Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer"

Transkript

1 Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015

2 Innehåll 1 Beskrivande statistik Medelvärdeochstandardavvikelse Empiriskaregeln(normalfördelningsregeln) Geometrisktmedelvärde Fraktiler Medianochkvartiler Medianberäkningvidklassindelatmaterial Index Prisindex Deflatering Standardvägning Direkt standardisering (Standardpopulationsmetoden) Indirekt standardisering (Kapacitetsmetoden) Samband mellan variabler Någraanvändbarasummor Kovariansochkorrelation Enkel linjär regression Sambandmellanordinalskalevariabler Sannolikhetslära Atträknamedsannolikheter Kombinatorik Diskretaslumpvariabler Någradiskretasannolikhetsfördelningar Hypergeometrisk fördelning: ( ) Binomialfördelningen: ( ) Egenskaper hos stickprovsmedelvärde, stickprovssumma och stickprovsandel Statistisk inferens Konfidensintervall Konfidensintervall för Konfidensintervall för Konfidensintervall för Konfidensintervall för Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek Konfidensintervall för (eller 2 ) Hypotesprövning

3 4.2.1 Testfunktion för Testfunktion för Testfunktion för Testfunktion för Att bestämma stickprovsstorlek utifrån villkor på och metoden Testfunktion för 2 (och ) Testfunktion för (och 1 2 ) Tabeller Binomialfördelningen Normalfördelningen fördelningen fördelningen fördelningen Kritiskavärdenförrangsummatest Kritiska värden för teckenrangtest vid parvisa observationer. 36 2

4 Anmärkning 1 För att förenkla notation i samband med summatecken har ideflesta fall summationsgränserna utelämnats. Symbolen P ska vid summering i samband med populationsberäkning tolkas som P =1 och i samband med stickprovsberäkning tolkas som P =1. 1 Beskrivande statistik 1.1 Medelvärde och standardavvikelse Vi betraktar en kvantitativ variabel på intervall- eller kvotskala. I en population finns individer med värden 1 2. Då gäller att populationens (aritmetiska) medelvärde och standardavvikelse beräknas via = P s P ( ) 2 = = rp 2 2 Ett stickprov omfattande observationer betecknade 1 2 tas från den aktuella populationen. Stickprovets medelvärde och standardavvikelse beräknas via = = P s P ( ) 2 1 = s P 2 ( ) 2 1 Om data är uppställd i en frekvenstabell används lämpligen = = P s P 2 ( ) 2 1 3

5 1.2 Empiriska regeln (normalfördelningsregeln) För en symmetrisk (klockformad) fördelning gäller att ca 68% av populationen befinner sig inom 1 standardavvikelse från medelvärdet, dvs i intervallet till +. ca 95% av populationen befinner sig inom 2 standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet 2 till +2. Nästan hela populationen befinner sig inom 3 standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet 3 till Geometriskt medelvärde Det geometriska medelvärdet av 1 2 beräknas via = 1 2 =( 1 2 ) Fraktiler I detta avsnitt förutsätts att observationerna rangordnats från lägsta till högsta Median och kvartiler 1 = Värdet på observation ( +1)4 = Värdet på observation ( +1)2 3 = Värdet på observation 3 ( +1) Medianberäkning vid klassindelat material Lokalisera den klass där den mittersta observationen befinner sig. Medianen beräknas sedan med följande formel. Kum.frek. innan medianklassen 2 = Nedre klassgräns + Klassbredd Klassfrekvens På motsvarande sätt kan man beräkna andra fraktiler genom att byta 2 motönskatvärde. 4

6 1.5 Index Prisindex För indexberäkning låter vi och vara pris och kvantitet för en vara vid tidpunkt, samt 0 och 0 pris och kvantitet för samma vara vid bastidpunkten 0. Observera att summering gäller samtliga varor. Laspeyres fastbasindex Paasches fastbasindex Laspeyres kedjeindex 0 = 0 = P 0 P P P = (-1) =100 1 Q där indexlänkarna ges via (+1) =0 (+1) = P +1 P Paasches kedjeindex 0 = (-1) =100 1 Q där indexlänkarna ges via (+1) =0 (+1) = P P Deflatering I formeln förutsätts att konsumentprisindex (KPI) används som deflator. Vi får att där Fast = Löp KPI 0 KPI Fast = Fast pris år beräknat för den prisnivå som gällde år 0. Löp = Löpande pris år 5

7 1.6 Standardvägning Direkt standardisering (Standardpopulationsmetoden) Vid standardvägning enligt standardpopulationsmetoden gäller att = P P där = Standardvägt medelvärde för population = Frekvens för standardpopulation, kategori = Medelvärde för population, kategori Indirekt standardisering (Kapacitetsmetoden) Vid standardvägning enligt kapacitetsmetoden gäller att där = P P = Hypotetiskt medelvärde för population = Frekvens för population, kategori = Medelvärde för normpopulation, kategori Vi kan sedan beräkna ett kapacitetsindex för population via kap = 100 där = Medelvärde för population 6

