BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 ( ) OCH INFÖR ÖVNING 8 ( )

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)"

Transkript

1 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 ( ) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: Lektionens mål: Du ska kunna sätta upp lämpliga hypoteser utifrån en given situation genomföra ett hypotestest för väntevärdet i en normalfördelning förstå sambandet mellan konfidensintervall och hypotestest. Teoriavsnittet om hypotestest finns också presenterat med ett antal inspelningar som du kan hitta på kurshemsidan. Börja med att se filmen Hypotestest I (Grundbegreppen) som studerar frågan Ska vi döma Kalle för rattfylleri? I ett hypotestest börjar man med att ansätta en modell. Sedan sätter man upp lämpliga hypoteser, nollhypotes respektive mothypotes, kring en av modellens okända paremetrar. Nollhypotesen är det man ifrågasätter kring parametern och mothypotesen är det man försöker troliggöra. Gör 85(a) samt minst två av Dig-Dig4 i bifogade blad. 3 Återvänd till uppgift 85 och gör 85(b) och 85(d)-(e). Illustrera gärna med en figur som liknar den du ser i Dig6 (du har då för hand gjort det som R gör i kommandothypotes i (c)-uppgiften).) 4 Gör uppgifterna Dig6 och Dig7 för att träna på vilka slutsatser man kan dra från en hypotstest (och vilka slutsatser man inte kan dra). 5 Gör uppgift 88(a). 6 Spara detta om ni inte hinner vid första genomgången: Läs om styrkan hos ett test i kapitel 6.7 på s. 44 och studera figuren på s. 45. Begreppet styrka och styrkefunktion är viktigt i all praktisk forskning för den används bl.a. för att svara på frågan Hur många mätningar ska jag göra i min undersökning? I filmen Hypotes II (Styrkefunktionen), som ligger på kurshemsidan, kan ni se en alternativ framställning till bokens. Uppgifterna 88(b)-(c) kommer ni att få fundera på vid nästa labbtillfälle. 7 Läs om hur man kan utföra testet genom att utgå från x och standardisera på s Gör uppgift 9 och kontrollera att ni är säkra på kopplingen mellan konfidensintervall och test som finns beskrivet på s. 39. Gör även Dig2 och Dig4. 8 Ni har arbetat med konfidensintervall och testkvantitet för att utföra ett test. En tredje variant att göra en hypotesprövning är att beräkna det s.k. P-värdet (prob-värdet). Utgå ifrån att H gäller. Beräkna sedan, under denna förutsättning, sannolikheten att få det resultat på data som vi fick eller ett ännu mer extremt resultat. Om denna sannolikhet (P-värdet) är liten drar vi slutsatsen att vårt ursprungliga antagande att H gäller inte är sann. Vi förkastar alltså H och vår felrisk i det fallet är precis P-värdet. Observera att man med denna metoden räknar ut testets exakta signifikansnivå direkt (ibland kallas metoden därför direktmetoden ). I filmen Hypotes III (Direktmetoden), som ligger på kurshemsidan, kan ni se en alternativ framställning till bokens. Gör uppgift 95 och beräkna P-värdet. Vad är ert resultat? Utryck ert resultat i stjärnsystemet som beskrivs på s. 4. Gör även 96 samt Dig6 för att träna på tolkningen av ett tests P-värde. VÄND!

