Industriell matematik och statistik, LMA /14

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14"

Anna Larsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Industriell matematik och statistik, LMA /14 14 Februari 2014

2 Disposition ion

3 Funktioner av stokastiska variabler E[aX + b] = ae[x ] + b Var(aX + b) = a 2 Var(X ) E[g(X { )] = x i Ω g(x i)p(x = x i ), g(x)f (x)dx, X diskret s.v. X kontinuerlig s.v. Om P(X x Y y) = P(X x)p(y y), x, y så kallas X och Y oberoende E[X + Y ] = E[X ] + E[Y ] Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) om X och Y oberoende

4 Funktioner av stokastiska variabler Om X i Bin(n i, p) samt alla X i oberoende då gäller att n n X i Bin( n i, p) Om X i Po(λ i ) samt alla X i oberoende då gäller att n n X i Po( λ i ) Om X i N(µ i, σ i ) samt alla X i oberoende då gäller att n n X i N( µ i, n σi 2)

samt alla X i oberoende då gäller att n n X i Po( λ i ) Om X i N(µ

5 Om X N(µ, σ), vad har Z = X µ σ för fördelning? Kom ihåg; E[aX + b] = ae[x ] + b Var(aX + b) = a 2 Var(X ) Z = X µ σ N(0, 1)

6 DeMoivre-Laplace gränsvärdessats Antag att X 1, X 2,..., X n är n stycken oberoende och likafördelade stokastiska variabler med väntevärde µ och standardavvikelse σ. Då gäller att: lim P( n n X i nµ σ x) = P(Z x). n

7 Summan av 1 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler Summan av 2 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler f Σ Xi (x) f Σ Xi (x) x Summan av 3 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler x Summan av 5 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler f Σ Xi (x) f Σ Xi (x) x x Figur: Fördelning för summor av oberoende rektangelfördelade slumpvariabler

rektangelfã rdelade slumpvariabler x Summan av 5 oberoende rektangelfã rdelade

8 Summan av 1 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler Summan av 3 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler f Σ Xi (x) f Σ Xi (x) x Summan av 7 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler x Summan av 12 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler f Σ Xi (x) f Σ Xi (x) x x Figur: Fördelning för summor av oberoende exponentialfördelade slumpvariabler

rektangelfã rdelade slumpvariabler x Summan av 12 oberoende rektangelfã rdelade

9 Summan av 1 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler Summan av 3 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler P(Σ X i =k) P(Σ X i =k) k Summan av 7 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler k Summan av 40 oberoende rektangelfã rdelade slumpvariabler P(Σ X i =k) P(Σ X i =k) k k Figur: Fördelning för summor av oberoende Poissonfördelade slumpvariabler

rektangelfã rdelade slumpvariabler k Summan av 40 oberoende rektangelfã rdelade

10 DeMoivre-Laplace gränsvärdessats Antag att X 1, X 2,..., X n är n stycken oberoende och likafördelade stokastiska variabler med väntevärde µ och standardavvikelse σ. Då gäller att: lim P( n n X i nµ σ n x) = P(Z x). P(Z x) = x e 1 2 ξ2 2π dξ (beräknas ur tabell) (P(Z x) skrivs ibland Φ(x)) dvs. n X i approximativt N(nµ, σ n) fördelad för stora n för vilken fördelning som helst på X i!

standardavvikelse σ. Då gäller att: lim P( n n X i nµ σ n x) = P(Z x).

11 Tärningsumma Ex. X i är utfall tärningsögon för tärningskast i. µ = E[X i ] = 3.5 σ = Var(X i ) = E[Xi 2 ] µ 2 = = Då gäller att n X i N(3.5n, n) för stora n. Chansen att summan tärningsögon av 100 tärningskast är mindre än 300 är P( n 100 X i < 300) = P( X i 100µ < µ) 100 = P( X i 100µ σ µ < 100 σ ) 100 = P(Z < ) se i tabell =

12 Fördelning för medelvärde Denition av medelvärde, Xn = 1 n n X i.om µ = E[X i ] σ 2 = Var(X i ) då gäller att; E[ Xn ] = 1 n n E[X i] = µ Var( Xn ) = ( 1 n )2 n Var(X i) = σ2 n P( X n µ σ 2 n x) = 1 n n P( i µ σ/ x) n = n P( i nµ σ x) n P(Z < x) Så X µ σ/ n är approximativt N(0, 1) dvs X är approximativt N(µ, σ n )

Xn ) = ( 1 n )2 n Var(X i) = σ2 n P( X n µ σ 2 n x) = 1 n n P( i µ σ/ x) n = n

13 Medel av tärningsumma Ex. X i är utfall av tärningsögon för tärningskast i. µ = 3.5, σ = X n är approximativt N(3.5, n ) för stora n. Chansen att medelvärdet av 100 tärningskast är mindre än 3 är P( X100 < 3) = se i tabell =

5, σ = 1.707... X n är approximativt N(3.5, 1.

14 Normalapproximation av binomialfördelningen Antag att vi skall beräkna P(X x) för X Bin(n, p) och något stort n. Vi vet E[X ] = np Var(X ) = np(1 p) Notera att X = n X i Genom centrala gränsvärdessatsen gäller att om n tillräckligt stort att X np P( ) P(Z x) np(1 p) dvs. X approximativt N(np, np(1 p))-fördelad X np P(X x) = P( np(1 p) P(Z x np np(1 p) ) x np np(1 p) )

Vi vet E[X ] = np Var(X ) = np(1 p) Notera att X = n X i Genom centrala gränsvärdessatsen

15 Casino X i = utfall i roulettespel i. X i = 1 om vinst i spel i och X i = 0 annars. W n monetära utfall för casinot av n spel. W n = ( n X i 100n) E[W n ] = 100 n 37 Var(W n ) = n 1 37 (1 1 ) = n P(W n < 0) = P(Z < E[W n] Var(W n ) ) 100n = P(Z < n ) n = P(Z < ) 6 3

16 Andelsskattning X =antal lyckade utfall av n oberoende försök. X Bin(n, p) men p är okänd. Önskar skatta sannolikheten att ett enskilt försök lyckas. X är approx N(np, np(1 p))-fördelad. Låt ˆp = X /n då gäller att p(1 p) ˆp N(p, )-fördelad n

Önskar skatta sannolikheten att ett enskilt försök lyckas.

17 Om X diskret s.v. så gäller att P(X < x) P(X x), för något x Normalapproximera med halvkorrektion (kontinuitetskorrektion); om x = 12 så använd x= 12.5.

Relevanta dokument

Summor av slumpvariabler

1/22 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 8/2 2013 2/22 Dagens föreläsning Väntevärde och varians Vanliga kontinuerliga fördelningar Parkeringsplatsproblemet