Studietyper, inferens och konfidensintervall

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studietyper, inferens och konfidensintervall"

Transkript

1 Studietyper, inferens och konfidensintervall Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

2 Studietyper Experimentella studier Innebär ett ingrepp i det naturliga skeendet för att studera effekter - Klinisk prövning av läkemedel Populationsstudier Saknar effekt på skeendet - Tvärsnittsstudier - Longitudinella o o Retrospektiva Prospektiva 2

3 Kontrollgrupper Matchade kontroller Varje individ i den studerade befolkningen har en tvilling - Kan vara svårt att genomföra Oberoende kontroller En grupp får en viss behandling, en annan t ex placebo - Kan endast jämföra genomsnittseffekter 3

4 Studiedesign: Parallella grupper Experimentell studie Fördelar - En behandlingsperiod - Få statistiska antaganden - Enkel Nackdelar - Mellanindividsvariabiliteten avgörande - Kräver stora material 4

5 Studiedesign: Crossover-studie Experimentell studie A B A B Varje individ är sin egen kontroll! Fördelar - Inomindividsvariabiliteten avgörande - Kräver färre individer Nackdelar - Enbart vid kroniska och obotbara sjukdomar - Bortfallsproblem - Fler behandlingsperioder per individ 5

6 Studiedesign: Faktoriell design Experimentell studie Läkemedel A Placebo Läkemedel B Placebo Användbart för kombinationsbehandlingar - Varje behandlingstyp kan studeras för sig - Interaktioner kan studeras - Patientekonomisk 6

7 Urvalsmetoder Totalundersökning Alla individer undersöks Ger en rättvis bild Nackdel: dyrt, tidskrävande; ofta omöjligt Stickprovsundersökning Ett representativt urval undersöks Studien kan anpassas efter syftet Nackdel: Risk för så kallad bias, d.v.s. systematiska fel på grund av icke representativt urval 7

8 Dubbel-blindförsök För att undvika subjektiva inslag vid läkemedelsstudier så bör dessa genomföras som dubbel-blindade försök: varken patient, läkare eller övrig personal vet vilken behandling som ges Först när studien är slut bryts koden Den behandling som en given patient får bestäms slumpmässigt ( randomisering ) 8

9 Varför randomisering? Garantera att det inte finns någon möjlighet till medveten eller omedveten styrning av tilldelningen av behandlingsalternativ Skapa balans mellan behandlingsgrupperna med avseende på kända och okända bakgrunds- och prognostiska faktorer Införa ett slumpmoment vilket är en förutsättning för att få statistisk kontroll över osäkerheten i slutsatserna 9

10 Population Stickprovstagning Målgrupp om vilka vi vill kunna uttala oss om Studiepopulation De i målgruppen som är möjliga att studera Stickprov De som faktiskt ingår i studien 10

11 Inferens Statistisk inferens är att dra slutsatser om egenskaper hos en population genom att använda data från ett stickprov. Inference = slutsats 11

12 Stickprovsbaserade skattningar Från ett stickprov kan man få en skattning av populationens medelvärde µ Om man gör om stickprovet många gånger får man lite olika skattningar av µ Dessa skattningar bildar en fördelning som är stickprovets sannolikhetsfördelning (kallas samplingsfördelning i boken) 12

13 Exempel Stickprovsbaserad skattning Kroppsvikt Vi drar 10 stickprov (n=7) från en population med medelvikten (μ) 74 kg och standardavvikelsen (σ) 15: Stickprov x s Stickprov x s

14 Antal stickprov Exempel Stickprovsbaserad skattning µ Vikt (kg) 14

15 Exempel Stickprovsbaserad skattning µ Vikt (kg) 15

16 Centrala gränsvärdessatsen 1. Om man tar stickprov av storlek n (där n är tillräckligt stort) från en population med medelvärdet µ och standardavvikelsen σ kommer distributionen av medelvärden att bli ungefär normalfördelad 2. Normalfördelningen kommer att ha medelvärdet m och standardavvikelsen σ n. 3. Detta gäller oavsett underliggande fördelning! 16

