Stokastiska variabler

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Stokastiska variabler"

Transkript

1 Sannolikhetsteori ör MN1 ht Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är en mängd som örtecknar alla tänkbara utall av örsöket, och P( ) anger sannolikheterna ör händelser ( delmängder av Ω) som kan inträa. P( ) skall satisiera de s.k. Kolmogorovska sannolikhetsaxiomen. De möjliga utallen av ett slumörsök kan vara av vilken art som helst. De behöver de inte vara tal, även om de mycket väl kan vara det. Några exemel. Exemel 1 : När tre kort dras å måå utan återläggning ur en kortlek är de möjliga utallen trilar / 3 - kombinationer av kortvärden. Ett exemel är ; (hjärter kung, sader tre, klöver em). Exemel 2 : En il kastas å en måltavla, och örutsätts träa tavlan och astna å den. De möjliga utallen kan anges med koordinaterna (x, y) ör unkten där ilen astnar (i ett lämligt valt koordinatsystem). Exemlen ovan illustrerar att utall av slumörsök inte behöver vara tal. Man vill dock ota gärna komma till en "talasekt" å ett utall, genom att räkna eller mäta. Hur man då går rån utallet till ett talvärdet bestäms av någon astlagd regel. Exemel 1, orts : Säg att enskilda kort värderas å öljande sätt ; Ess är värt 1, tvåa är värd 2,., dam är värd 12 och kung är värd 13. En möjlig regel ör att talvärdera utall : Trieln av kort tillordnas värdet "summan av de tre kortvärdena". Utallet (Hj kung, S tre, Kl em) ger då värdet En annan möjlig värderingsregel : Korttrieln tillordnas värdet "högsta kortvärdet bland de tre korten". Utallet (Hj kung, S tre, Kl em) tillordnas då värdet 13. Exemel 2, orts : Låt talvärdesregeln vara "ilens avstånd rån måltavlans mittunkt". Om koordinatsystemet valts med origo i tavlans mitt, så gäller ; Talvärdet vid utallet (x, y) blir 2 2 x + y. Med ovanstående bakgrund inörs öljande allmänna begre. DEFINITION (Blom sida 53) : Med en stokastisk variabel avses att man till varje utall av ett slumörsök (Ω, P) associerar ett tal, enligt en bestämd regel. Stokastiska variabler betecknas med stora bokstäver, och tyiskt används bokstäver i slutändan av alabetet,,, Z, o.dyl. En örekommande synonym till stokastisk variabel är slumvariabel. Förkortning : Vi öljer Blom, och använder s.v. ör stokastisk variabel. 1

2 Med mer matematiskt sråk kan en stokastisk variabel beskrivas å bl.a. nedanstående sätt ; är en avbildning rån utallsrummet Ω till de reella talen R. är en reellvärd unktion ( ) som är deinierad å utallsrummet Ω. Till utallet u i Ω tillordnar talet (u). Nedan ges graisk illustration av en stokastisk variabel. En stokastisk variabels ördelning Vi örutsätter att en stokastisk variabel är deiniersd å slumörsöket (Ω, P( )). Om örsöket utörs många gånger ås en serie av utall u 1, u 2, u 3,. För varje utall kan man, enligt den regel som deinierar, beräkna de (tal)värden (u 1 ), (u 2 ), (u 3 ), som den s.v. antar ör de successiva utallen. Etersom det är slumen som styr vad utallen u 1, u 2, u 3, blir, så styr slumen också vad värdena (u 1 ), (u 2 ), (u 3 ), blir. Med andra ord, slumen styr hur den stokastiska variabelns värden ördelar sig över de reella talen. En sådan ördelning kan beskrivas å litet olika sätt. Ett sätt som alltid står till buds är med hjäl av den s.k. ördelningsunktionen. DEFINITION (Blom sid 54) : Den till den stokastiska variabeln svarande ördelningsunktionen F (x) är ; F (x) P({ u : (u) x}), - < x <. När utallsrummet är diskret kan en s.v. anta högst numrerbart många olika värden, och dess ördelningsunktionen F (x) har nedanstående ty av utseende, som brukar kallas att F (x) är en trastegsunktion. Som vi snart skall tala mer om kan en stokastisk variabels värden också srida sig över ett helt kontinuum. Då kommer ördelningsunktionen F (x) att vara av nedanstående ty. 2

