Kompendium om flerdimensionella fördelningar för kursen S0008M Sannolikhetslära och statistik

Transkript

1 Adam Jonsson och Jesper Martinsson Kompendium om flerdimensionella fördelningar för kursen S0008M Sannolikhetslära och statistik TVM-Matematik, Luleå Tekniska Universitet 8 mars 2016

2

3 Kompendiet avser att komplettera kursboken av Kerstin Vännman med de delar av innehållet i S0008M som inte finns beskrivna i kursboken. Det gäller främst betingning, flerdimensionella fördelningar (inklusive den tvådimensionella normalfördelningen) samt funktioner av stokastiska variabler. Kompendiet används på kursen S0008M för att göra det möjligt att ha samma kursbok och beteckningssystem på kurserna S0001M och S0008M. Precis som i kursboken av Vännman ligger fokus här på ett stort antal lösta exempel. Ett fåtal resultat ges med bevis. En del uppgifter och exempel har hämtats från böckerna av G. Blom [1] och C. Jogreus [3]. Uppgifter och avsnitt märkta ligger utanför kursen. V

4

5 Innehåll 12 Tvådimensionella fördelningar Slumpvariabler i en och två dimensioner Diskret tvådimensionell fördelning Kontinuerlig tvådimensionell fördelning Beroende och samvariation Lagen om total sannolikhet Betingade väntevärden Lagen om totalt väntevärde Flerdimensionell normalfördelning Flerdimensionella fördelningar Diskret flerdimensionell fördelning Kontinuerlig flerdimensionell fördelning Beroende och samvariation Funktioner av stokastiska variabler Linjärtransformation Kvadrattransformation Invers-transformation Summa av oberoende R(0, 1)-fördelade slumpvariabler Summa av oberoende slumpvariabler via faltning Största och minsta värde Avstånd och andra transformationer Lösningar till vissa uppgifter Referenser Del I Lektion 17, 18 och 19

6

7 12 Tvådimensionella fördelningar Vi börjar med att studera tvådimensionella slumpvariablers fördelning. När vi behärskar dessa blir steget över till tre och fler variabler (Kapitel 14) samt stokastiska processer ganska enkelt. I alla fall rent begreppsmässigt Slumpvariabler i en och två dimensioner För att definiera begreppet tvådimensionell slumpvariabel kan vi utgå från definitionen av endimensionell slumpvariabel (se sid. 73 i Vännman). Definition En tvådimensionell slumpvariabel är en punkt ξ = (ξ 1, ξ 2 ) i planet, där ξ 1 och ξ 2 är vanliga (endimensionella) slumpvariabler. Fördelningen för en tvådimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1, ξ 2 ) beskrivs av flerdimensionella motsvarigheter till begreppen sannolikhetsfunktion och frekvensfunktion (i det diskreta respektive kontinuerliga fallet). Dessa definierades för endimensionella fördelningar i Kap 3-4 i Vännman. De tvådimensionella motsvarigheterna definieras i Avsnitt 12.2 respektive 12.3 nedan. Precis som i det endimensionella fallet kan begreppet fördelningsfunktion användas för att definiera både diskreta och kontinuerliga fördelningar: Definition Fördelningsfunktionen för en tvådimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1, ξ 2 ) definieras F (x 1, x 2 ) = P (ξ 1 x 1, ξ 2 x 2 ), där < x 1, x 2 <. (12.1) Eftersom formlerna blir lite tydligare utan subscript skriver vi fram till och med Avsnitt ofta ξ = (ξ, η) istället för ξ = (ξ 1, ξ 2 ).

8 2 12 Tvådimensionella fördelningar 12.2 Diskret tvådimensionell fördelning Vi kallar den tvådimensionella slumpvariabeln ξ = (ξ, η) diskret om ξ och η är diskreta slumpvariabler. Definition Låt ξ vara en diskret tvådimensionell slumpvariabel. Storheterna p(x, y) = P (ξ = x, η = y), där x, y = 0, ±1, ±2,... kallas den simultana sannolikhetsfunktionen för ξ = (ξ, η). Om en tvådimensionell diskret stokastisk variabel är given så kallar vi den simultana sannolikhetsfunktionen p(x, y) kort och gott för sannolikhetsfunktionen. Exempel Joel och Maja har pluggat tillsammans inför en tenta som de skall skriva för överbetyg. Låt ξ beteckna Joels betyg och låt η vara betyget för Maja. Den simultana sannolikhetsfunktionen p(x, y) för ξ, η ges av x\y Beräkna sannolikheten att både Joel och Maja får överbetyg, dvs. att båda får minst betyg 4. Lösning Vi söker P (ξ 4, η 4). Vi har P (ξ 4, η 4) = P (ξ = x, η = y) x 4,y 4 = x 4,y 4 p(x, y) = p(4, 4) + p(4, 5) + p(5, 4) + p(5, 5) = = 0.5. (12.2) Exempel (Trinomialfördelningen) Antag att p 1 och p 2 är positiva tal och att p 1 +p 2 < 1. En tvådimensionell slumpvariabel med sannolikhetsfunktionen { n! x!y!(n x y)! p(x, y) = px 1p y 2 (1 p 1 p 2 ) n x y om x + y n, (12.3) 0 annars, där n 1,

9 12.2 Diskret tvådimensionell fördelning 3 sägs ha en Trinomialfördeling. Man använder beteckningen ξ T ri(n, p 1, p 2 ). Fördelningen fås om man har n oberoende försök som antingen lyckas på sätt 1 med sannolikhet p 1 eller lyckas på sätt 2 med sannolikhet p 2 eller misslyckas med sannolikhet 1 p 1 p 2. Så Trinomialfördelningen T ri(10, 1/6, 1/6) uppstår om vi till exempel kastar en tärning 10 gånger och låter ξ och η beteckna antalet ettor respektive tvåor. Låt ξ = (ξ, η) vara en tvådimensionell slumpvariabel. Betraktade var för sig så brukar fördelningarna för ξ och η kallas de marginella fördelningarna. De ges av sannolikhetsfunktionerna p ξ (x) och p η (y) för ξ respektive η. Den betingade sannolikhesfunktionen för ξ givet η = y betecknas p ξ η (x y) och definieras p ξ η (x y) = P (ξ = x η = y), x = 0, ±1, ±2,.... Den betingade sannolikhetsfunktionen för η givet ξ = x ges av p η ξ (y x) = P (η = y ξ = x), y = 0, ±1, ±2,.... Nedan sammanfattas egenskaperna för den simultana sannolikhetsfunktionen p(x, y) samt hur de marginella och betingade fördelningarna fås från den. (Relationerna följer av sannolikhetsaxiomen och definitionen av betingad sannolikhet.) Sannolikhetsfunktionens egenskaper Sannolikhetsfunktionen p(x, y) för ξ = (ξ, η) uppfyller p(x, y) 0 för alla x, y = 0, ±1, ±2,..., samt p(x, y) = 1. (12.4) x,y=0,±1,±2,... De marginella sannolikhetsfunktionerna p ξ (x), p η (y) fås från p(x, y) enligt p ξ (x) = p(x, y), respektive p η (y) = p(x, y). y=0,±1,±2,... Från definitionen av betingad sannolikhet får vi x=0,±1,±2,... (12.5) p ξ η (x y) = p(x, y) p η (y) samt p η ξ (y x) = p(x, y) p ξ (x). (12.6) Exempel Betrakta sannolikhetsfunktionen p(x, y) i Exempel 12.1, där ξ och η betecknar Joels respektive Majas betyg.

