin, 2: 100 mg AMP1050 i kombination

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o. förkasta eller acceptera hypotesen

Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o. förkasta eller acceptera hypotesen Uwe Menzel, 2017 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Syfte: o statistiska test om parametrar för en fördelning o förkasta eller acceptera hypotesen hypotes: = 20 (väntevärdet är 20)

Läs mer

Hypotestestning och repetition

Hypotestestning och repetition Hypotestestning och repetition Statistisk inferens Vid inferens använder man urvalet för att uttala sig om populationen Centralmått Medelvärde: x= Σx i / n Median Typvärde Spridningsmått Används för att

Läs mer

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Biostatistik kursmål Dra slutsatser utifrån basala statistiska begrepp och analyser och själva kunna använda sådana metoder.

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

F22, Icke-parametriska metoder.

F22, Icke-parametriska metoder. Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Medicinsk statistik I

Medicinsk statistik I Medicinsk statistik I Läkarprogrammet T5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, Doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Medicinsk statistik VT-2013 Tre stycken

Läs mer

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD. Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD Mattias.nilsson@ki.se Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation Analytisk statistik

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska

Läs mer

Studietyper, inferens och konfidensintervall

Studietyper, inferens och konfidensintervall Studietyper, inferens och konfidensintervall Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Studietyper Experimentella studier Innebär

Läs mer

Gamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1

Gamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1 016-10-10 Gamla tentor - 016 1 1 (forts) ( x ) x1 x ) ( 1 x 1 016-10-10. En liten klinisk ministudie genomförs för att undersöka huruvida kostomläggning och ett träningsprogram lyckas sänka blodsockernivån

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD 6.4 Att dra slutsatser på basis av statistisk analys en kort inledning - Man har ett stickprov, men man vill med hjälp av det få veta något om hela populationen => för att kunna dra slutsatser som gäller

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval Två innebörder av begreppet statistik Grundläggande tankegångar i statistik Matematik och statistik för biologer, 10 hp Informationshantering. Insamling, ordningsskapande, presentation och grundläggande

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test

7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test 7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test Vi har sett hur man kan testa om två populationer har samma väntevärde (H 0 : μ 1 = μ 2 ) med t-test (two-sample). Vad gör man om data inte är normalfördelat? Om vi

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar

Läs mer

Föreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer

Föreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer Föreläsning 6 Kapitel 7, sid 186-209 Jämförelse av två populationer 2 Agenda Jämförelse av medelvärden för två populationer Jämförelse av populationsandelar för två populationer Konfidensintervall och

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Konfidensintervall, Hypotestest

Konfidensintervall, Hypotestest Föreläsning 8 (Kap. 8, 9): Konfidensintervall, Hypotestest Marina Axelson-Fisk 11 maj, 2016 Konfidensintervall För i (, ). Hypotestest Idag: Signifikansnivå och p-värde Test av i (, ) när är känd Test

Läs mer

Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se

Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras Föreläsning 10 Inferens

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9. Betrakta motstånden märkta 3.9 kohm med tolerans 1%. Anta att vi innan mätningarna gjordes misstänkte att motståndens förväntade värde µ är mindre än det utlovade 3.9 kohm. Med observationernas hjälp vill

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och

Läs mer

FACIT (korrekta svar i röd fetstil)

FACIT (korrekta svar i röd fetstil) v. 2013-01-14 Statistik, 3hp PROTOKOLL FACIT (korrekta svar i röd fetstil) Datorlaboration 2 Konfidensintervall & hypotesprövning Syftet med denna laboration är att ni med hjälp av MS Excel ska fortsätta

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Statistik. Statistik. Statistik. Lars Walter Fil.lic. Statistik

Statistik. Statistik. Statistik. Lars Walter Fil.lic. Statistik Statistik Lars Walter Fil.lic. Statistik Linköping universitet Stockholms universitet Karolinska sjukhuset Sveriges Lantbruksuniversitet Linköpings universitet Folkhälsocentrum, LiÖ FoU-enheten, LiÖ Statistik

Läs mer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015 Innehåll

Läs mer

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Binomialfördelning (kap 24.1) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test

Läs mer

Innehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E

Innehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik (sid 53 i E) III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser 1 II. Beskrivande statistik,