2 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 2 9 Vad händer omσinormalfördelningen är okänd och måste skattas med s? Jo, samma sak som tidigare byt utσmot s och normalfördelningens kvantil z α/2 mot t-kvantil. Läs om detta på s Gör uppgift 223. Om du vill träna mer på detta avsnitt eller när du repeterar är följande uppgifter lämpliga att titta på: Samtliga Dig-uppgifter, 87(a), 23(a) Inför övning 8 (25-5-4): Aktuella avsnitt i boken är kapitel 7. A Studera exemplen på s. 59 och figuren på s. 6. B Läs om matchade data i avsnitt 7. och observera att när man väl bildat differenser används exakt samma metoder som för ett stickprov i kapitel 6. C Läs om principer på s. 63 i fallet då vill jämföra två oberoende stickprov. I de följande beskrivs de två fallen samma varians och olika varianser läs igenom! Observera hur man skattarσ 2 med en gemensam skattning baserade på de två stickprovsvarianserna. D Läs igenom avsnitt 7.3 och observera att när man vill undersöka om två varianser är lika dyker en ny typ av fördelning F-fördelningen upp. Hypotestest, digitala frågor Grundläggande begrepp. I en undersökning på slumpmässigt utvalda manliga lastbilschaufförer med hjärt- och kärlbesvär mätte man deras kolesterolhalt (mmol/l). Ett normalt kolesterolvärde ska ligga under 5. mmol/l men man misstänkte att denna grupp hade en högre kolesterolhalt. Beteckna väntevärdet av kolesterolhalten med μ. Vilken uppsättning av hypoteser bör man studera för att undersöka om misstanken är befogad? (a) H :μ=5; H :μ 5 (b) H :μ 5; H :μ=5 (c) H :μ 5; H :μ>5 (d) H :μ 5; H :μ<5 2. Aluminium har smältpunkt 66 C. På ett ämne görs mätningar av smältpunkten, beteckna mätningarnas väntevärde med μ. Man misstänker att ämnet inte är ren aluminium, vilken uppsättning av hypoteser bör ställas upp? (a) H :μ=66; H :μ 66 (b) H :μ 66; H :μ=66 (c) H :μ 66; H :μ>66 (d) H :μ 66; H :μ<66 3. Gränsvärdet för asbest är. fibrer/cm 3 i luften. På en arbetsplats där man river ner rör isolerade med material innehållande asbest mäts halten. Om μ betecknar mätningarnas väntevärde, vilka hypoteser bör man ställa upp för att förvissa sig att genomsnittshalten av asbest är säkert under gränsvärdet? (a) H :μ=.; H :μ.

3 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 3 (b) H :μ.; H :μ=. (c) H :μ.; H :μ>. (d) H :μ.; H :μ<. 4. Då patienter får en viss typ av medicinsk behandling vet man av erfarenhet att 6 % av dem får biverkan. En ny medicin är utvecklad och prövas på 2 slumpmässigt utvalda patienter. Låt p vara P(en patient får biverkan). Vilka hypoteser bör man ställa upp om man vill påvisa att den nya medicinen ger färre patienter biverkan än den traditionella behandlingen? (a) H : p =.6; H : p.6 (b) H : p.6; H : p =.6 (c) H : p.6; H : p >.6 (d) H : p.6; H : p <.6 5. Låt x,...,x n vara observationer från X som är normalfördelad N(μ,σ) därσanses vara känd. Nedan anges ett antal uppsättningar av hypoteser kring μ. Para ihop de olika uppsättningarna med rätt testregel då man vill utföra testet med felriskenα. Hypoteser:. H :μ μ ; H :μ>μ 2. H :μ=μ ; H :μ μ 3. H :μ μ ; H :μ<μ Testregler: Förkasta H på nivåαom (a) x <μ λ α/2 (b) x >μ +λ α (c) x >μ +λ α/2 σ (d) x <μ +λ α/2 (e) x >μ +λ α/2 (f) x >μ λ α (g) x μ σ n < λ α 6. I en undersökning på lastbilschaufförer ansåg man att kolesterolhalten varierar enligt en normalfördelning med väntevärde μ och standardavvikelse. Man misstänkte att denna grupp hade en högre kolesterolhalt än det normala 5. mmol/l och ville testa hypotesen H :μ 5 mot H :μ>5 på signifikansnivå.5. Medelvärdet av de kolesterolhalterna blev x = 5.7. Nedan visas en figur över det kritiska området där k = 5+λ.5 = Kritiskt område, H : µ = 5., H : µ > H: µ = 5. H: µ > 5. n = σ =. α = k = 5.52