17 Antal stickprov Exempel Stickprovsbaserad skattning µ Vikt (kg) Medelvärdet av stickprovens medelvärden (x ) är dock något lägre än µ (72 kg) 17

18 Exempel Stickprovsbaserad skattning µ Vikt (kg) och medianen av stickprovens medelvärden (x ) är betydligt lägre än µ (69.5 kg) 18

19 Stickprovsmedelvärdets osäkerhet Ett stickprovsmedelvärde är endast en skattning av det verkliga medelvärdet (µ) Skattningens osäkerhet beror av n (antalet prover/datapunkter) och osäkerheten behöver kvantifieras Ett bra sätt att redogöra för hur säkert vi kan beskriva medelvärdet är att beräkna konfidensintervall 19

20 Centrala gränsvärdessatsen Stickprovets medelvärde Om vi känner till n, µ och σ så kan vi beräkna (skatta) var stickprovets medelvärde (x ) kan förväntas ligga med en viss säkerhet Sannolikheten att observera x kan beräknas genom att utnyttja Z-värdet: 1 Z = skillnad spridning 3 Z x = x μ σ n 2 Z = X μ σ 4 p Z x = p x μ σ n 20

21 Centrala gränsvärdessatsen Skattning av populationsmedelvärdet Om vi istället känner till n, x och σ så kan vi utnyttja samma förhållande för att beräkna (skatta) var populationens medelvärde (µ) kan förväntas ligga med 95% säkerhet p 1.96 x μ σ n 1.96 = 0.95 p x 1.96 σ n μ x σ n = 0.95

22 Centrala gränsvärdessatsen Skattning av populationsmedelvärdet Om vi istället känner till n, x och σ så kan vi utnyttja samma förhållande för att beräkna (skatta) var populationens medelvärde (µ) kan förväntas ligga med 95% säkerhet p x 1.96 σ n μ x σ n = 0.95 μ = x 1.96 σ n, x σ n μ = x ± 1.96 σ n

23 Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Formeln vi fått fram kan generaliseras så att den beskriver var populationsmedelvärdet (µ) ligger med en viss säkerhet (om signifikansnivån (α) är 5% så ligger populations-medelvärdet med 95% säkerhet inom intervallet). μ = x ± Z 1 α σ n 23

24 Centrala gränsvärdessatsen Begränsningar med metoden 1. Metoden förutsätter att populationens standardavvikelse (σ) är känd (vilket den aldrig är!) Använd stickprovets standardavvikelse (s) istället för σ (och anta att s är en bra approximation av σ) s = 1 n 1 x i x 2 Då har vi: μ = x ± Z 1 α s n 24

25 Centrala gränsvärdessatsen Begränsningar med metoden 2. Gäller endast om stickprovsstorleken (n) är tillräckligt stor! Vid små n OCH då vi kan anta att den underliggande fördelning är normalfördelad så använder vi t istället för Z μ = x ± t 1 α,n 1 s n 25

26 t-fördelningen Lik normalfördelningen men med längre svansar Normal t

27 t-fördelningen Svansandet beror på n Normal n=3 n=10 n=

28 Hur väljer vi mellan t och Z? t z n=2 n>50 28

29 Konfidensintervallet runt medelvärdet (Z) Det sanna medelvärdet i populationen ligger med 95% sannolikhet inom gränserna: μ = x ± Z 95% = x ± 1.96 s n s n Hittas i tabell 2 29

30 Konfidensintervallet runt medelvärdet (t) Det sanna medelvärdet i populationen ligger med 95% sannolikhet inom gränserna: μ = x ± t 95%,n 1 s n Hittas i tabell 3, där n 1 är antalet frihetsgrader 30

