TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Saturday 18th August,

Transkript

1 Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Saturday 18th August, The examination consists of 7 questions, each worth 4 points Answer six questions; the six best scores will be counted (You may attempt all 7; the six best scores will be counted) The borders will be approximately: 20-24: 5/A, : 4/B, : 3/C, 0-10: U/FX Permitted: A calculator with empty memory jour: Jörg-Uwe Löbus x1474 The `Formelsamling i matematisk statistik' published by MAI The relevant parts of the formula and table collection found on the course home page are also attached at the back of the examination paper Four hours 1 (a) Let A and B be two events satisfying p(a) = 06, p(b) = 07 and p(a B) = 08 i Compute p(a B) ii Are A and B independent? (1p) (1p) (b) A deck of cards is well shued and dealt into four hands, each containing 13 cards Compute the probability that each hand contains one ace 2 (a) If a house is burgled during the night, the burglar alarm rings with probability 099 If there is no burglary, it rings with probability 002 The probability of a burglary on any given night is 0001 One night, the alarm rings What is the (conditional) probability that a burglary has taken place? (b) You come to a bus stop at time point 0 At the end of every minute, a bus comes with probability p, or no busses come with probability 1 p When a bus comes, you step on board with probability q Let T = number of minutes you stand at the bus stop Let N denote the number of busses that come while you wait at the bus stop Compute p N,T (n, t), the joint probability function for (N, T ) 3 (a) Let X and Y be discrete random variables with joint probability function { 001 (x, y) : x {1, 2,, 10} and y {1, 2,, 10} p X,Y (x, y) = 0 otherwise What is the probability function for V = max(x, Y )? (b) Let X be a discrete random variable, which takes values in {0, 1, 2, } Show that E[X] = p(x k) k=1 1

2 4 (a) From a batch of 2000 manufactured items, you choose 100 at random and adjust the manufacturing process if more than k are defective Compute the smallest value of k for which it holds that p(adjust the process) < 005 if the proportion of defective items in the batch is at most 004 (b) A prisoner is trapped in a cell with three unlocked doors The rst leads to a tunnel that returns him to his cell after two day travelling The second returns the prisoner to his cell after three days travelling The third leads immediately to freedom Suppose that each time he nds himself in the cell, he chooses from doors 1, 2 and 3 with probabilities 05, 03 and 02 respectively Compute the expected number of days for him to escape 5 (a) Let X 0, X 1, X 2, be the input for a digital lter, where X 0, X 1, X 2, are independent identically distributed variables with E[X i ] = 0 and V (X i ) = 1 Let Y 1, Y 2, Y 3, satisfy: Y n = X n+1 + X n + X n 1 n = 1, 2, 3, Compute Cov(Y m, Y m+k ) for m 1, m + k 1 (the covariance of Y m and Y m+k ) (b) A wireless packet communication channel suers from clustered errors That is, whenever a packet has an error, the next packet will have an error with probability 09 Whenever a packet is error free, the next packet is error free with probability 099 In the limit, over a long time period, what is the proportion of packets that are error free? 6 (a) Suppose that people attending a party pour drinks from a bottle containing 200cl of a certain liquid Suppose that the expected size of each drink is 55cl, with a standard deviation of 05cl for each drink and that all drinks are poured independently of each other Compute the probability that the bottle will not be empty after 36 drinks are poured Suitable approximations may be used (b) Suppose that X N(µ, σ 2 ) (that is E[X] = µ and V (X) = σ 2 ) and that X satises p(x 116) = 020 and p(x 328) = 09 Compute µ and σ 7 Customers arrive at a shop according to a Poisson process with intensity 12 customers per hour The shop has one server Suppose that it takes the server an exponentially distributed time, with expected value 3 minutes to serve a customer (a) What is the probability that a customer who has just arrived must wait to be served? (b) Compute the probability that there are more than 4 customers in the system at equilibrium 2