8 2 Samband mellan variabler Vi betraktar två variabler, och. För att få ett mått på sambandet mellan och tas ett stickprov om individer från den aktuella populationen som ger de parvisa observationerna ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( ).Ominget annat anges förutsätts variablerna vara kvantitativa som mäts på intervalleller kvotskala. 2.1 Några användbara summor X ( ) 2 = X 2 (P ) 2 X ( ) 2 = X 2 (P ) 2 X ( )( ) = X P P 2.2 Kovarians och korrelation Ettmåttpåsambandetmellan och fås via kovariansen P ( )( ) ( ) = = 1 Kovariansen är skalberoende. Ett mått på sambandet som inte är skalberoende är korrelationskoefficienten (produktmomentkorrelationskoefficienten, Pearson) = P ( )( ) = q P ( ) 2 P ( ) 2 Vid enkel linjär regression ges determinationskoefficienten (förklaringsgraden) av 2 = Enkel linjär regression Vid anpassning av en rät linje b = + till ett material med parvisa observationer blir lösningen enligt minsta kvadratmetoden P ( )( ) = P ( ) 2 = 7

9 2.4 Samband mellan ordinalskalevariabler Då variablerna mäts på ordinalskalan kan sambandet mätas med Spearmans rangkorrelationskoefficient som baseras på observationernas rangordningstal (ranger). P = q P q 2 P = 2 P q P 2 q P 2 ( ) 2 ( ) 2 där och är variablernas rangordningstal då de är sorterade i storleksordning från lägst till högst. Då det inte förekommer lika värden (ties) finns en alternativ beräkningsmetod. =1 6 P 2 ( 2 1) där är differensen mellan rangtalen i det :te observationsparet. 8

10 3 Sannolikhetslära 3.1 Att räkna med sannolikheter Låt och vara två händelser. Då Pr () betecknar sannolikheten för att inträffar, betecknar Pr sannolikheten att inte inträffar. Pr ( ) är sannolikheten för att åtminstone en av och inträffar och Pr ( ) är sannolikheten för att både och inträffar. Additionssatsen ger att Pr ( ) =Pr()+Pr() Pr ( ) Den betingade sannolikheten att inträffar givet att vi vet att inträffat ges av Pr ( ) Pr ( ) = Pr () För händelsen gäller 0,om och disjunkta Pr ( ) = Pr ()Pr(),om och oberoende Pr ( )Pr() =Pr( )Pr(),iövrigafall Låt händelserna 1 2 vara en disjunkt uppdelning av utfallsrummet, dvs Då gäller att = 6= =1 = 1 2 = Pr () = X Pr ( )Pr( ) som kallas för satsen om total sannolikhet. Vidare gäller att =1 Pr ( ) = Pr ( )Pr( ) P =1 Pr ( )Pr( ) som kallas för Bayes sats (eller Bayes regel). 9

11 3.2 Kombinatorik På hur många sätt kan man dra bollar ur en urna som innehåller bollar. Dragning med återläggning med hänsyn tagen till ordningen: Dragning utan återläggning med hänsyn tagen till ordningen: Antalet permutationer (ordnade delmängder) =! ( )! Dragning utan återläggning utan hänsyn tagen till ordningen: Antalet kombinationer (delmängder) µ! =! ( )! = 3.3 Diskreta slumpvariabler För en diskret slumpvariabel,, anges sannolikheten för ett visst värde,, som () =Pr( = ). Väntevärdet för beräknas som = () = P () där summationen görs över alla värden som kan anta. Variansen för beräknas via 2 = () = P ( ) 2 () = P 2 () 2 = 2 [ ()] 2 där summationen görs över alla värden som kan anta. Standardavvikelsen för är = p () Om = +, där och är konstanter, sägs vara en linjärfunktion av. För gäller då att och Standardavvikelsen för blir därmed = ( )= + () = + 2 = ( )= 2 () = 2 2 = 10

12 3.4 Några diskreta sannolikhetsfördelningar Hypergeometrisk fördelning: ( ) Vi drar utan återläggning bollar ur en urna innehållande bollar där andelen vita bollar är. Vi räknar sedan antalet vita bollar i urvalet (). Då gäller () =Pr( = ) = För hypergeometrisk fördelning gäller =0 1 Medelvärde () = r Standardavvikelse () = (1 ) 1 Då 005 kan approximation göras via binomialfördelningen, dvs då gäller att ( ) ( ) Binomialfördelningen: ( ) Vi drar med återläggning bollar ur en urna där andelen vita bollar är. Vi räknar sedan antalet vita bollar i urvalet (). Då gäller µ () =Pr( = ) = (1 ) =01 För binomialfördelningen gäller Medelvärde () = Standardavvikelse () = p (1 ) ³ Då (1 ) 5 gäller att ( ) p (1 ). Observera att den tumregel som anges i boken, dvs att 5 och (1 ) 5, ocksåär acceptabel. Vid approximationen ska kontinuitetskorrektion (halvkorrektion) användas. 11

13 3.5 Egenskaper hos stickprovsmedelvärde, stickprovssumma och stickprovsandel Betrakta en kvantitativ slumpvariabel där = och =. Tasett slumpmässigt stickprov om observationer gäller för stickprovsmedelvärdet att och för stickprovssumman Σ att = = Σ = Σ = Om 30 gäller dessutom att både och Σ approximativt är normalfördelade. Betrakta en tvåpunktsfördelad slumpvariabel med = och 2 = (1 ). Tas ett slumpmässigt stickprov om observationer gäller för stickprovsandelen b att = r (1 ) = Om (1 ) 5 (eller 5 och (1 ) 5) gäller dessutom att b approximativt är normalfördelad. 12