31 Exempel Konfidensintervallet runt medelvärdet Kroppslängd x = cm s = 8.6 cm n = 65 Z Lägre gräns - Lower 95%CI = Övre gräns - Upper 95%CI = cm cm 31

32 Exempel Konfidensintervallet runt medelvärdet Kroppslängd x = cm s = 8.6 cm n = 65 t Samma gränser för t som för Z! Detta beror på att n är tillräckligt stort. Lägre gräns - Lower 95%CI = Övre gräns - Upper 95%CI = cm cm 32

33 Exempel Konfidensintervallet runt medelvärdet Kroppslängd x = cm s = 8.6 cm n = 5 Z Lägre gräns - Lower 95%CI = Övre gräns - Upper 95%CI = cm cm 33

34 Exempel Konfidensintervallet runt medelvärdet Kroppslängd x = cm s = 8.6 cm n = 5 t Olika gränser för t och Z! n är för litet för att vi ska kunna använda oss av Z så om ett konfidensintervall ska anges måste vi använda t. Lägre gräns - Lower 95%CI = Övre gräns - Upper 95%CI = cm cm 34

35 Större stickprov - säkrare medelvärde Konfidensintervallet är ett mått på tillförlitligheten i medelvärdet Ju fler observationer (mätpunkter, individer), desto lägre standardavvikelse i stickprovens sannolikhetsfördelning ( σ ) och desto snävare konfidensintervall. Ju snävare konfidensintervall, desto mer tillförlitligt medelvärde. n 35

36 Exempel Stickprovsstorlek: 95%CI för Längd U95%CI L95%CI Medel n=5 n=10 n=20 n=40 n=65 36

37 Konfidensintervall för proportioner med 2 klasser Ofta gör vi undersökningar gällande proportioner - Andelen av Sveriges befolkning som är >60 år - Andelen av dessa som har diabetes - Andelen av de med diabetes som behandlas med ett visst läkemedel Konfidensintervallet för en observerad proportion (p obs ) kan beräknas exakt m.h.a. binomialfördelningen 37

38 Konfidensintervall för proportioner med 2 klasser Då n är så pass stort att vi kan anta en normalfördelning så kan vi göra inferens även med avseende på proportioner Konfidensintervallet för den skattade proportionen ges då av: π = p obs ± Z 1 α p obs 1 p obs n 38

39 Sammanfattning Studietyper Stickprovsurval Undersökningar berör oftast representativa urval snarare än hela populationer Dubbel-blindning När läkemedelsbehandlingar testas bör inte vare sig läkare eller patient veta exakt vilka preparat som ges Randomisering Skapar balans i och kontroll över materialet 39

40 Sammanfattning Konfidensintervall Centrala gränsvärdessatsen Distributionen av stickprovsmedelvärden är normalfördelad oavsett variabelns underliggande fördelning Konfidensintervall Beskriver ett intervall där medelvärdet med t ex 95% sannolikhet ligger t-fördelning Används för att räkna ut konfidensintervall vid små n 40

Parade och oparade test

Parade och oparade test Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Hur man tolkar statistiska resultat

Hur man tolkar statistiska resultat Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?

Läs mer

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ. P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har

Läs mer

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population Föreläsning 5 Kapitel 6, sid 153-185 Inferens om en population 2 Agenda Statistisk inferens om populationsmedelvärde Statistisk inferens om populationsandel Punktskattning Konfidensintervall Hypotesprövning

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är

Läs mer

Hur skriver man statistikavsnittet i en ansökan?