10 4 12 Tvådimensionella fördelningar x\y S:a S:a (a) Beräkna (den marginella) fördelningen för ξ =Joels betyg. (b) Beräkna (den marginella) fördelningen för η =Majas betyg samt E(η). (c) Beräkna p η ξ (y 4), y = 3, 4, 5, dvs. beräkna den betingade fördelningen för η då man vet att Joel får en betyg 4. Lösning (a) Från (12.5) har vi p ξ (x) = 5 y=3 p(x, y), vilket är summan av talen på rad x i tabellen ovan, x = 3, 4, 5. Alltså har vi om x = 3, p ξ (x) = p(x, y) = 0.36 om x = 4, y= om x = 5. (b) Vi har från (12.6) att p η (y) = 5 x=3 p(x, y), vilket är summan av talen i kolumn y i tabellen, y = 3, 4, 5. Alltså ges fördelningen för η av om y = 3, p η (y) = p(x, y) = 0.36 om y = 4, x= om y = 5. Väntevärdet är E(η) = 5 yp η (y) = = y=3 (c) Från (12.6) har vi p η ξ (y 4) = p(4, y) p ξ (4). Alltså fås p η ξ (y 4) genom att dela varje tal på raden för x = 4 med summan = Vi får om y = 3, p η ξ (y 4) = om y = 4, om y = 5. En jämförelse mellan den marginella fördelningen i (b) och den betingade fördelningen i (c) visas i Figur 12.1.

11 12.3 Kontinuerlig tvådimensionell fördelning 5 Sannolikhet y p η (y) p η ξ (y 4) Figur 12.1: Jämförelse mellan den marginella fördelningen i (b) p η (y) = P (η = y) och den betingade fördelningen i (c) p η ξ (y 4) = P (η = y ξ = 4). Exempel Låt ξ och η vara antalet ettor respektive tvåor som fås på tio kast av en symmetrisk tärning. De marginella fördelningarna är Bin(10, 1/6) i båda fallen. Men vi får andra betingade fördelningar. Till exempel gäller att om vi har ξ = x ettor, så har η (den betingade) fördelningen Bin(10 x, 1 5 ). Intuitivt beror det på att om vi vet att ξ = x så finns det 10 x kast kvar som inte ger etta, och för vart och ett av dom är sannolikheten för en tvåa lika med 1/5. Detta kan också visas från definitionen (12.6). Övningar 1. En tärning kastas två gånger. Här har vi Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (6, 3), (6, 5), (6, 6)}, P (A) = #A/36. Beräkna (den simultana) sannolikhetsfunktionen för ξ = (ξ, η) om ξ är antalet prickar på det första kastet och η är antalet prickar på det andra kastet. 2. Låt p(x, y) vara sannolikhetsfunktionen i Exempel a) Beräkna sannolikheten P (ξ = 4, η = 5) b) Beräkna p ξ η (x 3). 3. (Trinomialfördelningen) Låt ξ och η vara antalet ettor respektive tvåor på 10 kast av en symmetrisk tärning. a) Beräkna sannolikheten P (ξ = 2, η = 3) b) Använd definitionen (12.6) för att bestämma fördelningen för η då vi vet att vi har 4 ettor Kontinuerlig tvådimensionell fördelning Vi minns att en slumpvariabel ξ sägs vara kontinuerlig om det finns en funktion f(x), som kallas frekvensfunktionen för ξ, med egenskaperna (a)-(e) i Sats

12 6 12 Tvådimensionella fördelningar 4A i kursboken Vännman: (a) f(x) 0 och f(x)dx = 1, (b) F (x) = f(x) (utom ev. i vissa skarvpunkter), F (x) = x f(t)dt, (c) P (a < ξ b) = b f(x)dx om a och b är tal med a < b, a (d) P (ξ > x) = f(t)dt = 1 F (x), x (e) P (ξ = x) = 0 för alla x. Några av egenskaperna är dock överflödiga i det att dom följer av dom andra. Det är faktiskt så att (a),(b),(d) och (e) alla följer från (c), dvs. från (c) P (a < ξ b) = b f(x)dx om a och b är tal med a < b. a Eftersom sannolikheter är icke-negativa och slumpvariabeln ξ med säkerhet tar något värde i intervallet (, ) så innebär (c) t.ex. att (a) f(x) 0 och f(x)dx = 1. Omvänt gäller att om f(x) uppfyller (a) så är den en frekvensfunktion för någon slumpvariabel. Dvs. man kan definiera ξ så att P (a < ξ b) = b f(x)dx gäller för alla tal a < b. a Ett annat namn på frekvensfunktionen är sannolikhetstäthetsfunktionen (probability density function eller p.d.f på engelska), vilket kanske är ett bättre namn med tanke på att egenskap (c) säger att vi kan betrakta f(x) som en funktion som anger hur sannolikhetsmassan är fördelad på tallinjen. För tvådimensionella kontinuerliga fördelningar är sannolikhetsmassan kontinuerligt fördelad i talplanet R 2. Definition En tvådimensionell slumpvariabel ξ = (ξ, η) sägs vara kontinuerlig om det finns en funktion f(x, y) av två variabler som uppfyller (i) f(x, y) 0 och f(x)dx = 1 R 2 (ii) För varje område D R 2 i planet gäller P (ξ D) = f(x)dx. (12.7) D Vi kallar f(x, y) för den simultana frekvensfunktionen för ξ = (ξ, η). På samma sätt som tidigare gäller att (i) följer av (ii) samt att man för varje funktion f(x, y) som uppfyller (i) kan man definiera en slumpvariabel ξ = (ξ, η) som har f(x, y) som sin simultana frekvensfunktion (dvs. så att (12.7) gäller). Exempel (Tvådimensionell likformig fördelning) Låt A R 2 vara ett område i planet vars area A är positiv. Om ξ = (ξ, η) har den simultana

13 frekvensfunktionen 12.3 Kontinuerlig tvådimensionell fördelning 7 f(x) = { 1 A om x A, 0 annars, (12.8) så säger vi att ξ är likformigt fördelad i A. Detta påminner om rektangelfördelningen R(0, 1) i fallet med en variabel. (Rektangelfördelning kallas ibland för just likformig fördelning.) Vi kommer att möta den likformiga fördelningen i fallet att A är en kvadrat eller cirkelskiva. Om A t.ex. är kvadraten {(x, y) : 0 x, y 1} så har vi { 1, 0 x 1, 0 y 1 f(x, y) = 0 för övrigt. Om A är den cirkelskiva som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med 1 får vi { 1 f(x, y) = π om x 2 + y 2 1, (12.9) 0 annars. Exempel I ett samhälle skall ett sjukhus placeras ut 1. Samhället kan beskrivas med en kvadrat, {(x, y) : 0 x, y 1}, där (x, y) = (0, 0) motsvarar samhällets sydvästra hörn. På grund av faktorer som t.ex. befolkningstäthet antas antalet olyckor längs en horisontell linje öka proportionellt mot x. Även olycksfrekvensen längs en vertikal linje antas öka proportionellt mot y. Platsen för en olycka kan därför betraktas som en observation på en tvådimensionell slumpvariabel ξ = (ξ, η) med frekvensfunktion { 4xy, 0 x 1, 0 y 1 f(x, y) = 0 för övrigt. Gatusystemet är beskaffat så att man endast kan färdas i en riktning som är parallell med koordinataxlarna. Man vill att en ambulans vid utryckning hinner fram till olycksplatsen inom 5 minuter, vilket är fallet om utryckningssträckan är högst Beräkna sannolikheten att ambulansen hinner fram vid utryckning om sjukhuset placeras i (0, 0). Lösning Om sjukhuset placeras i (0, 0) är utryckningssträckan ξ + η. Ambulansen hinner därför fram vid utryckning precis då ξ = (ξ, η) D, där D är triangeln {(x, y) : x + y 0.75}. Vi får 1 Problemet gavs på del 2 på tentamen i S0008M den 4 juni 2010

14 8 12 Tvådimensionella fördelningar P (ξ D) = f(x)dx D x = f(x, y)dydx x = 4xydydx = 2x(0.75 x) 2 dx 0 = (12.10) Begreppen marginell och betingad fördelning introducerades ovan för diskreta två-dimensionella fördelningar via marginell och betingad sannolikhetsfunktion. De har motsvarigheter för kontinuerliga tvådimensionella fördelningar. Nedan beskrivs hur de marginella och betingade frekvensfunktionerna fås från den simultana frekvensfunktionen. De marginella och betingade frekvensfunktionerna Om ξ = (ξ, η) har den simultana frekvensfunktionen f(x, y) så fås de marginella frekvensfunktionerna f ξ, f η för ξ respektive η betraktade var för sig enligt f ξ (x) = f(x, y)dy respektive f η (y) = f(x, y)dx. (12.11) Frekvensfunktionerna f ξ η (x y) och f η ξ (y x) för ξ och η givet η = y respektive ξ = x fås som f ξ η (x y) = f(x, y) f η (y) och f f(x, y) η ξ(y x) = f ξ (x). (12.12) Exempel (Likformig fördelning på en kvadrat) Låt A vara kvadraten 0 x 1, 0 y 1 och låt ξ = (ξ, η) vara likformigt fördelad på A. Beräkna de marginella fördelningarna för ξ och η. Lösning Vi har (se Exempel 12.5) { 1 om 0 x 1, 0 y 1, f(x, y) = 0 annars. (12.13) Vi skall beräkna (12.11), dvs. f ξ (x) = f(x, y)dy.

