Parade och oparade test
|
|
- Björn Strömberg
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University
2 Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett visst värde Parvisa observationer Före och Efter inom samma individ Gruppvisa jämförelser 2 oberoende grupper Mellan 2 eller fler variabler Regression Analys av frekvenser och proportioner - χ 2 -test Mellan 3 eller fler observationstillfällen eller mellan 3 eller flera olika grupper ANOVA (variansanalys) 2
3 Parvisa observationer Det finns två typfall - Före och efter inom samma individ - Matchande kontroller där varje individ i stickprovet har en tvilling I hypotesprövningen undersöks differensen mellan de två beroende variablerna - Före - Efter - Stickprovs-individ - tvilling 3
4 Hypotesprövning: Parvisa observationer Parametrisk analys Parat Z-test - Används då n är stort (σ okänd), (centrala gränsvärdessatsen) - Används då σ är känd Parat t-test OBS: n=antalet par - Används då n är litet (σ okänd) men normalfördelning kan antas Icke-parametrisk analys Wilcoxons tecken-rangtest - Används då n är litet och normalfördelning ej kan antas 4
5 Hypotesprövning: Parade värden Definiera och beräkna teststorhet Parametrisk analys Vi använder antingen Z eller t : Z = X μ σ t n 1 = X μ σ H 0 X μ δ 0 Medelvärdet av de parvisa skillnaderna s = 1 n 1 n i σ s n i 2 Parvisa skillnader Genomsnittlig skillnad i hela populationen Z = s n t n 1 = s n 5
6 Hypotesprövning: Parade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? Ett nytt antiviralt preparat ges till 7 patienter med Hepatit A Blodprover tas dag 1 och dag 5 Viruskoncentrationen i proverna analyseras Viruskoncentrationerna kan antas vara normalfördelade Parade värden, n litet men normalfördelning Parat 2-sidigt t-test! 6
7 Hypotesprövning: Parade värden Parametrisk analys Viruskoncentration Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? H 0 : δ = 0, ingen genomsnittlig skillnad i populationen H 1 : δ 0 ID [Virus] D1 [Virus] D Dag 1 Dag 5 7
8 Hypotesprövning: Parade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? s = 1 n 1 n i=1 i 2 t n 1 = s n Vi behöver beräkna i,, och s för att beräkna t-värdet 8
9 Hypotesprövning: Parade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? ID [Virus] D1 [Virus] D5 i = 255 n i=1 i (-314) 2 (-115) 2 (-231) (-203) 2 i 2 =
10 Hypotesprövning: Parade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? = 255 n = 7 H 0 : H 1 : s = Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI): ±2.45 t n 1 =
11 Konfidensintervall: Parvisa observationer Precis som för beräkningar av populationsmedelvärden så kan vi bestämma ett konfidensintervall för medelvärdet av de parvisa skillnaderna ( ). Om konfidensintervallet inkluderar värdet för H 0 (d.v.s. 0) så kan vi inte säga att det finns en statistisk skillnad på den aktuella signifikansnivån. 11
12 Konfidensintervall: Parade värden Parametrisk analys (Z) Det sanna medelvärdet av skillnaderna i populationen ligger med 95% sannolikhet inom gränserna: δ = ± Z 95% = ± 1.96 s s n n 12
13 Konfidensintervall: Parade värden Parametrisk analys (t) Det sanna medelvärdet av skillnaderna i populationen ligger med 95% sannolikhet inom gränserna: δ = ± t 95%,n 1 s n 13
14 Konfidensintervall: Parade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? = 255 n = 7 s = 298 δ = ± t 95%,n 1 s n Lägre gräns - Lower 95%CI = Övre gräns - Upper 95%CI = 14
15 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Wilcoxons tecken-rangtest Bygger på rangordning av differenserna ( i ) Förutsätter inte en viss fördelning Okänsligt för extremvärden 15
16 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? Samma exempel som tidigare men Viruskoncentrationerna kan INTE antas vara normalfördelade Parade värden, n litet och normalfördelning kan INTE antas 2-sidigt Wilcoxons tecken-rangtest! 16
17 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? H 0 : Ingen skillnad i viruskoncentration H 1 : Det finns en skillnad (2-sidigt test) Tillvägagångssätt: 1. Rangordna differenserna ( i ) utan att ta hänsyn till differensernas tecken 2. Summera rangtalen för de positiva och de negativa differenserna var för sig 3. Bedöm sannolikheten att observera de erhållna (eller mer extrema) differenserna om H 0 är sann 17