Hur skriver man statistikavsnittet i en ansökan? Hur skriver man statistikavsnittet i en ansökan? Val av metod och stickprovsdimensionering Registercentrum Norr http://www.registercentrumnorr.vll.se/ statistik.rcnorr@vll.se 11 Oktober, 2018 1 / 52 Det

Läs mer

Deskriptiv statistik. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Deskriptiv statistik. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Deskriptiv statistik Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Deskriptiv statistik Tabeller Figurer Sammanfattande mått Vilken

Läs mer

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori Föreläsning 4 Kapitel 5, sid 127-152 Stickprovsteori 2 Agenda Stickprovsteori Väntevärdesriktiga skattningar Samplingfördelningar Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen 3 Statistisk inferens Population:

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar

Läs mer

F3 Introduktion Stickprov

F3 Introduktion Stickprov Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Thomas Önskog 28/

Thomas Önskog 28/ Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Inledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ

Inledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

STATISTISK POWER OCH STICKPROVSDIMENSIONERING

STATISTISK POWER OCH STICKPROVSDIMENSIONERING STATISTISK POWER OCH STICKPROVSDIMENSIONERING Teori UPPLÄGG Gemensam diskussion Individuella frågor Efter detta pass hoppas jag att: ni ska veta vad man ska tänka på vilka verktyg som finns vilket stöd

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5. February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se

Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras Föreläsning 10 Inferens

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:

Läs mer

Standardfel (Standard error, SE) SD eller SE. Intervallskattning MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1

Standardfel (Standard error, SE) SD eller SE. Intervallskattning MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1 Standardfel (Standard error, SE) Anta vi har ett stickprov X 1,,X n där varje X i has medel = µ och std.dev = σ. Då är Det sista kalls standardfel (eng:standard error of mean (SEM) eller (SE) och skattas

Läs mer

Medicinsk statistik I

Medicinsk statistik I Medicinsk statistik I Läkarprogrammet T5 VT 2014 Susann Ullén FoU-centrum Skåne Skånes Universitetssjukhus Medicinsk statistik Varför behöver Ni kunskap i medicinsk statistik? Självständigt arbete Framtida

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

Hypotestestning och repetition

Hypotestestning och repetition Hypotestestning och repetition Statistisk inferens Vid inferens använder man urvalet för att uttala sig om populationen Centralmått Medelvärde: x= Σx i / n Median Typvärde Spridningsmått Används för att

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare och enkäter "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" September 2011 och enkäter Inledning Inledning Om vi vill mäta en egenskap hos en population individer (individer kan vara personer, företag

Läs mer

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och

Läs mer

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer

Läs mer

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall

F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall 1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015 Innehåll

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa.

Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa. Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. Anta att budgeten för utbytet är beräknad på att kopparhalten ligger på 70 %. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A0 samt STA A3 9p 4 augusti 005, kl. 08.5-3.5 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt:

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 6 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Kort om projektet o Hypotesprövning Populationsandel Populationsmedelvärde p-värdet 2 Kort om projektet Syftet med projektet i denna kurs är att

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

Lärare 4. Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum

Lärare 4. Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum 1 Lärare 4 Lärare 1 Binomial och normalfördelning Fel i statistiska undersökningar Att tolka undersökningar Falska samband Jämföra i tid och rum Lärare 2 Att utföra undersökningar Sneda statistiska underlag

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

a) Facit till räkneseminarium 3

a) Facit till räkneseminarium 3 3.1 Fig 1. Sammanlagt 30 individer rekryteras till studien. Individerna randomiseras till en av de fyra studiearmarna (1: 500 mg artemisinin i kombination med piperakin, 2: 100 mg AMP1050 i kombination

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.

Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Broman, Jesper Rydén TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Sannolikhet och statistik 1MS5 214-1-11 Skrivtid: 8.-13.. För betygen 3, 4 resp. 5 krävs 18, 25 resp.

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD. Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD Mattias.nilsson@ki.se Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation Analytisk statistik

Läs mer

Beskrivande statistik. Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor

Beskrivande statistik. Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Beskrivande statistik Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Beskrivande statistik Grunden för all analys är ordning och reda! Beskrivande statistik hjälper oss att överskådligt sammanfatta

Läs mer

F22, Icke-parametriska metoder.