3 Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Matematisk statistik I gk tentamen lördagen den 18 augusti, kl Tentamen består av 7 uppgifter värda 4 poäng vardera Svara på sex frågor Du får svara på alla sju; de sex bästa svaren räknas Betygsgränser (ungefär): 20-24: 5/A, : 4/B, : 3/C, 0-10: U/FX Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa med tömda minnen jour: Jörg - Uwe Löbus x1474 Formelsamling i matematisk statistik utgiven av matematiska institutionen Formel och tabelsamling nns också vid tentan Fyra timmar 1 (a) Låt A och B vara händelser sådana att p(a) = 06, p(b) = 07 and p(a B) = 08 i Beräkna p(a B) (1p) ii Är A och B oberoende? (1p) (b) En kortlek blandas väl och delas slumpmässigt i fyra lika stora delar (var och en med 13 kort) Beräkna sannolikheten att varje del innehåller ett ess 2 (a) Om ett hus har inbrott en natt, ringer inbrottslarmet med sannolikhet 099 Om inget inbrott inträar, ringer larmet med sannolikhet 002 Sannolikheten för ett inbrott en natt är 0001 En natt ringer larmet Vad är (den betingada) sannolikheten att ett inbrott inträat? (b) Du kommer till en busshållplats vid tidpunkt 0 På slutet av varje minut, kommer en buss med sannolikhet p, eller ingen buss med sannolikhet 1 p När en buss kommer, stiger du på med sannolikhet q Låt T = antalet minuter du står att busshållplatsen Låt N betekna antalet bussar som kommer när du vänter vid busshållplatsen Beräkna p N,T (n, t), den gemensamma sannolikhetsfunktionen för (N, T ) 3 (a) Låt X och Y vara diskreta slumpvariabler med gemensam sannolikhetsfunktion p X,Y (x, y) = { 001 (x, y) : x {1, 2,, 10} och y {1, 2,, 10} 0 annars Vad är sannolikhetsfunktionen för V = max(x, Y )? (b) Låt X vara en diskret slumpvariabel med värdeförråd {0, 1, 2, } Visa att E[X] = p(x k) k=1 3

4 4 (a) Från ett parti om 2000 tillverkade enheter väljer man på måfå 100 enheter och justerar processen, om er än k av dessa är defekta Bestäm det minsta k för vilket det gäller att om felkvoten i partiet är högst 004 p(processen justeras) < 005, (b) En fånge är insätt i en cell som innehåller tre olåsta dörrar Den första leder till en tunnel som återför fången till hans cell efter två dagar Den andra återför fången till hans cell efter tre dagar Den tredje leder omedelbart till frihet Anta att han varje gång väljer från dörr 1, 2 och 3 med sannoliheterna 05, 03 och 02 respektive Beräkna det förväntade antalet dagar för att hitta till friheten 5 (a) Låt X 0, X 1, X 2, vara input för ett digitalt lter, där X 0, X 1, X 2, är oberoende, identiskt fördelad variabler, med E[X i ] = 0, V (X i ) = 1 Låt Y 1, Y 2, Y 3, uppfylla Y n = X n+1 + X n + X n 1 n = 1, 2, 3, Beräkna K(Y m, Y m+k ) för m 1, m + k 1 (kovariansen för Y m och Y m+k ) (b) En trådlös paketöverföringskanal drabbas av klusterfel När ett paket är fel, så är nästa paket fel med sannolikheten 09 Om ett paket är felfritt, så är nästa paket felfritt med sannolikheten 099 Över en lång tidsperiod, vad är proportionen av felfria paket? 6 (a) Vid en fest, tar folk dryck från en aska som innehåller 200cl av en viss vätska Anta att den förväntade storleken för en drink är 55cl, med en standardavvikelse 05cl Alla drinkar är oberoende av varandra Beräkna sannolikheten att askan inte är tom efter 36 drinkar Lämpliga approximationer är tillåtna (b) Anta att X N(µ, σ 2 ) (dvs E[X] = µ och V (X) = σ 2 ) och att X uppfyller p(x 116) = 020 och p(x 328) = 09 Beräkna µ och σ 7 Kunder anländer till en butik enligt en Poisson-process med intensitet 12 kunder per timme Butiken har en expedit som betjänar kunderna Anta att det tar expediten en exponential fördelad tid, med väntevärdet 3 minuter att betjäna en kund (a) Vad är sannolikheten att en kund som just anlänt måste vänta på betjäning? (b) Beräkna sannolikheten att det nns mer än 4 kunder i systemet vid jämvikt 4