4 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 4 Avgör om följande påståenden är sanna eller falska: (a) H kan ej förkastas på signifikansnivå.5. (b) H kan förkastas på signifikansnivå.5. (c) H kan förkastas på signifikansnivå.5. (d) Testet baserar sig på för få mätningar för att man ska kunna dra någon slutsats Testet innebär att H kan förkastas på signifikansnivå.5. Avgör om följande slutsatser är sanna eller falska. (e) Risken är 5 % att chaufförernas genomsnittliga kolesterolhalt är för hög. (f) Risken är 5 % att vi felaktigt påstår att chaufförer med en genomsnittlig normal kolesterolnivå har för hög halt. (g) Risken är 5 % att vi felaktigt påstår att chaufförer med en genomsnittlig hög kolesterolhalt har en normal halt. (h) Enbart 5 % av chaufförerna har normal kolesterolhalt. 7. En tillverkare påstår att μ, förväntad livslängd hos en viss komponent är minst timmar. Du misstänker att livslängden är kortare än så och sätter upp hypoteserna H :μ ; H :μ<. Slutsatsen från testet blev att H KAN EJ förkastas på nivå 5 %. Vilket av alternativen nedan är en korrekt tolkning av detta resultat? (a) Vi har visat att H gäller, d.v.s. genomsnittlig livslängd för komponenterna är minst timmar. (b) Livslängderna i denna undersökning var inte tillräckligt låga för att visa att H är falsk. (c) Vi har visat att H gäller. (d) Vi har visat att för 5 % av komponenterna gäller H. 8. Ett företag köper regelbundet stora leveranser av en viss enhet från en tillverkare. Vid varje leverans görs en kvalitetskontroll och 2 partier väljs slumpmässigt ut från partiet. På dessa 2 enheter mäts en storhet som inte bör understiga mm. Man utför därför ett test på nivå 5 % och testar H = mot H <. Om H förkastas anser man partiet vara dåligt och det skickas tillbaka till tillverkaren. Vilket av följande alternativ kommer att gälla i det långa loppet? (a) 5 % av alla partier skickas tillbaka. (b) 5 % av alla bra partier kommer att skickas tillbaka. (c) 5 % av alla dåliga partier kommer att accepteras. (d) 5 % av alla bra partier kommer att accepteras. 9. Kolesterolhalten hos lastbilschaufförer anses variera enligt en normalfördelning med väntevärde μ och standardavvikelse mmol/l. Baserat på mätningar vill man testa hypotesen H :μ=5 (normal kolesterolhalt) mot H :μ>5 (ökad halt) på signifikansnivå.5. Antag attμ, chaufförernas verkliga genomsnittliga kolesterolhalt, är 5.8. Använd figuren nedan för att svara på frågorna.

5 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 5 Kritiskt område, H : µ = 5., H : µ > H: µ = 5. H: µ > 5. n = σ =. α = k = 5.52 Sannolikheter för fel av typ och typ 2; Styrka då µ = α =.5 (röd), β =.88 (blå); S(5.8) = β =.82 (a) Hur stor är risken att man i testet inte upptäcker att chaufförernas genomsnittliga kolesterolhalt överstiger 5 när den i själva verket är 5.8? (b) Hur stor är chansen att man i testet verkligen upptäcker att chaufförernas genomsnittliga kolesterolhalt överstiger 5 när den är 5.8?. I en undersökning på slumpmässigt utvalda manliga lastbilschaufförer med hjärt- och kärlbesvär mätte man bl.a. deras kolesterolhalt (mmol/l). Ett normalt kolesterolvärde ska ligga under 5. mmol/l men man misstänkte att denna grupp hade en högre kolesterolhalt. Därför ville man testa hypotesen H :μ=5 mot H :μ>5 på signifikansnivåα. Antag att halten hos chaufförerna varierar enligt en normalfördelning med väntevärdeμoch standardavvikelse mmol/l. Testet är: Förkasta H på nivåαom x > k = 5+λ α. Man ville undersöka testets styrka för olika värden på μ, chaufförernas verkliga genomsnittliga kolesterolhalt, och ritade därför upp testets styrkfunktion, S(μ), då testet utförs på signifikansnivåα. Använd figuren nedan för att svara på frågorna. H: µ = 5. S(µ) = P(förkasta H) H: µ > 5. n = σ =. α = µ (a) Antag attμär 5.4, vad är sannolikheten att vi i testet upptäcker att den genomsnittliga kolesterolhalten överstiger 5? (b) Om vi tycker att sannolikheten i förra deluppgiften är för låg, vilka av följande strategier kommer att göra sannolikheten (d.v.s. styrkan) högre? i. Öka antalet mätningar och mät på fler än personer. ii. Minska antalet mätningar och mät på färre än personer. iii. Försöka öka variationen i populationen, d.v.s. ökaσ. iv. Försöka minska variationen i populationen, d.v.s. minskaσ. v. Öka testets signifikansnivåα. vi. Minska testets signifikansnivåα.. Ett företag köper regelbundet stora leveranser av en viss enhet från en tillverkare. Vid varje leverans görs en kvalitetskontroll och 2 partier väljs slumpmässigt ut från partiet. På dessa 2 enheter mäts en storhet som inte bör understiga mm. Man utför därför ett test på nivå 5 % och testar H = mot H <.