3 Följande resultat anger hur en ördelningsunktion ser ut i stora drag. SATS (Blom sida 56) : En ördelningsunktion F (x), - < x <, har öljande egenskaer. F (x) är är icke - avtagande när x växer, (1) F (x) är kontinuerlig åt höger, (2) F (x) växer rån 0 till 1 när x går rån - till +. (3) Den steken kan man också vända å. SATS (Blom sida 56) : En unktion F(x) med egenskaerna (1) - (3) är ördelningsunktion ör någon stokastisk variabel. Formeln (4) nedan är en "grundormel" ör hur sannolikheter ör händelser som beror av den stokastiska variabeln relaterar till ördelningsunktionen F (x). SATS (Blom sida 56) : För en s.v. med ördelningsunktion F (x) gäller ; P(a < b) F (b) - F (a), ör reella tal a och b, a < b. (4) I stort sett allt av betydelse angående en stokastisk variabel berättas av dess ördelning. Som vi kommer att se gäller öljande. När intresset gäller en (eller lera) stokastiska variabler kommer sannolikhetsrummet (Ω, P) att "örsvinna i bakgrunden". I intresseokus kommer istället den stokastiska variabelns (variablernas) ördelning. Det inns, som redan nämnts, olika sätt att seciicera stokastiska variablers ördelningar å. Ett sätt som ungerar ör alla sorters stokastiska variabler är det vi just tittat å, ördelningsunktionen F (x). Härnäst diskuteras några andra sätt. Stokastiska variabler klassiiceras eter hur många olika värden de kan anta, och hur dessa ligger utsridda å R. Det inns två huvudtyer av ördelningar, diskreta och kontinuerliga. Vi börjar med de örra. Diskreta stokastiska variabler och diskreta ördelningar En s.v. sägs vara diskret, eller synonymt ha diskret ördelning, om den antar bara ändligt eller uräkneligt oändligt många olika värden (Blom sida 56). Vi öljer Blom och antar, ör enkelhets skull, att den stokastiska variabelns möjliga värdena inns bland heltalen 0, 1, 2,.. (Antagandet om heltalsvärden är en örenkling, men mer allmänna all kan behandlas "helt analogt".) DEFINITION (Blom sida 57) :. Funktionen (k) P( k), k 0, 1, 2, 3, (5) kallas sannolikhetsunktionen ör den diskreta s.v.. Graiskt beskrivs en sannolikhetsunktion med ett stoldiagram enligt nedan. 3

4 SATS : Sannolikhetsunktionen ör en s.v. satisierar ; 0 (k) 1, k 0,1, 2, 3,. (6) k 0 (k) 1. (7) Fördelningsunktionen F (x) och sannolikhetsunktionen (k) ör en diskret s.v bestämmer varandra enligt nedanstående relationer. F, (8) (x) (k) k x (k) "höjden å det trasteg" F (x) har i x k [ F (k) - F (k-)]. (9) Fördelningsunktionen F och sannolikhetsunktionen är alltså två alternativa sätt att beskriva ördelningen ör en diskret stokastisk variabel å. Vanligtvis ger den mest lättattliga beskrivningen. Som omvändning till satsen ovan gäller öljande. Om 0, 1, 2, är icke - nega- k 0 k tiva tal sådana att 1, så inns en s.v. vars sannolikhetsunktion är ; (k) k, k 0, 1, 2, 3,. (10) Vissa tyer av diskreta ördelningar dyker u så ota att det är raktiskt att ha särskilda namn å dem. De viktigaste listas å sidorna i Blom. En uräkning ges nedan. Vi kommer att säga mer om dessa ördelningar längre ram. Enunktsördelning, Tvåunktsördelning, Likormig ördelning, Geometrisk ördelning, För - örsta - gången - ördelning (g - ördelning), Binomialördelning, Hyergeometrisk ördelning, Poissonördelning. Kontinuerliga stokastiska variabler och ördelningar Nu handlar det om stokastiska variabler av öljande ty. kan anta alla värden å ett (eller lera) intervall å reella axeln, men antar inte något värde med ositiv sannolikhet. sägs då vara en kontinuerlig stokastisk variabel. Ett exemel å en sådan s.v. är i Exemel 2, ilens avstånd till måltavlans mitt. Här kan anta ett helt kontinuum av värden. Fördelningen ör en kontinuerlig stokastisk variabel seciiceras med hjäl av en unktion (x), - < x <, som kallas variabelns / ördelningens täthetsunktion. Den unktionen anger sannolikheten ör att antar sitt värde i ett intervall (a,b) via nedanstående ormel (Blom sidor 62, 63) ; b P (a < b) (x) dx. (11) a 4

5 För en kontinuerlig stokastisk variabel är ördelningsunktionen F (x) och täthetsunktionen (x) relaterade till varandra å öljande sätt ; x F (x) (t) dt, (12) (x) F' (x) (där ' står ör derivata). (13) Kommentar : Relationen (13) är en sanning med litet modiikation. Fördelningsunktionen F (x) behöver aktiskt inte kunna deriveras ör recis alla värden å x, men ör "nästan alla" (vilket vi inte örsöker recisera bättre). Notera att (12) och (13) innebär att den ena av F (x) och (x) bestämmer den andra. F (x) och (x) ger alltså alternativa möjligheter att seciicera ördelningen ör en kontinuerlig stokastisk variabel. Vanligen öredrar man seciikation via täthetsunktionen såsom varande den mest lättattliga. Vid etertanke inses att en täthetsunktion (x) måste satisiera öljande ; 0 (x), - < x <, (14) (x)dx 1. (15) Den steken kan också vändas å. Om man har en unktion (x) som är icke - negativ och har integral (x) dx 1, så inns en s.v. så att (x) (x). En ytterligare stek som kan vändas å hör iho med ormeln (13). Om F(x), - < x <, är en kontinuerlig unktion som växer rån 0 till 1, och som kan deriveras ör alla x utom möjligen ör ändligt många, så är F(x) ördelningsunktion till en ördelning med täthetsunktion (x), vilken ges av relationen (x) F '(x). Även ör kontinuerliga ördelningar har man gett särskilda namn åt vissa tyer av ördelningar, som är särskilt intressanta (Blom sidorna 65-71). En uräkning ges nedan. Vi kommer att säga mer om dessa ördelningar längre ram. Likormig ördelning. Att har denna ördelning skrivs kort Re(a, b). Exonentialördelning. Skrivs kort Ex(m). Normalördelning också kallad Gauss - ördelning. Skrivs kort N(m, σ). Gamma - ördelning. Skrivs kort Γ(, m). Weibull - ördelning. 5

6 En term ör ramtida bruk (Blom sidan 64) är, som vanligt, en s.v. med ördelningsunktion F (x). Mången gång är det av intresse att ör ett öreskrivet värde α mellan 0 och 1 ange det x - värde som med sannolikhet α överskrids av värdet å. Det x - värdet kallas α - kvantilen ör (eller ör : s ördelning), och betecknas x α. Följande relation är alltså uylld : P( x α ) α. Ett alternativt sätt att uttrycka saken å, åtminstone ör en kontinuerlig s.v., är att säga att x α är lösningen till ekvationen F (x) 1- α. Blandade ördelningar (Blom Avsnitt 3.7) Diskreta ördelningar och ördelningar med täthet kan ses som "ytterlighetsvarianter" av ördelningar, men de särklassigt mest intressanta varianterna. Man kan å ytterligare en ty av ördelning ör stokastiska variabler genom att "blanda" en diskret och och en kontinuerlig ördelning, säg i roortionerna α och β, α + β 1, vilka har ördelningsunktioner av nedanstående ty ; (1) (2) F (x) α F (x) + β F (x) α (x) + (t) dt, - < x <. k x Blandade ördelningar är dock inte särskilt vanliga i raktiken. Blom ger ett exemel å sidan 69. Där är den tid en bilist behöver vänta vid en korsning med traikljus. Har bilisten tur, är det grönt ljus när bilen anländer till korsningen, vilket antas inträa med ositiv sannolikhet, säg α. Då blir 0. Har bilisten mindre tur är det rött ljus när bilen anländer. Säg att det inträar med sannolikhet β. Under vissa örutsättningar blir då likormigt ördelad å ett intervall av längd "traikljusets rödtid". Fördelningen ör en sädan s.v. illustreras nedan. x 6

7 Flerdimensionella stokastiska variabler Allmänt Som tidigare betraktas ett slumörsök (Ω, P) där man räknar / mäter asekter å utallet. Skillnaden gentemot tidigare är att nu räknar / mäter man inte bara en asekt ör varje utall utan lera. För enkelhets skull håller vi oss dock till allet med enbart två asekter. Resultaten av räkningarna / mätningarna betecknas med och. Exemel 1, orts. : Vi ortsätter å det tidigare exemlet där slumörsöker är att dra tre kort å måå utan återläggning ur en kortlek. Låt kortvärdena vara som örut ; Ett ess är värt 1, en tvåa är värd 2,., en dam är värd 12, en kung är värd 13. Vidare, låt och vara nedanstående s.v., vilka vi sett å redan tidigare ; summan av värdena å de tre korten, det högsta värdet å något av de tre korten. Nu är vi dock inte intresserade av och var ör sig, utan ör deras "samtidiga" värden, varmed avses aret (,). För utallet (Hj kung, S tre, Kl em) antar (,) värdet ( , 13) (21, 13). DEFINITION (Blom sida 78) : En tvådimensionell stokastisk variabel (,) är ett ar av "vanliga" s.v., som är deinierade å samma slumörsök (Ω, P). Kommentarer : (i) Mer matematiskt uttryckt innebär en tvådimensionell stokastisk variabel (,) en avbildning av Ω in i R 2, vilket illustreras i iguren nedan. (( ),( )) (ii). En örekommande synonym till "(,) är en tvådimensionell stokastisk variabel" är att "(,) är en (tvådimensionell) stokastisk vektor ". (iii). Det mesta av det som sägs om tvådimensionella stokastiska variabler generaliserar sig å rättramt sätt till lerdimensionella stokastiska vaiabler ( 1, 2,, n ) av godtycklig dimension. Ota lämnas generalisringssteget rån dimension 2 till allmän dimension till läsarens eget genomtänkande. (iii). När man vill kontrastera mot begreet "lerdimensionell s.v." kallas en "vanlig" stokastisk variabel ör en endimensionell stokastisk variabel. För lerdimensionella stokastiska variabler gäller, liksom ör endimensionella, att beskriva deras ördelning å lämligt sätt. Det kan göras mycket analogt till hur det gjordes ör endimensionella s.v., men blir tekniskt litet mer komlicerat. Vi ortsätter att nöja oss med 2 - dimensionella s.v., och lämnar till läsaren att tänka igenom att situationer med 3 -, 4 -, osv. dimensionella s.v. kan behandlas (i stort sett) "helt analogt". 7

8 Det man vill beskriva med ördelningen ör två stokastiska variabler och (som är deinierade å samma slumörsök) är sannolikheter ör det "samtidiga" utallet av och. En sådan ördelning kallas ota den simultana ördelningen ör och. DEFINITION (Blom sida 78) : Fördelningsunktionen ör en tvådimensionell stokastisk variabel (,) är ; F, (x,y) P({ x } { y }), - < x, y <. (16) Som örut görs udelning i ördelningstyer eter hur många värden (,) kan anta. När (,) kan anta bara ändligt, eller uräkneligt oändligt, många olika värden sägs (,) ha (tvådimensionell) diskret ördelning. När såväl som kan anta ett kontinuum av värden (utan att anta något värde med ositiv sannolikhet) sägs (,) ha kontinuerlig ördelning. Det inns också blandvarianter, t.ex. att är en diskret (endimensionell) s.v. och en kontinuerlig (endimensionell) s.v. Sådana ördelningar går vi dock inte närmare in å. Diskreta tvådimensionella s.v. och ördelningar När såväl som kan anta bara uräkneligt många olika värden sägs (,) ha diskret ördelning. I analogi med det endimensionella allet antar vi, ör enkelhets skull, att de möjliga värdena ör såväl som är heltalen 0, 1, 2,. (Det allmänna allet när och kan anta andra värden än bara heltal behandlas "helt analogt".) Fördelningen ör den tvådimensionella s.v. (,) beskrivs då av sannolikhetsunktionen. DEFINITION (Blom sida 79) : Sannolikhetsunktionen ör den diskreta tvådimensionell stokastiska variabeln (,) är ;, ( j, k) P({ j } { k }), j, k 0, 1, 2,.. (17) Illustration av en sannolikhetsunktion ges av ett tvådimensionellt stoldiagram. Notera att öljande relationer blir uyllda ; 0, (j, k) 1, j, k 0, 1, 2,, j 0 k 0, ( j, k) 1. (18) Vid etertanke inses att ördelningsunktionen F, (x, y) och sannolikhetsunktionen, ( j, k) bestämmer varandra via relationen ; F, (x, y), (, ) j x, k y j k, - < x, y <. (19) 8

9 Härnäst betraktar vi öljande roblem. Låt (,) vara en diskret tvådimensionell s.v. med känd sannolikhetsunktion, (j, k). Innebär det att man kan beräkna ördelningarna ör och var ör sig, dvs. de endimensionella ördelningarna ör och? Ja, det gör det. Vid etertanke inses att såväl som måste ha diskret ördelning, och att öljande relationer gäller ; ( ) P( j ), ( j, k) k 0 j. (20) ( ) P( k), ( j, k) j 0 k. (21) Medan sannolikhetsunktionen, beskriver det samtidiga uträdandet av och, beskriver och uträdandet av och var ör sig. Man säger att (de endimensionella) ördelningarna som seciiceras av och är marginalördelningar till den simultana ördelning som anges av,. Formlerna (20) och (21) utsäger bl.a. öljande. Om man känner den simultana ördelningen ör en diskret tvådimensionella s.v. (,), så kan man beräkna de endimensionella marginalördelningarna ör och. (Formlerna (20) och (21) kan litet suggestivt beskrivas å öljande sätt. Värdena ör sannolikhetsunktionen ås genom att "soa iho" sannolikheterna, vinkelrätt mot x - axeln. Analogt ås värdena ör genom att "soa iho" sannolikheterna, vinkelrätt mot y - axeln. Härnäst ställer vi den omvända rågan. Om man känner marginalördelningarna och ör var och en av och, kan man då beräkna deras simultana tvådimensionella ördelning,? Svaret å den rågan är nej. Marginalördelningarna ör en s.v. (,) bestämmer inte entydigt den simultana ördelningen ör och, vilket illustreras nedan. Fördelning 1 Fördelning 2 Möjliga värden ör (,) Möjliga värden ör (,) är (0,0) och (1,1) är (0, 0), (1, 0), (0,1) och (1,1), (0, 0), (1, 1) 1 / 2., (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 1 / 4. Fördelningarna 1 och 2, som ju är olika, har recis samma marginalördelningar ; (0) (1) 1 / 2 res. (0) (1) 1 / 2 9

10 Kontinuerliga tvådimensionella s.v. och ördelningar DEFINITION (Blom sidan 81) : Den tvådimensionella stokastiska variabeln (,) sägs ha kontinuerlig ördelning med täthetsunktion, (x,y) om dess ördelningsunktion F, (x,y) kan skrivas å nedanstående orm ; x y F (x, y) (x, y)dx dy. (22)., Då gäller, b d P ({a < b} {c < d} (x, y)dx dy, (23) a c, och mer allmänt ; 2 P ((,) antar sitt värde i delmängden A R ) (x, y)dx dy. (24) Vidare måste nedanstående relationer gälla ; 0, (x,y), (x, y) R 2,, (x, y)dx dy 1. (25) 2 R Ett möjligt utseende å en tvådimensionell täthetsunktion illustreras nedan. A, En ysikalisk bild som ibland är till hjäl, är att uatta en sannolikhetsördelning som en massördelning med total massa 1 som är utlagd å R 2. Om massan iråga utgörs av sand kan (x, y) uattas som konturen å en "sandhög". Det som sägs i (25) kan vändas å å öljande sätt. En unktion (x,y) är täthetsunktion till en tvådimensionell s.v. (,) om, och endast om, den satsierar öljande villkor ; 0 (x,y), (x, y) R 2, (x, y)dx dy 1. (26) 2 R För en kontinuerlig tvådimensionell s.v. (,) deinieras marginalördelningarna ör och i analogi med det tidigare. Följande relationer öreligger mellan den simultana ördelningen och marginalördelningarna. 1. F (x) lim F (x, y), - < x <. (Gäller också ör diskret 2 - dim. ördeln.). y 2. (x) x, F (x, y) dx dy. (27), 10

11 3. När (,) har ördelning med täthetsunktion, (x,y), har också ördelning med täthetsunktion, och den är ; (x), (x, y) dy, - < x <. (28) Fysikaliskt kan man beskriva innebörden av (28) så här. Sannolikhetsmassan i marginalördelningen ör ås genom att "soa iho" sannolikhetsmassan i den tvådimensionella ördelningen ör (,) vinkelrätt mot x - axeln. Kommentar : Från det ovanstående ramgår att den tvådimensionella ördelningen ör (,) bestämmer de endimensionella marginalördelningarna F (x) och F (x). Vi ekade tidigare å att ör diskreta (,) kan man dock inte vända å den steken. Det kan man inte heller i det kontinuerliga allet. Även då kan två olika tvådimensionella ördelningar mycket väl ha recis samma marginalördelningar. Oberoende stokastiska variabler (Blom Avsnitt 4.5) DEFINITION : Två (simultanördelade) stokastiska variabler och sägs vara oberoende om händelser som beror bara av, dvs. händelser av tyen { C} där C R, och händelser som beror bara av, dvs. händelser av tyen { D} där D R, är oberoende händelser. I ovanstående deinition kommer "oberoende händelser" in. Då är man nere i det grundläggande slumörsöket (Ω, P) och "rotar". Vi har dock sagt att i anslutning till s.v. skall (Ω, P) örsvinna i bakgrunden och istället berättar variablernas ördelningar om "allt av intresse". Det är därör naturligt att ställa öljande råga. Om man känner (den simultana) ördelningen ör den tvådimensionella stokastiska variabeln (,), kan man då avgöra om och är oberoende eller ej? Svaret är att det kan man. Precisa kriterier ges nedan. SATS : Vart och ett av nedanstående villkor 1, 2 och 3 är tillräckligt och nödvändigt ör att och skall vara oberoende stokastiska variabler. 1. F, (x,y) F (x) F (y), ör (x, y) R 2. (29) 2. och är diskreta stokastiska variabler, och öljande gäller;, ( j, k) ( j ) ( k ), j, k 0, 1, 2,. (30) 3. (, ) har ördelning med täthet, och öljande gäller;, (x,y) (x) (y), ör all (x, y) R 2. (31) Viktigt öljdresultat : Vi har tidigare tryckt å att allmänt gäller att den simultana ördelningen ör två s.v. och inte bestäms entydigt av variablernas marginalördelningar. Som konsekvens av ormlerna (29) - (30) gäller dock öljande. Under tilläggsörutsättningen att och är oberoende stokastiska variabler bestäms deras simultana ördelning av de marginella ördelningarna ör och. Man år den simultans sannolikhets unktionen res. den simultana täthetsunktionen genom att multilicera motsvarande unktioner ör de endimensionella marginalördelningarna. 11

12 Funktioner av stokastiska variabler (Blom Kaitel 5) En unktion av en stokastisk variabel Låt vara en stokastisk variabel som är deinierad å sannolikhetsrummet (Ω, P) och låt g( ) vara en "vanlig" unktion ( en reellvärd unktion av en reell variabel, eller om man så vill, en avbildning R R). Då blir också g() en stokastisk variabel, nämligen den s.v. som till utallet u Ω tillordnar talvärdet g((u)). Saken illustreras i iguren nedan ; Om man känner (Ω, P), och g( ) kan man (i alla all i rinci) beräkna ördelningen ör den nya stokastiska variabeln g(). Man behöver dock inte blanda in sannolikhetsrummet (Ω, P) i beräkningen. För att beräkna ördelningen ör g() räcker det att känna ördelningen ör och g( ). Saken illustreras i exemlet nedan. Exemel (Exemel 2 å sidan 100 i Blom) : Låt vara en kontinuerlig s.v. med täthetsunktion (x), och låt vara den nya s.v. som ås genom en linjär transormation av, a + b, där a och b är (givna) konstanter. Det vi är ute eter är ördelningen ör. För enkelhets skull antas att a > 0. Vi börjar med att beräkna ördelningsunktionen ör. F (y) P( y) P(a + b y) P( (y - b) / a) F ((y - b) / a). (32) Etersom örutsätts ha täthetsunktion kan F (x), och därmed högerledet i (32), deriveras. Alltså kan F (y) deriveras, vilket enligt tidigare resultat medör att har ördelning med täthetsunktion, och att den täthetsunktionen ås som derivatan till F (y). Detta ger ; d y b 1 y b (y) F ' (y) F ( ) ( ). (33) dy a a a Därmed är ördelningen ör uttryckt i termer av ördelningen ör. I allet när a < 0 måste olikheten i (32) behandlas litet annorlunda. Se Bloms bok, där också ytterligare exemel inns. En unktion av lera stokastiska variabler Här handlar det om att man skaar en ny stokastisk variabel som en unktion av lera andra stokastiska variabler, vars simultana ördelning örutsätts känd. För enkelhets skull nöjer vi oss med allet med två s.v. och, och betraktar en situation som är analog med den tidigare. Nu är (,) en tvådimensionell s.v. och g en unktion av två variabler, g(x,y). Då blir också Z g(,) en stokastisk variabel. Till varje utall u Ω av slumörsöket tillordnar Z ett talvärde, nämligen värdet g((u),(u)) till utallet u. Situationen illustreras i iguren nedan. 12

13 I analogi med det tidigare gäller öljande. Om man känner den tvådimensionella ördelningen ör (,) och unktionen g(x,y), så kan man beräkna ördelningen ör den s.v. g(,). Det inns dock ingen enkel generell ormel ör den beräkningen. Man år ta sig ram å lämligt sätt i varje enskilt all. Exemel ges i Bloms Avsnitt 5.2. Funktioner av oberoende stokastiska variabler Från den tidigare deinitionen av oberoende stokastiska variabler öljer nedanstående resultat i stort sett omgående. SATS : Låt och vara oberoende s.v. och bilda Z och U som nya stokastiska variabler som är unktioner av resektive, Z g() och U h(). Då är också Z och U oberoende stokastiska variabler. Det resultatet kan utvidgas till situationer där många oberoende s.v. är involverade. SATS : Låt 1, 2,, n vara s.v. som är (ullständigt) oberoende. Bilda två nya stokastiska variabler och Z, vilka båda är unktioner av - variablerna, men olika usättningar av dem, säg g( 1, 2,, k ) och Z h( k + 1, k + 2,, n). Då är också och Z oberoende stokastiska variabler. Kommentarer : (i) Man brukar uttrycka ovanstående resultat genom att säga att unktioner av (olika) oberoende stokastiska variabler blir oberoende s.v. (ii) Resultatet gäller inte bara ör två nya variabler och Z, utan ör godtyckligt många (under örutsättning att de är unktioner av olika oberoende s.v.). Summan av oberoende stokastiska variabler En roblematik som vi kommer att möta vid ett lertal tillällen ramdeles är öljande. Problem : och är oberoende stokastiska variabler med kända ördelningar. Hur beräknas ördelningen ör den stokastiska variabeln Z +? Prydliga svar å roblemet kan ges i åtminstone öljande två all. Fall 1 : Såväl som har diskret ördelning. Deras sannolikhetsunktioner betecknas som vanligt med (k) resektive (k), k 0, 1, 2,. Fall 2 : Såväl som har ördelning med täthetsunktion. Dessa betecknas som vanligt med (x) resektive (y), - < x, y <. 13

14 I Fall 1 är och oberoende s.v. som båda har diskret ördelning. Härav öljer att deras simultana ördelningen också är diskret och har sannolikhetsunktionen ;, ( j, k) ( j) (k), j, k 0, 1, 2,. (34) Händelsen {Z k} { + k} inträar om, och endast om, händelsena { i} och { j} inträar med i och j sådana att i + j k. Vid litet etertanke leder det till nedanstående ormel (Bloms ormel (6') å sidan 104 ; k Z ( ) ( i) ( k - i) i 0 k, k 0, 1, 2,. (35) Formeln (35) uttrycks : Z ( ) erhålls genom (diskret) altning av ( ) och ( ). I Fall 2 när och är oberoende stokastiska variabler som båda har ördelning med täthetsunktion, har också den tvådimensionella s.v. (,) ördelning med täthet, nämligen (se Bloms ormel (10) å sidan 85 ) ;, (x, y) (x) (y), - < x, y <. (36) Från (36) ås ; F (z) P(Z z) (x) (y) dxdy. (37) Z x + y z Man kan visa (och det görs å sidan 105 i Blom) att relationen (37) medör att Z har ördelning med täthetsunktion, som ges av nedanstående ormel (Blom sidan 105) ; Z (z) (x) (z x) dx (z x) (x) dx, - < z <. (38) Formel (38) uttrycks : Z (z) erhålls genom altning av (x) och (y). Betingade ördelningar (Blom Avsnitt 4.6) Låt och vara stokastiska variabler med känd simultan ördelning. Nu gäller intresset ördelningen ör när man vet vilket värde antog. I örsta omgången antas att (,) har diskret ördelning, och som vanligt antas de möjliga värdena ör och vara 0, 1, 2, 3,. Den simultana ördelning ör och seciiceras av sannolikhetsunktionen, (j, k). De storheter vi intresserar oss ör är ; P( j k) den betingade sannolikheten ör att antar värdet j givet att antar värdet k. Enligt deinitionen av betingad sannolikhet ; P( j, k) P( j k) P( k), ( j, k) ( k) i 0, ( j, k), ( i, k) betecknas (j k). (39) Vid etertanke inses att storheterna (j k) i (39) ör varje ixt värde å k uör sig så som en sannolikhetsunktion ör en diskret sannolikhetsördelning skall göra, dvs. öljande relationer är uyllda ; j 0 ( j k) 0, j 0, 1, 2, 3,, och ( j k ) 1. Den sannolikhetsördelning som ges av (j k), j 0, 1, 2, 3, kallas den betingade ördelningen ör givet att k. 14

