Simulering av elmarknader. EG2205 Föreläsning 11, vårterminen 2016 Mikael Amelin

Transkript

1 Simulering av elmarknader EG2205 Föreläsning 11, vårterminen 2016 Mikael Amelin 1

2 Kursmål Tillämpa stokastisk produktionskostnadssimulering och Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad och risk för effektbrist på en elmarknad, samt använda simuleringsresultaten för att bedöma konsekvenserna av olika åtgärder på en elmarknad. 2

3 Elmarknadssimulering Syfte Syftet med att simulera en elmarknad är att förutsäga hur elmarknaden kommer att fungera givet indata såsom - resurser, - efterfrågan, Valet av modell beror på vilket problem som ska studeras. Simuleringarna visar vad som kan hända inte vad som kommer att hända! 3

4 Repetition Stokastiska variabler Betrakta en stokastisk variabel, X: Definition C.1. Sannolikheten att en observation av X tillhör en viss mängd X ges av täthetsfunktionen f X (x), d.v.s. P(X X ) = X f X x dx. För diskreta stokastiska variabler får vi f X (x) = P(X =x ). 4

5 Repetition Stokastiska variabler Definition C.2. Sannolikheten att X x ges av fördelningsfunktionen F X (x), d.v.s. F X (x) = P(X x). Definition C.3. Sannolikheten att X x ges av varaktighetskurvan F X x, d.v.s. F X x = P(X x). 5

6 Repetition Stokastiska variabler Theorem C.4. Täthetsfunktionen, fördelningsfunktionen och varaktighetskurvan förhåller sig till varandra enligt F X x = 1 F X (x) = 1 f X t dt = f t dt. X x x 6

7 Repetition Stokastiska variabler Definition C.6. Väntevärdet för en stokastisk variabel X ges av E X = xf X x E X = xf X x dx x (diskret stokastisk variabel), (kontinuerlig stokastisk variabel). 7

8 Repetition Stokastiska variabler Definition C.7. Variansen för en stokastisk variabel X ges av Var X = E X E X 2 = E X 2 E X 2 (allmänt), Var X = f X x x E X 2 x (diskret variabel), Var X = f X x x E X 2 dx (kontinuerlig variabel). 8

9 Repetition Stokastiska variabler Definition: Standardavvikelsen är kvadratroten av variansen, d.v.s. X = Var X. Theorems C.8/C.9. E[aX] = ae[x] E[X + Y] = E[X] + E[Y] Var[aX] = a 2 Var[X] Var[X + Y] = Var[X] + Var[Y] + 2Cov[X, Y] 9

10 Repetition Stokastiska variabler Definition C.11. Kovariansen melln X och Y ges av Cov[X, Y] = E[(X E[X])(Y E[Y])] = E[XY] E[X]E[Y]. Theorem: Cov[X, Y] = Cov[Y, X] Cov[X, X] = Var[X] 10

11 Repetition Stokastiska variabler Definition C.12. Korrelationskoefficienten mellan X och Y ges av X Y = Cov X Y Var X Var Y Definition: De stokastiska variablerna X och Y är oberoende om en observation av X inte ger någon information om utfallet för Y och vice versa. 11

12 Sannolikhetsfördelningar Likformig fördelning X U(a, b) f X F X F X 1 1 0,5 0,5 x x a b a b 12

13 Sannolikhetsfördelningar Tvåpunktsfördelning X har bara två möjiga utfall f X F X F X 1 1 0,5 0,5 x x a b a b 13

14 Sannolikhetsfördelningar Normalfördelning X N(, ) f X F X F X 1 1 0,5 0,5 X x x X 14

15 Simulering av elmarknader Idé Y gy X Scenarioparametrar, Y. Vektor av stokastiska variabler med känd sannolikhetsfördelning. Elmarknadsmodell, g. Matematisk modell av elmarknaden. Resultvariabler, X. Vektor av stokastiska variabler med okänd sannolikhetsfördelning. 15

16 Simulering av elmarknader Idé Syftet med simuleringen att studera sannolikhetsfördelningen för resultatvariablerna. I många fall är det tillräckligt att studera ett antal nyckelvärden (som vi kallar systemindex). Ett systemindex är ett statistiskt mått (vanligen ett väntevärde) för en resultatvariabel. 16

17 Simulering av elmarknader Systemindex Definition 6.1. Den totala driftkostnaden, TOC,* är summan av driftkkostnaderna i alla kraftverk samt övriga driftkostnader (t.ex. kompensation till konsumenter som blivit ofrivilligt bortkopplade). Definition 6.2. Den förväntade totala driftkostnaden är ETOC = E[TOC]. * Total Operation Cost. 17

18 Simulering av elmarknader Systemindex Definition 6.3. Resultatvariabeln LOLO* är en binär variabel som är lika med ett om effektbrist förekommer (d.v.s. om minst en konsument blivit ofrivilligt bortkopplad p.g.a. kapacitetsbegränsningar i systemet) och annars noll. Definition 6.4. Risken för effektbrist är LOLP = E[LOLO]. * Loss Of Load Occasion. 18

19 Simulering av elmarknader Systemindex Definition 6.5. Den icke-levererade energin, ENS,* är den energi som ej kunnat levereras p.g.a. kapacitetsbegränsningar i systemet. Definition 6.6. Den förväntade icke-levererade energinn är EENS = E[ENS]. * Energy Not Served. 19

20 Värdet av en investering Exempel 6.3 Systemindex Ingen transmissionsförbindelse Med transmissionsförbindelse ETOC [ /h] 2 002, ,80 LOLP A [%] 10 14,5 LOLP B [%] 10 Investeringskostnaden för att bygga en förbindelse är /år. Den årliga driftkostnaden minskar med Risken för effektbrist minskar från 19% till 14,5% (motsvarande ungefär 394 h/år). 20

21 Effektleveransvärde Från en insändare i Elbranschen, nr 5, 2005: För att klara elenergiförsörjningen inom landet måste en viss effekt installeras. Vindkraftverk tillför inte en enda kw effekt eftersom de behöver backup för att garantera leverans av el även när det blåser lite eller inte alls. Vindkraft kan aldrig ersätta en enda kw från ett kärnkraftverk just på grund av att vi inte kan reglera väder och vind. 21

22 Effektleveransvärde Resonemanget i insändaren kan sammanfattas så här: Vindkraftproduktionen beror på vindhastigheten behov av reservkraft vindkraft bidrar inte till systemets effektbalans. Men alla kraftverk drabbas av driftstörningar då och då. Kan man inte då lika gärna resonera så här: Kärnkraftverk behöver snabbstoppas ibland behov av reservkraft kärnkraft bidrar inte till systemets effektbalans. 22

23 Effektleveransvärde Definition: Ett kraftverks effektleveransvärde anger kraftverkets förmåga att öka leveranssäkerheten i systemet. För att beräkna effektleveransvärdet måste vi studera hur kraftverket påverkar systemets LOLP. 23

24 Effektleveransvärde Exempel 6.4 Slutsats: I det fallet ger 100 MW vindkraft samma förbättring av leveranssäkerheten som 22,2 MW fast kraft vindkraftens effektleveransvärde motsvarar 22,2 MW fast kraft. 24