Fakulteten för teknik och naturvetenskap. Johan Jonsson. Ändliga grupper. Finite groups. Matematik C-uppsats

Transkript

1 Fakulteten för teknik och naturvetenskap Johan Jonsson Ändliga grupper Finite groups Matematik C-uppsats Datum: Handledare: Håkan Granath Examinator: Thomas Martinsson Karlstads universitet Karlstad Tfn Fax

2 Sammanfattning Uppsatsen börjar med definitionen av en grupp och fortsätter med grundläggande begrepp och egenskaper hos grupper såsom undergrupper, homomorfismer, isomorfismer, normala undergrupper, faktorgrupper och permutationsgrupper. Sedan behandlas konjugerade undergrupper, konjugatklasser och klassekvationen med vars hjälp det visas att en grupp med ordning p 2 är abelsk. Vidare behandlas direkta och semidirekta produkter av grupper. Det konstateras att omvändningen till Lagranges sats i allmänhet inte gäller men att Sylows satser finns istället. Med hjälp av den tidigare teorin visas sedan att de enda enkla grupperna med ordning mellan 1 och 60 är av primtalsordning. Det visas också vilka olika grupper som finns med ordning upp till och med 15. Uppsatsen avslutas med en introduktion av datorprogrammet GAP.

3 Innehåll 1 Definition av en grupp 3 2 Undergrupper 4 3 Homomorfismer och isomorfismer 4 4 Normala undergrupper och faktorgrupper 5 5 Permutationsgrupper 7 6 Konjugatklasser 8 7 Direkta produkter 10 8 Sylows satser 12 9 Små grupper GAP och Rubiks kub 17 1

4 Inledning Den här uppsatsen i algebra handlar om den algebraiska strukturen grupper. Gruppteorin skapar en gemensam teori för många olika matematiska system och företeelser. Teorin har sitt ursprung i studiet av algebraiska ekvationer, geometri och talteori men gruppteorin har också visat sig användbar inom många andra delar av matematiken. Det finns även tillämpningar utanför matematikens område, t.ex. i fysik, kemi och datavetenskap. Vi kommer att börja från början med definitionen av en grupp och de grundläggande egenskaperna hos grupper men moment som ingår i kursen Algebraiska Strukturer kommer i regel inte att bevisas eller behandlas så ingående. Som titeln antyder så kommer framförallt ändliga grupper behandlas i den här uppsatsen men en del av teorin kan även tillämpas på grupper som inte är ändliga. Jag vill också passa på att tacka min handledare Håkan Granath för alla idéer och all hjälp jag har fått under arbetets gång. 2

5 1 Definition av en grupp Definition 1.1. En mängd G tillsammans med en kompositionsregel kallas för en grupp och betecknas (G, ) om följande är uppfyllt 1. är en kompositionsregel på G, d.v.s. är en avbildning G G (a, b) a b G. 2. är associativ, d.v.s. a (b c) = (a b) c för alla a, b, c G. 3. G innehåller ett neutralt element e med avseende på, d.v.s. det existerar ett e G sådant att g e = e g = g för alla g G. 4. Varje element i G har en invers med avseende på tillhörande G, d.v.s. för alla g G existerar ett g 1 G sådant att g g 1 = g 1 g = e. Om är kommutativ så kallas G för en abelsk grupp. Det neutrala elementet i en grupp kommer vi fortsättningsvis att kalla e och det kan visas att detta är unikt för varje grupp. Inversen g 1 till elementet g är också unikt för varje g tillhörande en grupp. Observera att associativitet hos medför att vi kan skriva produkten av tre element utan parenteser. Vi kan också sätta in parenteser hur vi vill för att beräkna en produkt utan att resultatet påverkas. Vi kommer i fortsättningen att skriva bara G istället för (G, ) om det framgår av sammanhanget vilken kompositionsregel som gäller. Vidare kommer vi att skriva a b som ab utan vid multiplikativ notation och definiera potenser som vanligt. Alltså g n = g g där n 1, g }{{} 0 = e och g n = (g 1 ) n där n är något heltal. n faktorer Exempel 1.1. Det kanske enklaste exemplet på en grupp är (Z(n), ) där Z(n) = {0, 1, 2,..., n 1} och är addition modulo n. Det inses enkelt att Z(n) är en grupp enligt definitionen ovan. Neutralt element är 0 och inversen till ett element x 0 är n x. Definition 1.2. Ordningen för en ändlig grupp G skrivs G och definieras som antalet element i G. Ordningen för ett element g i en grupp skrivs g och definieras som det minsta positiva heltalet n sådant att g n = e. I en grupp så ges inversen till x 1 x 2 x n av x 1 n (x 1 x 2 x n )(x 1 n x 1 2 x 1 1 ) = e. x 1 2 x 1 1 eftersom vi har att Definition 1.3. En grupp G kallas cyklisk om det finns något g G sådant att G = {g n : n Z}. Vi skriver då G = <g > och kallar g för en generator till G. Gruppen Z(n) är cyklisk och genereras av 1 så denna grupp brukar därför också kallas för den cykliska gruppen av n element. Varje cyklisk grupp G = < g > är abelsk eftersom g x g y = g x+y = g y+x = g y g x för alla heltal x och y. 3

6 2 Undergrupper Definition 2.1. Låt (G, ) vara en grupp och H G. Då kallas (H, ) för en undergrupp till G om H tillsammans med restriktionen av till H är en grupp. Det betecknar vi med H G. Om H G så kallas (H, ) en äkta undergrupp till G och det betecknas H < G. Följande sats är i regel mer praktisk att använda än definitionen när man vill avgöra om en delmängd är en undergrupp eller inte. Sats 2.1. Låt H vara en delmängd av G. Då är H en undergrupp i G om och endast om e H och xy 1 H för alla x, y H (y 1 är inversen till y i G). Exempel 2.1. Låt G vara en grupp och fixera ett x G. Vi ska nu visa att C(x) := {g G : gx = xg} är en undergrupp i G. Det är klart att C(x) G. ex = xe så e C(x). Om g, h C(x) så är gx = xg, hx = xh och därmed x = h 1 xh. Då får vi att xgh 1 = gxh 1 = gh 1 xhh 1 = gh 1 x så gh 1 C(x). Eftersom g och h är godtyckliga så är C(x) en undergrupp i G. C(x) kallas för centralisatorn till x i G. Exempel 2.2. Låt G vara en grupp och definiera centrum av G som C(G) := {c G : cg = gc g G}. Det neutrala elementet e C(G) eftersom eg = ge för alla g G. Om x, y C(G) så är x = gxg 1 för alla g G och y = gyg 1 för alla g G. Då får vi att xy 1 = gxg 1 (gyg 1 ) 1 = gxg 1 gy 1 g 1 = gxy 1 g 1 g G så xy 1 C(G) för alla x, y C(G) och därmed är C(G) G. Observera också att C(G) = x G C(x). Exempel 2.3. Antag att G är en grupp och U G. Vi ska nu visa att N(U) := {g G : g 1 Ug = U} är en undergrupp i G. Till att börja med har vi att e 1 Ue = U så e N(U). Om x, y N(U) så är x 1 Ux = U och y 1 Uy = U U = yuy 1. Då får vi att U = yuy 1 = yx 1 Uxy 1 = (xy 1 ) 1 Uxy 1 så xy 1 N(U) och alltså är N(U) en undergrupp i G. N(U) kallas för normalisatorn till U. 3 Homomorfismer och isomorfismer Definition 3.1. Låt G och H vara två grupper. Då kallas en avbildning φ : G H för en homomorfism från G till H om φ(ab) = φ(a)φ(b) för alla a, b G. Om φ dessutom är en bijektiv avbildning så kallas φ för en isomorfism från G till H. Två grupper G och H kallas isomorfa om den finns en isomorfism från G till H. Detta betecknas G = H. 4