14 4 Statistisk inferens 4.1 Konfidensintervall Samtliga konfidensintervall är tvåsidiga med konfidensgraden Konfidensintervall för För slumpvariabeln gäller att = och =. Vi förutsätter att vi har ett slumpmässigt stickprov om observationer. Populationen normalfördelad med känd. Ett konfidensintervall för ges av ± 2 Populationen normalfördelad med okänd. Ett konfidensintervall för ges av ± 12 Populationens fördelning okänd men stickprovet stort ( 30). Ett konfidensintervall för ges av ± Konfidensintervall för Vid all statistisk inferens förutsätts att stickprovet, eller stickproven, är sannolikhetsurval. Om inget annat anges förutsätts urvalet vara OSU. Vidare förutsätts att 005, dvs att urvalet är litet i förhållande till populationsstorleken. Hosenpopulationstuderarvientvåpunktsfördeladvariabel.Populationsproportionen för denna variabel är. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om observationer och att b (1 b) 5. Ett approximativt konfidensintervall för ges av r b (1 b) b ± 2 13

15 4.1.3 Konfidensintervall för 1 2 Vi studerar slumpvariabeln hos två populationer där populationernas medelvärden för denna variabel är 1 respektive 2 och deras standardavvikelser är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer. Populationerna normalfördelade med 1 och 2 kända. Ett konfidensintervall för 1 2 ges av s ± Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända men 1 = 2. Ett konfidensintervall för 1 2 ges av s µ ± Den sammanslagna (polade) variansen ges av 2 = ( 1 1) 2 1 +( 2 1) Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända och 1 6= 2. Ett konfidensintervall för 1 2 ges av s ± Antal frihetsgrader ges av = ³ ³ 2 2 ³ (1 1) (2 1) Ett alternativ som kan användas vid manuella beräkningar är =min( ) Betrakta de föregående punkterna. Då båda stickproven är stora ( ) kan vi i samtliga formler ersätta/approximera 2 med 2 och fortfarande ha en konfidensgrad på ungefär 1. Observera att vi vid stora stickprov kan använda formlerna även då de bakomliggande populationerna inte är normalfördelade. 14

16 4.1.4 Konfidensintervall för 1 2 Hos två populationer studerar vi en tvåpunktsfördelad variabel. Populationsproportionerna för denna variabel är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer där 1 b 1 (1 b 1 ) 5 och 2 b 2 (1 b 2 ) 5. Ett approximativt konfidensintervall för 1 2 ges av s b 1 (1 b 1 ) b 1 b 2 ± 2 + b 2 (1 b 2 ) Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek Antag att vi vill skatta stickprovsstorleken så att halva konfidensintervallet får bredden och konfidensgraden 1. För konfidensintervall för måste vi ha en uppfattning om vilket anges som b. Stickprovsstorleken bestäms av = 2 2 b2 2 = µ 2 b För konfidensintervall angående måstevihaenuppfattningom vilket anges som b. Stickprovsstorleken bestäms av = 2 2 b (1 b) Konfidensintervall för (eller 2 ) För slumpvariabeln gäller att =. Vi förutsätter att är normalfördelad och att vi har ett slumpmässigt stickprov om observationer. Ett konfidensintervall för ges då av s s ( 1) 2 ( 1) Motsvarande konfidensintervall för 2 ges av ( 1) ( 1)

17 4.2 Hypotesprövning Testfunktion för För slumpvariabeln gäller att = och =. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : = 0. Populationen normalfördelad med känd. Testfunktionen ges av och är (0 1) då 0 är sann. = 0 Populationen normalfördelad med okänd. Testfunktionen ges av = 0 och är -fördelad med 1 frihetsgrader då 0 är sann. Populationens fördelning okänd men stickprovet stort ( 30). Testfunktionen ges av = 0 och är approximativt (0 1) då 0 är sann Testfunktion för Hosenpopulationstuderarvientvåpunktsfördeladvariabel.Populationsproportionen för denna variabel är. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om observationer och att 0 (1 0 ) 5. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : = 0. Testfunktionen ges av = b 0 q 0 (1 0 ) och är approximativt (0 1) då 0 är sann. 16

18 4.2.3 Testfunktion för 1 2 Vi studerar slumpvariabeln hos två populationer där populationernas medelvärden för denna variabel är 1 respektive 2 och deras standardavvikelser är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : 1 2 = 0. Vanligtvis är 0 =0. Populationerna normalfördelade med 1 och 2 kända. Testfunktionen ges av och är (0 1) då 0 är sann. = 1 2 q Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända men 1 = 2. Testfunktionen ges av = 1 2 r 0 ³ och är -fördelad med frihetsgrader då 0 är sann. Den sammanslagna (polade) variansen ges av 2 = ( 1 1) 2 1 +( 2 1) Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända men 1 6= 2. Testfunktionen ges av = 1 2 q och är -fördelad med frihetsgrader då 0 är sann. fås via formeln = ³ ³ 2 2 ³ (1 1) (2 1) Ett alternativ som kan användas vid manuella beräkningar är =min( ) 17