6 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 6 Om H förkastas anser man partiet vara dåligt och det skickas tillbaka till tillverkaren. Vilket av följande alternativ är felaktigt angående testets styrkefunktion S(μ)? (a) Dåμ = gäller att S() =.5. (S/F) (b) Ju mindreμär i förhållande till, desto större vill man att styrkefunktionen S(μ) ska vara. (S/F) (c) Om S(9.6) =.8 innebär det att ett dåligt parti därμ = 9.6 kommer att accepteras med sannolikhet.2. (S/F) (d) Om S(9.3) =.9 innebär det attμär 9.3 med sannolikhet.9. (S/F) Samband med konfidensintervall 2. Ett konfidensintervall för μ med konfidensgrad.99 angavs till (2.5, 28.8). Vilka av följande påstående är korrekta? (a) H :μ=3 kan förkastas på nivå.. (b) Det är inte troligt attμär 2, 99 % säkerhet (c) Vi kan inte förkasta hypotesen attμär 25 på nivå.. 3. Asbest är förbjudet sedan länge, men finns framförallt kvar i äldre byggnader och är en risk för de som arbetar i byggbranschen. Gränsvärdet för asbest är. fibrer/cm 3 i luften. På en rivningsarbetsplats gjordes 5 mätningar av mängden fibrer (fibrer/cm 3 ) och x =.9 och s =.2. Antag att för mätningarna på fiberhalten gäller en normalfördelning med väntevärdeμoch standardavvikelseσ. (a) För att testa hypoteserna H :μ=.; H. kan man beräkna ett konfidensintervall förμ. Vilken typ av intervall är det intressanta? (Tvåsidigt/Ensidigt övre begränsat/ensidigt undre begränsat) (b) För att testa hypoteserna H :μ=.; H <. kan man beräkna ett konfidensintervall förμ. Vilken typ av intervall är det intressanta? (Tvåsidigt/Ensidigt övre begränsat/ensidigt undre begränsat) (c) För att testa hypoteserna H :μ=.; H >. kan man beräkna ett konfidensintervall förμ. Vilken typ av intervall är det intressanta? (Tvåsidigt/Ensidigt övre begränsat/ensidigt undre begränsat) (d) Vilken uppsättning av hypoteser är intressanta för arbetarna på rivningsplatsen? i. H :μ=.; H. ii. H :μ=.; H <. iii. H :μ=.; H >. 4. Nedan anges tre uppsättningar av hypoteser kringμien normalfördelning. Para ihop hypoteserna med de intervall som är intressanta att studera. Hypoteserna:. H :μ=3; H 3 2. H :μ 3; H :μ<3 3. H :μ 3; H :μ>3 Intervallen: (a) (, 4.7) (b) (2.3, 2.9) (c) (.7, ) Antag att samtliga intervall har konfidensgrad.99. I vilken av de tre uppsättningarna av hypoteser är slutsatsen att H förkastas på nivå %?