18 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? ID [Virus] D1 [Virus] D5 i Rangtal T + = T =
19 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? T + = T = Kontrollräkning: T + + T = n n =
20 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? Det kritiska värdet vid ett 2-sidigt Wilkoxons teckenrangtest bestäms utifrån en tabell och om den lägsta rangsumman underskrider eller är lika med detta värde så förkastas H 0! T + : T - : T α 2 T α 2 Signifikansnivån α
21 Hypotesprövning: Parade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad mellan viruskoncentrationerna dag 1 och dag 5? H 0 : Ingen skillnad i viruskoncentration H 1 : Det finns en skillnad (2-sidigt test) Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (n=7): T = 2 T =
22 Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett visst värde Parvisa observationer Före och Efter inom samma individ Gruppvisa jämförelser 2 oberoende grupper Mellan 2 eller fler variabler Regression Analys av frekvenser och proportioner - χ 2 -test Mellan 3 eller fler observationstillfällen eller mellan 3 eller flera olika grupper ANOVA (variansanalys) 22
23 Gruppvisa jämförelser När vi inte har parvisa observationer så kan vi istället jämföra medelvärdena från två oberoende stickprov (populationer) - Effekten av läkemedel jämfört med placebo - Effekten av läkemedel x jämfört med läkemedel y I hypotesprövningen undersöks differensen mellan de två oberoende variablerna - Läkemedel v.s. Placebo - x v.s. y 23
24 Gruppvisa jämförelser Effekten har mätts efter två olika behandlingar (parallellgruppsstudie) och behandlingarna har följande distributioner från vilka vi erhållit ett antal stickprov: μ a μ b Variabelvärde Behandling A: Medelvärde μ a, standardavvikelse σ a Behandling B: Medelvärde μ b, standardavvikelse σ b
25 Gruppvisa jämförelser Hur gör vi en objektiv bedömning av skillnaden och hur objektiva ska vi vara? μ a μ b Variabelvärde
26 Hypotesprövning: Gruppvisa jämförelser / Oparade värden Parametrisk analys Z-test (2 prov) - Används då n a och n b är stora (σ okänd), (centrala gränsvärdessatsen) - Används då σ är känd t-test (2 prov) - Används då n a och n b är små (σ okänd) men normalfördelning kan antas Icke-parametrisk analys Wilcoxons rangsummetest OBS: n a och n b måste inte vara lika! OBS: s a och s b är två skattningar av samma σ! - Används då n a och n b är små och normalfördelning ej kan antas 26
27 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Definiera och beräkna teststorhet Skillnaden i stickprovsmedelvärde för grupp a och grupp b Vi använder antingen Z eller t : Z = X μ σ X x a x b σ s a 2 + s 2 b n a n b t n 1 = σ X μ σ s 2 pool μ μ a μ b 1 n a + 1 n b Skillnaden i populationsmedelvärde för grupp a och grupp b 0 H 0 Z = x a x b s 2 a + s t b 2 na+nb 2 = n a n b x a x b 2 1 s pool + 1 n a n b
28 Hypotesprövning: Oparade värden Definiera och beräkna teststorhet Parametrisk analys De båda stickprovsstandardavvikelserna (s a och s b ) är olika noggranna skattningar av populationsstandardavvikelsen (σ) Ju större stickprov desto säkrare skattning s pool är ett vägt medelvärde av s a och s b s pool = s a 2 n a 1 + s b 2 n b 1 n a 1 + n b 1 28
29 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? 16 patienter randomiseras till behandling med läkemedel A eller läkemedel B mot Hepatit A 2 patienter med läkemedel B drar tillbaka sin medverkan i studien av anledningar som inte har med läkemedel B att göra 29
30 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? Blodprover tas dag 1 och dag 5 Viruskoncentrationen i proverna analyseras och skillnaden i koncentration mellan dag 1 och dag 5 beräknas Viruskoncentrationerna kan antas vara normalfördelade Oparade värden, n a och n b små, normalfördelning kan antas Oparat 2-sidigt t-test! 30
31 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? Grupp A a = 2066 virus/l s a = 1180 virus/l Grupp B n a = 8 n b = 6 H 0 : H 1 : b = 664 virus/l s b = 297 virus/l Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI): ±2.18 används här som notation istället för x eftersom vi jämför en sänkning av viruskoncentrationer i blodet. Dock används formlerna på samma sätt som om x hade använts!
32 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? t na +n b 2 = a b s pool 2 1 n a + 1 n b 2 Vi behöver beräkna s pool för att kunna beräkna t-värdet 32
33 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? 2 s pool = s a 2 n a 1 + s 2 b n b 1 n a 1 + n b 1 2 s pool = 33
34 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? t na +n b 2 = a b s pool 2 1 n a + 1 n b 34
35 Hypotesprövning: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? Kritiskt värde för 5% signifikansnivå (95% CI): ±2.18
36 Konfidensintervall: Gruppvisa jämförelser Ett konfidensintervall för skillnaden mellan grupperna kan beräknas. Om konfidensintervallet inkluderar värdet för H 0 (d.v.s. 0) så kan vi inte säga att det finns en statistisk skillnad på den aktuella signifikansnivån. 36
37 Konfidensintervall: Oparade värden Parametrisk analys (Z) Den sanna skillnaden mellan gruppernas medelvärden ligger med 95% sannolikhet inom gränserna: μ a μ b = x a x b ± Z 95% s a 2 2 n a + s b n b = x a x b ± 1.96 s a 2 2 n a + s b n b 37
38 Konfidensintervall: Oparade värden Parametrisk analys (t) Den sanna skillnaden mellan gruppernas medelvärden ligger med 95% sannolikhet inom gränserna: μ a μ b = x a x b ± t 95%,na +n b 2 s pool 2 1 n a + 1 n b 38
39 Konfidensintervall: Oparade värden Parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? Grupp A a = 2066 virus/l s a = 1180 virus/l Grupp B n a = 8 n b = 6 2 s pool = b = 664 virus/l s b = 297 virus/l a b = Lägre gräns - Lower 95%CI = Övre gräns - Upper 95%CI =
40 Hypotesprövning: Oparade värden Icke-parametrisk analys Wilcoxons rangsummetest Bygger på rangordning av mätdata Förutsätter inte en viss fördelning Okänsligt för extremvärden Wilcoxons rangsummetest kallas ibland även för Mann-Whitneys U-test! 40
41 Hypotesprövning: Oparade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? Samma exempel som tidigare men Viruskoncentrationerna kan INTE antas vara normalfördelade Oparade värden, n a och n b små, normalfördelning kan INTE antas 2-sidigt Wilcoxons rangsummetest! 41
42 Hypotesprövning: Oparade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? H 0 : Ingen skillnad mellan grupperna (läkemedlen) H 1 : Det finns en skillnad (2-sidigt test) Tillvägagångssätt: 1. Rangordna alla observerade värden, från det lägsta till det högsta 2. Summera rangtalen för de båda stickproven var för sig 3. Rangsumman för det mindre stickprovet jämförs med motsvarande tabellvärden och om rangsumman är tillräckligt låg eller tillräckligt hög så förkastas H 0 42
43 Hypotesprövning: Oparade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? ID i A/B Rangtal ID i A/B Rangtal A B A A B B A B B A B A A A 12 Rangsumman för den minsta gruppen (B): T B =
44 Hypotesprövning: Oparade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? De kritiska värdena vid ett 2-sidigt Wilkoxons rangsummetest bestäms utifrån en tabell och om rangsumman för den minsta gruppen faller utanför intervallet som bildas av de kritiska värdena (eller exakt på intervallgränserna) så förkastas H 0!
45 Hypotesprövning: Oparade värden Icke-parametrisk analys Är det någon skillnad i effekt mellan läkemedel A och läkemedel B? H 0 : Ingen skillnad mellan grupperna (läkemedlen) H 1 : Det finns en skillnad (2-sidigt test) Kritiska värden för 5% signifikansnivå (n a = 8, n b = 6): T 0.05 = T B =
46 Sammanfattning Parametrisk vs. icke-parametrisk analys Parametrisk analys + Kvantifierar skillnader och spridningar Icke-parametrisk analys + Inga antaganden om fördelningen (gäller lika bra för alla fördelningar) + Ordinaldata (ordningstal) - Ej robust vid små n (och ej normalfördelning) - Kan missa små skillnader (lägre teststyrka) 46
47 Sammanfattning Parametrisk vs. icke-parametrisk analys Parametrisk analys Små n: Om normalfördelning kan antas Stora n: OK (om fördelningen ej är alltför skev - i så fall testa att transformera) Icke-parametrisk analys Om fördelningen är okänd (exempelvis p.g.a. litet n) Om fördelningen är skev Om många extrema värden (så kallade outliers ) finns Aldrig om n<4 47
48 Sammanfattning Hypotesprövning: Parade och oparade test Parvisa observationer Parametrisk analys Parat t-test Parat Z-test Konfidensintervall Icke-parametrisk analys Wilcoxons teckenrangtest Oberoende grupper Parametrisk analys Oparat t-test Oparat Z-test Konfidensintervall Icke-parametrisk analys Wilcoxons rangsummetest 48
Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University
Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att
Läs merHur man tolkar statistiska resultat
Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?
Läs merStudietyper, inferens och konfidensintervall
Studietyper, inferens och konfidensintervall Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Studietyper Experimentella studier Innebär
Läs mera) Facit till räkneseminarium 3
3.1 Fig 1. Sammanlagt 30 individer rekryteras till studien. Individerna randomiseras till en av de fyra studiearmarna (1: 500 mg artemisinin i kombination med piperakin, 2: 100 mg AMP1050 i kombination
Läs merAnalys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken
Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen
Läs merGamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1
016-10-10 Gamla tentor - 016 1 1 (forts) ( x ) x1 x ) ( 1 x 1 016-10-10. En liten klinisk ministudie genomförs för att undersöka huruvida kostomläggning och ett träningsprogram lyckas sänka blodsockernivån
Läs merFöreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar
Läs mer7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test
7.3.3 Nonparametric Mann-Whitney test Vi har sett hur man kan testa om två populationer har samma väntevärde (H 0 : μ 1 = μ 2 ) med t-test (two-sample). Vad gör man om data inte är normalfördelat? Om vi
Läs merBild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II
Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala
Läs merF22, Icke-parametriska metoder.
Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merFöreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population
Föreläsning 5 Kapitel 6, sid 153-185 Inferens om en population 2 Agenda Statistisk inferens om populationsmedelvärde Statistisk inferens om populationsandel Punktskattning Konfidensintervall Hypotesprövning
Läs merFöreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är
Läs merDeskriptiv statistik. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University
Deskriptiv statistik Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Deskriptiv statistik Tabeller Figurer Sammanfattande mått Vilken
Läs merMedicinsk statistik II
Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning
Läs merFÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik
Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende
Läs mer2. Test av hypotes rörande medianen i en population.
Stat. teori gk, ht 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 15.1, 15.3-15.4) Ordlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentest Teckentestet är formellt ingenting
Läs merDatorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se
Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras Föreläsning 10 Inferens
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall
Läs merHypotestestning och repetition
Hypotestestning och repetition Statistisk inferens Vid inferens använder man urvalet för att uttala sig om populationen Centralmått Medelvärde: x= Σx i / n Median Typvärde Spridningsmått Används för att
Läs mer, s a. , s b. personer från Alingsås och n b
Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merInnehåll. Steg 4 Statistisk analys. Skillnader mellan grupper. Skillnader inom samma grupp över tid. Samband mellan variabler
Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik III. Statistisk inferens Hypotesprövnig steg 1 5 Steg 4 Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser 1 Hypotesprövning
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merBetrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa.
Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. Anta att budgeten för utbytet är beräknad på att kopparhalten ligger på 70 %. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten
Läs merAnalytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.
Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD Mattias.nilsson@ki.se Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation Analytisk statistik
Läs merFöreläsning 6. Kapitel 7, sid Jämförelse av två populationer
Föreläsning 6 Kapitel 7, sid 186-209 Jämförelse av två populationer 2 Agenda Jämförelse av medelvärden för två populationer Jämförelse av populationsandelar för två populationer Konfidensintervall och
Läs merVi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.
P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har
Läs merπ = proportionen plustecken i populationen. Det numeriska värdet på π är okänt.
Stat. teori gk, vt 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 13.1, 13.3-13.4) Or dlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Teckentest Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentestet är formellt ingenting
Läs merStatistik och epidemiologi T5
Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Dagens föreläsning Fördjupning av hypotesprövning Repetition av p-värde och konfidensintervall Tester för ytterligare situationer
Läs merIntroduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab
Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts
Läs merFöreläsning 6. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 6 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Analysis of Variance (ANOVA) (GB s. 202-218, BB s. 190-206) ANOVA är en metod som används när man ska undersöka skillnader mellan flera olika
Läs merFöreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 3 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Inferens om två populationer (kap 8.1 8.) o Parvisa observationer (kap 9.1 9.) o p-värde (kap 6.3) o Feltyper, styrka, stickprovsstorlek
Läs merHur skriver man statistikavsnittet i en ansökan?
Hur skriver man statistikavsnittet i en ansökan? Val av metod och stickprovsdimensionering Registercentrum Norr http://www.registercentrumnorr.vll.se/ statistik.rcnorr@vll.se 11 Oktober, 2018 1 / 52 Det
Läs merMedicinsk statistik II
Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Susann Ullén FoU-centrum Skåne Skånes Universitetssjukhus Hypotesprövning Man sätter upp en nollhypotes (H0) och en mothypotes (H1) H0: Ingen effekt H1:
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merFöreläsning 5 och 6.
Föreläsning 5 och 6. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik för STS vt 2014 Icke-parametriska metoder Föreläsningarnas innehåll: Allmänt, icke-parametrisk
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merFråga nr a b c d 2 D
Fråga nr a b c d 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 a) Första kvartilen: 33 b) Medelvärde: 39,29 c) Standardavvikelse: 7,80 d) Pearson measure of skewness 1,07 Beräkningar: L q1 = (7 + 1) 1 4 = 2 29-10 105,8841
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs mer1. a) F4 (känsla av meningslöshet) F5 (okontrollerade känlsoyttringar)
1. a) F1(Sysselsättning) F2 (Ålder) F3 (Kön) F4 (känsla av meningslöshet) F5 (okontrollerade känlsoyttringar) nominalskala kvotskala nominalskala ordinalskala ordinalskala b) En möjlighet är att beräkna
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs mer1b) Om denna överstiger det kritiska värdet förkastas nollhypotesen. 1c)
1a) F1 och F3 nominalskala, enbart olika saker F kvotskala, Riktiga siffror, 0 betyder att man inte finns och avståndet mellan två värden är exakt definierat F4 och F5 ordinalskala, vi kan ordna svaren
Läs merStandardfel (Standard error, SE) SD eller SE. Intervallskattning MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1
Standardfel (Standard error, SE) Anta vi har ett stickprov X 1,,X n där varje X i has medel = µ och std.dev = σ. Då är Det sista kalls standardfel (eng:standard error of mean (SEM) eller (SE) och skattas
Läs merAnalytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor
Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp
Läs merSTATISTISK POWER OCH STICKPROVSDIMENSIONERING
STATISTISK POWER OCH STICKPROVSDIMENSIONERING Teori UPPLÄGG Gemensam diskussion Individuella frågor Efter detta pass hoppas jag att: ni ska veta vad man ska tänka på vilka verktyg som finns vilket stöd
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merInnehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E
Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik (sid 53 i E) III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser 1 II. Beskrivande statistik,
Läs merLaboration 2. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer
Laboration 2 i 5B52, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Namn: Elevnummer: Laborationen syftar till ett ge information och träning i Excels rutiner för statistisk slutledning, konfidensintervall,
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig
Läs merAnalytisk statistik. 1. Estimering. Statistisk interferens. Statistisk interferens
Analytisk statistik Tony Pansell, Leg optiker Docent, Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från den insamlade datan. Två metoder:. att generalisera från en mindre grupp mot en större
Läs merIdag. EDAA35, föreläsning 4. Analys. Exempel: exekveringstid. Vanliga steg i analysfasen av ett experiment
EDAA35, föreläsning 4 KVANTITATIV ANALYS Idag Kvantitativ analys Kamratgranskning Analys Exempel: exekveringstid Hur analysera data? Hur vet man om man kan lita på skillnader och mönster som man observerar?
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning
Läs meren observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.
February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 6 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Kort om projektet o Hypotesprövning Populationsandel Populationsmedelvärde p-värdet 2 Kort om projektet Syftet med projektet i denna kurs är att
Läs merVarför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov
Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och
Läs merStatistik och epidemiologi T5
Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Biostatistik kursmål Dra slutsatser utifrån basala statistiska begrepp och analyser och själva kunna använda sådana metoder.
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-01 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merLö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp
Sid 1 (9) Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Uppgift 1 a) Nämn en kontinuerlig och en diskret fördelning. Exempelvis normalfördelningen respektive
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merIdag. EDAA35, föreläsning 4. Analys. Kursmeddelanden. Vanliga steg i analysfasen av ett experiment. Exempel: exekveringstid
EDAA35, föreläsning 4 KVANTITATIV ANALYS Idag Kvantitativ analys Slump och slumptal Analys Boxplot Konfidensintervall Experiment och test Kamratgranskning Kursmeddelanden Analys Om laborationer: alla labbar
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merKapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 7 Samplingfördelningar och Centrala gränsvärdessatsen 1 Statistikor och samplingfördelningar I Kapitel 6 studerades metoder för att bestämma sannolikhetsfördelningen
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merST-fredag i Biostatistik & Epidemiologi När ska jag använda vilket test?
ST-fredag i Biostatistik & Epidemiologi När ska jag använda vilket test? Mikael Eriksson Specialistläkare CIVA Karolinska Universitetssjukhuset, Solna Grund för hypotestestning 1. Definiera noll- och alternativhypotes,
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2012-03-16 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade
Läs merEnvägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper
Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merEXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319)
ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110319) Examinationen består av 10 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merMedicinsk statistik I
Medicinsk statistik I Läkarprogrammet T5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, Doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Medicinsk statistik VT-2013 Tre stycken
Läs merTabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer
Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015 Innehåll
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merFöreläsning 6: Hypotestester (forts.)
Föreläsning 6: Hpotestester (forts.) Johan Thim (johan.thim@liu.se) 4 november 018 Vi fortsätter nu ekursionen i hpotesernas förlovade land. Fokus kommer vara på den vanligaste tpen av hpotestester, nämligen
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merTENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL
TENTAMEN I SF950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 010 KL 14.00 19.00 Examinator : Gunnar Englund, tel. 790 7416, epost: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merStatistisk försöksplanering
Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merEXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204)
ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) Examinationen består av 11 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merLYCKA TILL! Omtentamen i Statistik A1, Institutionen för Farmaceutisk Biovetenskap Institutionen för Farmaci
Institutionen för Farmaceutisk Biovetenskap Institutionen för Farmaci Omtentamen i Statistik A1, 2013 08 15 Skrivtid: 3 timmar (08:00 11:00) Ansvarig lärare: Åsa Johansson poäng = 45 p Betyg (U/G/VG):
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN
Läs merIntroduktion och laboration : Minitab
Robert Parviainen, Tel. 471 31 86 E-post: robert@math.uu.se Matematisk Statistik IT VT 2004 Introduktion och laboration : Minitab Den här laborationen går ut på att stifta bekantskap med ett statistiskt
Läs merObligatorisk uppgift, del 1
Obligatorisk uppgift, del 1 Uppgiften består av tre sannolikhetsproblem, som skall lösas med hjälp av miniräknare och tabellsamling. 1. Vid tillverkning av en produkt är felfrekvensen 0,02, dvs sannolikheten
Läs mer7.5 Experiment with a single factor having more than two levels
7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan
Läs merResidualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen
Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då
Läs merFöreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Binomialfördelning (kap 24.1) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs mer