5 Formel och tabelsamling 1 Sannolikhetslära 11 Några diskreta fördelningar Binomialfördelning, Bi(n,p) p X (k) = Poissonfördelning, Poiss(µ) ( n k X Bi(n, p) ) p k (1 p) n k, k = 0, 1,, n E[X] = np, V (X) = np(1 p), G X (s) = (1 + p(s 1)) n Hypergeometriskfördelning, Hy(N,n,p) X Poiss(µ) p X (k) = µk k! e µ, k = 0, 1, 2, E[X] = µ, V (X) = µ, G X (s) = e (s 1)µ p X (k) = ( Np k X Hy(N, n, p) ) ( ) N(1 p) n k ( ), k = 0, 1,, n N n E[X] = np, Geometrisk fördelning Ge(p) V (X) = N n np(1 p) N 1 p X (k) = (1 p) k p, k 0 E[X] = 1 p p, V (X) = 1 p p 2 G X (s) = För första-gången-fördelning, Ffg(p) p X (k) = (1 p) k 1 p, k 1 p 1 (1 p)s E[X] = 1 p, V (X) = 1 p p 2, G X (s) = sp 1 (1 p)s Negativ Binomialfördelning NB(r,p) ( k + r 1 p X (k) = r 1 E[X] = r(1 p) p V (X) = ) p r (1 p) k r k = 0, 1, 2, r(1 p) p ( p G X (s) = 1 (1 p)s ) r 5

6 12 Några kontinuerliga fördelningar Likformig (rektangulär) fördelning på intervallet (a,b), U(a,b) f X (x) = 1 b a a x b E[X] = a + b 2 Exponentialfördelning, Exp(λ) V (X) = (b a)2 12 X Exp(λ) M X (p) = epb e pa p(b a) f X (x) = λe λx, x 0 Här betecknar λ intensiteten E[X] = 1 λ, V (X) = 1 λ 2, M X(p) = λ λ p λ > p Normalfördelningen, N(µ, σ 2 ) f X (x) = 1 { exp 2πσ } (x µ)2 2σ 2, < x < + E[X] = µ, V (X) = σ 2, M X (p) = exp { } pµ + p2 2 σ2 χ 2 -fördelning, χ 2 (n) Uppkomst: Om X 1,, X n är oberoende, var och en N(0, 1), gäller att Y = X X2 n får en χ 2 fördelning med n frihetsgrader f Y (x) = x(n/2) 1 e x/2 2 (n/2) Γ(n/2) x 0 E[Y ] = n, V (Y ) = 2n, M Y (p) = 1 (1 p) n/2 p < 1 t-fördelning, t(n) Uppkomst: Om X N(0, 1) och Y χ 2 (n) samt X och Y är oberoende, så gäller att Z = får en t-fördelning med n frihetsgrader f Z (x) = ( ) Γ n+1 2 nπγ ( n 2 ) ( 1 + x2 n ) (n+1)/2 X Y/n F - fördelning, F (n 1, n 2 ) Uppkomst: Om X 1 χ 2 (n 1 ) och X 2 χ 2 (n 2 ) samt X 1 och X 2 är oberoende, så gäller att Y = X 1/n 1 X 2 /n 2 får en F -fördelning med n 1 och n 2 frihetsgrader f Y (x) = Γ ( n 1 +n 2 ) ( ) n1 /2 n 1 2 n 2 x (n 1 /2) 1 Γ ( n ) ( 1 2 Γ n2 ) ( ) (n1 +n n 2 )/2 1 2 n 2 x + 1 x 0 6

7 Gammafördelning, Γ(α, λ) Uppkomst: Om X 1,, X n är oberoende, var och en Exp(λ), så blir Y = X X n gammafördelad med parametrarna n och λ f Y (x) = λ(λx)α 1 e λx Γ(α) x 0 Weibullfördelning ) c 1 e (x/a)c x 0 f X (x) = c ( x a a ( ) ( ) ( ( )) ) c + 1 c + 2 c E[X] = aγ V (X) = a (Γ 2 Γ c c c 13 Kovarians och Korrelation Kovarians: K(X, Y ) = E[(X µ X )(Y µ Y )], µ X = E[X] Korrelation ρ(x, Y ) = K(X,Y ) σ X σ Y, σ 2 X = V (X) σ2 Y = V (Y ) 14 Linjärkombinationer av slumpvariabler 1 Gäller generellt: E[a 1 X a n X n + b] = a 1 E[X 1 ] + + a n E[X n ] + b 2 För oberoende slumpvariabler X 1,, X n gäller att 3 Gäller generellt: 15 Genererande funktioner V (a 1 X a n X n + b) = a 2 1V (X 1 ) + + a 2 nv (X n ) n V (a 1 X a n X n + b) = a 2 jv (X j ) + 2 a j a k K(X j, X k ) j=1 1 j<k n En diskret icke-negativ, heltalsvärd slumpvariabel X har sannolikhetsgenererande funktion G X (s) = E[s X ] = s k p X (k) k=0 E[X] = G X(1), V (X) = G X(1) + G X(1) (G X(1)) 2 En kontinuerlig slumpvariabel X har momentgenererande funktion M X (p) = E[e px ] = e px f X (x)dx Om (X j ) j=1 är oberoende och likafördelade diskreta icke-negativa heltalsvärda slumpvariabler, samma fördelning som X, och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: G Y (s) = G Z (G X (s)) Om (X j ) j=1 är oberoende likafördelade slumpvariabler, samma fördelning som X och Z är en diskret icke negativ, heltalsvärd slumpvariabel, och Y = X X Z, gäller: M Y (s) = G Z (M X (s)) 7

8 16 Centrala gränsvärdessatsen Låt X 1,, X n vara oberoende och likafördelade slumpvariabler, var och en med väntevärde E[X] = µ och varians V (X) = σ 2 Låt X n = 1 n (X X n ) Då gäller för stora n att, approximativt, n( Xn µ) N(0, 1) σ X n N(µ, σ2 n ) n X j N(nµ, nσ 2 ) j=1 17 Approximationer mellan olika fördelningar Hy(N, n, p) Bi(n, p) om n N 1 10 Hy(N, n, p) N(np, N n N n N 1 np(1 p)) om N 1 np(1 p) 10 Bi(n, p) P oiss(np) om n 10 och p 01 Bi(n, p) N(np, np(1 p)) om np(1 p) 10 P oiss(µ) N(µ, µ) om µ Samband mellan betingade och obetingade väntevärden och varianser E[X] = E[E[X Y ]] = y E[X Y = y]p Y (y) V (X) = E[V (X Y )] + V (E[X Y ]) 19 Slumpvektor Väntevärdesvektorn µ och kovariansmatrisen C för en slumpvektor lyder följande räknelagar: Specialfall: Y = AX + b ger µ Y = Aµ X + b och C Y = AC X A t n V a j X j = V j=1 ( ) a t X = a t C X a Prediktering: E[(Y a bx) 2 ] har minimum lika med V (Y )(1 ρ 2 ) för b = K(X, Y ) V (X) a = E[Y ] be[x] Normalfördelning En N(µ, C) normalfördelad vektor X = (X 1,, X n ) t har täthetsfunktionen { 1 f X1,,X n (x 1,, x n ) = (2π) n/2 exp 1 } C 1/2 2 (x µ)t C 1 (x µ) och momentgenererandefunktion { M X (p) = exp (p, µ) + 1 } 2 pt Cp 8

9 2 Markovkedjor och köteori 21 Stationära fördelning För tidshomogen Markovkedja i diskret tid, låt p ij = p(x(n + 1) = j X(n) = i) och P = p 00 p 01 p 02 p 10 p 11 p 12 p 20 p 21 p 22 Låt π = (π 0, π 1, π 2, ) beteckna stationära fördelning π(i P ) = 0 För tidshomogen ergodisk Markovkedja i kontinuerlig tid, låt ν i beteckna intensiteten för processen att lämna tillstånd i och låt (q ij ) ij beteckna transitionssannolikheterna för lagrad diskret tid Markovkedjan Låt { νi q γ ij = ij j i ν i j = i Låt Γ = γ 00 γ 01 γ 02 γ 10 γ 11 γ 12 γ 20 γ 21 γ 22, Det följer att πγ = 0 Stationära fördelningen uppfyller: π n = 1 n=0 22 Födelsedöds-process En dödsfödelse process är en process där γ ij = 0 för i j > 1 För en födelsedöds process, låt λ i = γ i,i+1 och µ i = γ i,i 1 Stationära fördelningen π uppfyller: π n = λ 0λ 1 λ n 1 µ 1 µ 2 µ n π 0 9