7 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 7 Direktmetoden 5. Vid ett test beräknades P-värdet =.36. Vilka av följande slutsatser är sanna? (a) H kan förkastas på nivå 5%. (b) H kan förkastas på nivå %. (c) H kan förkastas på nivå 3.6%. (d) H kan förkastas på samtliga nivåer som understiger 3.6%. 6. Ett företag köper stora leveranser av en viss enhet från en tillverkare. Vid kvalitetskontrollen mäts en storhet hos 2 enheter och medelvärdet blev 9.5. Man utför ett test på nivå 5 % där man testar H :μ (enhet ok) mot H :μ< (enhet felaktig). Om H förkastas anser man partiet vara dåligt och det skickas tillbaka till tillverkaren. Vid testet redovisas P-värdet som beräknades till H: µ =. H: µ <. n = 2 σ =. α =.5 Test med fixt α värde Medel = 9.5 medel < k <=> H förkastas k = 9.6 Test med direktmetoden Medel = 9.5 P =.2 P < α <=> H förkastas Ange om följande påstående angående P-värdet är sanna eller falska. (a) Eftersom P-värdet är mindre än.5 kan vi förkasta H på nivå 5 %. (b) H kan förkastas på nivå 2. %. (S/F) (c) Sannolikheten att H är falsk är 2. %. (S/F) (d) Sannolikheten att H är sann är 2. %. (S/F) (e) Sannolikheten att H är falsk är 2. %. (S/F) (f) Sannolikheten att H är sann är 2. %. (S/F) (g) H kan inte förkastas på nivå %. (S/F) (h) Det är 2. % risk att vi skickar tillbaka ett parti som är ok. (S/F) (i) Sannolikheten är.2 att medelvärdet är högst 9.5 då partiet är ok. (S/F) 7. Nedan anges två uppsättningar hypoteser rörande μ med tillhörande 95 % konfidensintervall. Para ihop med motsvarande P-värde. Hypoteser och intervall: (.) H :μ=2; H :μ 2; I μ = (.67, 2.98) (2.) H :μ ; H :μ<; I μ = (, 9.5) P-värde: (a) P-värde =.4 (b) P-värde =.

8 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 8 Lösning till digitala frågor. Rätt svar är H :μ 5; H :μ>5. Som nollhypotes sätter man upp det man ifrågasätter och som mothypotes det man vill troliggöra. Observera att hypoteserna H :μ 5; H :μ>5 är i detta fall identiska med H :μ=5; H :μ>5, d.v.s. leder till samma test. 2. Rätt svar är alternativet i (a): H :μ=66; H :μ 66. Som nollhypotes sätter man upp det man ifrågasätter och som mothypotes det man vill troliggöra. 3. Rätt svar är H :μ.; H :μ.. Som nollhypotes sätter man upp det man ifrågasätter och som mothypotes det man vill troliggöra. Om H förkastas till förmån för H har vi troligjort att förväntad asbesthalt ligger under gränsvärdet. 4. Rätt svar är H : p.6; H : p.6. Som nollhypotes sätter man upp det man ifrågasätter och som mothypotes det man vill troliggöra. Om H förkastas till förmån för H har vi troligjort att P(biverkan) med den nya medicinen understiger 6 %. 5.. För hypoteserna H :μ μ ; H :μ>μ gäller testregeln i (b), förkasta H om x >μ +λ α 2. För hypoteserna H :μ=μ ; H :μ μ gäller testregeln i (e), förkasta H om x >μ +λ α/2 σ n 3. För hypoteserna H :μ μ ; H :μ<μ gäller testregeln i (g), förkasta H om x μ σ n σ är ekvivalent med att x <μ λ α n < λ α vilket 6. Av de fyra första påståenden är enbart(b) sant. Eftersom x = 5.7 > k = 5.52 kan H förkastas på signifikansnivå.5. Av de fyra sista påståenden är det enbart (f) som stämmer. Signifikansnivån α tolkas som P(förkasta H H sann)=p(påstå att förarna har högre halt när de i själva verket har normal). 7. Det är enbart påstående (b) som är sant. Observera att det inte är tillåtet att dra den slutsats som finns i (a), att H ej kan förkastas innebär inte att H är sann. 8. Eftersomα=P(H förkastas (parti avskiljs) då H är sann (parti är ok))= gäller att, i det långa loppet, kommer 5 % av alla bra partier kommer att skickas tillbaka. 9. (a) Detta ärβ=p(fel av typ II) vilket är markerat med blå färg i figuren. Risken är alltså.88. (b) Detta är testets styrka i punkten 5.8, vilket är S(5.8) = β =.88 =.82.. (a) I grafen avläses att styrkefunktionens värde i punkten 5.4 är ungefär.35. Sannolikheten att vi med detta test upptäcker att den genomsnittliga kolesterolhalten överstiger 5 är alltså.35 då verklig genomsnittlig kolesterolhalt är 5.4. (b) Styrkefunktionen kommer att få ett brantare utseende, d.v.s. styrkan ökar i en fix punktμom vi: ökar antalet mätningar lyckas minskaσ ökar testets signifikansnivå Observera alltså att, för ett fixtμ, innebär en minskning avαattβ ökas och därmed minskar styrkan S(μ) = β.. Det är det sista alternativet som är felaktigt. Styrkefunktionen talar om för oss hur bra vårt test är, och ingenting om hur troligt attμskulle vara ett visst värde. 2. Samtliga påståenden är korrekta. 3. (a) Hypoteserna H :μ=.; H :μ. kan testas genom att beräkna ett tvåsidigt konfidensintervall förμ.

9 Biostatistisk grundkurs, VT-5, VT2 9 (b) Hypoteserna H :μ=.; H :μ<. kan testas genom att beräkna ett ensidigt, uppåt begränsat, konfidensintervall förμ. (c) Hypoteserna H :μ=.; H :μ>. kan testas genom att beräkna ett ensidigt, nedåt begränsat, konfidensintervall förμ. (d) Det är uppsättningen H : μ =.; H : μ <. eftersom de är intresserade att påvisa att gränsvärdet verkligen är understiget. 4.. H :μ=3; H :μ 3ska paras ihop med intervallet i (b), (2.3, 2.9). 2. H :μ 3; H :μ<3ska paras ihop med intervallet i (a),(, 4.7). 3. H :μ 3; H :μ>3ska paras ihop med intervallet i (c),(.7, ). Eftersom intervallet i (b) ej täcker över 3 förkastas H i den första uppsättningen av hypoteser och vi har troliggjort attμär skilt från Det är enbart slutsatsen i (b) som är felaktig, de övriga tre är korrekta. 6. (a) SANT (b) SANT, 2. % är testets exakta felrisk (c)-(f) FALSKT! Detta är inte tolkningen av P-värdet men tyvärr ser man ofta detta fel i texter av olika slag (rapporter, avhandlingar, böcker). (g) SANT (h) SANT (i) SANT 7. Det är (.) som hör ihop med (b) och (2.) med (a). I den första uppsättningen av hypoteser täcker tillhörande intervall äver nollhypotesens värde 2. H kan alltså inte förkastas på nivå.5 och motsvarande P-värde måste då vara större än.5. I den andra uppsättningen av hypoteser täcker intervallet ej över nollhypotesens värde på. Motsvarande P-värde måste alltså understiga.5.

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

Utdrag ur: Räkna med variation - Digitala uppgifter. Lena Zetterqvist och Johan Lindström

Utdrag ur: Räkna med variation - Digitala uppgifter. Lena Zetterqvist och Johan Lindström Utdrag ur: Räkna med variation - Digitala uppgifter Lena Zetterqvist och Johan Lindström 30 september 2016 Innehåll 1 Blandade uppgifter 5 1.1 Diskreta fördelningar......................... 5 1.2 Hypotestest..............................

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska

Läs mer

1 Grundläggande begrepp vid hypotestestning

1 Grundläggande begrepp vid hypotestestning Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: Biostatistisk grundkurs Datorlaboration 3, 6 maj 2015 Statistiska test och Miniprojekt II Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna på de grundläggande

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 8 (2016-05-02) OCH INFÖR ÖVNING 9 (2016-05-09) Aktuella avsnitt i boken är Kapitel 7. Lektionens mål: Du

Läs mer

Konfidensintervall, Hypotestest

Konfidensintervall, Hypotestest Föreläsning 8 (Kap. 8, 9): Konfidensintervall, Hypotestest Marina Axelson-Fisk 11 maj, 2016 Konfidensintervall För i (, ). Hypotestest Idag: Signifikansnivå och p-värde Test av i (, ) när är känd Test

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning

Läs mer

Medicinsk statistik II

Medicinsk statistik II Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Laboration 4 Statistiska test

Laboration 4 Statistiska test Matematikcentrum Matematisk statistik Lunds universitet MASB11 HT14, lp2 Laboration 4 Statistiska test 2015-01-09 Del I: Styrkefunktion Del II: Standardtest Syftet med laborationen är att ni ska bekanta

Läs mer

Laboration 4 Statistiska test Del I: Standardtest Del II: Styrkefubktion

Laboration 4 Statistiska test Del I: Standardtest Del II: Styrkefubktion Matematikcentrum Matematisk statistik Lunds universitet MASB11 VT15, lp3 Laboration 4 Statistiska test 2015-03-06 Del I: Standardtest Del II: Styrkefubktion Syftet med laborationen är att ni ska bekanta

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, 2016-04-01 OCH ÖVNING 2, 2016-04-04 SAMT INFÖR ÖVNING 3 Övningarnas mål: Du ska förstå grundläggande

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2011-10-28 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Resultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014.

