LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 JOHAN ASPLUND Innehåll. Kvadratiska former. Allmänna linjära avbildningar Matriser för allmänna linjära avbildningar. Uppgifter Extrauppgift från tenta Extrauppgift från tenta 5. Kvadratiska former Tidigare har vi jobbat med linjära uttryck och linjärkombinationer såsom a x + + a n x n. Vi kommer nu kolla på liknande uttryck, fast där alla termer har grad. Det vill säga uttryck på formen Q(x) = a x + + a n x n + termer på formen a k x i x j där x i x j. Dessa uttryck kallas för kvadratiska former och kan skrivas på formen x T Ax där A R n n. Givet en kvadratisk form Q(x) kan vi alltid hitta en symmetrisk matris A så att x T Ax = Q(x). I detta fallet använder vi notationen Q A (x) för att betona att det är den kvadratiska formen som ges av matrisen A. Korstermerna a k x i x j gör att kvadratiska formerna är svåra att begripa sig på. Det vi kan göra är att ortogonalt diagonalisera A (eftersom den alltid kan göras symmetrisk). Det finns alltså en ortogonal matris S och en diagonalmatris D så att A = SDS T. Gör vi sedan variabelbytet x = Sy får vi Q A (x) = x T Ax = (Sy) T A(Sy) = y T S T ASy = y T Dy = Q D (y). Vi kan alltså göra ett variabelbyte, för att få en kvadratisk form i y som endast innehåller termer på formen a i yi. Mer precist så vet vi om att så där λ i är egenvärdena till matrisen A. D = λ... λ n Q A (x) = Q D (y) = y T Dy = λ y + + λ n y n,. Allmänna linjära avbildningar En allmän linjär avbildning mellan två reella vektorrum V och W är en avbildning sådan att () f(x + y) = f(x) + f(y) för alla x, y V. () f(λx) = λf(x) för alla x V och λ R. Till en avbildning har vi två viktiga begrepp. f : V W,

2 JOHAN ASPLUND Definition. (Kärna och bild). Låt f : V W vara en linjär avbildning. Vi definierar sedan kärnan (eng. kernel) av f som ker(f) = { x V f(x) = }, och vi definierar bilden (eng. image) av f som im(f) = { y W f(x) = y för något x V }. Anmärkning.. Det är ett faktum att ker(f) V och im(f) W båda är delrum av V respektive W. Definition. (Injektiv avbildning). En linjär avbildning f kallas för injektiv om för alla x, y V. f(x) = f(y) x = y, Definition.4 (Surjektiv avbildning). En avbildning f kallas för surjektiv om det för alla y W finns ett x V så att f(x) = y. Anmärkning.5. Om en linjär avbildning f är både injektiv och surjektiv kallas den för bijektiv. Sats.6 (Karaktärisering av injektiva och surjektiva funktioner). Låt f : V W vara en linjär avbildning. Då gäller det att f är injektiv om och endast om ker(f) = {}. f är surjektiv om och endast om im(f) = W. Rent intuitivt säger denna sats att om f(x) = endast har lösnignen så är f injektiv. Den säger också att om ekvationen f(x) = y har en lösning för alla y, så är den surjektiv. Definition.7 (Rangen av en linjär avbildning). Om f : V W är en linjär avbildning kan vi definiera dess rang genom rank(f) = dim(im(f)). Sats.8 (Dimensionssatsen). Om f : V W är en linjär avbildning så gäller det att rank(f) + dim(ker(f)) = dim(v ). Linjära avbildningar har en väldigt bra egenskap, som följer ur dimensionssatsen. Sats.9. En linjär avbildning är injektiv om och endast om den är surjektiv. Om vi ser på definitionen av injektivitet och surjektivitet och betraktar en linjär avbildning f : V W, så ser vi att om dim(v ) < dim(w ) känns det naturligt att f inte kan vara surjektiv, eftersom vi avbildar något mindre på något större. På samma sätt känns det naturligt att om dim(v ) > dim(w ) så kan inte f vara injektiv. Definition. (Isomorfi). Om en linjär avbildning f : V W är en bijektiv kallas den för en isomorfi. V och W kallas då för isomorfa, och detta betecknas med V = W. Sats.. Alla vektorrum med dimension n är isomorfa med R n. Denna sats dödar linjär algebra. Detta säger att alla ändligdimensionella vektorrum är R n, och R n är relativt lätt att förstå. Alltså reduceras all linjär algebra ner till att endast förstå R n. Beviset för denna sats är förvånansvärt lätt. Beviset går ut på att välja en bas {v,..., v n } i ett vektorrum V, och sedan avbildar man v i e i. Det vill säga att man identiferar varje basvektor med en standardbasvektor. Detta definierar en linjär avbildning som är bijektiv på grund av det faktum att en bas genererar hela rummet och en är linjärt oberoende. Sats.. Det gäller att V = W om och endast om dim(v ) = dim(w ) Anmärkning.. Denna sats är extremt viktig och säger att dimensionen bestämmer vilket vektorrumet är. Om dim(v ) = dim(w ) = n så vet vi att V = R n = W, så V och W är båda R n.

3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 Definition.4 (Sammansättning av linjära avbildningar). Om f : U V och f : V W är två linjär avbildningar så kan vi tala om dess sammansättning, som är funktionen f f som definieras som (f f )(x).= f (f (x)). Sats.5. Om f : U V och f : V W är två linjära avbildningar, så är dess sammansättning f f också linjär. Matriser för allmänna linjära avbildningar. Eftersom alla vektorrum essentiellt är R n, genom att vi avbildar en bas på en bas i R n, så kan vi också tala om en matris till en allmän linjär avbildning. Om vi låter f : V W vara en linjär avbildning, så kan vi för alla x V hitta koordinatkolonnen till x i R n. Vi kan också för alla f(x) W hitta koordinatkolonnen till f(x) i R m. V W R n R m. Uppgifter Extrauppgift från tenta. Låt Y vara ytan i E = (R, ) som består av alla punkter (x, x, x ) som uppfyller Q A (x) = x + x + x x x =. Bestäm ytans typ, ytans minsta avstånd från origo samt punkterna på ytan där detta minsta avstånd antas. Lösning. Dessa uppgifter är allmänt ganska räknetunga, men efter man löst ett par uppgift så brukar man kunna lösa uppgifterna på rutin. Det första vi gör är att vi skapar A. Detta gör vi genom att plocka ut koefficienterna i Q A (x), och ser till att den blir symmetrisk. Så A = = Denna matris kan vi beräkna egenvärdena till. Nästa steg är att ortogonalt diagonalisera A. Det vill säga vi vill hitta en ON-bas i alla egenrum var för sig, och sedan slå ihop dessa till en ON-bas i R som består av egenvektorer. Vi kan sedan hitta S och D. Vi får att egenvärdena är ±, så vi hittar en ON-bas i vardera egenrum. E( ): Vi får A I = Alltså är E( ) = t + s Vi gör om basen u = {u, u } = till en ON-bas med hjälp av Gram-Schmidt. Skapa basen B = {v, v }. Då sätter vi först v = u u = =

4 4 JOHAN ASPLUND Sedan får vi enligt Gram-Schmidt Vi får täljaren så v = u u, v, v u u, v, v. u u, v, v = = v = Alltså är en ON-bas i E( ) lika med B = E( ): Vi får Detta gör att så E( ) = t A + I = 4. Alltså är en ON-bas i E( ) lika med B =. B B =, är en ON-bas i R som består av egenvektorer till A. Alltså kan vi skapa S = D = Om vi sedan gör substitutionen x = Sy får vi alltså Q A (x) = Q D (y) = y T Dy = y + y + y = y + y + y =. Detta är en enmantlad hyperboloid. Det kortaste avståndet till origo från denna yta får man genom att man går längs den axeln vars koefficient är högst. Men eftersom både y - och y -axlarna har koefficient så är det minsta avståndet till origo, och alla sådana punkter uppfyller y + y =, det vill säga att de ligger på enhetscirkeln i y y -planet. Så det är alla punkter så att y + y =. Substituerar vi tillbaka till x får vi x = Sy = y = y y y y y y

5 där y + y =. LINJÄR ALGEBRA II LEKTION Extrauppgift från tenta. Den linjära operatorn F : P P ges av F (p) = p + p + p. (a) Finn F :s standardmatris. (b) Ange dimensionen av F :s kärna. (c) Ange dimensonen av F :s bild. (d) Avgör om F är injektiv, surjektiv eller bijektiv. Lösning. (a) Naivt sett så vill vi hitta bilden av standardbasvektorerna i F. Standardbasen i P är {, x, x, x }. Vi har F () = F (x) = Alltså har vi följande på grund av linjäritet F a a a a F (x ) = x + F (x ) = x + 6x + 6 = F (a + a x + a x + a x ) = (6a + a + a ) + (6a + a )x + a x a + a + 6a 6 a = + 6a a = 6 Alltså är F :s standardmatris a a a a a + a + 6a a [F ] = + 6a a (b) För att hitta dimensionen av ker(f ) så hittar vi dimensionen av N([F ]). Vi ser direkt ur [F ] att N([F ]) = t så dim(n([f ])) = dim(ker(f )) =. (c) Ur dimensionssatsen får vi dim(im(f )) =. (d) F är inte injektiv eftersom dim(ker(f )). Alltså är den inte heller surjektiv och kan inte heller vara bijektiv. address: johan.asplund@math.uu.se