10 23 Utnyttjande För ett M/M/c kösystem, låt λ beteckna ankomstintensiteten och µ betjäningsintensiteten för en server Det nns c server Utnyttjande ρ denieras som ρ = λ cµ Little's sats Låt N beteckna antalet kunder i systemet, λ ankomstsintensiteten och T den totala tiden att en kund nns i systemet Little's sats är: E[N] = λe[t ] Låt N q antalet som står i kön och W väntetiden innan betjäning Little's sats ger: 24 M/M/1 system E[N q ] = λe[w ] Fördelningsfunktioner för W (väntetid) och T (total tid) är och respektive 25 M/M/c system Fördelningsfunktion för W (kötid) är π c = p(n = c) från stationärfördelning F W (t) = p(w t) = 1 ρe µ(1 ρ)t, t 0 F T (t) = p(t t) = 1 e µ(1 ρ)t, t 0 F W (t) = p(w t) = 1 π c 1 ρ e cµ(1 ρ)t, 26 Erlang formel För en M/M/c kö med ankomstintensitet λ och betjäningsintensitet µ för en betjäning, låt a = λ µ Sannolikheten att alla betjäningar är upptagna när en kund anländer givs av Erlang c formel: C(c, a) = π c 1 ρ = 1 a c 1 ρ c! 1 c 1 j=0 aj j! + ac c! 1 1 ρ För en M/M/c/c kö, med λ ankomstintensitet och µ betjäningsintensitet för en betjäning och a = λ µ, Erlang b formel ger sannolikheten att alla betjäningar är upptagna: B(c, a) = a c /c! cj=0 a j /j! 10

11 Normalfördelning Tabell för Φ(x) = P (X x), där X N(0, 1) För x < 0, använd att Φ(x) = 1 Φ( x) x

12 Poissonfördelning Tabell för P (X x) där X P o(µ) µ k k k

13 µ k k

14 µ k

15 15

16 Matematisk statistik Matematiska institutionen Linköpings universitetet John M Noble TAMS15/TEN1 Mathematical Statistics I, ground course Saturday 18th August 2012, Short answers 1 (a) i p(ab) = p(a) + p(b) p(a B) = = 05 (1p) ii p(a)p(b) = ; not independent (1p) (b) 13 4 ( 52 4 ) 2 (a) (b) 3 (a) p(burglar alarm) = p N,T (n, t) = ( t 1 n ) (1 q) n 1 q(1 p) t n p n (b) p V (k) = 2k k = 1, 2,, 10 k E[X] = kp(x = k) = p(x = k) = p(x = k) = p(x j) k=1 k=1 j=1 j=1 k=j j=1 4 (a) X P oiss(4), p(x > k) < 005 p(x k) > 095 k = 8 (b) E[T ] = (2 + E[T ]) 05 + (3 + E[T ]) 03 02E[T ] = 19 E[T ] = 95 5 (a) E[Y m ] = 0, C(Y m, Y m+k ) = 1 1 j 1 = 1 j 2 = 1 E[Y m+j1 Y m+k+j2 ] = 3 k = 0 2 k = 1 1 k = 2 0 k 3 16

17 (b) (π 0, π 1 ) ( ) = 0 6 (a) 10π 0 = π 1, π 0 + π 1 = 1 π 0 = π 0 proportion of error free packets S = X X 36 N(36 55, ) = N(198, 9) Z = S N(0, 1) p(s < 200) = p(z < 2 3 ) (b) Z = X µ σ N(0, 1) p(z 116 µ σ p(z x) = 1 p(z x) ) = 02 1 p(z µ 116 ) = 02 σ p(z µ 116 ) = 08 µ 116 = 084 σ σ p(z 328 µ ) = µ = 128 σ σ µ = σ, µ = σ σ = 100, µ = M/M/1 λ = 12 customers per hour arrivals Departures: µ = 1 3 customers per minute, which is 20 customers per hour ρ = λ µ = 06 Birth / death formula in formula collection: π n = λ 0 λ n 1 µ 1 µ n π 0 = 06 n π 0 (a) 1 = π n = π 0 06 n 1 = π = π 0 04 π 0 = 04 n=0 n=0 π n = 06 n 04 n = 0, 1, 2, p(wait) = 1 π 0 = 1 04 = 06 (b) p(n > 4) = 1 (π 0 + π 1 + π 2 + π 3 + π t ) = 1 04 ( ) =