7 Om G och H är grupper, φ : G H en homomorfism och g G så har φ följande egenskaper. φ(e) = e, φ(g 1 ) = φ(g) 1 och φ(g n ) = φ(g) n för alla heltal n. Definition 3.2. Låt φ : G H vara en homomorfism. Då definierar vi kärnan till φ som Ker φ = {g G : φ(g) = e}. Bilden av φ definieras som Im φ = {h H : h = φ(g) för något g G}. Im φ kan också skrivas φ(g). Sats 3.1. Låt φ : G H vara en homomorfism mellan grupperna G och H. Då är Ker φ en undergrupp i G och Im φ en undergrupp i H. Dessutom är Im φ abelsk om G är abelsk och Im φ cyklisk om G är cyklisk. Bevis. Låt G och H vara grupper och φ : G H en homomorfism. φ(e) = e så e Ker φ. Om x, y Ker φ så är φ(x) = φ(y) = e och då får vi att φ(xy 1 ) = φ(x)φ(y 1 ) = φ(x)φ(y) 1 = e = xy 1 Ker φ Eftersom x, y är godtyckliga så är Ker φ G. φ(e) = e så e Im φ. Om vi tar x, y Im φ godtyckligt så finns det g 1, g 2 G sådana att x = φ(g 1 ) och y = φ(g 2 ). Vi får då att xy 1 = φ(g 1 )φ(g 2 ) 1 = φ(g 1 )φ(g 1 2 ) = φ(g 1 g 1 2 ) Im φ och alltså är Im φ H. Im φ är abelsk om G är abelsk eftersom xy = φ(g 1 )φ(g 2 ) = φ(g 1 g 2 ) = φ(g 2 g 1 ) = φ(g 2 )φ(g 1 ) = yx Antag att G är cyklisk med G = <g > = {e, g,..., g n 1 } där n = G. Då är Im φ = {φ(e), φ(g), φ(g 2 ),..., φ(g n 1 )} = {φ(e), φ(g), φ(g) 2,..., φ(g) n 1 } och alltså är Im φ cyklisk om G är cyklisk. En automorfism är en isomorfism från en grupp tillbaka på gruppen själv. Aut(G) är mängden av alla automorfismer på gruppen G och denna mängd bildar en grupp. 4 Normala undergrupper och faktorgrupper Definition 4.1. Låt H vara en undergrupp i G. Då kallar vi mängden xh := {xh : h H} för vänstersidoklassen till x modulo H. Mängden Hx := {hx : h H} kallas för högersidoklassen till x modulo H. Vänstersidoklasserna modulo H till en grupp G är disjunkta och utgör en partition av G. Det kan man visa genom att definiera en relation på G genom x y om y = xh för något h H. Detta är en ekvivalensrelation på G där ekvivalensklassen till x är {xh : h H}. På samma sätt kan man göra för att visa att högersidoklasserna modulo H är disjunkta och utgör en partition av G. Antalet vänstersidoklasser i en grupp G modulo H kallas för index av H i G och betecknas [G : H]. Mängden av alla vänstersidoklasser i G modulo H betecknas G/H. 5

8 Sats 4.1 (Lagrange). Om H är en undergrupp i en ändlig grupp G så är H en delare i G. Definition 4.2. En undergrupp N G kallas normal om gn = Ng för alla g G, d.v.s. om mängden av alla vänstersidoklasser i G modulo N är lika med mängden av alla högersidoklasser i G modulo N. Vi skriver då N G. En ekvivalent definition av normal undergrupp är att N är normal undergrupp till G om och endast om gng 1 N för alla g G och n N. Denna definition är ofta lättare att tillämpa. En grupp har alltid de två triviala normala undergrupperna {e} och G själv. I en abelsk grupp är alla undergrupper normala. Centrum av en grupp G är alltid normalt eftersom gcg 1 = c för alla g G och c C(G). Sats 4.2. Låt H vara en undergrupp i G. Om H har index 2 så är H normal. Bevis. Om x H så är H = xh = Hx. Om x G \ H så är xh = Hx eftersom det endast finns två sidoklasser. Alltså är xh = Hx för alla x G, d.v.s. H är normal. Om H är en normal undergrupp i gruppen G så bildar mängden G/H tillsammans med kompositionsregeln (Ha)(Hb) = Hab en grupp som kallas för faktorgruppen av G modulo H. Sats 4.3. Om C B A och C A så är B/C A/C om och endast om B A. Bevis. Enligt den alternativa definitionen av normal undergrupp så är B/C A/C detsamma som att (ac)(bc)(ac) 1 B/C för alla a A och b B. Men (ac)(bc)(ac) 1 = aba 1 C B/C aba 1 B Alltså är B/C A/C om och endast om B A. Följande tre satser brukar anses så viktiga att de har fått egna namn även om numreringen kan variera något. Vi kommer inte att använda dem alla men vi tar med dem för fullständighetens skull. Bevis finns på sidorna i [1]. Sats 4.4 (Första isomorfisatsen). Om φ : G H är en surjektiv homomorfism så är G/ Ker φ = H. Sats 4.5 (Andra isomorfisatsen). Om N G, H G och N H så är G/H = (G/N)/(H/N). Definition 4.3. Om N och H är grupper så definieras produkten NH som NH := {nh : n N, h H}. Sats 4.6 (Tredje isomorfisatsen). Om H G och N G så är H N H, NH G, N NH och H/H N = NH/N. Definition 4.4. En grupp G {e} kallas för enkel om {e} och G är de enda normala undergrupperna i G. 6

9 Sats 4.7. Varje enkel abelsk grupp är isomorf med Z(p) för något primtal p. Bevis. Låt G vara en enkel abelsk grupp. Antag att det finns ett a G sådant att 1 < a < G. Då kommer a att generera en normal undergrupp i G med ordning a vilket är en motsägelse eftersom G är en enkel grupp. Alltså måste g = G för alla g G, g e, så G är en cyklisk grupp. Antag att det finns heltal n > 1 och m > 1 sådana att G = nm och låt b vara ett icke-neutralt element i G. Då är e = b G = b nm = (b n ) m så b n är en delare i m. Detta är omöjligt eftersom alla icke-neutrala element i G har ordning G. Alltså är G = p för något primtal p och då är G = Z(p). Definition 4.5. Om A och B är undergrupper i gruppen G och a A så kallas en undergrupp på formen a 1 Ba för ett A-konjugat av B. Sats 4.8. Om B G och g G så är g 1 Bg G och g 1 Bg = B. Bevis. Antag att B G och g G. Då är e = g 1 eg g 1 Bg. Väljs a, b g 1 Bg godtyckligt så finns x, y B sådana att ab 1 = g 1 xg(g 1 yg) 1 = g 1 xgg 1 y 1 g = g 1 xy 1 g g 1 Bg och alltså är g 1 Bg G. Låt θ : B g 1 Bg definieras av θ(b) = g 1 bg. θ är en homomorfism eftersom θ(xy) = g 1 xyg = g 1 xgg 1 yg = θ(x)θ(y) x, y B För alla x, y B gäller att θ(x) = θ(y) = g 1 xg = g 1 yg = x = y så θ är injektiv och naturligtvis även surjektiv. Alltså har vi hittat en isomorfism och då är g 1 Bg = B. Sats 4.9. Låt A, B G. Då är [A : N(B) A] antalet A-konjugat av B Bevis. Till att börja med är N(B) A = {a A : a 1 Ba = B}. Låt nu X vara mängden av alla A-konjugat av B d.v.s låt X = {a 1 Ba : a A}. Definiera avbildningen θ : X A/(N(B) A) genom a 1 Ba (N(B) A)a. Då får vi att a 1 1 Ba 1 = a 1 2 Ba 2 a 2 a 1 1 B = Ba 2 a 1 1 (a 2 a 1 1 )B(a 2 a 1 1 ) 1 = B a 2 a 1 1 N(B) A (N(B) A)a 1 = (N(B) A)a 2 så θ är väldefinierad och injektiv. θ är också surjektiv så vi har en bijektiv avbildning från X till A/(N(B) A). Då måste X, antalet A-konjugat av B, vara lika med [A : N(B) A]. 5 Permutationsgrupper En permutationsgrupp är en grupp bestående av permutationer av en mängd och där kompositionsregeln är sammansättning av avbildningar. Definition 5.1. Den symmetriska gruppen S n definieras som permutationsgruppen bestående av alla permutationer av mängden {1,..., n}. 7

10 En n-cykel är en permutation på formen (a 1, a 2,..., a n ) där a i a j om i j och där a i avbildas på a i+1 om 1 i n 1 och a n avbildas på a 1. En 2-cykel kallas för en transposition. Det kan visas att varje σ S n, n 2, kan skrivas som en produkt av transpositioner. Det inses lätt att en viss permutation kan skrivas som en produkt av transpositioner på fler än ett sätt. Däremot kan det visas [1, sidan 28] att en permutation inte kan skrivas både som en produkt av ett udda och ett jämnt antal transpositioner. En permutation kallas för udda om den kan skrivas som en produkt av ett udda antal transpositioner och jämn om den kan skrivas som en produkt av ett jämnt antal transpositioner. Definition 5.2. Den alternerande gruppen A n där n 2 definieras som gruppen bestående av alla jämna permutationer i S n. Sats 5.1. För n 2 så är <(1, 2), (1, 3),..., (1, n)> = S n Bevis. Varje element i S n kan skrivas som en produkt av transpositioner. Varje transposition (a, b) som inte är på formen (1, k), där 2 k n, kan i sin tur skrivas som (a, b) = (1, a)(1, b)(1, a). Då kan varje element i S n skrivas som en produkt av element på formen (1, k) där 2 k n. Alltså är < (1, 2), (1, 3),..., (1, n) > = S n. Exempel 5.1. Vi ska visa att A 4, som är en grupp med ordning 12, saknar undergrupper med ordning 6. Antag att N A 4 och att N = 6. N har index 2 så N A 4 och A 4 /N = Z(2). Om σ A 4 \ N så är (σn)(σn) = σ 2 N = N så σ 2 N vilket medför att alla kvadrater tillhör N. Alla 3-cykler är jämna permutationer så alla 3-cykler tillhör A 4. Eftersom (a, b, c) 2 = (a, c, b) så är alla 3-cykler kvadrater och då måste varje 3-cykel tillhöra N. Detta är en motsägelse till att N = 6 eftersom det finns 8 st 3-cykler i A 4. Definition 5.3. Den dihedrala gruppen D n, där n 3, definieras som gruppen bestående av alla symmetrier (rotationer och speglingar) av en regelbunden n- hörning. Antag att vi har en regelbunden n-hörning och låt r D n vara rotation 360/n grader. Låt s D n vara spegling i diagonalen från ett fixerat hörn till motstående hörn om n är jämnt eller spegling i bisektrisen från ett fixerat hörn till motstående sida om n är udda. Då kommer r och s att generera hela D n så en representation av D n är D n = {e, r, r 2,..., r n 1, s, rs, r 2 s,..., r n 1 s} där s har ordning 2, r ordning n och srs = r n 1. 6 Konjugatklasser Definition 6.1. Två element a och b tillhörande en grupp G säges vara konjugerade om det finns ett g G sådant att a = gbg 1. Låt G vara en grupp. Om vi definierar en relation på mängden G där två element relaterar till varandra om de är konjugerade så visar det sig att man får en ekvivalensrelation. Ekvivalensklassen för ett g G skrivs Cl(g) och kallas för konjugatklassen till g. 8

