TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test
|
|
- Tobias Pålsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TAMS65 - Föreläsning 8 Test av fördelning χ 2 -test Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen
2 Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö8 1/34
3 Det grundläggande χ 2 -testet Ett slumpmässigt försök kan ge resultaten A 1,..., A k. Vid n oberoende upprepningar inträffade A i totalt N i gånger, i = 1, 2,..., k. Vi vill pröva H 0 : P(A i ) = p i för i = 1,..., k, där p 1,..., p k är givna kända tal, mot H 1 : P(A i ) p i för minst ett i bland 1,..., k. TAMS65 - Fö8 2/34
4 Teststorhet: Q = k (N i np i ) 2 i=1 np i ( som ofta skrivs k i=1 (o i e i ) 2 e i ) Avvikelse från H 0 visar sig genom stora Q-värden. H 0 förkastas alltså om Q > c. TAMS65 - Fö8 3/34
5 Bakgrunden är, att den k-dimensionella stokastiska variabeln (N 1,..., N k ), då H 0 är sann, har multinomialfördelning med parametrarna n, p 1,..., p k, och då gäller speciellt att N i Bin(n, p i ). I teststorheten jämför vi alltså N i med dess väntevärde då H 0 är sann d.v.s. E(N i ) = np i. Låga Q-värden tyder på god överensstämmelse mellan N i och E(N i ) = np i och då finns det ingen anledning att betvivla nollhypotesen. Man kan visa att den s.v. Q är approx χ 2 (k 1) om H 0 är sann. TAMS65 - Fö8 4/34
6 Beviset att Q χ 2 (k 1) är ganska svårt och vi bevisar inte det, men det bygger på CGS (normalapprox) av multinomialfördelning. Betrakta k = 2. Då gäller att N 1, N 2 = n N 1 och P(A 1 ) = p, P(A 2 ) = 1 p. Q = (N 1 np) 2 np + (n N 1 n(1 p)) 2 n(1 p) men N 1 Bin(n, p) N(np, np(1 p)) ger N 1 np np(1 p) N(0, 1) och ( ) 2 N 1 np =... =, np(1 p) ( ) 2 N 1 np χ 2 (1). np(1 p) TAMS65 - Fö8 5/34
7 . Förlusten ( av 1 frihetsgrad beror på att de s.v. N 1,..., N k är k beroende 1 N i = n). Den kritiska gränsen c ges alltså i χ 2 (k 1)-tabell. χ 2 (k 1) α : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ; : : : : : : : : : Villkor: Approximationen med χ 2 -fördelning fungerar tillfredsställande om np i > 5. Om np i < 5 får man slå ihop fall, se exempel nedan. TAMS65 - Fö8 6/34
8 Exempel En maskin tillverkar enheter som klassas i fyra kategorier nämligen topkvalitet (T ), hög kvalitet (H), god kvalitet (G) och dålig kvalitet (D). Av lång erfarenhet vet man att P(T ) = 0.4, P(H) = 0.3, P(G) = 0.2 och P(D) = 0.1. En ny maskin som tillverkar samma sorts enheter har köpts och 500 enheter tillverkade av denna maskin har fått följande klassningar T H G D Kan man med någon säkerhet hävda att den nya maskinen har en annan fördelning över kvalitetsklasserna än den gamla? Genomför ett lämpligt χ 2 -test på nivån 5%. TAMS65 - Fö8 7/34
9 Q = = 4 (N i np i ) 2 i=1 np i ( ) ( ) Förkasta hypotesen om samma fördelning om = 7.75 Q > c = χ (4 1) = χ (3) = Alltså vi kan inte säga att det är skillnad vad det gäller fördelning mellan maskinerna. TAMS65 - Fö8 8/34
10 Test av en given fördelning Vid test av given fördelning får vi skilja på fallen med diskret respektive kontinuerlig fördelning. Test av en given diskret fördelning Då blir händelserna A i i allmänhet {X = i}, men vissa A i måste man slå ihop till större händelser. Viktigt: Alla tänkbara värden på X måste finnas med i någon händelse. TAMS65 - Fö8 9/34
11 Test av given kontinuerlig fördelning Man har n observationer x 1,..., x n och vill undersöka nollhypotesen H 0 att en täthetsfunktion f (x) passar till datamaterialet. Man delar in tallinjen i k stycken intervall (tumregel: antalet intervall antalet observationer/10), a i 2 a i 1 a i a i+1 a i+2 räknar hur många observationer som finns i de olika intervallen och får de observerade frekvenserna N 1,..., N k. TAMS65 - Fö8 10/34