19 Betrakta de föregående punkterna. Då båda stickproven är stora ( ) gäller i samtliga fall att testfunktionerna approximativt är (0 1) då 0 är sann. Observera att detta gäller även då de bakomliggande populationerna inte är normalfördelade Testfunktion för 1 2 Hos två populationer studerar vi en tvåpunktsfördelad variabel. Populationsproportionerna för denna variabel är 1 respektive 2.Viförutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer där 1 b 1 (1 b 1 ) 5 och 2 b 2 (1 b 2 ) 5. Viställerupp nollhypotesen 0 : 1 = 2. Testfunktionen ges av = b 1 b r 2 ³ 1 b (1 b) och är approximativt (0 1) då 0 är sann. Här används b = 1b b Att bestämma stickprovsstorlek utifrån villkor på och Antag att vi vill testa någon av mothypoteserna 1 : 0 0 och att vi för att göra detta använder signifikansnivån. Vidare vill vi att testets styrka skall vara 1 för = 1. För att kunna uppnå detta krav måste vi ha en stickprovsstorlek på åtminstone à p 0 (1 0 )+ p! 2 1 (1 1 ) = 1 0 med blir motsvarande stickprovsstorlek = 1 : 6= 0 à 2 p 0 (1 0 )+ p 1 (1 1 ) 1 0! 2 18

20 Antag att vi vill testa någon av mothypoteserna 1 : 0 0 och att vi för att göra detta använder signifikansnivån. Vidare vill vi att testets styrka skall vara 1 för = 1. För att kunna uppnå detta krav måste vi ha en stickprovsstorlek på åtminstone µ 2 ( + ) b = 1 0 Då mothypotesen är tvåsidig, dvs 1 : 6= 0 krävs stickprovsstorlek på åtminstone = Ã 2 + b 1 0 Observera att vi i båda fallen måste ha en uppfattning om storleken på för att kunna bestämma metoden Vid prövning av hypoteser med 2 -metoden används vid analys av enkla frekvenstabeller (Godness of Fit) testvariabeln! 2 2 = X ( ) 2 =1 Metoden förutsätter att inga förväntade frekvenser understiger 5. Då datamaterialet delas in i klasser används 1 frihetsgrader. Då 2 -metoden används vid analys av korstabeller (Test av oberoende och homogenitetstest) används testvariabeln 2 = X X ( ) 2 =1 =1 Metoden förutsätter att inga förväntade frekvenser understiger 5. Vid test av oberoende i en korstabell med rader och kolumner används ( 1) ( 1) frihetsgrader. 19

21 4.2.7 Testfunktion för 2 (och ) För slumpvariabeln gäller att =. Vi förutsätter att är normalfördelad och att vi har ett slumpmässigt stickprov om observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : 2 = 2 0 (eller 0 : = 0 ). Som testfunktion används 2 ( 1) 2 = 2 0 som är 2 -fördelad med 1 frihetsgrader då 0 är sann Testfunktion för (och 1 2 ) Vi studerar slumpvariabeln hos två populationer där populationernas standardavvikelser för denna variabel är 1 respektive 2. Vi förutsätter att är normalfördelad i båda populationerna och att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : 2 1 = 2 2 (eller 0 : 1 = 2 ). Som testfunktion används = som är -fördelad med 1 1 frihetsgrader i täljaren och 2 1 frihetsgrader inämnarendå 0 är sann. Eftersom tabellsamlingen enbart ger värden i -fördelningens högra svans ska den större av varianserna alltid placeras i täljaren. 20

22 5 Tabeller 5.1 Binomialfördelningen Låt X vara Bi(n,p), dvs en binomialfördelad slumpvariabel med parametrar n och p. Tabellen ger då de kumulativa sannolikheterna för p. Då p översätts problemet till att gälla den andel av populationen som saknar den aktuella egenskapen. Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0, ,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0, ,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0, ,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0, ,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0, ,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0, ,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0, ,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0, ,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0, ,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0, ,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0, ,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0, ,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0, ,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0, ,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0, ,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0, ,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0, ,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0, ,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0, ,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0, ,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0, ,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0, ,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0, ,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0, ,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0, ,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0, ,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0, ,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,

23 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0, ,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0, ,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0, ,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0, ,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0, ,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0, ,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0, ,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0, ,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0, ,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0, ,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0, ,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0, ,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0, ,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0, ,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0, ,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0, ,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0, ,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0, ,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0, ,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0, ,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0, ,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0, ,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0, ,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,

24 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0, ,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0, ,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0, ,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0, ,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0, ,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0, ,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0, ,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0, ,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0, ,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0, ,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0, ,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0, ,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0, ,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0, ,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0107 0, ,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0, ,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0, ,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0, ,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0, ,0000 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

25 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0, ,8108 0,5147 0,2839 0,1407 0,0635 0,0261 0,0098 0,0033 0,0010 0, ,9571 0,7892 0,5614 0,3518 0,1971 0,0994 0,0451 0,0183 0,0066 0, ,9930 0,9316 0,7899 0,5981 0,4050 0,2459 0,1339 0,0651 0,0281 0, ,9991 0,9830 0,9209 0,7982 0,6302 0,4499 0,2892 0,1666 0,0853 0, ,9999 0,9967 0,9765 0,9183 0,8103 0,6598 0,4900 0,3288 0,1976 0, ,0000 0,9995 0,9944 0,9733 0,9204 0,8247 0,6881 0,5272 0,3660 0, ,0000 0,9999 0,9989 0,9930 0,9729 0,9256 0,8406 0,7161 0,5629 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9985 0,9925 0,9743 0,9329 0,8577 0,7441 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9771 0,9417 0,8759 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 0,9809 0,9514 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9851 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9965 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0, ,7922 0,4818 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0, ,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0, ,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0, ,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0, ,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0, ,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0, ,0000 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0, ,7735 0,4503 0,2241 0,0991 0,0395 0,0142 0,0046 0,0013 0,0003 0, ,9419 0,7338 0,4797 0,2713 0,1353 0,0600 0,0236 0,0082 0,0025 0, ,9891 0,9018 0,7202 0,5010 0,3057 0,1646 0,0783 0,0328 0,0120 0, ,9985 0,9718 0,8794 0,7164 0,5187 0,3327 0,1886 0,0942 0,0411 0, ,9998 0,9936 0,9581 0,8671 0,7175 0,5344 0,3550 0,2088 0,1077 0, ,0000 0,9988 0,9882 0,9487 0,8610 0,7217 0,5491 0,3743 0,2258 0, ,0000 0,9998 0,9973 0,9837 0,9431 0,8593 0,7283 0,5634 0,3915 0, ,0000 1,0000 0,9995 0,9957 0,9807 0,9404 0,8609 0,7368 0,5778 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9946 0,9790 0,9403 0,8653 0,7473 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9788 0,9424 0,8720 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9938 0,9797 0,9463 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9986 0,9942 0,9817 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

26 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0, ,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0, ,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0, ,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0, ,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0, ,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0, ,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0, ,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0, ,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0, ,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0, ,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0, ,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0, ,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0, ,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0, ,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0, ,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0, ,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

27 5.2 Normalfördelningen 5.2.A. Låt Z vara N(0,1). För givet z-värde ger tabellen sannolikheten Pr(Z < z) z z

28 5.2.B. Låt Z vara N(0,1). För given sannolikhet (P%) ger tabellen associerat z-värde. Given sannolikhet (P%) z P (%) z P (%) z 50 0,0000 2,3 1, ,1257 2,2 2, ,2533 2,1 2, ,3853 2,0 2, ,5244 1,9 2, ,6745 1,8 2, ,8416 1,7 2, ,0364 1,6 2, ,1750 1,5 2, ,2816 1,4 2, ,3408 1,3 2, ,4051 1,2 2, ,4758 1,1 2, ,5548 1,0 2, ,6449 0,9 2,3656 4,8 1,6646 0,8 2,4089 4,6 1,6849 0,7 2,4573 4,4 1,7060 0,6 2,5121 4,2 1,7279 0,5 2,5758 4,0 1,7507 0,4 2,6521 3,8 1,7744 0,3 2,7478 3,6 1,7991 0,2 2,8782 3,4 1,8250 0,1 3,0903 3,2 1,8522 0,05 3,2906 3,0 1,8808 0,01 3,7191 2,9 1,8957 0,005 3,8907 2,8 1,9110 0,001 4,2650 2,7 1,9268 0,0005 4,4174 2,6 1,9431 0,0001 4,7537 2,5 1,9600 0, ,8919 2,4 1,9774 0, ,

29 5.3 t-fördelningen Tabellen ger det t-värde som förknippas med högersvanssannolikheter. Given sannolikhet t Sannolikhet i den högra svansen fg

30 fördelningen Tabellen ger det 2 -värde som förknippas med högersvanssannolikheter. Given sannolikhet 2 Sannolikhet i den högra svansen fg 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0, ,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7, ,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10, ,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12, ,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14, ,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 15,086 16, ,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18, ,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20, ,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21, ,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23, ,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25, ,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26, ,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28, ,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29, ,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31, ,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32, ,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34, ,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35, ,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38, ,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41, ,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42, ,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44, ,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45, ,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46, ,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48, ,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49, ,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50, ,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52, ,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53, ,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66, ,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79, ,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91, ,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95, , , ,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96, , , , , ,196 61,754 65,647 69,126 73, , , , , , ,328 70,065 74,222 77,929 82, , , , , , ,852 86,923 91,573 95, , , , , , ,648 29

31 5.5 F-fördelningen Tabellen ger det F-värde som förknippas med högersvanssannolikheter. v betecknar antal frihetsgrader i täljaren och v antal frihetsgrader i nämnaren. Given sannolikhet F v 2 p , , , ,05 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 0,025 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 0,01 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 3 0,05 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 0,025 17,4 16,0 15,4 15,1 14,9 14,7 14,6 14,5 14,5 14,4 0,01 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 4 0,05 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 0,025 12,2 10,6 10,0 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 0,01 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 5 0,05 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 0,025 10,0 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 0,01 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 6 0,05 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 0,01 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 0,05 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 0,01 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 0,05 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 0,025 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 0,01 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 9 0,05 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 0,01 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 v 1 30

32 v 2 p ,05 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 0,025 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 0,01 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4, ,05 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 0,025 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 0,01 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4, ,05 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 0,025 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 0,01 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4, ,05 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 0,025 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 3,25 0,01 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4, ,05 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 0,025 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 3,15 0,01 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3, ,05 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 0,025 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 0,01 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3, ,05 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 0,025 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 0,01 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3, ,05 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 0,025 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 0,01 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3, ,05 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 0,025 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 0,01 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2, ,05 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 0,025 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 0,01 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2, ,05 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 0,025 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 0,01 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2, ,05 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 0,025 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 0,01 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 v 1 0,05 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 0,025 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 0,01 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 31

33 v 2 p , , , ,05 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 0,025 39,4 39,4 39,4 39,4 39,4 39,4 39,5 39,5 39,5 39,5 39,5 39,5 0,01 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 3 0,05 8,8 8,7 8,7 8,7 8,7 8,7 8,6 8,6 8,6 8,6 8,5 8,5 0,025 14,4 14,3 14,3 14,3 14,3 14,2 14,1 14,1 14,0 14,0 13,9 13,9 0,01 27,1 27,1 27,0 26,9 26,9 26,7 26,6 26,5 26,4 26,3 26,2 26,1 4 0,05 5,9 5,9 5,9 5,9 5,9 5,8 5,8 5,7 5,7 5,7 5,7 5,6 0,025 8,8 8,8 8,7 8,7 8,7 8,6 8,5 8,5 8,4 8,4 8,3 8,3 0,01 14,5 14,4 14,3 14,2 14,2 14,0 13,9 13,8 13,7 13,7 13,6 13,5 5 0,05 4,7 4,7 4,7 4,6 4,6 4,6 4,5 4,5 4,5 4,4 4,4 4,37 0,025 6,6 6,5 6,5 6,5 6,4 6,3 6,3 6,2 6,2 6,1 6,1 6,02 0,01 10,0 9,9 9,8 9,8 9,7 9,6 9,4 9,4 9,3 9,2 9,1 9,02 6 0,05 4,0 4,0 4,0 4,0 3,9 3,9 3,8 3,8 3,8 3,7 3,7 3,67 0,025 5,4 5,4 5,3 5,3 5,3 5,2 5,1 5,1 5,0 5,0 4,9 4,85 0,01 7,8 7,7 7,7 7,6 7,6 7,4 7,3 7,2 7,1 7,1 7,0 6,88 7 0,05 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 0,025 4,71 4,67 4,63 4,60 4,57 4,47 4,40 4,36 4,31 4,25 4,20 4,14 0,01 6,54 6,47 6,41 6,36 6,31 6,16 6,06 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65 8 0,05 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 0,025 4,24 4,20 4,16 4,13 4,10 4,00 3,94 3,89 3,84 3,78 3,73 3,67 0,01 5,73 5,67 5,61 5,56 5,52 5,36 5,26 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86 9 0,05 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71 0,025 3,91 3,87 3,83 3,80 3,77 3,67 3,60 3,56 3,51 3,45 3,39 3,33 0,01 5,18 5,11 5,05 5,01 4,96 4,81 4,71 4,65 4,57 4,48 4,40 4, ,05 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54 0,025 3,66 3,62 3,58 3,55 3,52 3,42 3,35 3,31 3,26 3,20 3,14 3,08 0,01 4,77 4,71 4,65 4,60 4,56 4,41 4,31 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91 v 1 32

34 v 2 p ,05 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,65 2,60 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40 0,025 3,47 3,43 3,39 3,36 3,33 3,23 3,16 3,12 3,06 3,00 2,94 2,88 0,01 4,46 4,40 4,34 4,29 4,25 4,10 4,01 3,94 3,86 3,78 3,69 3, ,05 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30 0,025 3,32 3,28 3,24 3,21 3,18 3,07 3,01 2,96 2,91 2,85 2,79 2,73 0,01 4,22 4,16 4,10 4,05 4,01 3,86 3,76 3,70 3,62 3,54 3,45 3, ,05 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,46 2,41 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 0,025 3,20 3,15 3,12 3,08 3,05 2,95 2,88 2,84 2,78 2,72 2,66 2,60 0,01 4,02 3,96 3,91 3,86 3,82 3,66 3,57 3,51 3,43 3,34 3,25 3, ,05 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,39 2,34 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13 0,025 3,09 3,05 3,01 2,98 2,95 2,84 2,78 2,73 2,67 2,61 2,55 2,49 0,01 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,51 3,41 3,35 3,27 3,18 3,09 3, ,05 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07 0,025 3,01 2,96 2,92 2,89 2,86 2,76 2,69 2,64 2,59 2,52 2,46 2,40 0,01 3,73 3,67 3,61 3,56 3,52 3,37 3,28 3,21 3,13 3,05 2,96 2, ,05 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84 0,025 2,72 2,68 2,64 2,60 2,57 2,46 2,40 2,35 2,29 2,22 2,16 2,09 0,01 3,29 3,23 3,18 3,13 3,09 2,94 2,84 2,78 2,69 2,61 2,52 2, ,05 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71 0,025 2,56 2,51 2,48 2,44 2,41 2,30 2,23 2,18 2,12 2,05 1,98 1,91 0,01 3,06 2,99 2,94 2,89 2,85 2,70 2,60 2,54 2,45 2,36 2,27 2, ,05 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62 0,025 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,20 2,12 2,07 2,01 1,94 1,87 1,79 0,01 2,91 2,84 2,79 2,74 2,70 2,55 2,45 2,39 2,30 2,21 2,11 2, ,05 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 0,025 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,07 1,99 1,94 1,88 1,80 1,72 1,64 0,01 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 2,37 2,27 2,20 2,11 2,02 1,92 1, ,05 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,75 1,69 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 0,025 2,22 2,17 2,13 2,09 2,06 1,94 1,87 1,82 1,74 1,67 1,58 1,48 0,01 2,56 2,50 2,44 2,39 2,35 2,20 2,10 2,03 1,94 1,84 1,73 1, ,05 1,87 1,83 1,80 1,78 1,75 1,66 1,60 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25 0,025 2,10 2,05 2,01 1,98 1,94 1,82 1,75 1,69 1,61 1,53 1,43 1,31 0,01 2,40 2,34 2,28 2,23 2,19 2,03 1,93 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38 v 1 0,05 1,79 1,75 1,72 1,69 1,67 1,57 1,51 1,46 1,39 1,32 1,22 1,01 0,025 1,99 1,94 1,90 1,87 1,83 1,71 1,63 1,57 1,48 1,39 1,27 1,01 0,01 2,25 2,18 2,13 2,08 2,04 1,88 1,77 1,70 1,59 1,47 1,32 1,01 33

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer. Thommy Perlinger

Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer. Thommy Perlinger Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Thommy erlinger Innehåll 1 Beskrivande statistik 3 1.1 Medelvärdeochstandardavvikelse... 3 1.2 Chebyshevsregel... 3 1.3 Empiriskaregeln(normalfördelningsregeln)...

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population Föreläsning 5 Kapitel 6, sid 153-185 Inferens om en population 2 Agenda Statistisk inferens om populationsmedelvärde Statistisk inferens om populationsandel Punktskattning Konfidensintervall Hypotesprövning

Läs mer

F3 Introduktion Stickprov

F3 Introduktion Stickprov Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar

Läs mer

Mälardalens Högskola. Formelsamling. Statistik, grundkurs

Mälardalens Högskola. Formelsamling. Statistik, grundkurs Mälardalens Högskola Formelsamling Statistik, grundkurs Höstterminen 2015 Deskriptiv statistik Populationens medelvärde (population mean): μ = X N Urvalets medelvärde (sample mean): X = X n Där N är storleken

Läs mer

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

F22, Icke-parametriska metoder.

F22, Icke-parametriska metoder. Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Population / Urval / Inferens Repetitionsföreläsning Ett företag som tillverkar byxor gör ett experiment för att kontrollera kvalitén. Man väljer slumpmässigt ut 100 par som man utsätter för hård nötning

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp. Exempeltenta 4

Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp. Exempeltenta 4 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för hållbar samhälls- och teknikutveckling Statistik Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (Formelsamling bifogas

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00 Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 004, kl 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approimationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015

Lösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Lösningsförslag till tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp Fredagen den 13 e mars 015 1 a 13 och 14

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

2. Test av hypotes rörande medianen i en population.

2. Test av hypotes rörande medianen i en population. Stat. teori gk, ht 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 15.1, 15.3-15.4) Ordlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentest Teckentestet är formellt ingenting

Läs mer

Studietyper, inferens och konfidensintervall

Studietyper, inferens och konfidensintervall Studietyper, inferens och konfidensintervall Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Studietyper Experimentella studier Innebär

Läs mer

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen

Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ. P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Parade och oparade test

Parade och oparade test Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan

Läs mer

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Binomialfördelning (kap 24.1) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 9 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Regression Regressionsmodell Signifikant lutning? Prognoser Konfidensintervall Prediktionsintervall Tolka Minitab-utskrifter o Sammanfattning Exempel

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

1. a) F4 (känsla av meningslöshet) F5 (okontrollerade känlsoyttringar)

1. a) F4 (känsla av meningslöshet) F5 (okontrollerade känlsoyttringar) 1. a) F1(Sysselsättning) F2 (Ålder) F3 (Kön) F4 (känsla av meningslöshet) F5 (okontrollerade känlsoyttringar) nominalskala kvotskala nominalskala ordinalskala ordinalskala b) En möjlighet är att beräkna

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Paul Blomstedt Innehåll 1 Inledning 2 2 Deskriptiv statistik 2 2.1 Variabler och datamaterial...................... 2 2.2 Tabulering och grask beskrivning.................

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

Gamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1

Gamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1 016-10-10 Gamla tentor - 016 1 1 (forts) ( x ) x1 x ) ( 1 x 1 016-10-10. En liten klinisk ministudie genomförs för att undersöka huruvida kostomläggning och ett träningsprogram lyckas sänka blodsockernivån

Läs mer

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar

Föreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden

Läs mer

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 3 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Inferens om två populationer (kap 8.1 8.) o Parvisa observationer (kap 9.1 9.) o p-värde (kap 6.3) o Feltyper, styrka, stickprovsstorlek

Läs mer

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 6 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Kort om projektet o Hypotesprövning Populationsandel Populationsmedelvärde p-värdet 2 Kort om projektet Syftet med projektet i denna kurs är att

Läs mer

π = proportionen plustecken i populationen. Det numeriska värdet på π är okänt.

π = proportionen plustecken i populationen. Det numeriska värdet på π är okänt. Stat. teori gk, vt 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 13.1, 13.3-13.4) Or dlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Teckentest Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentestet är formellt ingenting

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Standardfel (Standard error, SE) SD eller SE. Intervallskattning MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1

Standardfel (Standard error, SE) SD eller SE. Intervallskattning MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1 Standardfel (Standard error, SE) Anta vi har ett stickprov X 1,,X n där varje X i has medel = µ och std.dev = σ. Då är Det sista kalls standardfel (eng:standard error of mean (SEM) eller (SE) och skattas

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik

FÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende

Läs mer

TENTAMENSSKRIVNING PÅ KURSERNA GRUNDLÄGGANDE STATISTIK A4 (15 hp) STATISTIK FÖR EKONOMER A8 (15 hp)

TENTAMENSSKRIVNING PÅ KURSERNA GRUNDLÄGGANDE STATISTIK A4 (15 hp) STATISTIK FÖR EKONOMER A8 (15 hp) Uppsala universitet Statistiska institutionen TENTAMENSSKRIVNING PÅ KURSERNA GRUNDLÄGGANDE STATISTIK A4 (15 hp) STATISTIK FÖR EKONOMER A8 (15 hp) 2015-03-26 UPPLYSNINGAR A. Tillåtna hjälpmedel: Kursspecifik

Läs mer

Lösningstips till de flesta uppgifterna i fjärde upplagan av Statistisk dataanalys

Lösningstips till de flesta uppgifterna i fjärde upplagan av Statistisk dataanalys Lösningstips till de flesta uppgifterna i fjärde upplagan av Statistisk dataanalys Din granne är hungrig. Ge honom en fisk och han har mat för dagen. Lär honom att fiska och han har mat resten av sitt

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012

Läs mer

732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp)

732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp) 732G01/732G40 Grundläggande statistik (7.5hp) 2 Grundläggande statistik, 7.5 hp Mål: Kursens mål är att den studerande ska tillägna sig en översikt över centrala begrepp och betraktelsesätt inom statistik.

Läs mer

Inledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ

Inledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

27,5 27,6 24,8 29,2 27,7 26,6 26,2 28,0 (Pa s)

27,5 27,6 24,8 29,2 27,7 26,6 26,2 28,0 (Pa s) TENTAMEN: Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:0-12:0 den 7 oktober 2016, Samhällsbyggnad Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, formelblad Betygsgränser: : 12 poäng, 4: 18 poäng, 5:

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Föreläsning 6. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 6. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 6 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Analysis of Variance (ANOVA) (GB s. 202-218, BB s. 190-206) ANOVA är en metod som används när man ska undersöka skillnader mellan flera olika

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Föreläsningsanteckningar. Grundläggande statistik 732G01/732G40

Föreläsningsanteckningar. Grundläggande statistik 732G01/732G40 Föreläsningsanteckningar Grundläggande statistik 732G01/732G40 Kapitel 2 sid 11-46 Populationer, stickprov och variabler 3 Beskrivande mått Stickprovsmedelvärde n x ҧ = 1 n i=1 x i Populationsmedelvärde

Läs mer

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016

Läs mer

Sambandsmått. Centralmått. Det mest frekventa värdet. Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning. Aritmetiska medelvärdet.

Sambandsmått. Centralmått. Det mest frekventa värdet. Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning. Aritmetiska medelvärdet. PM315 HT016 Emma äck Formelsamling Centralmått Typvärde T Median Md ritmetiska medelvärdet Det mest frekventa värdet Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning = n Spridningsmått Variationsvidd (Range)

Läs mer

Hur man tolkar statistiska resultat

Hur man tolkar statistiska resultat Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?

Läs mer

Tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp. Tisdagen den 10 e januari Ten 1, 9 hp

Tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp. Tisdagen den 10 e januari Ten 1, 9 hp MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp Tisdagen den 10 e januari 2017 Ten 1, 9 hp Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori

Föreläsning 4. Kapitel 5, sid Stickprovsteori Föreläsning 4 Kapitel 5, sid 127-152 Stickprovsteori 2 Agenda Stickprovsteori Väntevärdesriktiga skattningar Samplingfördelningar Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen 3 Statistisk inferens Population:

Läs mer

Tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp. Fredagen den 9 e juni Ten 1, 9 hp

Tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp. Fredagen den 9 e juni Ten 1, 9 hp MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA101, 15 hp Fredagen den 9 e juni 2017 Ten 1, 9 hp Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17

F8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17 1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,

Läs mer

Lösningstips till de flesta uppgifterna i femte upplagan av Statistisk dataanalys

Lösningstips till de flesta uppgifterna i femte upplagan av Statistisk dataanalys Lösningstips till de flesta uppgifterna i femte upplagan av Statistisk dataanalys Din granne är hungrig. Ge honom en fisk och han har mat för dagen. Lär honom att fiska och han har mat resten av sitt liv.

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:... Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson (examinator) VT2017 TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2017-04-20 LÖSNINGSFÖRSLAG Första version, med reservation för tryck-

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Vad är statistik?

Läs mer

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier:

χ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier: Stat. teori gk, ht 006, JW F1 χ -TEST (NCT 16.1-16.) Ordlista till NCT Goodness-of-fit-test χ, chi-square Test av anpassning χ, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade i förväg Data: n

Läs mer