11 Sats 6.1. Låt G vara en grupp och x G. Då är Cl(x) = {x} om och endast om x C(G) Bevis. Enligt definitionen av centrum är x C(G) om och endast om x = gxg 1 för alla g G. Detta är samma sak som att Cl(x) = {x} eftersom Cl(x) = {gxg 1 : g G}. Sats 6.2. Om G är en grupp och x G så är Cl(x) = [G : C(x)]. Bevis. Definiera en avbildning θ : Cl(x) G/C(x) genom g 1 xg C(x)g. Då är g 1 1 xg 1 = g 1 2 xg 2 g 2 g 1 1 x = xg 2 g 1 1 g 2 g 1 1 C(x) C(x)g 2 g 1 1 = C(x) C(x)g 1 = C(x)g 2 så θ är en väldefinierad och bijektiv avbildning. Alltså är Cl(x) = [G : C(x)]. Exempel 6.1. Vi ska bestämma alla konjugatklasser till S 3. Eftersom C(S 3 ) ={(1)} så är Cl((1)) = {(1)} den enda konjugatklassen med precis ett element. C((123)) = {(1), (123), (132)} så Cl((123)) = [G : C((123))] = 2. (123) Cl((123)) och (12)(123)(12) 1 = (132) så Cl((123)) = {(123), (132)}. Eftersom Cl((1)) = {(1)} är den enda konjugatklassen med precis ett element så måste Cl((12)) = 3 och vi får att Cl((12)) = {(12), (13), (23)}. Konjugatklasserna till S 3 är alltså {(1)}, {(123), (132)} och {(12), (13), (23)}. Sats 6.3 (Klassekvationen). Låt G vara en ändlig grupp och låt Cl(x 1 ),..., Cl(x k ) vara de konjugatklasser som består av mer än ett element. Då är G = C(G) + k Cl(x i ) i=1 Bevis. För varje c C(G) så finns enligt sats 6.1 en konjugatklass Cl(c) = {c} med endast ett element så C(G) är unionen av alla konjugatklasser som består av endast ett element. Eftersom konjugatklasserna utgör en partition av G så är G = C(G) + k i=1 Cl(x i). Definition 6.2. En grupp kallas för en p-grupp om ordningen för gruppen är p n där p är något primtal och n ett positivt heltal. Sats 6.4. Om G är en p-grupp så är C(G) {e}. Bevis. Antag att G = p n. Eftersom Cl(x) = [G : C(x)] så är Cl(x) en delare i G för alla x G. Om Cl(x 1 ),..., Cl(x m ) är de konjugatklasser i G som består av mer än ett element så är Cl(x i ) = p k i där 1 k i n för alla 1 i m. Klassekvationen ger då att p n = C(G) + m p k i C(G) = p(p n 1 p k1 1 p k p km 1 ) i=1 Då måste C(G) vara delbart med p så C(G) = {e} är omöjligt. 9

12 Sats 6.5. Om G är en grupp och G = p 2 där p är ett primtal så är G abelsk. Bevis. C(G) är en undergrupp till G så C(G) skulle kunna vara antingen 1, p eller p 2 men nu är G en p-grupp så C(G) {e} och då är de enda möjliga fallen C(G) = p eller C(G) = p 2. Om C(G) = p 2 så är G = C(G) och då är G abelsk. Antag nu att C(G) = p och att C(G) = < c >. Eftersom C(G) alltid är en normal undergrupp kan vi bilda faktorgruppen G/C(G) som då får ordning p. Antag att G/C(G) = {C(G), gc(g),..., g p 1 C(G)}. Om a, b G så är a = g n c m och b = g k c l för några heltal n, m, k, l. Eftersom c m och c l tillhör C(G) så kommer de att kommutera med alla element i G och vi får att Alltså är G en abelsk grupp. ab = g n c m g k c l = g n g k c m c l = g k g n c l c m = g k c l g n c m = ba 7 Direkta produkter Definition 7.1. Låt G 1,..., G n vara grupper och G 1 G n den cartesiska produkten av dessa. Gruppen (G 1 G n, ) där ges av (g 1,..., g n ) (h 1,..., h n ) = (g 1 h 1,..., g n h n ) kallas för den yttre direkta produkten av G 1,..., G n. Det kan enkelt visas att den yttre direkta produkten verkligen är en grupp, det neutrala elementet är (e 1,..., e n ) och inversen till (g 1,..., g n ) är (g1 1,..., gn 1 ). Definition 7.2. En grupp G säges vara den inre direkta produkten av dess normala undergrupper N 1,..., N n om N i (N 1 N i 1 N i+1 N n ) = {e} för alla 1 i n och G = N 1 N n. Om G = G 1 G n är en inre direkt produkt så kan det visas att G = G 1 G n med hjälp av avbildningen φ : G G 1 G n given av φ(g 1 g n ) = (g 1,..., g n ) där g i G i. Följande sats brukar kallas för struktursatsen och kan användas för att bestämma alla abelska grupper av en viss ordning. För bevis, se sidan 45 i [1]. Sats 7.1 (Struktursatsen). Varje abelsk grupp är isomorf med en grupp på formen Z(p n 1 1 ) Z(p n 2 2 ) Z(p n k k ) där p 1, p 2,..., p k är primtal och n 1, n 2,..., n k är positiva heltal. Exempel 7.1. Vi ska bestämma alla abelska grupper av ordning 24. Enligt struktursatsen så är en grupp G med ordning 24 = isomorf med en av grupperna Z(3) Z(2) Z(2) Z(2) = Z(6) Z(2) Z(2), Z(3) Z(4) Z(2) = Z(12) Z(2) och Z(3) Z(8) = Z(24). Alltså är dessa tre grupper i isomorfimening de enda abelska grupperna med ordning 24. Definition 7.3. Låt G vara en grupp med en undergrupp H och en normal undergrupp N. Om G = NH och N H = {e} så kallas G för en inre semidirekt produkt av N och H. 10

13 Om G är en inre semidirekt produkt av en normal undergrupp N och en undergrupp H så kan varje g G skrivas som g = nh för något n N och något h H. Antag att det finns två sätt, g = n 1 h 1 och g = n 2 h 2. Då får vi att n 1 2 n 1 = h 2 h 1 1 = e eftersom n 1 2 n 1 N, h 2 h 1 1 H och N H = {e}. Detta innebär att n 1 = n 2 och h 1 = h 2 så varje g G kan skrivas som g = nh på ett unikt sätt. Definition 7.4. Låt N och H vara grupper och θ : H Aut(N) en homomorfism. Den yttre semidirekta produkten av N och H med avseende på θ skrivs N θ H och definieras som gruppen bestående av mängden N H och där kompositionsregeln är (n 1, h 1 )(n 2, h 2 ) = (n 1 θ(h 1 )(n 2 ), h 1 h 2 ). I gruppen N θ H är (e, e) neutralt element och inversen till (n, h) N θ H är (θ(h 1 )(n 1 ), h 1 ). Kompositionsregeln är associativ eftersom ((n 1, h 1 )(n 2, h 2 ))(n 3, h 3 ) = (n 1 θ(h 1 )(n 2 ), h 1 h 2 )(n 3, h 3 ) = = (n 1 θ(h 1 )(n 2 )θ(h 1 h 2 )(n 3 ), h 1 h 2 h 3 ) = (n 1 θ(h 1 )(n 2 )θ(h 1 )(θ(h 2 )(n 3 )), h 1 h 2 h 3 ) = = (n 1 θ(h 1 )(n 2 θ(h 2 )(n 3 )), h 1 h 2 h 3 ) = (n 1, h 1 )(n 2 θ(h 2 )(n 3 ), h 2 h 3 ) = = (n 1, h 1 )((n 2, h 2 )(n 3, h 3 )) Låt G vara en inre semidirekt produkt av en normal undergrupp N och en undergrupp H. Definiera en homomorfism φ : H Aut(N) genom φ(h)(n) = hnh 1. Då får vi en grupp N φ H och det finns en homomorfism θ : N φ H G definierad genom (n, h) nh eftersom θ((n, h)(n, h )) = θ(nφ(h)(n ), hh ) = θ(nhn h 1, hh ) = = nhn h 1 hh = nhn h = θ((n, h))θ((n, h )) Vidare är θ bijektiv eftersom varje g G kan skrivas som nh på ett unikt sätt för något n N och något h H. Alltså är θ en isomorfism och N φ H är isomorf med G. Om N θ H är en yttre semidirekt produkt av N och H och θ : H Aut(N) så är undergruppen N = {(n, e) : n N} normal och isomorf med N. Undergruppen H = {(e, h) : h H} är isomorf med H. Vidare är N θ H = N H och N H = (e, e) så N θ H är en inre semidirekt produkt av N och H. Då är N θ H isomorf med N φ H där φ(e, h)(n, e) = (e, h)(n, e)(e, h) 1 = (θ(h)(n), e) Om vi identifierar ett element n i N med elementet (n, e) i N och h i H med (e, h) i H så inser vi att φ och θ i själva verket är lika. Exempel 7.2. Betrakta gruppen D n = {e, r, r 2,..., r n 1, s, rs, r 2 s,..., r n 1 s} som har en undergrupp H = {e, s} = Z(2) och en undergrupp N = {e, r, r 2,..., r n 1 } = Z(n). N har index 2 och är därför normal. N H = {e} och D n = NH så D n = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Om h = s så är hnh 1 = n 1 och är h = e så är hnh 1 = n. Alltså är D n = Z(n) θ Z(2) där θ(0) är identitetsavbildningen och θ(1) inverterar element i Z(n). 11

14 8 Sylows satser Omvändningen till Lagranges sats gäller i allmänhet inte eftersom exempelvis A 4 saknar en undergrupp av ordning 6, se exempel 5.1. Däremot finns ett antal satser av Cauchy och Sylow som kan ge information om en grupps struktur utifrån dess ordning. Bevis till dessa finns på sidorna i [1]. Sats 8.1 (Cauchy). Om ett primtal p delar ordningen av en grupp G så har G ett element med ordning p. Sats 8.2 (Sylows första sats). Låt G vara en ändlig grupp, p ett primtal och n ett heltal 1. Om p n delar G så har G en undergrupp med ordning p n. Definition 8.1. Låt p vara ett primtal som delar ordningen av en grupp G. En undergrupp med ordning p n, där n är det största heltalet som medför att p n delar G, kallas för en p-sylowundergrupp. Sats 8.3 (Sylows andra sats). Låt G vara en ändlig grupp. Om A och B är p-sylowundergrupper i G så är A och B konjugerade undergrupper. Kom ihåg att vi i sats 4.8 visade att alla konjugerade undergrupper är parvis isomorfa så därför är också alla p-sylowundergrupper i en grupp parvis isomorfa med varandra. Sylows andra sats har en viktig följdsats som säger att en grupp G har en unik p-sylowundergrupp P om och endast om P är en normal undergrupp i G. Sats 8.4 (Sylows tredje sats). Låt s p vara antalet p-sylowundergrupper i en grupp G. Då är s p 1 (mod p) och s p en delare i [G : S], där S är någon p- Sylowundergrupp i G. Exempel 8.1. Antag att en grupp G har ordning 15. Då vet vi att G har en 3-Sylowundergrupp H 1 = Z(3) och en 5-Sylowundergrupp H2 = Z(5). Antalet 3- Sylowundergrupper är på formen 1 + 3n och delar [G : H 1 ] = 5 så H 1 är en unik och därmed normal undergrupp. Antalet 5-Sylowundergrupper är på formen 1 + 5n och delar [G : H 2 ] = 3 så H 2 är också en unik och därmed normal undergrupp. Vidare har vi att G = H 1 H 2 och N H = {e} så G = H 1 H 2 = Z(3) Z(5) = Z(15). Alltså är varje grupp med ordning 15 isomorf med Z(15). Följande tre satser kommer till användning i exempel 8.2. Sats 8.5. Om G = 2p k, där p är primtal och k 1, så har G en äkta normal undergrupp av ordning p k. Bevis. p k är en delare i G så G har en undergrupp H av ordning p k enligt Sylows första sats. [G : H] = 2 medför att H är en normal undergrupp. Sats 8.6. Om G = p 2, där p är ett primtal, så har G en äkta normal undergrupp av ordning p. Bevis. Primtalet p är en delare i G så G har en undergrupp H av ordning p enligt Sylows första sats. Enligt sats 6.5 så är G abelsk och då är H en normal undergrupp. 12

15 Sats 8.7. Om G = np k, där p är ett primtal, p > n 2 och k 1 så har G en normal undergrupp av ordning p k. Bevis. Låt s p vara antalet p-sylowundergrupper i G. Då är s p 1 (p) och s p n enligt Sylows tredje sats. Eftersom p > n så är den enda möjligheten att s p = 1 och då har G en unik och därmed normal p-sylowundergrupp av ordning p k. Exempel 8.2. Vi ska nu visa att varje grupp G med ordning n, där 1 < n < 60, är av primtalsordning eller har en normal äkta undergrupp. Med andra ord, alla enkla grupper med ordning mindre än 60 är av primtalsordning. En grupp med ordning 4 = 2 2, 6 = 2 3, 8 = 2 3, 10 = 2 5, 14 = 2 7, 16 = 2 4, 18 = 2 3 2, 22 = 2 11, 26 = 2 13, 32 = 2 5, 34 = 2 17, 38 = 2 19, 46 = 2 23, 50 = 2 5 2, 54 = eller 58 = 2 29 har en äkta normal undergrupp enligt sats 8.5. Om en grupp har ordning 4 = 2 2, 9 = 3 2, 25 = 5 2 eller 49 = 7 2 så har den en äkta normal undergrupp enligt sats 8.6. Vidare har en grupp med ordning 15 = 3 5, 20 = 4 5, 21 = 3 7, 28 = 4 7, 33 = 3 11, 35 = 5 7, 39 = 3 13, 42 = 6 7, 44 = 4 11, 51 = 3 17, 52 = 4 13, 55 = 5 11 och 57 = 3 19 en äkta normal undergrupp enligt sats 8.7. Fallet G = 27 = 3 3 kan visas genom att först anta att G är abelsk. Då har G en undergrupp av ordning 3 som måste vara normal. Antag nu att G inte är abelsk. Då är C(G) G. Dessutom är C(G) {e} eftersom G är en p-grupp. Alltså är C(G) en äkta normal undergrupp i G. Låt s p vara antalet p-sylowundergrupper i G. Om G = 12 = så gäller att s 3 1 (3), s 3 4, s 2 1 (2) och s 2 3 så s 3 {1, 4} och s 2 {1, 3}. Om s 3 = 4 så har G 8 element med ordning 3 eftersom en grupp med 3 element är isomorf med Z(3). Då måste s 2 = 1 eftersom de återstående 3 icke-neutrala elementen inte räcker till för att konstruera 3 olika grupper isomorfa med Z(4) eller 3 olika grupper isomorfa med Z(2) Z(2). Alltså är s 2 = 1 eller s 3 = 1. Om G = 24 = så gäller att s 2 1 (2), s 2 3, s 3 1 (3) och s 3 8 så s 2 {1, 3} och s 3 {1, 4}. s 2 = 3 = s 3 = 1. Om G = 30 = så gäller att s 3 1 (3), s 3 10, s 5 1 (5) och s 5 6 så s 3 {1, 10} och s 5 {1, 6}. s 3 = 10 = s 5 = 1. Om G = 36 = så gäller att s 2 1 (2), s 2 9, s 3 1 (3) och s 3 4 så s 2 {1, 3, 9} och s 3 {1, 4}. s 3 = 4 = s 2 = 1. Om G = 40 = så gäller att s 5 1 (5) och s 5 8 så s 5 = 1. Om G = 45 = så gäller att s 3 1 (3) och s 3 5 så s 3 = 1. Om G = 48 = så gäller att s 2 1 (2), s 2 3, s 3 1 (3) och s 3 16 så s 2 {1, 3} och s 3 {1, 4}. s 2 = 3 = s 3 = 1. Om G = 56 = så gäller att s 2 1 (2), s 2 7, s 7 1 (7) och s 7 8 så s 2 {1, 7} och s 3 {1, 8}. s 2 = 7 = s 7 = 1. En grupp med ordning 60 behöver inte ha en äkta normal undergrupp, till exempel kan man visa att A 5 är en enkel grupp med ordning Små grupper I det här avsnittet ska vi reda ut hur många olika grupper det finns i isomorfimening av ordning upp till och med

16 Antag att G är en grupp. Fallet då G = 1 är trivialt, endast G = {e} är möjligt. Om ordningen är 2 eller 3 så är ordningen ett primtal och grupperna måste vara isomorfa med Z(2) respektive Z(3). Om G = 4 så är ordningen ett primtal i kvadrat och därmed är G abelsk så de enda möjliga grupperna är Z(4) och Z(2) Z(2) enligt struktursatsen. 5 är ett primtal så en grupp med ordning 5 måste vara isomorf med Z(5). Antag att G = 6. Enligt Sylows första sats så har G en undergrupp H = {e, a} = Z(2) och en undegrupp N = {e, b, b 2 } = Z(3). Eftersom N har index 2 så är N en normal undergrupp. Alla icke-neutrala element i N har ordning 3 och i H ordning 2 så N H = {e}. Enligt tredje isomorfisatsen så är NH en undergrupp i G. N NH så 3 delar NH och H NH så 2 delar NH. Alltså måste NH = 6 och G = NH. Nu vet vi att G är en inre semidirekt produkt av N och H så G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. φ är en homomorfism från H till Aut(N) = {n n, n n} = Z(2) så det finns två möjligheter. Antag först att φ(h) = (n n) för alla h H. Då är N φ H = N H = Z(3) Z(2) = Z(6). Antag nu att φ(h) = (n ( 1) h n). Då verkar det icke-neutrala elementet i H på N genom att invertera element och φ(e) är identitetsavbildningen så i detta fall är G = N φ H = D 3 enligt exempel 7.2. Alltså finns i isomorfimening två grupper av ordning 6, Z(6) och D 3. 7 är primtal så i det fallet finns bara Z(7). Antag att G = 8. Då har G en undergrupp N med ordning 4 enligt Sylows första sats. N har index 2 så den är normal. Om G har ett element med ordning 8 så är G = Z(8) så vi antar i fortsättningen att G saknar element med ordning 8. Antag nu att alla element i G utom e har ordning 2. Då är N = Z(2) Z(2). Tag ett h G \ N och bilda gruppen H = {e, h}. Då får vi att G = NH och N H = {e} så G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Nu behöver vi automorfigruppen av Z(2) Z(2) = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Om θ : Z(2) Z(2) Z(2) Z(2) ska vara en automorfism så måste θ((0, 1)), θ((1, 0)) {(0, 1), (1, 0), (1, 1)} och θ((0, 1)) θ((1, 0)) så det kan som mest finnas 6 olika automorfismer. Dessa kan skrivas θ((a, b)) = (a, b), θ((a, b)) = (a + b, a), θ((a, b)) = (b, a + b), θ((a, b)) = (b, a), θ((a, b)) = (a, a + b) och θ((a, b)) = (a + b, b). Kontrollerar vi så ser vi att alla 6 möjligheterna uppfyller villkoret θ(a) + θ(b) = θ(a + b) så de är verkligen automorfismer. Alltså är Aut(N) = {(a, b) (a, b), (a, b) (a + b, a), (a, b) (b, a + b), (a, b) (b, a), (a, b) (a, a + b), (a, b) (a + b, b)}. I denna grupp är (a, b) (a, b) enhetselement, (a, b) (a + b, b), (a, b) (a, a + b) samt (a, b) (b, a) har ordning 2 och (a, b) (a + b, a) samt (a, b) (b, a + b) har ordning 3. Alla icke-neutrala element i G har ordning 2 så då måste (n, h)(n, h) = (nφ(h)(n), hh) = (e, e). Då är enda möjligheten att φ(h) är identitetsavbildningen för alla h H. Då får vi att G = N φ H = N H = Z(2) Z(2) Z(2). Antag nu att det finns ett g G med ordning 4 som genererar en normal undergrupp N = Z(4) och att det finns något H < G sådant att G = N H och N H = {e}. Då är G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Det finns två möjligheter för φ eftersom Aut(N) = {n n, n n} = Z(2). Om φ(h) = (n n) för alla h H så är G = N H = Z(4) Z(2). Den andra möjligheten är att φ(h) = (n ( 1) h n) och då är G = N φ H = D 4. Antag slutligen att det finns ett g G med ordning 4 som genererar en normal undergrupp N = Z(4) men att det inte finns något H < G 14

17 sådant att G = NH och N H = {e}. Då har G ett neutralt element, 1 element med ordning 2 och 6 element med ordning 4. Antag att N = <a>. Då är a = 4, a 2 = 2 och a 3 = 4 så a 2 är det element som har ordning 2. Tag ett b G \ N. Då har b ordning 4 så a 2 = b 2. Alla element med ordning 4 genererar cykliska undergrupper där a 2 är ett element så a 2 C(G). G = <a, b> så kan vi nu bara bestämma aba 1 så är G helt bestämd. aba 1 < b > eftersom < b > har index 2 och därför är normal. aba 1 = e är omöjligt eftersom vi då får ab = a b = e. Om aba 1 = b så är ab = ba och då är G abelsk, vilket redan är utrett. aba 1 = b 2 = a 2 är omöjligt eftersom vi då skulle få att b = a 2. Alltså är aba 1 = b 3. Då är G isomorf med den så kallade kvaterniongruppen, Q 8, som brukar skrivas på följande sätt. Sätt i = a, j = b, k = ab och 1 = a 2. Då får vi att Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k}. Eftersom a 2 C(G) så är ( 1)q = q( 1) för alla q Q 8. Vi har att (ab) 2 = a 2 = b 2 så i 2 = j 2 = k 2 = 1 och aba 1 = b 3 ab = b 3 a = a 2 ba abab = a 2 baab = a 2 medför att ijk = 1. Alltså finns 5 olika grupper med ordning 8, Z(8), Z(4) Z(2), Z(2) Z(2) Z(2), D 4 och Q 8. Om G = 9 så är ordningen ett primtal i kvadrat och därmed är G abelsk så de enda möjliga grupperna är Z(9) och Z(3) Z(3). Antag att G = 10. Då har G en normal undergrupp N = Z(5) och en undergrupp H = Z(2). G = NH och N H = {e} så återigen är G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Aut(N) = {n n, n 2n, n 4n, n 3n}. Elementet n 4n ordning 2 och elementen n 2n och n 3n har ordning 4 så Aut(N) = Z(4). Om φ(h) = (n n) för alla h H så är G = N H = Z(5) Z(2) = Z(10). Förutom identitetsavbildningen är den enda möjligheten för φ att φ(h)(n) = (n 4 h n) eftersom (n 4n) är det enda element med ordning 2 i Aut(N). I detta fall så verkar det icke-neutrala elementet i H på N genom att invertera element så då är G = N φ H = D 5. Alltså finns i isomorfimening två grupper av ordning 10, Z(10) och D är primtal så vi har bara Z(11). Antag att G = 12. Då har G enligt Sylows första sats en undergrupp med ordning 4 och en undegrupp med ordning 3. Som vi såg i exempel 8.2 så är antingen undergruppen med ordning 4 eller undergruppen med ordning 3 en normal undergrupp i G så vi får 4 olika fall. Fall 1, antag att Z(3) = N G och att Z(4) = H G. Då är G = NH och N H={e} så G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. φ : H Aut(N) = {n n, n n} = Z(2). Om φ är den triviala homomorfismen så är G = N φ H = N H = Z(3) Z(4) = Z(12). Den andra möjligheten för φ är att φ(h) = (n ( 1) h n). Vi undersöker inte den här gruppen mer ingående utan nöjer oss med att konstatera att det är den semidirekta produkten Z(3) φ Z(4) där φ(h) = (n ( 1) h n). Fall 2, antag att Z(3) = N G och att Z(2) Z(2) = H G. Då är G = NH och N H={e} så G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Om φ((a, b)) är identitetsavbildningen för alla (a, b) H så är G = N H = Z(3) Z(2) Z(2) = Z(6) Z(2). De övriga möjligheterna för φ är φ((a, b)) = (n ( 1) a n), φ((a, b)) = (n ( 1) b n) och φ((a, b)) = (n ( 1) a+b n). Dessa tre möjligheter ger grupper isomorfa med D 6. Det kan vi inse genom att betrakta D 6 = {e, r, r 2,..., r 5, s, sr,..., sr 5 } som är en inre semidirekt produkt av den normala undergruppen N = {e, r 2, r 4 } och undergruppen H = {e, s, r 3, sr 3 } = Z(2) Z(2). Då är D 6 = N θ H där θ(h)(n) = hnh 1. Vi har att θ(s)(r 2 ) = r 4 = (r 2 ) 1, θ(s)(r 4 ) = r 2 = (r 4 ) 1, 15

18 θ(r 3 )(r 2 ) = r 2, θ(r 3 )(r 4 ) = r 4, θ(sr 3 )(r 2 ) = r 4 = (r 2 ) 1 och θ(sr 3 )(r 4 ) = r 2 = (r 4 ) 1. Alltså är D 6 en semidirekt produkt av Z(3) och Z(2) Z(2) där två av de ickeneutrala elementen i Z(2) Z(2) verkar på Z(3) genom att invertera element och de övriga elementen i Z(2) Z(2) inte påverkar elementen i Z(3). Fall 3, antag att Z(4) = N G och att Z(3) = H G. Då är G = NH och N H={e} så G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Nu är Aut(N) = {n n, n 3n} så enda möjligheten är att φ(h) = (n n) för alla h H eftersom de ickeneutrala elementen i H har ordning 3 och (n 3n) har ordning 2. Då får vi att G = Z(4) Z(3) = Z(12). Fall 4, antag att Z(2) Z(2) = N G och att Z(3) = H G. Då är G = NH och N H={e} så G = N φ H där φ(h)(n) = hnh 1. Som vi redan har sett är Aut(N) = {(a, b) (a, b), (a, b) (a + b, a), (a, b) (b, a + b), (a, b) (b, a), (a, b) (a, a + b), (a, b) (a + b, b)}. Förutom φ(h) = ((a, b) (a, b)) för alla h H som ger G = Z(6) Z(2) så finns alltså två möjligheter för φ, φ(h) = ((a, b) (a+b, a)) h och φ(h) = ((a, b) (b, a+b)) h. Båda dessa möjligheter kommer att ge en grupp isomorf med A 4. Det kan vi se genom att betrakta A 4 som är en inre semidirekt produkt av undergruppen H = {(1), (123), (132)} och den normala undergruppen N = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = Z(2) Z(2). Då är A 4 = N θ H där θ(h)(n) = hnh 1. Om vi inför isomorfismerna (a, b) ((12)(34)) a ((13)(24)) b mellan N och Z(2) Z(2) och g (123) g mellan Z(3) och H så får vi att A 4 = (Z(2) Z(2)) ρ Z(3) där ρ(g) = ((a, b) (a + b, a)) g. På samma sätt kan vi göra för att se att fallet φ(h) = ((a, b) (b, a + b)) h också ger A 4. Alltså finns fem grupper med ordning 12, Z(12), Z(6) Z(2), D 6, A 4 och Z(3) φ Z(4) där φ(h) = (n ( 1) h n). 13 är primtal så då finns bara Z(13). Fallet G = 14 blir på samma sätt som fallen G = 6 och G = 10 och vi får grupperna Z(14) och D 7. I exempel 8.1 så visade vi att det bara existerar en grupp med ordning 15, Z(15). Vi gör en sammanfattning i tabellform. Ordning Möjliga grupper 1 Z(1) 2 Z(2) 3 Z(3) 4 Z(4), Z(2) Z(2) 5 Z(5) 6 Z(6), D 3 = S 3 7 Z(7) 8 Z(8), Z(4) Z(2), Z(2) Z(2) Z(2), D 4, Q 8 9 Z(9), Z(3) Z(3) 10 Z(10), D 5 11 Z(11) 12 Z(12), Z(6) Z(2), D 6, A 4, Z(3) φ Z(4) där φ(h) = (n ( 1) h n) 13 Z(13) 14 Z(14), D 7 15 Z(15) Fallet G = 8 = 2 3 var kanske svårast hittills och det tycks bara bli värre eftersom det finns hela olika grupper med ordning 2 10 = [5] 16