12 Låt A i vara händelsen att en observation hamnar i ]a i 1, a i ] och p i = ai a i 1 f (x)dx, där f (x) är täthetsfunktionen som ska prövas. Observera att intervallen måste täcka in hela det område där f (x) 0. Därför kan man behöva intervall av typen (, a 1 ] och ]a k 1, ). TAMS65 - Fö8 11/34
13 I både fallen ovan gäller att om sannolikhetsfunktionen respektive täthetsfunktionen innehåller okända parametrar, så måste dessa skattas innan man beräknar p i. OBS Man förlorar en frihetsgrad i Q:s χ 2 -fördelning för varje skattad parameter i nollhypotesens sannolikhetsfunktion respektive täthetsfunktion. TAMS65 - Fö8 12/34
14 Exempel I ett datamaterial med 160 observationer har man stickprovsmedelvärdet x = 2.27 och stickprovsstandardavvikelsen s = Vi vill undersöka om datamaterialet kan vara normalfördelat, d.v.s. mot H 0 : X j N(µ, σ) H 1 : Normalfördelningen passar inte. Mätvärdena är givna med en decimal. Genom att utnyttja två decimaler i klassgränserna undviker man problemet att någon observation hamnar precis på klassgränsen. TAMS65 - Fö8 13/34
15 Indelning i fack: Fack Obs. frekv. N i ], 1.35] 65 ]1.35, 2.75] 52 ]2.75, 4.15] 15 ]4.15, 5.55] 15 ]5.55, 6.95] 9 ]6.95, [ 4 Vi skattar parametrarna i normalfördelningen med ˆµ = x = 2.27 och ˆσ = s = 2.12 för att veta vilken normalfördelning som vi vill jämföra mot. TAMS65 - Fö8 14/34
16 Vi har då följande sannolikheter för de olika facken ( Xj µ p 1 = P (X j 1.35) = P 1.35 µ ) ( ) 1.35 µ = Φ, σ σ σ ( ) p 1 Φ = Φ( 0.43) = , 2.12 ( 1.35 µ p 2 = P (1.35 < X j 2.75) = P < X j µ 2.75 µ ) σ σ σ ( ) ( ) 2.75 µ 1.35 µ = Φ Φ, σ σ ( ) ( ) p 2 Φ Φ = Φ(0.23) Φ( 0.43) = = TAMS65 - Fö8 15/34
17 Vidare har vi att ( ) ( ) p 3 Φ Φ och = Φ(0.89) Φ(0.23) = = , p = , p = p = TAMS65 - Fö8 16/34
18 Vi har nu följande indelning i fack. Fack Obs. frekv. Skattad Förv. frekv. N i slh. p i 160p i ], 1.35] ]1.35, 2.75] ]2.75, 4.15] ]4.15, 5.55] ]5.55, 6.95] ]6.95, [ TAMS65 - Fö8 17/34
19 Vi måste slå ihop de två sista klasserna och får då observerad frekvens 13 samt p med förväntad frekvens 9.7. Teststorhet: Q = 5 i=1 (N i 160p i ) 2 160p i Den s.v. Q är approx χ 2 (5 1 2) om H 0 är sann, eftersom vi till slut bara har fem klasser och skattade två parametrar. För α = 0.01 får vi den kritiska gränsen 9.22 ur χ 2 (2)-tabell > Alltså kan H 0 förkastas. Datamaterialet kommer med stor sannolikhet inte från normalfördelning. TAMS65 - Fö8 18/34
20 Anm. Den här metoden bygger direkt på iden att jämföra histogrammet med täthetsfunktionen för normalfördelningen. Det finns flera andra, ofta effektivare, metoder för att testa normalfördelningsantagandet. TAMS65 - Fö8 19/34
21 Något om att välja sannolikhetsfördelning Om man vill undersöka om en viss sannolikhetsfunktion eller täthetsfunktion passar till ett datamaterial kan man 1a i det diskreta fallet göra ett stolpdiagram och jämföra med den aktuella sannolikhetsfunktionen; 1b i det kontinuerliga fallet göra ett histogram och jämföra med den aktuella täthetsfunktionen, se den inledande föreläsningen; 2 göra χ 2 -test av fördelning, men vara försiktig med tolkningen (att H 0 inte kan förkastas behöver tex. inte innebära att H 0 är sann); 3 utnyttja Kolmogorov-Smirnovs test; 4 använda fördelningspapper (probability plotting) om man har observationer från en kontinuerlig fördelning (detta ingår inte i kursen, men det finns i många datorprogram). TAMS65 - Fö8 20/34