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

Om statistisk hypotesprövning

Om statistisk hypotesprövning Statistikteori för F2 vt 2004 2004-01 - 30 Om statistisk hypotesprövning 1 Ett inledande exempel För en tillverkningsprocess är draghållfastheten en viktig aspekt på de enheter som produceras. Av erfarenhet

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Fråga nr a b c d 2 D

Fråga nr a b c d 2 D Fråga nr a b c d 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 a) Första kvartilen: 33 b) Medelvärde: 39,29 c) Standardavvikelse: 7,80 d) Pearson measure of skewness 1,07 Beräkningar: L q1 = (7 + 1) 1 4 = 2 29-10 105,8841

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) Examinationen består av 10 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning

Läs mer

Beskrivande statistik. Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor

Beskrivande statistik. Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Beskrivande statistik Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Beskrivande statistik Grunden för all analys är ordning och reda! Beskrivande statistik hjälper oss att överskådligt sammanfatta

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) Examinationen består av 11 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Föreläsning 5 och 6.

Föreläsning 5 och 6. Föreläsning 5 och 6. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik för STS vt 2014 Icke-parametriska metoder Föreläsningarnas innehåll: Allmänt, icke-parametrisk

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Laboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer

Laboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Laboration 2 i 5B52, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Namn: Elevnummer: Laborationen syftar till ett ge information och träning i Excels rutiner för statistisk slutledning, konfidensintervall,

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09) Aktuella avsnitt i boken är Kapitel 7. Lektionens mål: Du

Läs mer

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori Föreläsning 4 Kapitel 5, sid 127-152 Stickprovsteori 2 Agenda Stickprovsteori Väntevärdesriktiga skattningar Samplingfördelningar Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen 3 Statistisk inferens Population:

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Ledtrådar till utvalda uppgifter för NDAB01, vt2011, 17 januari 2011.

Ledtrådar till utvalda uppgifter för NDAB01, vt2011, 17 januari 2011. Ledtrådar till utvalda uppgifter för DAB01, vt011, 17 januari 011. 3.1cd sida 3 Summatecknet antas vara känt för er. Övningen avser mer att kolla på skrivsättet X i som förklaras i boken ungefär mitt på

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

D. Samtliga beräknade mått skall följas av en verbal slutsats för full poäng.

D. Samtliga beräknade mått skall följas av en verbal slutsats för full poäng. 1 Att tänka på (obligatorisk läsning) A. Redovisa Dina lösningar i en form som gör det lätt att följa Din tankegång. (Rättaren förutsätter att det dunkelt skrivna är dunkelt tänkt.). Motivera alla väsentliga

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 6 april 004, klockan 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

Laboration 4 Statistiska test

Laboration 4 Statistiska test Matematikcentrum Matematisk statistik Lunds universitet MASB11 HT14, lp2 Laboration 4 Statistiska test 2015-01-09 Del I: Styrkefunktion Del II: Standardtest Syftet med laborationen är att ni ska bekanta

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2011-10-28 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade

Läs mer

Laboration 4 Statistiska test Del I: Standardtest Del II: Styrkefubktion

Laboration 4 Statistiska test Del I: Standardtest Del II: Styrkefubktion Matematikcentrum Matematisk statistik Lunds universitet MASB11 VT15, lp3 Laboration 4 Statistiska test 2015-03-06 Del I: Standardtest Del II: Styrkefubktion Syftet med laborationen är att ni ska bekanta

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Statistik Lars Valter

Statistik Lars Valter Lars Valter LARC (Linköping Academic Research Centre) Enheten för hälsoanalys, Centrum för hälso- och vårdutveckling Statistics, the most important science in the whole world: for upon it depends the applications

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Analys av korstabeller 2 Innehåll 1 Analys av korstabeller 2 Korstabeller Vi har tidigare under kursen redan bekantat oss med korstabeller. I en korstabell redovisar man fördelningen på två

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00 Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 004, kl 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approimationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

Statistisk försöksplanering

Statistisk försöksplanering Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier:

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier: Stat. teori gk, ht 006, JW F1 χ -TEST (NCT 16.1-16.) Ordlista till NCT Goodness-of-fit-test χ, chi-square Test av anpassning χ, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade i förväg Data: n

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 29 oktober, 2016 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:

Läs mer