Resultatet läggs in i ladok senast 13 juni 2014. Matematisk statistik Tentamen: 214 6 2 kl 14 19 FMS 35 Matematisk statistik AK för M, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar

Läs mer

Om statistisk hypotesprövning

Om statistisk hypotesprövning Statistikteori för F2 vt 2004 2004-01 - 30 Om statistisk hypotesprövning 1 Ett inledande exempel För en tillverkningsprocess är draghållfastheten en viktig aspekt på de enheter som produceras. Av erfarenhet

Läs mer

Resultatet anslås senast 10 juni på institutionens anslagstavla samt på kurshemsidan.

Resultatet anslås senast 10 juni på institutionens anslagstavla samt på kurshemsidan. Matematisk statistik Tentamen: 28 5 27 kl 8 13 FMS 32 Matematisk statistik AK för V och L, 7.5 hp Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00 Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 004, kl 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approimationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 21 september 2016 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/21 för diskret data : Poisson & Binomial för

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD. Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD Mattias.nilsson@ki.se Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation Analytisk statistik

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 6 april 004, klockan 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden

Läs mer

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap

Laboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) Examinationen består av 11 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9. Betrakta motstånden märkta 3.9 kohm med tolerans 1%. Anta att vi innan mätningarna gjordes misstänkte att motståndens förväntade värde µ är mindre än det utlovade 3.9 kohm. Med observationernas hjälp vill

Läs mer

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2 Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett

Läs mer

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 TENTAMEN: Dataanalys och statistik för I, TMS136 Onsdagen den 5 oktober kl. 8.30-13.30 på M. Jour: Jenny Andersson, ankn 5317 Hjälpmedel: Utdelad formelsamling med tabeller, BETA, på kursen använd ordlista

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 6 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Kort om projektet o Hypotesprövning Populationsandel Populationsmedelvärde p-värdet 2 Kort om projektet Syftet med projektet i denna kurs är att

Läs mer

Aktivitetsuppgifter i kurs 602 Ekonomisk statistik, del 2, våren 2006

Aktivitetsuppgifter i kurs 602 Ekonomisk statistik, del 2, våren 2006 Handelshögskolan i Stockholm Anders Sjöqvist 2087@student.hhs.se Aktivitetsuppgifter i kurs 602 Ekonomisk statistik, del 2, våren 2006 Efter förra kursen hörde några av sig och ville gärna se mina aktivitetsuppgifter

Läs mer

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ. P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har

Läs mer

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden

Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/200, HT-03 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition

Läs mer

Blandade problem från elektro- och datateknik

Blandade problem från elektro- och datateknik Blandade problem från elektro- och datateknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-10) E1. En viss typ av elektroniska komponenter anses ha exponentialfördelade livslängder. Efter 3000 timmar brukar 90 % av komponenterna

Läs mer

LTH: Fastighetsekonomi 23-24 sep 2008. Enkel och multipel linjär regressionsanalys HYPOTESPRÖVNING

LTH: Fastighetsekonomi 23-24 sep 2008. Enkel och multipel linjär regressionsanalys HYPOTESPRÖVNING LTH: Fastighetsekonomi 23-24 sep 2008 Enkel och multipel linjär regressionsanalys HYPOTESPRÖVNING Hypotesprövning (statistisk inferensteori) Statistisk hypotesprövning innebär att man med hjälp av slumpmässiga

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 13 oktober 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Räkna med variation - Digitala uppgifter Studiematerial i sannolikhetslära och statistisk inferens. Lena Zetterqvist och Johan Lindström

Räkna med variation - Digitala uppgifter Studiematerial i sannolikhetslära och statistisk inferens. Lena Zetterqvist och Johan Lindström Räkna med variation - Digitala uppgifter Studiematerial i sannolikhetslära och statistisk inferens Lena Zetterqvist och Johan Lindström 29 oktober 25 Innehåll Beskrivning av data 5 2 Grundläggande sannolikhetsteori