19 10 GAP och Rubiks kub GAP är ett datorprogram 1 som kan användas för att studera framförallt grupper. Funktioner finns för att utföra de flesta grundläggande operationerna och undersökningarna av grupper men det finns också möjlighet att göra egna funktioner och program. Det medföljer också ett antal bibliotek innehållande grupper, bland annat finns alla grupper upp till och med ordning 2000 (utom 1024). Exempel Vridningarna hos Rubiks kub (den klassiska leksaken) bildar en permutationsgrupp. Det kommer att visa sig att denna grupp har väldigt stor ordning vilket gör det lämpligt att studera den med GAP. Idén till det här exemplet kommer från [6] där man tittar på hur man kan lösa Rubiks kub. Antag att vi namnger kubens sidor enligt figur 1. Då kommer vridningarna av de olika sidorna orange grön vit gul blå röd Figur 1: Numrering av kubens sidor medurs att motsvara permutationerna i följande tabell. Notera att de fyra bitarna i centrum aldrig flyttar sig utan endast roterar så vi behöver inte bry oss om dem. Sida Permutation Orange (1, 3, 8, 6)(2, 5, 7, 4)(12, 9, 18, 15)(13, 10, 19, 16)(14, 11, 20, 17) Grön (9, 11, 31, 29)(10, 22, 30, 21)(12, 41, 40, 1)(23, 44, 28, 4)(32, 46, 20, 6) Vit (12, 14, 34, 32)(13, 24, 33, 23)(11, 8, 35, 41)(22, 7, 25, 42)(31, 6, 15, 43) Gul (15, 17, 37, 35)(16, 26, 36, 25)(14, 3, 38, 43)(24, 5, 27, 45)(34, 8, 18, 48) Blå (18, 20, 40, 38)(19, 28, 39, 27)(3, 9, 46, 37)(2, 21, 47, 26)(1, 29, 48, 17) Röd (41, 43, 48, 46)(42, 45, 47, 44)(32, 35, 38, 29)(33, 36, 39, 30)(34, 37, 40, 31) Dessa sex permutationer kommer att generera alla möjliga permutationer av kuben. I GAP kan vi då skapa denna grupp och ge den namnet rubik med hjälp av kommandot Group. 1 GAP är fritt och kan gratis laddas ner från 17

20 gap> rubik:=group( > (1,3,8,6)(2,5,7,4)(12,9,18,15)(13,10,19,16)(14,11,20,17), > (9,11,31,29)(10,22,30,21)(12,41,40,1)(23,44,28,4)(32,46,20,6), > (12,14,34,32)(13,24,33,23)(11,8,35,41)(22,7,25,42)(31,6,15,43), > (15,17,37,35)(16,26,36,25)(14,3,38,43)(24,5,27,45)(34,8,18,48), > (18,20,40,38)(19,28,39,27)(3,9,46,37)(2,21,47,26)(1,29,48,17), > (41,43,48,46)(42,45,47,44)(32,35,38,29)(33,36,39,30)(34,37,40,31)); <permutation group with 6 generators> Ordningen av denna grupp kan man få fram genom kommandot Size. gap> Size(rubik); Gruppen är med andra ord väldigt stor. Faktoriserar vi så får vi så gruppen har ett antal sylowundergrupper. GAP kan hitta en sylowundergrupp av varje sort med kommandot SylowSubgroup. gap> S11:=SylowSubgroup(rubik,11); Group( [ (4,7,24,27,23,30,47,28,33,45,16)(5,10,13,25,26,22,44,39,21,42,36) ]) Alltså har rubik en 11-Sylowundergrupp som genereras av permutationen ovan. Denna grupp måste naturligtvis vara isomorf med Z(11) eftersom 11 är ett primtal. Vill vi ha elementen i denna grupp kan vi använda kommandot Elements på S11. gap> Elements(S11); [ (), (4,7,24,27,23,30,47,28,33,45,16)(5,10,13,25,26,22,44,39,21,42, 36), (4,16,45,33,28,47,30,23,27,24,7)(5,36,42,21,39,44,22,26,25, 13,10), (4,23,33,7,30,45,24,47,16,27,28)(5,26,21,10,22,42,13,44, 36,25,39), (4,24,23,47,33,16,7,27,30,28,45)(5,13,26,44,21,36,10, 25,22,39,42), (4,27,47,45,7,23,28,16,24,30,33)(5,25,44,42,10,26, 39,36,13,22,21), (4,28,27,16,47,24,45,30,7,33,23)(5,39,25,36,44, 13,42,22,10,21,26), (4,30,16,23,45,27,33,24,28,7,47)(5,22,36,26, 42,25,21,13,39,10,44), (4,33,30,24,16,28,23,7,45,47,27)(5,21,22, 13,36,39,26,10,42,44,25), (4,45,28,30,27,7,16,33,47,23,24)(5,42, 39,22,25,10,36,21,44,26,13), (4,47,7,28,24,33,27,45,23,16,30)(5, 44,10,39,13,21,25,42,26,36,22) ] Låt oss nu titta på 5-Sylowundergruppen istället. gap> S5:=SylowSubgroup(rubik,5); <permutation group of size 125 with 3 generators> Vi ser att undergruppen har 3 generatorer. Vill vi veta exakt vilken grupp det är så kan vi använda kommandot StructureDescription. gap> StructureDescription(S5); "C5 x C5 x C5" Z(n) skrivs som Cn i GAP så S5 är isomorf med Z(5) Z(5) Z(5). Kom ihåg att alla 5-Sylowundergrupper är isomorfa med varandra så vi vet att alla 5-Sylowundergrupper är isomorfa med Z(5) Z(5) Z(5) även om vi bara har hittat en utav dem. 2- och 3-Sylowundergrupperna är för stora för att GAP ska kunna avgöra vad det är för grupper men vi kan i alla fall se antalet generatorer och avgöra om de är abelska. 18

21 gap> S3:=SylowSubgroup(rubik,3); <permutation group of size with 14 generators> gap> IsAbelian(S3); false gap> S2:=SylowSubgroup(rubik,2); <permutation group of size with 27 generators> gap> IsAbelian(S2); false Vi kan också ta fram centrum till rubik. gap> Centre(rubik); Group( [ (2,19)(4,10)(5,16)(7,13)(21,28)(22,23)(24,25)(26,27)(30,44)(33, 42)(36,45)(39,47) ]) Som vi ser består centrum av endast ett icke-neutral element. Elementet motsvarar vridningarna för att byta plats på sidorna hos alla de 12 kantbitarna i kuben. 19

22 Referenser [1] W.J. Wickless, A first graduate course in abstract algebra, Marcel Dekker, New York, [2] Per-Anders Svensson, Abstrakt algebra, Studentlitteratur, Lund, [3] Semidirect product, product [4] Semidirect product of groups, SemidirectProductOfGroups.html [5] List of small groups, of small groups [6] Analyzing Rubik s Cube with GAP, 20