15 12.3 Kontinuerlig tvådimensionell fördelning 9 Om x < 0 eller x > 1 är integranden f(x, y) lika med noll oavsett vilket värde vi har på y, vilket betyder att f ξ (x) = f(x, y)dy = 0 (12.14) Om däremot x [0, 1] så är f(x, y) = 1 om 0 y 1 och noll annars, vilket ger Alltså har vi På samma sätt får vi f ξ (x) = f ξ (x) = f η (y) = Lägg märke till att ξ, η R(0, 1). f(x, y)dy = 1 { 1 om 0 x 1, 0 annars. 0 { 1 om 0 y 1, 0 annars. 1dy = 1 (12.15) (12.16) (12.17) Exempel (Likformig fördelning på en cirkelskiva) Låt ξ = (ξ, η) vara likformigt fördelad på cirkelskivan som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med 1. Bestäm den betingade fördelningen för η givet ξ. Lösning Den simultana frekvensfunktionen (12.9) kan skrivas f(x, y) = { 1 π om 1 x 2 < y < 1 x 2, 0 annars. (12.18) Vi får därför { 1 x 2 f ξ (x) = f(x, y)dy = 1 1 x 2 π dy = 2 π 1 x2, om 1 < x < 1, 0 annars. (12.19) Den betingade fördelningen f η ξ (y x) = f(x, y) f(x) = { x 2, om 1 x 2 < y < 1 x 2, 0 annars. (12.20) Vi ser att den betingade fördelningen för η givet ξ = x är en rektangelfördelning på intervallet ( 1 x 2, 1 x 2 ). Övningar

16 10 12 Tvådimensionella fördelningar 1. Två personer kommer överens om att träffas på en viss plats en viss dag mellan kl och och vänta högst 20 minuter på varandra. Om de anländer oberoende av varandra vid slumpmässigt valda tider under den timmen, hur stor är sannolikheten att de träffas? 2. En person åker först med buss 1, sedan med buss 2. Väntetiderna ξ och η är oberoende och rektangelfördelade på intervallen (0, 10) respektive (0, 8), där enheten är minuter. Bestäm sannolikheten att personen får vänta sammanlagt minst 16 minuter på de två bussarna. 3. ([1], sid 85) Låt ξ = (ξ, η) ha den simultana frekvensfunktionen Visa att P (ξ 2 η > 1) = e Beroende och samvariation Låt ξ och η vara slumpvariabler. Om f(x, y) = e x2y, x 1, y 0. P (ξ < x, η < y) = P (ξ < x)p (η < y) för alla tal x, y så säger vi att ξ och η är oberoende. (Detta enl. definitionen på sidan 135 i Vännman.) Två slumpvariabler som inte är oberoende sägs vara beroende. Sats 12A Låt ξ och η vara slumpvariabler. Om variablerna är diskreta är de oberoende om och endast om p(x, y) = p ξ (x)p η (y) för alla värden på x och y. Om variablerna är kontinuerliga är de oberoende om och endast om f(x, y) = f ξ (x)f η (y) för alla värden på x och y. I allmänhet (dvs. oavsett om vi har diskret eller kontinuerlig fördelning) gäller att ξ och η är oberoende om och endast om F (x, y) = F ξ (x)f η (y) för alla värden på x och y, där F (x, y) är den simultana fördelningsfunktionen (se ekvation (12.1)) och där F ξ och F η är fördelningsfunktionerna för ξ och η. Exempel Låt ξ och η vara betygen för Joel och Maja i Exempel 12.1: x\y S:a S:a

17 12.3 Kontinuerlig tvådimensionell fördelning 11 Avgör om ξ och η är oberoende. Lösning Vi har t.ex. P (ξ = 5) = 0.17 och P (η = 3) = Eftersom P (ξ = 5, η = 3) = = P (ξ = 5) P (η = 3) så är ξ och η beroende. Exempel Låt A vara kvadraten 0 x, y 1 och låt ξ = (ξ, η) vara likformigt fördelad på A. Den simultana frekvensfunktionen ges av { 1 om 0 x, y 1, f(x, y) = (12.21) 0 annars. I Exempel 12.7 beräknade vi marginalfördelningarna { { 1 om 0 x 1, 1 om 0 y 1, f ξ (x) = och f η (y) = 0 annars, 0 annars. (12.22) Eftersom f(x, y) = f ξ (x)f(y) så är variablerna oberoende. Exempel Låt A vara cirkelskivan med centrum i origo och radie lika med 1. Om ξ = (ξ, η) är likformigt fördelad på A ges den simultana frekvensfunktionen ges av f(x) = { 1 π om x 2 + y 2 1, 0 annars. (12.23) Att variablerna ξ och η inte är oberoende i detta fall följer av att (12.23) inte kan skrivas som produkten av en funktion som endast beror av x och en funktion som endast beror av y. På Lektion 2 såg vi att två händelser A och B är oberoende, dvs. P (A B) = P (A)P (B), om och endast om P (A B) = P (A). (12.24) Ett liknande resultat gäller för slumpvariabler. Med hjälp av Sats 12A är det lätt att övertyga sig om att två diskreta variabler ξ och η är oberoende om och endast om p η ξ (y x) = p η (y). I det kontinuerliga fallet är variablerna oberoende om och endast om f η ξ (y x) = f η (y). (Se övning 2.) Intutivt gäller alltså att två variabler är oberoende om värdet på den en inte påverkar fördelningen för den andra. Om två variabler är beroende så kan man införa olika mått på i vilken grad dom är beroende. Korrelationen ger ett mått på graden av linjärt beroende.

18 12 12 Tvådimensionella fördelningar Definition Låt ξ, η vara slumpvariabler med väntevärden och standardavvikelser µ x, σ x, µ y, σ y. Kovariansen mellan ξ och η definieras som Cov(ξ, η) = E ((ξ µ x )(η µ y )). Korrelationen mellan ξ och η betecknas ρ(ξ, η) eller ρ och definieras som ρ(ξ, η) = Cov(ξ, η) σ x σ y. (12.25) Exempel Beräkna korrelation för Joels och Majas betyg. Den simultana fördelningen för ξ, η är x\y S:a S:a Lösning Beräkning av väntevärden och standardavvikelser med hjälp av de marginella fördelningarna (se Exempel 12.3) ger µ y = 3.96, σ y = 0.799, µ x = 3.7 och σ x = Beräkningen ρ = 1 σ x σ y 5 x=3 y=3 5 (x µ x )(y µ y )p(x, y) är jobbig att genomföra för hand men ger svaret Här har vi att ρ > 0, så att Joel och Majas betyg är positivt (linjärt) beroende. Vi skulle kunna tolka det som att Maja och Joel efter att ha pluggat tillsammans behärskar ungefär samma stoff. Om ξ och η är oberoende så kan man använda Sats 12A för att visa att E ((ξ µ x )(η µ y )) = E (ξ µ x ) E (η µ y ) = 0. Alltså är korrelationen mellan två oberoende variabler lika med noll. Att korrelationen är noll betyder dock inte variablerna är oberoende bara att det inte finns något linjärt samband. Man kan visa att 1 ρ 1 samt att ρ = 1 om och endast om ξ och η är linjära funktioner av varandra. Figur 12.2 visar 1000 observationspar på slumpvariabler med ρ = 0.9, ρ = 0.5, ρ = 0.0, ρ = 0.5, ρ = 0.9 respektive ρ = 1.0. Sats 12B Låt ξ och η vara slumpvariabler. Vi har V (ξ + η) = V (ξ) + V (η) + 2Cov(ξ, η).