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer

Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik A1, 15 hp Antal uppgifter: 6 Krav för G: 13 Lärare:

Läs mer

Laboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer

Laboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Laboration 2 i 5B52, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Namn: Elevnummer: Laborationen syftar till ett ge information och träning i Excels rutiner för statistisk slutledning, konfidensintervall,

Läs mer

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval Två innebörder av begreppet statistik Grundläggande tankegångar i statistik Matematik och statistik för biologer, 10 hp Informationshantering. Insamling, ordningsskapande, presentation och grundläggande

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

a) Facit till räkneseminarium 3

a) Facit till räkneseminarium 3 3.1 Fig 1. Sammanlagt 30 individer rekryteras till studien. Individerna randomiseras till en av de fyra studiearmarna (1: 500 mg artemisinin i kombination med piperakin, 2: 100 mg AMP1050 i kombination

Läs mer

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp

Läs mer

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 29 oktober, 2016 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:

Läs mer

Blandade problem från maskinteknik

Blandade problem från maskinteknik Blandade problem från maskinteknik Sannolikhetsteori (Kapitel 1-7) M1. Vid tillverkning av en viss maskintyp får man spiralfjädrar från tre olika tillverkare. Varje dag levererar tillverkare A 100 fjädrar,

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Biostatistik kursmål Dra slutsatser utifrån basala statistiska begrepp och analyser och själva kunna använda sådana metoder.

Läs mer

OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER

OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Termeh Shafie OMTENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2012-04-16 Skrivtid: 15.00-20.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text,

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Föreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer

Föreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer Föreläsning 6 Kapitel 7, sid 186-209 Jämförelse av två populationer 2 Agenda Jämförelse av medelvärden för två populationer Jämförelse av populationsandelar för två populationer Konfidensintervall och

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng MSTA33 Ingrid Svensson TENTAMEN 2004-01-13 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistik för Teknologer, 5 poäng Tillåtna

Läs mer

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD

34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD 6.4 Att dra slutsatser på basis av statistisk analys en kort inledning - Man har ett stickprov, men man vill med hjälp av det få veta något om hela populationen => för att kunna dra slutsatser som gäller

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-03-28 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys) Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2016-01-15 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 15.00 20.00 Lärare: A Jonsson, J Martinsson,

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR98 27 oktober, 2001 kl. 9.00 13.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 30 Betygsgränser: 12p: G, 22p: VG Hjälpmedel: Miniräknare samt tabell- och formelsamling

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR98 20 juni, 2001 kl. 9.00 13.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 30 Betygsgränser: 12p: G, 22p: VG 1. Efter en provräkning observerar en lärare resultaten

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) Examinationen består av 10 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

Innehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E

Innehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik (sid 53 i E) III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser 1 II. Beskrivande statistik,

Läs mer

Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning

Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT10 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen

Läs mer

1. En kontinuerlig slumpvariabel X har följande täthetsfunktion (för någon konstant k). f.ö.

1. En kontinuerlig slumpvariabel X har följande täthetsfunktion (för någon konstant k). f.ö. UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för tekniska fysiker, MSTA6, 4p Peter Anton Per Arnqvist LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 7-- LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Nr 1 (10p) a) En affär har två kylskåp i lager när den öppnar måndag morgon. Ytterligare skåp kan inte erhållas förrän på onsdagen.

Nr 1 (10p) a) En affär har två kylskåp i lager när den öppnar måndag morgon. Ytterligare skåp kan inte erhållas förrän på onsdagen. Nr 1 (10p) a) En affär har två kylskåp i lager när den öppnar måndag morgon. Ytterligare skåp kan inte erhållas förrän på onsdagen. Sannolikheten att man efterfrågar 0, 1, 2 skåp på måndagen är respektive

Läs mer

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0.

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0. Tentamen TMSB18 Matematisk statistik IL 091015 Tid: 08.00-13.00 Telefon: 036-10160 (Abrahamsson, Examinator: F Abrahamsson 1. Livslängden för en viss tvättmaskin är exponentialfördelad med en genomsnittlig

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.

Läs mer