22 Kolmogorov-Smirnovs test - Ett stickprov Den empiriska fördelningsfunktionen för ett stickprov x 1,..., x n ges av F n (x) = 1 n n i=1 I {xi x}, där I {xi x} = { 1 om x i x, 0 annars. Om man vill undersöka om en viss fördelningsfunktion, F (x), passar ett stickprov är det av intresse att titta på differensen F n (x) F (x) och då speciellt Kolmogorov-Smirnov teststorheten D = max x F n (x) F (x). TAMS65 - Fö8 21/34
23 För stora värden på n har vi approximativt att P ( nd c ) 1 2 ( 1) k 1 e 2k2 c 2 = H(c). k=1 Ofta ger första termen i serien tillräckligt god approximation av Kolmogorov-Smirnovs test, som leder till följande approximativa test. Förkasta H 0, d.v.s. likhet i fördelning, på nivån α om D 1 ( α ) 2n ln. 2 Om man måste skatta parametrar, så fungerar inte denna approximation och man måste använda andra metoder. Det finns tabeller för t.ex. normal- och exponentialfördelning. TAMS65 - Fö8 22/34
24 Kolmogorov-Smirnovs test - Två stickprov Man kan även testa om två stickprov kommer från samma fördelning med Kolmogorov-Smirnovs test. Beräkna den empiriska fördelningen för de båda stickproven, F n (x) och G m (x), och teststorheten Man kan då visa att D = max x F n (x) G m (x). P och det approximativa testet. ( ) mn m + n D t H(t) Förkasta H 0, d.v.s. likhet i fördelning, på nivån α om D m + n ( α ) 2mn ln 2 TAMS65 - Fö8 23/34
25 Kolmogorov-Smirnovs test - MATLAB KSTEST Single sample Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit hypothesis test. H = KSTEST(X,CDF,ALPHA,TYPE) performs a Kolmogorov-Smirnov (K-S) test to determine if a random sample X could have the hypothesized, continuous cumulative distribution function CDF. CDF is optional: if omitted or empty, the hypothetical c.d.f is assumed to be a standard normal, N(0,1). ALPHA and TYPE are optional scalar inputs: ALPHA is the desired significance level (default = 0.05); TYPE indicates the type of test (default = unequal ). H indicates the result of the hypothesis test: H = 0 => Do not reject the null hypothesis at significance level ALPHA. H = 1 => Reject the null hypothesis at significance level ALPHA. KSTEST2 Two-sample Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit hypothesis test. H = KSTEST2(X1,X2,ALPHA,TYPE) performs a Kolmogorov-Smirnov (K-S) test to determine if independent random samples, X1 and X2, are drawn from the same underlying continuous population. TAMS65 - Fö8 24/34
26 Test om normalfördelning För att testa normalfördelning kan man använda Lilliefors test (h = lillietest(x)) - modifiering av Kolmogorov-Smirnovs test med skattade parametrar, eller andra test som man kan visa är bättre (d.v.s. har bättre styrka) t.ex. Shapiro-Wilks test, Anderson Darlings test. TAMS65 - Fö8 25/34
27 Homogenitetstest Vi vill testa om r försöksserier är homogena i meningen att P(A i ) för varje i är lika stor för samtliga försöksserier, se boken och formelsamlingen. Tillämpning: Man kan undersöka om r stickprov kommer från samma fördelning. Anm. Det finns också ett så kallat oberoendetest. Det har praktiken samma teststorhet som homogenitetstestet, men den skrivs annorlunda och tolkningen är inte heller densamma. TAMS65 - Fö8 26/34
28 Exempel - Homogenitetstest TABLE - Sample results of cell phone preferences for male and female users (observed frequencies). Cell phone preferences Sex Android iphone Windows Total Male Female Total H 0 : Kvinnor och män föredrar Android med samma sannolikhet p 1, iphone med samma sannolikhet p 2 och Windows med samma sannolikhet p 3. H 1 : Skillnad finns i fråga om preferenser. Nivå α = 5%. TAMS65 - Fö8 27/34
29 Cell phone preferences Sex Android iphone Windows Total Male N 11 = 20 N 12 = 40 N 13 = 20 n 1 = 80 n 1 ˆp i Female N 21 = 30 N 22 = 30 N 23 = 10 n 2 = 70 n 2 ˆp i Total ˆp i 50/150 70/150 30/150 TAMS65 - Fö8 28/34
30 ( )2 (10 14)2 Q = = 6.13 Under H 0 gäller att Q χ 2 ((2 1)(3 1)) = χ 2 (2). Förkasta H 0 om Q > c = χ (2) = Förkasta H 0, det verkar finnas skillnader mellan val av telefon. TAMS65 - Fö8 29/34
31 Exempel - Homogenitetstest I en studie ville man undersöka om inositol (ett ämne som finns i modersmjölk) minskar risken för ögonskador hos för tidigt födda barn, (New England Journal of Medicine, 1992). Studien omfattade 220 för tidigt födda barn som slumpmässigt delades in i två grupper med 110 i varje. Den ena gruppen fick intravenös tillförsel av inositol, medan den andra fick standardbehandlingen. Antalet barn med ögonskador var 14 i inositolgruppen och 29 i den andra. Låt p 1 och p 2 beteckna riskerna för ögonskador i de båda grupperna. Det är rimligt att anta att barnen får ögonskador oberoende av varandra. Kan man med någon säkerhet hävda att p 1 p 2? Besvara frågan med hjälp av ett lämpligt test på nivån 5% eller ett konfidensintervall med konfidensgraden 95% Här kan man konstruera I p1 p 2 eller göra ett homogenisitetstest. TAMS65 - Fö8 30/34
32 Bilda I p1 p 2. Vi har att där q i = 1 p i. X Bin(110, p 1 ) N(110p 1, 110p 1 q 1 ) Y Bin(110, p 2 ) N(110p 2, 110p 2 q 2 ), Vidare gäller att ˆp 1 ˆp 2 = = 3 från P 1 P 2 = X var ( X 110 Y 110 Stäng in hjälpvariabeln 22 som är en observation ) 110 Y 110 (p N 1 p 2, p1 q p 2q eftersom ) = var(x )+var(y ) = 110p 1q p 2 q 2 = p 1q p 2q P 1 P 2 (p 1 p 2 ) P1 Q P 2 Q2 110 N(0, 1) TAMS65 - Fö8 31/34
33 Vi får då intervallet ( ) ˆp1 ˆq 1 I p1 p 2 = ˆp 1 ˆp ˆp 2 ˆq = ( ; ), där ˆp 1 = , ˆq 1 = 1 ˆp 1 = och ˆp 2 = , ˆq 2 = 1 ˆp 2 = Alltså, med stor sannolikhet gäller att p 1 p 2 (p 1 < p 2 ). Men som sagt, man kan göra ett homogenitetstest istället. TAMS65 - Fö8 32/34
34 Hemuppgift TAMS65 - Fo 8 33/34
35 Hemuppgift J F M A M J J A S O N D S:a Ish.sp Samtl % Pröva H 0 : Ishockyspelarnas födelsedagar har samma fördelning över årets månader som den övriga befolkningens. på nivån 1%. Svar: Q = > 24.72; d.v.s. H 0 förkastas. TAMS65 - Fö8 34/34
36
TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning
TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det
Läs merTAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning
TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning p-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/36
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14-15 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 14 maj 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametriska metoder. (Kap. 13.10) Det
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 12 oktober 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametsriska metoder. (Kap. 13.10) Det grundläggande
Läs merSF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp. χ 2 -test
SF1915 Sannolikhetsteori och statistik 6 hp Föreläsning 12 χ 2 -test Jörgen Säve-Söderbergh Anpassningstest test av given fördelning n oberoende försök med r möjliga olika utfall Händelse A 1 A 2... A
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merχ 2, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade Data: n observationer klassificerade i K olika kategorier:
Stat. teori gk, ht 006, JW F1 χ -TEST (NCT 16.1-16.) Ordlista till NCT Goodness-of-fit-test χ, chi-square Test av anpassning χ, chi-två Test av anpassning: sannolikheter specificerade i förväg Data: n
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 14 13 december 2016 1 / 20 Idag χ 2 -metoden Test av given fördelning Homogenitetstest 2 / 20 Idag χ 2 -metoden Test av given fördelning
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merUppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs mercx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merLufttorkat trä Ugnstorkat trä
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merTAMS28 DATORÖVNING 1-2015 VT1
TAMS28 DATORÖVNING 1-2015 VT1 Datorövningen behandlar simulering av observationer från diskreta och kontinuerliga fördelningar med hjälp av dator, illustration av skattningars osäkerhet, analys vid parvisa
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 14:E AUGUSTI 2017 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs mer(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs mer(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK I, MÅNDAGEN DEN 15 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, 08 790 84 66. Kursledare: Thomas Önskog, 08 790
Läs mer10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER OM χ 2 -TEST OCH LIKNANDE. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13. MER OM χ 2 -TEST OCH LIKNANDE Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 25.02.2015 1 / 33 INNEHÅLL χ
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merIntroduktion och laboration : Minitab
Robert Parviainen, Tel. 471 31 86 E-post: robert@math.uu.se Matematisk Statistik IT VT 2004 Introduktion och laboration : Minitab Den här laborationen går ut på att stifta bekantskap med ett statistiskt
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merFöreläsning 5: Hypotesprövningar
Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 7.A Mer om Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 10.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 10.02.2012 1 / 21 Repetition CGS Ofta
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 20 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/20 : Poisson & Binomial för diskret data Johan
Läs merExtrauppgifter i matematisk statistik
Extrauppgifter i matematisk statistik BT 2014 1. Mängden A är dubbelt så sannolik som B. Hur förhåller sig P(A B) till P(B A)? 2. Två händelser A och B har sannolikheter skilda från noll. (a) A och B är
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merTAMS65 - Föreläsning 5 Konfidensintervall - Normalapproximation
TAMS65 - Föreläsning 5 Konfidensintervall - Normalapproximation Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö5 Repetition Normalapproximation Binomialfördelning CGS Hypergeometrisk
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk 205-08-8 kl. 8.30-3.30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Johan Jonasson, telefon: 0706-985223 03-7723546 Hjälpmedel:
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning
Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Stas Volkov 2017-11-14 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F12: Hypotestest 1/1 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merb) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 13:E AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-
Läs mer