19 12.3 Kontinuerlig tvådimensionell fördelning 13 yi yi ρ = x i ρ = x i yi yi ρ = x i ρ = x i yi yi ρ = x i ρ = x i Figur 12.2: 1000 par observationer (x i, y i ) på en tvådimensionell slumpvariabel. Bevis av Sats 12B: Från del (a) av Sats 5A vet vi att E (ξ + η) = µ x + µ y. Vi får därför V (ξ + η) = E ( (ξ + η (µ x + µ y )) 2) = E ( ((ξ µ x ) + (η µ y )) 2) = E ( (ξ µ x ) 2 + (η µ y ) 2 + 2(ξ µ x )(η µ y ) ) = E ( (ξ µ x ) 2) + E ( (η µ y ) )2 + 2E ( (ξ µ x )(η µ y ) ) = V (ξ) + V (η) + 2Cov(ξ, η). Om ξ och η är oberoende så blir den sista termen noll och vi får Sats 5A (d). Övningar 1. Beräkna de marginella fördelningarna i Exempel Är variablerna oberoende? 2. Låt ξ och η vara diskreta slumpvariabler med den simultana sannolikhetsfunktionen p(x, y). Använd Sats 12A för att övertyga dig om att ξ och η är oberoende om och endast om p η ξ (y x) = p η (y). 3. Antag ξ och η är beroende slumpvariabler vars varianser är V (ξ) = 1 och V (η) = 4. Om variablerna varit oberoende hade vi haft V (ξ 1 + ξ 2 ) = 5 enligt Sats 5A (d). Men eftersom variablerna är beroende behöver inte detta gälla. Dock kan inte V (ξ 1 + ξ 2 ) bli hur liten eller stor som helst. Hur stor kan V (ξ 1 + ξ 2 ) högst vara? Vad är det minsta möjliga värdet på V (ξ 1 + ξ 2 )?

20 14 12 Tvådimensionella fördelningar Lagen om total sannolikhet Vi använde Lagen om total sannolikhet redan på Lektion 2 (se uppgift 6, övning 2.24 på sid 61 i Vännman). Resultatet säger följande. Antag att B 1,..., B n är disjunkta händelser och att man vet att minst en av händelserna inträffar, dvs n j=1 B j = Ω. För en godtycklig händelse A gäller då att P (A) = n P (A B j )P (B j ). j=1 Exempel (Övning 2.24 på sid 61 i Vännman) Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har produktionen förlagd till tre olika fabriker. Fabrik a står för 50 % av tillverkningen, fabrik b för 20% och fabrik c för 30%. Man vet att ett batteri från fabrik a har 95 % sannolikhet att räcka mer än 100 driftstimmar. Motsvarande sannolikhet för fabrik b och c är 97 respektive 98 %. Man har blandat batterier från de tre fabrikerna i ett stort centrallager. Vad är sannolikheten att ett batteri som tas på måfå från centrallagret räcker mer än 100 driftstimmar? Lösning Låt H vara händelsen att batteriet som tas på måfå räcker mer än 100 driftstimmar och låt A, B, C vara händelserna att batteriet kommer från fabrik a, b respektive c. Eftersom A, B, C är parvis disjunkta och vi vet att batteriet kommer från någon av de tre fabrikerna ger lagen om total sannolikhet att P (H) = P (H A)P (A) + P (H B)P (B) + P (H C)P (C). Enligt uppgift har vi P (H A) = 0.95, P (H B) = 0.97, P (H C) = 0.98 samt P (A) = 0.5, P (B) = 0.2 och P (C) = 0.3. Det ger P (H) = Betingade väntevärden Om ξ och η är slumpvariabler så låter vi E (η ξ = x) beteckna väntevärdet i den betingade fördelningen för η då det är givet att ξ = x. I fallet att båda variablerna är antingen diskreta eller kontinuerliga så har vi t.ex. { y= E (η ξ = x) = yp η ξ(y x) (båda variablerna diskreta), yf η ξ(y x)dy (båda variablerna kontinuerliga). Exempel Låt ξ och η vara betygen för Joel och Maja i Exempel Den simultana fördelningen är

21 12.3 Kontinuerlig tvådimensionell fördelning 15 x\y S:a S:a Bestäm väntevärdet av Majas betyg givet att Joel får betyg 4. (Tänk dig att Joel gör tentan först och att Maja får veta att Joel fick betyg 4 men inte hur tentan ser ut.) Lösning I Exempel 12.3 beräknade vi om y = 3, p η ξ (y 4) = om y = 4, om y = 5, så vi får det betingade väntevärdet E (η ξ = 4) = 5 yp η ξ (y 4) = = y=3 Detta skall jämföras med E (η) = 3.96 (se Exempel 12.3). En intuitiv tolkning är att Joels resultat antyder att tentan inte var så svår och/eller att den stämde väl överens med det dom pluggat på tillsammans Lagen om totalt väntevärde Vi vill nu för två slumpvariabler ξ och η införa det betingade väntevärdet E (η ξ) för η då värdet på ξ är givet. Vi kan betrakta E(η ξ = x) som en funktion av x, säg g(x) def = E (η ξ = x). Det betingade väntevärdet E (η ξ) av η givet ξ är den slumpvariabel vi får om vi sätter in ξ i g, dvs. E (η ξ) def = g(ξ). Lagen om total sannolikhet kan ses som ett specialfall av följande resultat. Lagen om totalt väntevärde Om ξ, η är slumpvariabler så gäller att E (η) = E (E (η ξ)). Exempel Antalet kunder som kommer in i en mataffär under en timme är Poissonfördelat med λ = 15. Man vet att 20 % av kunderna köper mjölk. Låt ξ vara antal kunder som köper mjölk under en timme. Bestäm E(ξ).

22 16 12 Tvådimensionella fördelningar Lösning Låt η vara antalet kunder som kommer in i affären på en timme och låt ξ vara antalet kunder som köper mjölk under timmen i fråga. Vi har η P o(15). Givet att η = y så har vi att ξ Bin(y, 0.2). Det betyder att E (ξ η = y) = 0.2y, där vi använt att väntevärdet i Bin(n, p)-fördelningen är lika med np. Vi alltså att E (ξ η) = 0.2η, så E(ξ) = E(E (ξ η)) = E(0.2η) = 0.2E(η) = = 7.2. Här har vi utnyttjat Sats 5A och att väntevärdet i P o(λ)-fördelningen är lika med λ. Övningar 1. Antag att livslängderna för batterierna i Exempel är Exponentialfördelade. Beräkna väntevärdet av livslängden för ett batteri som på måfå tas från centrallagret. 2. ([1], sid 85) Låt ξ = (ξ, η) ha den simultana frekvensfunktionen f(x, y) = e x2y, x 1, y 0. Bevisa att ξ och η är beroende. Ledning: Bilda kvoten f(x, y)/f ξ (x) och tänk, men räkna inte.