F22, Icke-parametriska metoder. Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall

Läs mer

LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA522: Statistisk kvalitetsstyrning Föreläsning 5 Föregående föreläsningar Acceptanskontroll: Konsten att kontrollera producerade enheter så att man kan garantera kvalitet samtidigt som kontrollen inte blir för kostsam att genomföra Dagens

Läs mer

Dataanalys kopplat till undersökningar

Dataanalys kopplat till undersökningar Dataanalys kopplat till undersökningar Seminarium om undersökningsmetoder för förorenade områden, Malmö 6-7 maj Jenny Norrman, SGI, Chalmers FRIST På säker grund för hållbar utveckling Innehåll Inledning

Läs mer

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011

SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I

Läs mer

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN): Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

Läs mer

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng TENTAMEN: Dataanalys och statistik för I2, TMS135 Fredagen den 12 mars kl. 8:45-11:45 på V. Jour: Jenny Andersson, ankn 8294 (mobil:070 3597858) Hjälpmedel: Utdelad formelsamling med tabeller, BETA, på

Läs mer

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) Examinationen består av 10 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal

Läs mer

Föreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer

Föreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer Föreläsning 6 Kapitel 7, sid 186-209 Jämförelse av två populationer 2 Agenda Jämförelse av medelvärden för två populationer Jämförelse av populationsandelar för två populationer Konfidensintervall och

Läs mer

Analytisk statistik. 1. Estimering. Statistisk interferens. Statistisk interferens

Analytisk statistik. 1. Estimering. Statistisk interferens. Statistisk interferens Analytisk statistik Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från den insamlade datan. Två metoder:. att generalisera från en mindre grupp mot en större

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Binomialfördelning (kap 24.1) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test

Läs mer

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning Föreläsning 5 Föregående föreläsningar Acceptanskontroll: Konsten att kontrollera producerade enheter så att man kan garantera kvalitet samtidigt som kontrollen inte blir för kostsam att genomföra Dagens

Läs mer

Mer om konfidensintervall + repetition

Mer om konfidensintervall + repetition 1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap )

Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap ) F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Urval Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta inte möjlig För dyrt Tar

Läs mer

Urval. Slumpmässiga urval (sannolikhetsurval) Fördelar med slumpmässiga urval

Urval. Slumpmässiga urval (sannolikhetsurval) Fördelar med slumpmässiga urval Urval F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Ursprung: Linda Wänström Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta

Läs mer

Laboration 2 Inferens S0005M VT18

Laboration 2 Inferens S0005M VT18 Laboration 2 Inferens S0005M VT18 Allmänt Arbeta i grupper om 2-3 personer. Flertalet av uppgifterna är tänkta att lösas med hjälp av Minitab. Ett lärarlett pass i datorsal finns schemalagt. Var gärna

Läs mer

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 3 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Inferens om två populationer (kap 8.1 8.) o Parvisa observationer (kap 9.1 9.) o p-värde (kap 6.3) o Feltyper, styrka, stickprovsstorlek

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Biostatistik kursmål Dra slutsatser utifrån basala statistiska begrepp och analyser och själva kunna använda sådana metoder.

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) 0.3 6 0.0 00.5 7 99.98 3 00.0 8 99.80 4 99.95 9

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

Forskningsmetodik 2006 lektion 2

Forskningsmetodik 2006 lektion 2 Forskningsmetodik 6 lektion Per Olof Hulth hulth@physto.se Slumpmässiga och systematiska mätfel Man skiljer på två typer av fel (osäkerheter) vid mätningar:.slumpmässiga fel Positiva fel lika vanliga som

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Kvantitativa metoder en introduktion. Mikael Nygård, Åbo Akademi, vt 2018

Kvantitativa metoder en introduktion. Mikael Nygård, Åbo Akademi, vt 2018 Kvantitativa metoder en introduktion Mikael Nygård, Åbo Akademi, vt 2018 Vad är kvantitativ metod? Kvantitativa (siffermässiga) analyser av verkligheten: beskrivning och förklaringar av fenomen i fokus!

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer