Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer. Thommy Perlinger

Transkript

1 Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Thommy erlinger

2 Innehåll 1 Beskrivande statistik Medelvärdeochstandardavvikelse Chebyshevsregel Empiriskaregeln(normalfördelningsregeln) Geometrisktmedelvärde Fraktiler Medianochkvartiler Medianberäkningvidklassindelatmaterial Index risindex Deflatering Standardvägning Standardpopulationsmetoden Kapacitetsmetoden Samband mellan variabler Någraanvändbarasummor Kovariansochkorrelation Enkel linjär regression Sambandmellanordinalskalevariabler Sannolikhetslära Atträknamedsannolikheter Kombinatorik Diskretaslumpvariabler Någradiskretasannolikhetsfördelningar Hypergeometrisk fördelning: Hyp(n,, N) Binomialfördelningen: Bi(n, ) Multivariatslumpvariabel Egenskaper hos stickprovsmedelvärde och stickprovsandel Statistisk inferens Konfidensintervall Konfidensintervall för μ och Nμ Konfidensintervall för och N Konfidensintervall för μ 1 μ Konfidensintervall för Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek

3 4.1.6 Konfidensintervall för σ (eller σ 2 ) Hypotesprövning Testfunktion för μ Testfunktion för Testfunktion för μ 1 μ Testfunktion för Att bestämma stickprovsstorlek utifrån villkor på α och β Testfunktion för σ 2 (och σ) Testfunktion för σ 2 1/σ 2 2 (och σ 1 /σ 2 ) Stratifierat urval Konfidensintervall för μ och Nμ Konfidensintervall för och N Allokering Attbestämmanödvändigstickprovsstorlek Tabeller Binomialfördelningen Normalfördelningen t-fördelningen χ 2 -fördelningen F -fördelningen

4 Anmärkning 1 För att förenkla notation i samband med summatecken har ideflesta fall summationsgränserna utelämnats. Symbolen ska vid summering i samband med populationsberäkning tolkas som N i=1 och i samband med stickprovsberäkning tolkas som n i=1. 1 Beskrivande statistik 1.1 Medelvärde och standardavvikelse Vi betraktar en kvantitativ variabel x på intervall- eller kvotskala. I en population finns N individer med värden x 1,x 2,...,x N. Då gäller att populationens (aritmetiska) medelvärde μ och standardavvikelse σ beräknas via μ = xi s N (xi μ) 2 σ = N = r x 2 i N μ2 Ett stickprov omfattande n observationer betecknade x 1,x 2,...,x n tas från den aktuella populationen. Stickprovets medelvärde x och standardavvikelse s beräknas via x = s = xi n s (xi x) 2 n 1 = s x 2 i ( x i ) 2 n n 1 Om data är uppställd i en frekvenstabell används lämpligen x = s = fi x i s n fi x 2 i ( f i x i ) 2 n n Chebyshevs regel För alla fördelningar gäller att minst 100 (1 1/k 2 )%av populationen befinner sig inom k standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet μ k σ till μ + k σ. 3

5 1.3 Empiriska regeln (normalfördelningsregeln) För en symmetrisk (klockformad) fördelning gäller att ca 68% av populationen befinner sig inom 1 standardavvikelse från medelvärdet, dvs i intervallet μ σ till μ + σ. ca 95% av populationen befinner sig inom 2 standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet μ 2σ till μ +2σ. Nästan hela populationen befinner sig inom 3 standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet μ 3σ till μ +3σ. 1.4 Geometriskt medelvärde Det geometriska medelvärdet av x 1,x 2,...,x n beräknas via x g = n x 1 x 2 x n =(x 1 x 2 x n ) 1/n 1.5 Fraktiler I detta avsnitt förutsätts att observationerna rangordnats från lägsta till högsta Median och kvartiler Q 1 = Värdet på observation (n +1)/4 md = Värdet på observation (n +1)/2 Q 3 = Värdet på observation 3 (n +1)/ Medianberäkning vid klassindelat material Lokalisera den klass där den mittersta observationen befinner sig. Medianen beräknas sedan med följande formel. n Kum.frek. innan medianklassen 2 md = Nedre klassgräns + Klassbredd Klassfrekvens å motsvarande sätt kan man beräkna andra fraktiler genom att byta n/2 motönskatvärde. 4

6 1.6 Index risindex För indexberäkning låter vi p t och q t vara pris och kvantitet för en vara vid tidpunkt t, samtp 0 och q 0 pris och kvantitet för samma vara vid bastidpunkten 0. Observera att summering gäller samtliga varor. Laspeyres fastbasindex aasches fastbasindex Laspeyres kedjeindex L 0 t = 0 t = pt q 0 p0 q pt q t p0 q t 100 L 0 t =100 I0 1 L I1 2 L I(t-1) t L =100 t 1 Q där indexlänkarna ges via Ii (i+1) L i=0 I L i (i+1) = pi+1 q i pi q i aasches kedjeindex 0 t =100 I0 1 I1 2 I(t-1) t =100 t 1 Q där indexlänkarna ges via Ii (i+1) i=0 I i (i+1) = pi+1 q i+1 pi q i Deflatering I formeln förutsätts att konsumentprisindex (KI) används som deflator. Vi får att där Fast t = Löp t KI t 0 KI t t Fast = Fast pris år t beräknat för den prisnivå som gällde år t 0. Löp t = Löpande pris år t. 5

7 1.7 Standardvägning Standardpopulationsmetoden Vid standardvägning enligt standardpopulationsmetoden gäller att x j sv = wi x j i wi där x j sv = Standardvägt medelvärde för population j w i = Frekvens för standardpopulation, kategori i x j i = Medelvärde för population j, kategorii Kapacitetsmetoden Vid standardvägning enligt kapacitetsmetoden gäller att där x j hyp = w j i z i w j i x j hyp = Hypotetiskt medelvärde för population j w j i = Frekvens för population j, kategori i z i = Medelvärde för normpopulation, kategori i Vi kan sedan beräkna ett kapacitetsindex för population j via I j kap = xj x j hyp 100 där x j = Medelvärde för population j 2 Samband mellan variabler Vi betraktar två variabler, x och y. För att få ett mått på sambandet mellan x och y tas ett stickprov om n individer från den aktuella populationen som ger de parvisa observationerna (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...,(x n,y n ).Ominget annat anges förutsätts variablerna vara kvantitativa som mäts på intervalleller kvotskala. 6

8 2.1 Några användbara summor X (xi x) 2 = X x 2 i ( x i ) 2 n X (yi y) 2 = X y 2 i ( y i ) 2 n X (xi x)(y i y) = X xi yi x i y i n 2.2 Kovarians och korrelation Ettmåttpåsambandetmellanx och y fås via kovariansen (xi x)(y i y) Cov (x, y) =s xy = n 1 Kovariansen är skalberoende. Ett mått på sambandet som inte är skalberoende är korrelationskoefficienten (produktmomentkorrelationskoefficienten, earson) r xy = s xy (xi x)(y i y) = q s x s y (xi x) 2 (y i y) Enkel linjär regression Vid anpassning av en rät linje by = b 0 + b 1 x till ett material med parvisa observationer blir lösningen enligt minsta kvadratmetoden b 1 = (xi x)(y i y) (xi x) 2 b 0 = y b 1 x 2.4 Samband mellan ordinalskalevariabler Då variablerna mäts på ordinalskalan kan sambandet mätas med Spearmans rangkorrelationskoefficient som baseras på observationernas rangordningstal (ranger). r s = n R x R y R x Ry q n R 2 x ( R x ) 2 n Ry 2 ( R y ) 2 7

9 där R x och R y är variablernas rangordningstal då de är sorterade i storleksordning från lägst till högst. Då det inte förekommer lika värden (ties) finns en alternativ beräkningsmetod. r s =1 6 d 2 i n (n 2 1) där d i är differensen mellan rangtalen i det i:te observationsparet. 8

10 3 Sannolikhetslära 3.1 Att räkna med sannolikheter Låt A och B vara två händelser. Då r (A) betecknar sannolikheten för att A inträffar, betecknar r A sannolikheten att A inte inträffar. r (A B) är sannolikheten för att åtminstone en av A och B inträffar och r (A B) är sannolikheten för att både A och B inträffar. Additionssatsen ger att r (A B) =r(a)+r(b) r (A B) Den betingade sannolikheten att A inträffar givet att vi vet att B inträffat ges av r (A B) r (A B) = r (B) För händelsen A B gäller 0,omA och B disjunkta r (A B) = r (A)r(B),omA och B oberoende r (A B)r(B) =r(b A)r(A),iövrigafall Låt händelserna B 1,B 2,...,B k vara en disjunkt uppdelning av utfallsrummet S, dvs Då gäller att B i B j =, i 6= j k i=1b i = B 1 B 2 B k = S r (A) = kx r (A B i )r(b i ) som kallas för satsen om total sannolikhet. Vidare gäller att i=1 r (B j A) = r (A B j)r(b j ) k i=1 r (A B i)r(b i ) som kallas för Bayes sats (eller Bayes regel). 9

11 3.2 Kombinatorik å hur många sätt kan man dra n bollar ur en urna som innehåller N bollar. Dragning med återläggning med hänsyn tagen till ordningen: N n Dragning utan återläggning med hänsyn tagen till ordningen: Antalet permutationer (ordnade delmängder) N n = N! (N n)! Dragning utan återläggning utan hänsyn tagen till ordningen: Antalet kombinationer (delmängder) µ Cn N N! N = n! (N n)! = n 3.3 Diskreta slumpvariabler För en diskret slumpvariabel, X, anges sannolikheten för ett visst värde, x, som p (x) =r(x = x). Väntevärdet för X beräknas som μ = E (X) = xp (x) där summationen görs över alla värden x som X kan anta. Variansen för X beräknas via σ 2 = Var(X) = (x μ) 2 p (x) = x 2 p (x) μ 2 = E X 2 [E (X)] 2 där summationen görs över alla värden x som X kan anta. Standardavvikelsen för X är σ = p Var(X) Om Y = a + bx, dära och b är konstanter, sägs Y vara en linjärfunktion av X. FörY gäller då att och Standardavvikelsen för Y blir därmed μ Y = E (Y )=a + be (X) =a + bμ X σ 2 Y = Var(Y )=b 2 Var(X) =b 2 σ 2 X σ Y = b σ X 10

12 3.4 Några diskreta sannolikhetsfördelningar Hypergeometrisk fördelning: Hyp(n,, N) Vi drar utan återläggning n bollar ur en urna innehållande N bollar där andelen vita bollar är.viräknarsedanantaletvitabollariurvalet(x). Då gäller p (x) =r(x = x) = N x N N n x N n, x =0, 1,...,n För hypergeometrisk fördelning gäller Medelvärde (μ) = n r Standardavvikelse (σ) = n (1 ) N n N 1 Då n/n < 0.1 kan approximation göras via binomialfördelningen, dvs då gäller att Hyp(n,, N) Bi(n, ) Binomialfördelningen: Bi(n, ) Vi drar med återläggning n bollar ur en urna där andelen vita bollar är. Vi räknar sedan antalet vita bollar i urvalet (x). Då gäller µ n p (x) =r(x = x) = x (1 ) n x, x =0, 1,...,n x För binomialfördelningen gäller Medelvärde (μ) = n Standardavvikelse (σ) = p n (1 ) ³ Då n (1 ) 9 gäller att Bi(n, ) N n, p n (1 ).Vidapproximationen ska kontinuitetskorrektion (halvkorrektion) användas. 11

13 3.5 Multivariat slumpvariabel En bivariat slumpvariabel (X, Y ) har en simultan sannolikhetsfördelning där sannolikheterna ges via p (x, y) =r(x = x, Y = y) Kovariansen ärettmåttpåsambandetmellanx och Y och beräknas som σ XY = Cov (X, Y )=E (X μ x )(Y μ Y )=E (XY ) E (X) E (Y ) där E (XY )= xy p (x, y) x y Utifrån kovariansen fås korrelationskoefficienten som ρ = Cov (X, Y ) p Var(X) Var(Y ) = σ XY σ X σ Y Låt W = ax + by där a och b är konstanter. W sägs då vara en linjärkombination av X och Y.FörW gäller att E (W )=E (ax + by )=ae (X)+bE (Y )=aμ X + bμ y och Var(W ) = Var(aX + by )=a 2 Var(X)+b 2 Var(Y )+2abCov (X, Y )= = a 2 σ 2 X + b 2 σ 2 Y +2abσ XY Låt X 1,X 2,...,X n vara oberoende slumpvariabler. För summan Y = X 1 + X X n = X i gäller då att E (Y ) = E (X 1 + X X n )=E (X 1 )+E (X 2 )+ + E (X n ) Var(Y ) = Var(X 1 + X X n )=Var(X 1 )+Var(X 2 )+ + Var(X n ) 12

14 3.6 Egenskaper hos stickprovsmedelvärde och stickprovsandel Betrakta en kvantitativ slumpvariabel X där μ X = μ och σ X = σ. Tasett slumpmässigt stickprov om n observationer gäller för stickprovsmedelvärdet X att μ X = μ σ X = σ n Om n > 30 gäller dessutom att X approximativt är normalfördelat. Betrakta en tvåpunktsfördelad slumpvariabel X med μ X = och σ 2 X = (1 ). Tas ett slumpmässigt stickprov om n observationer gäller för stickprovsandelen p att μ p = r (1 ) σ p = n Om n (1 ) 9 gäller dessutom att p approximativt är normalfördelad. 13

15 4 Statistisk inferens Vid all statistisk inferens förutsätts att stickprovet, eller stickproven, är sannolikhetsurval. Om inget annat anges förutsätts urvalet vara OSU. 4.1 Konfidensintervall Samtliga konfidensintervall är tvåsidiga med konfidensgraden 1 α Konfidensintervall för μ och Nμ För slumpvariabeln X gäller att μ X = μ och σ X = σ. Vi förutsätter att vi har ett slumpmässigt stickprov om n observationer. opulationen normalfördelad med σ känd. Ett konfidensintervall för μ utan ändlighetskorrektion ges av x ± z α/2 σ n Med ändlighetskorrektion blir formeln r σ 2 x ± z α/2 n N n N 1 opulationen normalfördelad med σ okänd. Ett konfidensintervall för μ utan ändlighetskorrektion ges av x ± t n 1,α/2 s n Med ändlighetskorrektion blir formeln r s 2 x ± t n 1,α/2 n N n N opulationens fördelning okänd men stickprovet stort (n >30). Ett konfidensintervall för μ utan ändlighetskorrektion ges av x ± z α/2 s n Med ändlighetskorrektion blir formeln r s 2 x ± z α/2 n N n N 14

16 opulationens fördelning okänd men stickprovet stort (n >30). Ett konfidensintervall för Nμ, dvs totalsumman i populationen, med ändlighetskorrektion ges av r s 2 N x ± z α/2 N n N n N Konfidensintervall för och N Hosenpopulationstuderarvientvåpunktsfördeladvariabel.opulationsproportionen för denna variabel är. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om n observationer och att np (1 p) 9. Ettapproximativt konfidensintervall för utan ändlighetskorrektion ges av r p (1 p) p ± z α/2 n Ett approximativt konfidensintervall för med ändlighetskorrektion ges av r p (1 p) p ± z α/2 N n n N Ett approximativt konfidensintervall för N, dvs antalet individer i populationen med den aktuella egenskapen, med ändlighetskorrektion ges av r p (1 p) Np± z α/2 N N n n N Konfidensintervall för μ 1 μ 2 Vi studerar slumpvariabeln X hos två populationer där populationernas medelvärden för denna variabel är μ 1 respektive μ 2 och deras standardavvikelser är σ 1 respektive σ 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om n 1 respektive n 2 observationer. opulationerna normalfördelade med σ 1 och σ 2 kända. Ett konfidensintervall för μ 1 μ 2 utan ändlighetskorrektion ges av s σ 2 1 x 1 x 2 ± z α/2 + σ2 2 n 1 n 2 15

17 Med ändlighetskorrektion blir formeln s σ 2 1 x 1 x 2 ± z α/2 N1 n 1 n 1 N σ2 2 N2 n 2 n 2 N 2 1 opulationerna normalfördelade med σ 1 och σ 2 okända men σ 1 = σ 2. Ett konfidensintervall för μ 1 μ 2 utan ändlighetskorrektion ges av s µ 1 x 1 x 2 ± t n1 +n 2 2,α/2 s 2 p + 1 n 1 n 2 Med ändlighetskorrektion blir formeln s µ 1 x 1 x 2 ± t n1 +n 2 2,α/2 s 2 p N1 n N2 n 2 n 1 N 1 n 2 N 2 Den sammanslagna (polade) variansen ges av s 2 p = (n 1 1) s 2 1 +(n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 opulationerna normalfördelade med σ 1 och σ 2 okända och σ 1 6= σ 2. Ett konfidensintervall för μ 1 μ 2 utan ändlighetskorrektion ges av s s 2 1 x 1 x 2 ± t ν,α/2 + s2 2 n 1 n 2 Med ändlighetskorrektion blir formeln s s 2 1 x 1 x 2 ± t ν,α/2 N1 n 1 + s2 2 N2 n 2 n 1 N 1 n 2 N 2 Antal frihetsgrader ges av ν = ³ s n 1 + s2 2 n 2 ³ s 2 2 ³ 1 s 2 2 n 1 / (n1 1) + 2 n 2 / (n2 1) Betrakta de föregående punkterna. Då båda stickproven är stora (n 1,n 2 > 30) kan vi i samtliga formler ersätta/approximera t,α/2 med z α/2 och fortfarande ha en konfidensgrad på ungefär 1 α. Observera att vi vid stora stickprov kan använda formlerna även då de bakomliggande populationerna inte är normalfördelade. 16

18 4.1.4 Konfidensintervall för 1 2 Hos två populationer studerar vi en tvåpunktsfördelad variabel. opulationsproportionerna för denna variabel är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om n 1 respektive n 2 observationer där n 1 p 1 (1 p 1 ) 9 och n 2 p 2 (1 p 2 ) 9. Ett approximativt konfidensintervall för 1 2 utan ändlighetskorrektion ges av s p 1 (1 p 1 ) p 1 p 2 ± z α/2 + p 2 (1 p 2 ) n 1 n 2 Ett approximativt konfidensintervall för 1 2 med ändlighetskorrektion ges av s p 1 (1 p 1 ) p 1 p 2 ± z α/2 N1 n 1 + p 2 (1 p 2 ) N2 n 2 n 1 N 1 n 2 N Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek Antag att vi vill skatta stickprovsstorleken så att konfidensintervallet får halva bredden B och konfidensgraden 1 α. För konfidensintervall för μ måste vi ha en uppfattning om σ vilket anges som bσ. Stickprovsstorleken bestäms av Utan ändlighetskorrektion Med ändlighetskorrektion n = z2 α/2 bσ2 B 2 n = z2 α/2 bσ2 B 2 + z2 α/2 σ2 N För konfidensintervall angående måste vi ha en uppfattning om vilket anges som b. Stickprovsstorleken bestäms av 17

19 Utan ändlighetskorrektion Med ändlighetskorrektion zα/2 2 b n = B 2 zα/2 2 b n = ³ 1 b ³ 1 b B 2 + z2 α/2 (1 ) N Konfidensintervall för σ (eller σ 2 ) För slumpvariabeln X gäller att σ X = σ. Vi förutsätter att X är normalfördelad och att vi har ett slumpmässigt stickprov om n observationer. Ett konfidensintervall för σ ges då av s s (n 1) s 2 (n 1) s 2 <σ< χ 2 n 1,α/2 Motsvarande konfidensintervall för σ 2 ges av χ 2 n 1,1 α/2 (n 1) s 2 χ 2 n 1,α/2 <σ 2 < (n 1) s2 χ 2 n 1,1 α/2 4.2 Hypotesprövning Testfunktion för μ För slumpvariabeln X gäller att μ x = μ och σ x = σ. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om n observationer. Vi ställer upp nollhypotesen H 0 : μ = μ 0. opulationen normalfördelad med σ känd. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen Z = X μ 0 σ/ n Med ändlighetskorrektion blir formeln Z = X μ 0 q σ 2 N n n N 1 I båda fallen är testfunktionen N (0, 1) då H 0 är sann. 18

20 opulationen normalfördelad med σ okänd. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen t = X μ 0 s/ n Med ändlighetskorrektion blir formeln t = X μ 0 q s 2 N n n N I båda fallen är testfunktionen t-fördelad med n 1 frihetsgrader då H 0 är sann. opulationens fördelning okänd men stickprovet stort (n >30). Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen Z = X μ 0 s/ n Med ändlighetskorrektion blir formeln Z = X μ 0 q s 2 N n n N I båda fallen är testfunktionen approximativt N (0, 1) då H 0 är sann Testfunktion för Hosenpopulationstuderarvientvåpunktsfördeladvariabel.opulationsproportionen för denna variabel är. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om n observationer och att np (1 p) 9. Vi ställer upp nollhypotesen H 0 : = 0. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen Z = p 0 q 0 (1 0 ) n som approximativt är N (0, 1) då H 0 är sann. Med ändlighetskorrektion används testfunktionen p 0 Z = q 0 (1 0 ) N n n N 1 som approximativt är N (0, 1) då H 0 är sann. 19

21 4.2.3 Testfunktion för μ 1 μ 2 Vi studerar slumpvariabeln X hos två populationer där populationernas medelvärden för denna variabel är μ 1 respektive μ 2 och deras standardavvikelser är σ 1 respektive σ 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om n 1 respektive n 2 observationer. Vi ställer upp nollhypotesen H 0 : μ 1 μ 2 = D 0. Vanligtvis är D 0 =0. opulationerna normalfördelade med σ 1 och σ 2 kända. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen Z = X 1 X 2 D q 0 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Med ändlighetskorrektion får testfunktionen utseendet X 1 X 2 D 0 Z = q σ 2 1 n 1 N1 n 1 + σ2 2 N 1 1 n 2 N2 n 2 N 2 1 I båda fallen är testfunktionen N (0, 1) då H 0 är sann. opulationerna normalfördelade med σ 1 och σ 2 okända men σ 1 = σ 2. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen t = X 1 X 2 D r 0 ³ s 2 1 p n n 2 Med ändlighetskorrektion får testfunktionen utseendet t = r s 2 p X 1 X 2 D 0 ³ 1 n 1 N1 n 1 N n 2 N2 n 2 N 2 I båda fallen är testfunktionen t-fördelad med n 1 + n 2 2 frihetsgrader då H 0 är sann. Den sammanslagna (polade) variansen ges av s 2 p = (n 1 1) s 2 1 +(n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 opulationerna normalfördelade med σ 1 och σ 2 okända men σ 1 6= σ 2. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen t = X 1 X 2 D q 0 20 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2

22 Med ändlighetskorrektion får testfunktionen utseendet t = X 1 X 2 D q 0 s 2 1 n 1 N1 n 1 N 1 + s2 2 n 2 N2 n 2 N 2 I båda fallen är testfunktionen t-fördelad med ν frihetsgrader då H 0 är sann. ν fås via formeln ν = ³ s n 1 + s2 2 n 2 ³ s 2 2 ³ 1 s 2 2 n 1 / (n1 1) + 2 n 2 / (n2 1) Betrakta de föregående punkterna. Då båda stickproven är stora (n 1,n 2 > 30) gäller i samtliga fall att testfunktionerna approximativt är N (0, 1) då H 0 är sann. Observera att detta gäller även då de bakomliggande populationerna inte är normalfördelade Testfunktion för 1 2 Hos två populationer studerar vi en tvåpunktsfördelad variabel. opulationsproportionerna för denna variabel är 1 respektive 2.Viförutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om n 1 respektive n 2 observationer där n 1 p 1 (1 p 1 ) 9 och n 2 p 2 (1 p 2 ) 9. Viställerupp nollhypotesen H 0 : 1 = 2. Utan ändlighetskorrektion används testfunktionen Z = p 1 p r 2 1 b 0 ³1 b 0 ³ n n 2 Med ändlighetskorrektion får testfunktionen utseendet Z = r b 0 p 1 p 2 ³1 b 0 ³ 1 n 1 N1 n 1 N n 2 N1 n 1 N 1 I båda fallen är testfunktionen approximativt N (0, 1) då H 0 är sann. I båda testfunktionerna används b 0 = n 1p 1 + n 2 p 2 n 1 + n 2 21

23 4.2.5 Att bestämma stickprovsstorlek utifrån villkor på α och β Antag att vi vill testa någon av mothypoteserna H 1 : > 0, < 0 och att vi för att göra detta använder signifikansnivån α. Vidare vill vi att testets styrka skall vara 1 β för = 1. För att kunna uppnå detta krav måste vi ha en stickprovsstorlek på åtminstone à z α p 0 (1 0 )+z β p! 2 1 (1 1 ) n = 1 0 med blir motsvarande stickprovsstorlek n = H 1 : 6= 0 à zα/2 p 0 (1 0 )+z β p 1 (1 1 ) 1 0 Antag att vi vill testa någon av mothypoteserna! 2 H 1 : μ>μ 0, μ < μ 0 och att vi för att göra detta använder signifikansnivån α. Vidare vill vi att testets styrka skall vara 1 β för μ = μ 1. För att kunna uppnå detta krav måste vi ha en stickprovsstorlek på åtminstone µ 2 (zα + z β ) bσ n = μ 1 μ 0 Då mothypotesen är tvåsidig, dvs H 1 : μ 6= μ 0 krävs stickprovsstorlek på åtminstone n = à zα/2 + z β bσ μ 1 μ 0 Observera att vi i båda fallen måste ha en uppfattning om storleken på σ för att kunna bestämma n. 22! 2

24 4.2.6 Testfunktion för σ 2 (och σ) För slumpvariabeln X gäller att σ X = σ. Vi förutsätter att X är normalfördelad och att vi har ett slumpmässigt stickprov om n observationer. Vi ställer upp nollhypotesen H 0 : σ 2 = σ 2 0 (eller H 0 : σ = σ 0 ). Som testfunktion används χ 2 (n 1) s2 = σ 2 0 som är χ 2 -fördelad med n 1 frihetsgrader då H 0 är sann Testfunktion för σ 2 1/σ 2 2 (och σ 1 /σ 2 ) Vi studerar slumpvariabeln X hos två populationer där populationernas standardavvikelser för denna variabel är σ 1 respektive σ 2. Vi förutsätter att X är normalfördelad i båda populationerna och att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om n 1 respektive n 2 observationer. Vi ställer upp nollhypotesen H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 (eller H 0 : σ 1 = σ 2 ). Som testfunktion används F = s2 1 s 2 2 som är F -fördelad med n 1 1 frihetsgrader i täljaren och n 2 1 frihetsgrader inämnarendåh 0 är sann. Eftersom tabellsamlingen enbart ger värden i F -fördelningens högra svans ska den större av varianserna alltid placeras i täljaren. 23

25 5 Stratifierat urval Vid stratifierat urval förutsätts den totala urvalsstorleken n vara uppdelad på K olika strata (delpopulationer), dvs n = n 1 + n n K. 5.1 Konfidensintervall för μ och Nμ = μ. Som skattning av populations- För slumpvariabeln X gäller att μ X medelvärdet μ används bμ = x st = N 1 N x 1 + N 2 N x N K N x K = Standardavvikelsen för denna skattning är v ux σ Xst = t K µ 2 Nj σ2 j Nj n j N n j N j 1 j=1 vilken i praktiken oftast måste skattas med medelfelet v ux bσ Xst = t K µ 2 Nj s2 j Nj n j N n j N j j=1 KX j=1 N j N x j Om samtliga (del)stickprov är någorlunda stora (n j > 30) ges ett approximativt konfidensintervall för μ via x st ± z α/2 bσ Xst Ett approximativt konfidensintervall för populationstotalen Nμ fås via Nx st ± z α/2 Nbσ Xst 5.2 Konfidensintervall för och N För en tvåpunktsfördelad variabel X gäller att μ X =. Som skattning av populationsandelen används b = p st = N 1 N p 1 + N 2 N p N K N p K = KX j=1 N j N p j 24

26 Medelfelet för denna skattning är v ux bσ pst = t K µ 2 Nj pj (1 p j ) Nj n j N n j N j j=1 Om samtliga (del)stickprov är någorlunda stora (n j p j (1 p j ) > 9) ges ett approximativt konfidensintervall för via p st ± z α/2 bσ pst Ett approximativt konfidensintervall för populationstotalen N fås via 5.3 Allokering Np st ± z α/2 Nbσ pst Hur ska stickprovet på bästa sätt fördelas mellan olika strata? Lika allokering. Samtliga urval görs lika stora, dvs n j = n/k. roportionellt stratifierat urval (SU). Metoden innebär att varje urval görs proportionellt mot stratumstorleken. n j = N j N n Optimal allokering. Metoden innebär att varje urval görs proportionellt både mot stratumstorleken och standardavvikelsen. Vid skattning av μ. n j = N j bσ j Nj bσ j n Vid skattning av. n j = N j b j ³ 1 b j Nj b j ³1 b j n 25

27 5.4 Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek Antag att vi vill bestämma nödvändig stickprovsstorlek så att ett konfidensintervall för μ eller får halva bredden B och konfidensgraden 1 α. Eftersom intervallets halva bredd är B = z α/2 bσ xst eller B = z α/2 bσ pst kan villkoren översättas till krav på skattningens varians bσ 2 x st eller bσ 2 p st. Detta är gjort i följande formler. Nödvändig stickprovsstorlek vid konfidensintervall för μ. roportionellt stratifierat urval (SU) n = Nj bσ 2 j Nbσ 2 x st + 1 N Nj bσ 2 j Optimal allokering. n = 1 ( N N j bσ j ) 2 Nbσ 2 x st + 1 Nj bσ 2 N j Nödvändig stickprovsstorlek vid konfidensintervall för. roportionellt stratifierat urval (SU) Optimal allokering. Nj b j ³1 b j n = Nbσ 2 p st + 1 Nj b N j ³1 j b n = µ r 1 Nj b N j ³1 b j 2 Nbσ 2 p st + 1 Nj b N j ³1 j b 26

28 6 Tabeller 6.1 Binomialfördelningen Låt X vara Bi(n,), dvs en binomialfördelad slumpvariabel med parametrar n och. Tabellen ger då de kumulativa sannolikheterna r(x x) för Då översätts problemet till att gälla den andel av populationen som saknar den aktuella egenskapen. opulationsandel n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0, ,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0, ,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0, ,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0, ,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0, ,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0, ,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0, ,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0, ,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0, ,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0, ,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0, ,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0, ,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0, ,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0, ,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0, ,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0, ,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0, ,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0, ,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0, ,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0, ,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0, ,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0, ,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0, ,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0, ,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0, ,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0, ,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0, ,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,

29 opulationsandel n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0, ,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0, ,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0, ,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0, ,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0, ,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0, ,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0, ,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0, ,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0, ,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0, ,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0, ,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0, ,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0, ,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0, ,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0, ,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0, ,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0, ,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0, ,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0, ,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0, ,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0, ,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0, ,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0, ,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,

30 opulationsandel n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0, ,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0, ,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0, ,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0, ,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0, ,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0, ,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0, ,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0, ,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0, ,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0, ,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0, ,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0, ,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0, ,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0, ,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0107 0, ,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0, ,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0, ,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0, ,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0, ,0000 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

31 opulationsandel n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0, ,8108 0,5147 0,2839 0,1407 0,0635 0,0261 0,0098 0,0033 0,0010 0, ,9571 0,7892 0,5614 0,3518 0,1971 0,0994 0,0451 0,0183 0,0066 0, ,9930 0,9316 0,7899 0,5981 0,4050 0,2459 0,1339 0,0651 0,0281 0, ,9991 0,9830 0,9209 0,7982 0,6302 0,4499 0,2892 0,1666 0,0853 0, ,9999 0,9967 0,9765 0,9183 0,8103 0,6598 0,4900 0,3288 0,1976 0, ,0000 0,9995 0,9944 0,9733 0,9204 0,8247 0,6881 0,5272 0,3660 0, ,0000 0,9999 0,9989 0,9930 0,9729 0,9256 0,8406 0,7161 0,5629 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9985 0,9925 0,9743 0,9329 0,8577 0,7441 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9771 0,9417 0,8759 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 0,9809 0,9514 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9851 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9965 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0, ,7922 0,4818 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0, ,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0, ,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0, ,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0, ,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0, ,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0, ,0000 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0, ,7735 0,4503 0,2241 0,0991 0,0395 0,0142 0,0046 0,0013 0,0003 0, ,9419 0,7338 0,4797 0,2713 0,1353 0,0600 0,0236 0,0082 0,0025 0, ,9891 0,9018 0,7202 0,5010 0,3057 0,1646 0,0783 0,0328 0,0120 0, ,9985 0,9718 0,8794 0,7164 0,5187 0,3327 0,1886 0,0942 0,0411 0, ,9998 0,9936 0,9581 0,8671 0,7175 0,5344 0,3550 0,2088 0,1077 0, ,0000 0,9988 0,9882 0,9487 0,8610 0,7217 0,5491 0,3743 0,2258 0, ,0000 0,9998 0,9973 0,9837 0,9431 0,8593 0,7283 0,5634 0,3915 0, ,0000 1,0000 0,9995 0,9957 0,9807 0,9404 0,8609 0,7368 0,5778 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9946 0,9790 0,9403 0,8653 0,7473 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9788 0,9424 0,8720 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9938 0,9797 0,9463 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9986 0,9942 0,9817 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

32 opulationsandel n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0, ,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0, ,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0, ,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0, ,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0, ,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0, ,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0, ,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0, ,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0, ,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0, ,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0, ,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0, ,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0, ,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0, ,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0, ,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0, ,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

33 6.2 Normalfördelningen A. Låt Z vara N(0,1). För givet z-värde ger tabellen sannolikheten r(z z). r(z < z) z z

34 B. Låt Z vara N(0,1). För given sannolikhet (%) ger tabellen associerat z-värde. Given sannolikhet (%) z (%) z (%) z 50 0,0000 2,3 1, ,1257 2,2 2, ,2533 2,1 2, ,3853 2,0 2, ,5244 1,9 2, ,6745 1,8 2, ,8416 1,7 2, ,0364 1,6 2, ,1750 1,5 2, ,2816 1,4 2, ,3408 1,3 2, ,4051 1,2 2, ,4758 1,1 2, ,5548 1,0 2, ,6449 0,9 2,3656 4,8 1,6646 0,8 2,4089 4,6 1,6849 0,7 2,4573 4,4 1,7060 0,6 2,5121 4,2 1,7279 0,5 2,5758 4,0 1,7507 0,4 2,6521 3,8 1,7744 0,3 2,7478 3,6 1,7991 0,2 2,8782 3,4 1,8250 0,1 3,0903 3,2 1,8522 0,05 3,2906 3,0 1,8808 0,01 3,7191 2,9 1,8957 0,005 3,8907 2,8 1,9110 0,001 4,2650 2,7 1,9268 0,0005 4,4174 2,6 1,9431 0,0001 4,7537 2,5 1,9600 0, ,8919 2,4 1,9774 0, ,

35 6.3 t-fördelningen Tabellen ger det t-värde som förknippas med högersvanssannolikheter. Given sannolikhet t Sannolikhet i den högra svansen fg

36 6.4 χ 2 -fördelningen Tabellen ger det χ 2 -värde som förknippas med högersvanssannolikheter. Given sannolikhet χ 2 Sannolikhet i den högra svansen fg 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0, ,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7, ,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10, ,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12, ,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14, ,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 15,086 16, ,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18, ,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20, ,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21, ,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23, ,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25, ,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26, ,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28, ,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29, ,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31, ,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32, ,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34, ,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35, ,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38, ,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41, ,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42, ,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44, ,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45, ,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46, ,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48, ,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49, ,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50, ,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52, ,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53, ,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66, ,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79, ,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91, ,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95, , , ,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96, , , , , ,196 61,754 65,647 69,126 73, , , , , , ,328 70,065 74,222 77,929 82, , , , , , ,852 86,923 91,573 95, , , , , , ,648 35

37 6.5 F-fördelningen Tabellen ger det F-värde som förknippas med högersvanssannolikheter. v₁ betecknar antal frihetsgrader i täljaren och v₂ antal frihetsgrader i nämnaren. Given sannolikhet F v 2 p , , , ,05 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 0,025 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 0,01 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 3 0,05 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 0,025 17,4 16,0 15,4 15,1 14,9 14,7 14,6 14,5 14,5 14,4 0,01 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 4 0,05 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 0,025 12,2 10,6 10,0 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 0,01 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 5 0,05 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 0,025 10,0 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 0,01 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 6 0,05 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 0,01 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 0,05 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 0,01 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 0,05 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 0,025 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 0,01 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 9 0,05 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 0,01 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 v 1 36