23 13 Flerdimensionell normalfördelning En slumpvariabel ξ = (ξ 1, ξ 2 ) med tvådimensionell normalfördelning har egenskapen att ξ 1 och ξ 2 är normalfördelade betraktade var för sig. Men vi antar inte att ξ 1 och ξ 2 är oberoende. Exempel (Fortsättning på problem 1 från Lektion 10) Majas och Joels utgifter för kursmaterial under en månad, ξ M respektive ξ J, antas vara normalfördelade, ξ M N(µ 1, σ 1 ) och ξ J N(µ 2, σ 2 ). Maja och Joel läser delvis samma kurser och deras utgifter är därför beroende. Korrelationskoefficienten ρ är positiv. Exempel En student från LTU väljs slumpmässigt. Låt ξ 1 och ξ 2 vara handledsmåttet på den dominanta respektive den icke-dominanta sidan. Ett rimligt antagande är att ξ 1 och ξ 2 är normalfördelade var för sig, ξ 1 N(µ 1, σ 1 ) och ξ 2 N(µ 2, σ 2 ), men att ξ 1 och ξ 2 är beroende med positiv korrelationskoefficient. Den beskrivning av den tvådimensionella normalfördelningen som ges ovan gör att man förstår hur fördelningen används. Nedan ges två ordentliga definitioner. Man kan visa att dom är ekvivalenta. Definition 1 En tvådimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1, ξ 2 ) sägs ha en tvådimensionell normalfördelning om varje linjärkombination c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2, c 1 och c 2 konstanter, har en vanlig, endimensionell normalfördelning. Exempel Antag att Majas och Joels utgifter för kursmaterial under en månad, ξ M respektive ξ J, har en tvådimensionell normalfördelning, där

24 18 13 Flerdimensionell normalfördelning ξ M N(µ 1, σ 1 ) och ξ J N(µ 2, σ 2 ) och där korrelationen är ρ. Konstanterna µ 1, σ 1, µ 2, σ 2, ρ antas ha givna värden. Bestäm fördelningen för ξ M + ξ J. Lösning Att ξ = (ξ M, ξ J ) har en tvådimensionell normalfördelning betyder (enligt Definition 1) att ζ = ξ M + ξ J är normalfördelad. Sats 5A ger att väntevärdet är µ 1 + µ 2. Sats 12B ger V (ζ) = V (ξ M ) + V (ξ J ) + 2Cov(ξ M, ξ J ) = σ σ ρσ 1 σ 2. Alltså har vi ζ N(µ 1 + µ 2, σ σ ρσ 1σ 2 ). Nedan ges en alternativ definition av tvådimensionell normalfördelning. Då vi utgår från Definition 2 betraktar vi Definition 1 som en sats. Definition 2 En tvådimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1, ξ 2 ) sägs ha en tvådimensionell normalfördelning om den simultana frekvensfunktionen ges av f(x 1, x 2 ) = där 1 < ρ < πσ 1 σ 2 1 ρ 2 e 1 2(1 ρ 2 ) [ (x 1 µ 1 )2 σ (x 2 µ 2 )2 σ 2 2 ) 2ρ(x 1 µ 1 )(x 2 µ 2 ) σ 1 σ ] 2, (13.1) Med hjälp av en uträkning som vi inte redovisar här kan man visa att konstanten ρ i (13.1) är korrelationskoefficienten (se ekvation (12.25) ovan) mellan ξ 1 och ξ 2. Detta ger oss direkt ett resultat som är speciellt för normalfördelningen. Sats 13A Låt ξ = (ξ 1, ξ 2 ) ha en tvådimensionell normalfördelning. Om ρ(ξ 1, ξ 2 ) = 0 så är ξ 1 och ξ 2 oberoende. Bevis Det gäller allmänt att ρ(ξ 1, ξ 2 ) = 0 om ξ 1 och ξ 2 är oberoende. Det som är speciellt är alltså att ξ 1 och ξ 2 är oberoende om ρ(ξ 1, ξ 2 ) = 0. För att visa detta räcker det att verifiera att 1 f(x 1, x 2 ) = e (x 1 µ 1) 2πσ1 2 2σ e (x 2 µ 2) 2σ 2 2 (13.2) 2πσ2 och sedan hänvisa till Sats 12A. Mycket riktigt fås (13.2) om vi sätter ρ = 0 i (13.1). Följande resultat är användbart. 2

25 13 Flerdimensionell normalfördelning 19 Sats 13B Låt ξ = (ξ 1, ξ 2 ) ha en tvådimensionell normalfördelning, där ξ 1 N(µ 1, σ 1 ) och ξ 2 N(µ 2, σ 2 ), ρ(ξ 1, ξ 2 ) = ρ. Den betingade fördelningen för ξ 1 givet att ξ 2 = x 2 är N(µ 1 + ρ σ 1 σ 2 (x 2 µ 2 ), (1 ρ 2 )σ 1 ). Den betingade fördelningen för ξ 2 givet att ξ 1 = x 1 är N(µ 2 + ρ σ 2 σ 1 (x 1 µ 1 ), (1 ρ 2 )σ 2 ). Bevis (Skiss) Från definitionen (12.12) har vi att f ξ2 ξ 1 (x 2 x 1 ) = f(x 1, x 2 ) f ξ1 (x 1 ), där f(x 1, x 2 ) är den simultana frekvensfunktionen (13.1) och där 1 f ξ1 (x 1 ) = e (x 1 µ 1) 2σ 1 2 2πσ1 är frekvensfunktionen för N(µ 1, σ 1 )-fördelningen. Efter förenkling fås f ξ2 ξ 1 (x 2 x 1 ) = f(x 1, x 2 ) f ξ1 (x 1 ) = 2 1 2πσ 2 e där µ 2 = µ 2 + ρ σ2 σ 1 (x 1 µ 1 ) och σ 2 = (1 ρ 2 )σ 2. (x 2 µ 2 )2 2(σ 2 )2, Exempel (Forts.) Majas och Joels utgifter, ξ M och ξ J, antas ha en tvådimensionell normalfördelning, där ξ M N(420, 30) och ξ J N(340, 25) och där korrelationskoefficienten är ρ = 0.6. Antag att Maja får veta att Joels utgifter en viss månad är 370 kr. Vad är det betingade väntevärdet av hennes utgifter för den aktuella månaden? Lösning Givet att ξ J = 370 så har vi, enligt Sats 13B, att ξ M N( , ( ) 30) = N(441.6, 24). Väntevärdet av Majas utgifter under den aktuella månaden är alltså kr om vi vet att Joels utgifter är 370 kr. Kommentar Observera att beroendet innebär två saker för Majas betingade fördelning då man får veta att ξ J = ) Väntevärdet ökar från 420 till Det är så klart en konsekvens av att Joels utgifter ligger över genomsnittet och att korrelationen är positiv. 2) Standardavvikelsen har minskat.

26 20 13 Flerdimensionell normalfördelning Anledningen är att en del av osäkerheten avlägsnas då vi vet värdet på ξ J. Hur den marginella och den betingade fördelningen ser ut samt hur dess former kan tolkas från den tvådimensionella fördelningen beskrivs i Figur 13.1 och 13.2 nedan f(x M, x J ) x M x J Figur 13.1: Frekvensfunktionen f(x M, x J ) för den tvådimensionella normalfördelning som beskriver Majas och Joels utgifter. Ellipserna ger frekvensfunktionens nivåkurvor och visar på den positiva korrelationen ρ = 0.6 mellan Majas och Joels utgifter. Det gröna tvärsnittet visar f(x M, 370) och är täljaren i definitionen (12.12) för betingade frekvensfunktioner. Notera att det gröna tvärsnittet inte är en frekvensfunktion då den inte integrerar till ett. Parametrarna som karaktäriserar den tvådimensionella normalfördelningen är alltså µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 samt ρ. Vi kan sammanfatta dessa i väntevärdesvektor µ = (µ 1, µ 2 ) och kovariansmatris C. Elementen i C definieras c ij = Cov(ξ i, ξ j ) = E ((ξ i µ i )(ξ j µ j )), i, j = 1, 2. Vi har alltså C = ( ) c11 c 12 = c 21 c 22 ( ) σ 2 1 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ 2 2

27 13 Flerdimensionell normalfördelning f(x M, x J ) f(x M, 370) x M f ξm (x M ) f ξm ξj (x M 370) x M Figur 13.2: Den vänstra bilden visar Figur 13.1 utritad längs med x M -axeln. Den högra bilden visar den marginella frekvensfunktionen f ξm (x M ) i svart (dvs. innan Maja får veta att ξ J = 370) och den betingade frekvensfunktionen f ξm ξ J (x M 370) i grönt (dvs. givet ξ J = 370). Det gröna tvärsnittet i figuren till höger har samma form som den gröna betingade frekvensfunktionen f ξm ξ J (x M 370). Detta då tvärsnittet är täljaren i uttrycket för betingade frekvensfunktioner (12.12), dvs f(x M, 370). Att studera integralen (summan) av den tvådimensionella normalfördelning f(x M, x J ) i Figur 13.1 samt tvärsnitt av denna ger oss en bild av hur frekvensfunktionerna ändras när vi går från den marginella fördelningen till den betingade fördelningen givet ny information. På Laboration 3 kommer vi att använda följande resultat. Här betyder matrismultiplikation och T transponatet av en vektor eller en matris. Sats 13C Antag att ξ = (ξ 1, ξ 2 ) är en tvådimensionell normalfördelad slumpvariabel med väntevärdesvektor µ = (µ 1, µ 2 ) och kovariansmatris C. Om ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 är en matris och b = (b 1, b 2 ) är en konstant vektor så har ( ) ζ T ζ1 = = A ξ T + b T ζ 2 tvådimensionell normalfördelning med väntevärdesvektor A µ T + b T och kovariansmatris A C A T. Exempel Antag att ζ 1 och ζ 2 är oberoende och N(0, 1)-fördelade och låt ζ = (ζ 1, ζ 2 ). Finn en matris A och en vektor b så att ξ T = A ζ T + b T

28 22 13 Flerdimensionell normalfördelning får kovariansmatris C = och väntevärdesvektor µ = (1.5, 2). ( ) Lösning Kovariansmatrisen för ζ är identitetsmatrisen. Enligt Sats 13E är kovariansmatrisen för A ζ T +b T därför lika med A A T. Alltså ska A uppfylla A A T = C. Om vi löser den ekvationen, t.ex. genom att dra kvadratroten ur matrisen C med hjälp av dator, så får vi A = ( Så om vi nu definierar b = (1.5, 2) så får A ζ T + b T önskad kovariansmatris och väntevärdesvektor. ). Övningar 1. Majas och Joels utgifter för kursmaterial under en månad, ξ M respektive ξ J, antas vara normalfördelade var för sig, ξ M N(420, 30) och ξ J N(340, 25). Maja och Joel läser delvis samma kurser så deras utgifter är beroende. Korrelationskoefficienten är ρ = 0.6. a) Beräkna sannolikheten att deras totala utgifter överstiger 900 kr. b) Beräkna sannolikheten att Majas utgifter är större än Joels. c) Beräkna sannolikheten att Majas utgifter en månad är minst 450 kr givet att Joels utgifter är 390 kr. 2. (Bevis av Sats 13C) Antag att ξ = (ξ 1, ξ 2 ) har en tvådimensionell normalfördelning med kovariansmatris ( ) σ 2 C = 1 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ2 2 a) Låt a = (a 1, a 2 ) vara en konstant vektor. Visa att ξ + a har samma kovariansmatris som ξ = (ξ 1, ξ 2 ). b) Låt ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 vara en matris och definiera ζ T = ( ζ1 Visa att kovariansmatrisen för ζ är ) = A ξ T ζ 2 A C A T.

29 14 Flerdimensionella fördelningar Vi får nästan hela teorin för flerdimensionella slumpvariabler genom att byta ut talet 2 mot ett godtyckligt d i definitionerna och satserna i Kapitel 12. Definition En d-dimensionell slumpvariabel är en punkt ξ = (ξ 1,..., ξ d ) i R d, där ξ 1,..., ξ d är en endimensionella slumpvariabler. Ibland betraktar vi d-dimensionell slumpvariabler som vektorer Diskret flerdimensionell fördelning En d-dimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1,..., ξ d ) sägs vara diskret om ξ 1,..., ξ d är diskreta slumpvariabler. Vi antar för enkelhetens skull att variablerna endast antar heltalsvärden. Definition Låt ξ vara en flerdimensionell slumpvariabel. Storheterna p(x 1,..., x d ) = P (ξ 1 = x 1,..., ξ d = x d ), x j = 0, ±1, ±2,..., j = 1,..., d kallas den simultana sannolikhetsfunktionen för ξ. Exempel (Multinomialfördelningen) Låt n 1, p p d < 1 och definiera n! p(x 1,..., x d ) = x 1!x 2!... x d! px1 1 px px d d, där d j=1 p j = 1 och där x 1,..., x d är icke-negativa heltal vars summa är lika med n. En d-dimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1,..., ξ d ) med denna sannolikhetsfunktion sägs ha en Mulnomialfördeling. Vi skriver ξ Multi(n, d, p 1,..., p d ). Exempel Om vi t.ex. kastar en tärning 10 gånger och låter ξ J vara antalet j:or, j = 1,..., 6, så har vi ξ = (ξ 1,..., ξ 6 ) Multi(10, 6, 1/6,..., 1/6).

30 24 14 Flerdimensionella fördelningar Sannolikhetsfunktionens egenskaper Om p(x) är sannolikhetsfunktionen till ξ = (ξ 1,..., ξ d ) så har vi p(x) 0 samt p(x) = 1. (14.1) x 1,...,x d =0,±1,±2,... De marginella sannolikhetsfunktionerna p j (x j ) = p(x) alla x i, i j fås genom att summera över alla x i x j. (14.2) 14.2 Kontinuerlig flerdimensionell fördelning Även definitionen av flerdimensionell kontinuerlig fördelning är analog med definition då vi hade två variabler. Definition Slumpvariablen ξ = (ξ 1,..., ξ d ) sägs vara kontinuerlig om det finns en funktion f(x 1,..., x d ) av d variabler, den s.k. simultana frekvensfunktionen, som uppfyller (a) f(x) 0 och f(x)dx = 1 R d (b) För varje område D R d gäller P (ξ D) = f(x)dx. D De marginella frekvensfunktionerna Låt ξ = (ξ 1,..., ξ d ) vara kontinuerlig med den simultana frekvensfunktionen f(x). De marginella frekvensfunktionerna f 1,..., f d fås från f som f j (x j ) =... f(x 1,..., x d )dx 1... dx j 1 dx j+1... dx d. Exempel (Likformig fördelning) Låt A R d vara ett område vars volym A är positiv. Om ξ = (ξ 1,..., ξ d ) har den simultana frekvensfunktionen f(x) = { 1 A om x A, 0 annars, (14.3) så säger vi att ξ är likformigt fördelad i A. Om A är kuben 0 x 1, x 2, x 3 1 så får vi

31 14.2 Kontinuerlig flerdimensionell fördelning 25 f(x) = { 1 om 0 x 1, x 2, x 3 1, 0 annars. (14.4) Om A är den klot som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med R får vi { 3 f(x) = 4πR om x x2 2 + x2 3 R, (14.5) 0 annars. Exempel Väteatomen består av en atomkärna och en enda elektron. Innan mätning kan elektronens position relativt kärnan betraktas som slumpmässig och positionen kan därför beskrivas med en tredimensionell slumpvariabel ξ = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ). Då atomen befinner sig i grundtillståndet är den simultana frekvensfunktionen f(x 1, x 2, x 3 ) = 1 πa 3 e 2 x 2 1 +x2 2 +x2 3 /a0, x > 0, 0 där a 0 är den s.k. Bohr-radien 1. Exempel Låt ξ 1, ξ 2, ξ 3 vara oberoende slumpvariabler, var och en med en N(µt, σ t) fördelning, där µ, σ > 0 är konstanter och där t 0. Den tredimensionella slumpvariabeln ξ = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) kan användas för att beskriva positionen för en partikel i en gas Beroende och samvariation Vi minns (se definitionen på sidan 135 i Vännman) att slumpvariablerna ξ 1,..., ξ d är oberoende om P (ξ 1 < x 1,..., ξ d < x d ) = P (ξ 1 < x 1 )... P (ξ d < x d ) för alla tal x 1,..., x d. Vi har Sats 14A Låt ξ 1,..., ξ d vara slumpvariabler. Om variablerna är diskreta är de oberoende om och endast om p(x 1,..., x d ) = p 1 (x 1 )... p d (x d ) för alla värden på x 1,..., x d. Om variablerna är kontinuerliga är de oberoende om och endast om f(x 1,..., x d ) = f 1 (x 1 )... f d (x d ) för alla värden på x 1,..., x d. 1 Bohr-radien är a 0 =

32

33 15 Funktioner av stokastiska variabler Man är ofta intresserad av att studera en funktion ζ = g(ξ) av en stokastisk variabel ξ. Exempel som dyker upp är g(x) = x 2, g(x) = log(x) eller g(x) = e itx. Mer allmänt kan man undersöka en funktion g(ξ 1,..., ξ n ) av flera variabler. I det här kapitlet sysslar vi uteslutande med kontinuerliga fördelningar. Om ζ = g(ξ 1,..., ξ n ) så tar vi fram fördelningsfunktionen F ζ genom att använda den simultana frekvensfunktionen f(x 1,..., x n ) för ξ 1,..., ξ n. Vi får väntevärdet E (ζ) antingen genom att beräkna eller med hjälp av zf ζ (z)dz, där f ζ (z) = F (z), (15.1) Sats 15A Om f(x 1,..., x n ) är den simultana frekvensfunktionen till ξ 1,..., ξ n och ζ = g(ξ 1,..., ξ n ) så har vi E (ζ) = g(x)f(x)dx. (15.2) R n 15.1 Linjärtransformation Antag att ξ är en kontinuerlig slumpvariabel med frekvensfunktion f och fördelningsfunktion F. Låt ζ = aξ + b, där a > 0 och b är konstanter. Vi har F ζ (z) = P (aξ + b z) = P (ξ z b a ) = F (z b a ). Om vi nu deriverar och använder F (x) = f(x) så får vi f ζ (z) = F ζ(z) = 1 a f(z b a ).

34 28 15 Funktioner av stokastiska variabler Exempel Om ξ N(0, 1) och σ > 0 så ges frekvensfunktionen för ζ = σξ + µ av 1 σ ϕ(z µ σ ) = 1 e (z µ)2 2σ 2. 2πσ Alltså gäller att σξ + µ N(µ, σ) om ξ N(0, 1). Övningar 1. Bestäm frekvensfunktionen för ζ = ξ/λ om ξ Exp(1) och λ > 0. Känner du igen fördelningen? 15.2 Kvadrattransformation Antag att ξ är en kontinuerlig slumpvariabel med frekvensfunktion f och fördelningsfunktion F. Låt ζ = ξ 2. Om z 0 så har vi P (ζ z) = 0. Om z > 0 får vi Derivering ger F ζ (z) = P (ζ z) = P ( z ξ z) = F ( z) F ( z). f ζ (z) = F ζ(z) = 1 2 z (f( z) + f( z)). Exempel Låt ξ N(0, 1). Frekvensfunktionen för ζ = ξ 2 är f ζ (z) = 1 1 ( e z/ e z/2 ) = z 2π 2π zπ e z/2. Om vi jämför med frekvensfunktionen på sidan 221 i Vännman så ser vi att ξ 2 har en χ 2 (1)-fördelning. Man kan visa att n i=1 ξ2 i χ2 (n) om ξ 1,..., ξ n är oberoende och N(0, 1)-fördelade.

35 15.3 Invers-transformation 29 Övningar 1. Antag att ζ χ 2 (1). Beräkna P (ζ 1). 2. (Se Exempel 14.5.) Låt ξ 1, ξ 2, ξ 3 vara oberoende slumpvariabler, var och en med en N(0, t)-fördelning. Den tre-dimensionella slumpvariabeln ξ = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) anger positionen för mikroskopisk partikel vid tiden t. Använd att 3 i=1 ξ2 i χ2 (3) för att beräkna sannolikheten att partikeln vid tiden t = 1 befinner på ett avstånd från origo som är högst (Se tabellen över χ 2 -fördelningen i Vännman.) 15.3 Invers-transformation Sats 15B Antag att η R(0, 1) och att F är fördelningsfunktionen för en kontinuerlig fördelning. Låt F 1 vara inversen till F och betrakta slumpvariabeln ξ = F 1 (η). Det gäller då att fördelningsfunktionen för ξ ges av F. Anmärkning: Att fördelningen är kontinuerlig betyder att F är kontinuerlig. Om vi också antar att F är strikt ökande (vilket är fallet för alla kontinuerliga fördelningar som vi normalt stöter på) så är funktionen F entydig, dvs. F (x) = F (y) x = y. Det betyder att inversen F 1 (u) är definierad som det värde på x för vilket F (x) = u. Bevis av Sats 15B Vi använder att om η R(0, 1) så har vi (se avsnitt i Vännman) 0, y < 0 P (η y) = y, 0 y 1 1, y > 1. Nu beräknar vi fördelningsfunktion F ξ (x) för ξ = F 1 (η), där F är den givna fördelningsfunktionen. Vi har F ξ (x) = P (ξ x) = P (F 1 (η) x) = P (η F (x)) = F (x), där vi har använt att F 1 (η) x η F (x) eftersom F är ökande. (15.3) Exempel Fördelningsfunktionen F (x) = 1 e λx för Exp(λ)-fördelningen (se avsnitt 4.2 i Vännman) har inversen F 1 (u) = log(1 u)/λ. Så om η R(0, 1) har vi att log(1 η)/λ Exp(λ). Resultatet i Exempel 15.3 kan användas om man vill simulera Exponentialfördelade slumpvariabler: Först tar vi fram en R(0, 1) fördelad slumpvariabel, t.ex. i MATLAB med hjälp av rand, som sedan log-transformeras.

36 30 15 Funktioner av stokastiska variabler Figur 15.1: D z, z < 1 samt D z, z > 1 Övningar 1. Antag att ξ Exp(1). Bestäm frekvensfunktionen för ζ = e ξ. Känner du igen fördelningen? 15.4 Summa av oberoende R(0, 1)-fördelade slumpvariabler Från Exempel 6.7, sid 165, i Vännman vet vi att summan av två oberoende rektangelfördelade slumpvariabler har en s.k. triangelfördelning. (Se figur 6.3 (b) på sidan 166.) Vi härleder resultatet. Exempel Låt ξ 1 och ξ 2 vara oberoende slumpvariabler, var och en med en rektangelfördelning på [0, 1]. Beräkna f ζ (z) om ζ = ξ 1 + ξ 2. Lösning Eftersom ξ 1, ξ 2 är oberoende ges den simultana frekvensfunktionen för ξ = (ξ 1, ξ 2 ) av { 1, 0 x 1 1, 0 x 2 1 f(x 1.x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) = 0 annars. Vi skall beräkna F ζ (z) = P (ζ z) för varje värde på z. Om z 0 har vi P (ζ z) = 0, och om z 1 har vi P (ζ z) = 1. Om 0 < z < 1 har vi P (ζ z) = P (ξ D z ), där D z är det triangulära området i planet som begränsas av x 1 -axeln, x 2 -axeln samt linjen x 2 = z x 2. Se Figur 15.1 nedan. Om 0 < z < 1 så får vi därför P (ζ z) = f(x)dx = 1dx = arean av D z = z 2 /2. D z D z Om 1 < z < 2 så har vi att P (ζ z) = P (ξ D z ), där D z visas i den högra figuren. Således

37 15.5 Summa av oberoende slumpvariabler via faltning 31 P (ζ z) = P (ξ D z ) = f(x)dx = arean av D z = 1 (2 z) 2 /2. D z Sammanfattningsvis har vi 0, z 0 z 2 /2, 0 z 1 F ζ (z) = 1 (2 z) 2 /2, 1 z 2 1, z > 2. Frekvensfunktionen z, 0 z 1 f ζ (z) = F ζ(z) = 2 z, 1 z 2 (15.4) 0, annars Summa av oberoende slumpvariabler via faltning Antag att vi vill bestämma fördelningen för ξ = ξ 1 + ξ 2, där ξ 1 och ξ 2 är oberoende slumpvariabler. Vi börjar med fallet att variablerna är diskreta med sannolikhetsfunktioner p 1 (x 1 ), p 2 (x 2 ). Låt oss för enkelhetens skull anta att de möjliga värdena är 0, 1, 2,..., N, så att p 1 (x) = p 2 (x) = 0 om x < 0 eller x > N. Vi söker sannolikhetsfunktionen p(x) = P (ξ = x), x = 0, 1, 2,..., 2N. För ett givet värde på x betyder ξ = x att vi har ξ 1 = x k, ξ 2 = k för något k = 0, 1, 2,..., N. Det ger att P (ξ = x) = = = N P (ξ 1 = x k, ξ 2 = k) k=0 N P (ξ 1 = x k)p (ξ 2 = k) p.g.a. oberoendet k=0 N p 1 (x k)p 2 (k) k=0 Om ξ 1 och ξ 2 är oberoende och antar heltalsvärden så får vi p(x) = P (ξ = x) = p 1 (x k)p 2 (k) = (p 1 p 2 )(x), k= där vi änvänt p 1 p 2 )(x) för att beteckna faltningen. På liknande sätt får vi att om ξ och η är oberoende kontinuerliga variabler med frekvensfunktionerna f 1, f 2 så ges frekvensfunktionen för summan av faltningen f(x) = (f 1 f 2 )(x) f 1 (x y)f 2 (y)dy. (15.5)

38 32 15 Funktioner av stokastiska variabler Exempel Låt ξ R(0, 1) och η R(0, 1) vara oberoende. Från Exempel 15.4 vet vi att frekvensfunktion för summan ges av x, 0 x 1, f(x) = 2 x, 1 x 2, (15.6) 0 annars. För att beräkna faltningen (15.5) studerar vi integranden f 1 (x y)f 2 (y). Den är 1 om det gäller att 0 x y 1 och 0 y 1; om det dubbla villkoret inte gäller är integranden noll. Det gäller t.ex. om x < 0 eller x > 2. Om 0 < x < 1 är integranden 1 då y x och vi får f(x) = x 0 dy = x. Om 1 < x < 2 är integranden 1 då y 2 x och vi får f(x) = 2 x Alltså har vi frekvensfunktionen i (15.6). 0 dy = 2 x. Övningar 1. Antag att ξ 1, ξ 2 R( 1, 1) är oberoende. Beräkna faltningen (f 1 f 2 )(x) Största och minsta värde Om ξ 1,..., ξ n är slumpvariabler och g(x 1,..., x n ) = max(x 1,..., x n ) så är g(ξ 1,..., ξ n ) en endimensionell slumpvariabel. Även min(ξ 1,..., ξ n ) är en slumpvariabel. Det största och minsta värdet betecknas ibland ξ(1) och ξ(n). Exempel En elektrisk krets skall byggas med hjälp av fem komponenter. Komponenterna har Exp(λ)-fördelad livslängd med väntevärdet 1/λ = 200 timmar. Livslängderna ξ 1,..., ξ 5 antas vara oberoende av varandra. Om komponenterna seriekopplas så fungerar kretsen tills dess att någon komponent går sönder. Om komponenterna parallellkopplas så fungerar kretsen tills dess att alla komponenter har gått sönder. Om τ betecknar kretsens livslängd så har vi alltså τ = min(ξ 1,..., ξ 5 ) om komponenterna seriekopplas och τ = max(ξ 1,..., ξ 5 )

39 15.6 Största och minsta värde 33 om komponenterna parallellkopplas. (a) Beräkna P (τ > 200) om komponenterna seriekopplas. (b) Beräkna P (τ > 200) om komponenterna parallellkopplas. Lösning (a) Vi har {τ > 200} = {ξ 1 > 200, ξ 2 > 200,..., ξ 5 > 200}. Den minsta av ξ 1,..., ξ 5 är ju större än 200 precis då alla variablerna är större än 200. Eftersom variablerna är oberoende får vi P (τ > 200) = P (ξ 1 > 200, ξ 2 > 200,..., ξ 5 > 200) = P (ξ 1 > 200) P (ξ 2 > 200)... P (ξ 5 > 200) = P (ξ 1 > 200) 5 = e 5 (15.7) eftersom (se Exempel 4.6 i Vännman) P (ξ 1 > 200) = e 1. (b) Vi har τ = ξ(5) = max(ξ 1,..., ξ 5 ), den största av ξ 1,..., ξ 5. Istället för att beräkna P (τ > 200) så beräknar vi P (τ 200) och använder komplementregeln. Vi har {τ 200} = {ξ 1 200,..., ξ 5 200} eftersom att den största av ξ 1,..., ξ 5 är mindre än 200 är samma sak som att alla variablerna är mindre än 200. Vi har därför och P (τ 200) = P (ξ 1 200,..., ξ 5 200) = P (ξ 1 200) 5 = (1 e 1 ) 5 P (τ > 200) = 1 (1 e 1 ) 5. Exempel Antag att ξ 1,..., ξ n är ett stickprov från R(0, b), där b är okänd och skall skattas. Avgör om skattningen b = max(ξ 1,..., ξ n ) är väntevärdesriktig. Lösning Eftersom b = max(ξ 1,..., ξ n ) konsekvent underskattar b så borde b inte vara väntevärdesriktig. För att beräkna E (b ) behöver vi först bestämma fördelningen för b. Fördelningsfunktionen F (x) för b = max(ξ 1,..., ξ n ) är P (b x) = P (ξ 1 x, ξ 2 x,..., ξ n x) = P (ξ 1 x)p (ξ 2 x)... P (ξ n x) pga oberoendet = P (ξ 1 x) n = (x/b) n eftersom ξ 1 R(0, b). Frekvensfunktion för b är därför f(x) = F (x) = nx n 1 /b n. Det ger E (b ) = b 0 xf(x)dx = b Eftersom E (b ) < b är b inte väntevärdesriktig. 0 xn xn 1 b n dx = n n + 1 b. (15.8)

40 34 15 Funktioner av stokastiska variabler Övningar 1. (Se Exempel 15.6.) En elektrisk krets skall byggas med hjälp av fem komponenter, var och en med en Exp(λ) fördelad livslängd, 1/λ = 200. Livslängderna ξ 1,..., ξ 5 antas vara oberoende av varandra. Om komponenterna seriekopplas så fungerar kretsen tills dess att någon komponent går sönder. Om komponenterna parallellkopplas så fungerar kretsen tills dess att alla komponenter har gått sönder. Låt τ beteckna kretsens livslängd. a) Beräkna f τ om komponenterna parallellkopplas. b) Beräkna f τ om komponenterna seriekopplas. 2. Låt ξ 1,..., ξ n vara ett stickprov från R(0, 1). Beräkna variansen V (τ), där τ = max(ξ 1,..., ξ n ) Avstånd och andra transformationer Exempel Antag att ξ = (ξ, η) har en likformig fördelning på cirkelskivan som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med 1. Låt ζ = ξ 2 + η 2 vara avståndet från origo till punkten ξ. Beräkna f ζ och väntevärdet E (ζ). Lösning Låt B(z) vara den cirkelskiva som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med z. Den simultana frekvensfunktionen är 1 π om (x, y) B(1) och noll annars. Om 0 z 1 så får vi F ζ (z) = P (ζ z) = P (ξ B(z)) = f(x, y)dxdy (15.9) = = B(z) B(z) 1 dxdy (15.10) π arean av B(z) π = πz2 π = z2. (15.11) Om z < 0 eller z > 1 har P (ζ z) = 0 respektive P (ζ z) = 1. Det betyder att frekvensfunktionen { f ζ (z) = F ζ(z) 2z, 0 z 1, = 0 för övrigt, vilket ger E (ζ) = 1 0 2z2 dz = 2/3. Exempel (Se Exempel 12.6.) I ett nybyggt samhälle skall ett sjukhus placeras ut. Samhället kan beskrivas med en kvadrat, {(x 1, x 2 ) : 0 x 1, x 2 1}, där (x 1, x 2 ) = (0, 0) motsvarar samhällets sydvästra hörn. På grund av faktorer som t.ex. befolkningstäthet antas antalet olyckor längs en horisontell linje