15 Denna betingade ördelning kan ses å öljande sätt. Den ås genom att sannolikheterna som ligger längs (den horisontella) linjen y k i (x, y) - lanet skalas u så att deras sammanlagda sannolikhetsmassa blir 1. I nästa omgång antas (,) ha kontinuerlig ördelning med täthetsunktion, (x, y). Vi betraktar P( x y y + ) och tänker oss att är en liten ositiv storhet. Anledningen till att vi ör in detta litet konstiga är att P( ) 0 medan P(y y + ) åtminstone i "normalallet" är > 0. Vi har ; P( x, y y + ) P( x y y + ) P(y y + ) x Vid etertanke inses att (40) åtminstone i "normalallet" ger ; x P( x y y + ) Det tar vi som intäkt ör relationen x P( x y),, (t, y) dt (y) Genom att derivera med avseende å x i (42) ås ; d dx y+ y y+ y, (t,u) dt du (u)du. (40) när 0. (41) (t, y) dt. (42) (y), (x, y) P( x y) betecknas (y) (x y) (43) Vid litet etertanke inses att (x y) i (43) ör varje ixt värde å y uör sig så som täthetsunktionen ör en kontinuerlig sannolikhetsördelning skall göra, dvs. öljande relationer är uyllda ; (x y) 0 ör alla x och (x y) dx 1. Sannolikhetsördelningen som ges av täthetsunktionen (x y) kallas den betingade ördelningen ör givet att k. I analogi med örhållandena när och har diskret simultanördelning kan den nyss inörda betingade ördelningen ses å öljande sätt. Den ås genom att (x, y), ör - < x < och y ixt, skalas u så att totala integralen under den uskalade unktionen blir 1. 15

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

P(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1

P(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1 Kaitel 1 Mer Markovkedjor Med att secificera en Markovkedja menar vi att man bestämmer övergångsmatrisen P. Detta säger ju allt om dynamiken för rocessen. Om vi dessutom vet hur kedjan startar, dvs startfördelningen

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler oc system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som åverkar systemets beteende, oc utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende å sammananget

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

1 Dimensionsanalys och π-satsen.

1 Dimensionsanalys och π-satsen. Dimensionsanalys och π-satsen. Då man örsöker ställa upp en matematisk modell ör något ysikaliskt enomen skall man alltid göra dimensionsanalys. Dimensionsanalys handlar om att undersöka hur givna ysikaliska

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende

Läs mer

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2014 Kontakt: olga. b ylund@ysik.su.se Instruktioner ör redogörelse ör laboration 1: Laboration 1 innehåller em experiment. Varje experiment bör presenteras

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator:

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

Differentialekvationer av första ordningen

Differentialekvationer av första ordningen Föreläsning 1 Differentialekvationer av första ordningen 1.1 Aktuella avsnitt i läroboken 1.1) Differential Equations and Mathematical Models. Speciellt exemplen 3, 4 och 5.) 1.2) Integrals as General

Läs mer

Repetition Ljus - Fy2!!

Repetition Ljus - Fy2!! Repetition Ljus - Fy2 Egenskaper ör : Ljus är inte en mekanisk vågrörelse. Den tar sig ram utan problem även i vakuum och behöver alltså inget medium. Exakt vilken typ av vågrörelse är återkommer vi till

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterationer på ett intervall av Fredrik Bratt 2011 - No 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:

MATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 2 Flervariabelanals I Vintern Översikt öreläsningar läsvecka Denna vecka ägnas nästan uteslutande åt problemet att hitta största och minsta värden till en unktion av lera variabler. Vi kommer att studera

Läs mer

Kursombud sökes! Kursens syfte är att ge en introduktion till metoder för att förutsäga realtidsegenskaper hos betjäningssystem, i synnerhet för data- och telekommunikationssystem. Såväl enkla betjäningssystem,

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och relektionslagen 2 4 Linser 2 4.1 Att rita strålgångar........................

Läs mer

Tentamen Optik, FYSA11, 2012-05-25

Tentamen Optik, FYSA11, 2012-05-25 Tentamen Otik, FYSA, 0-05-5 Hjälmedel: TEFYMA, ormelsamling, linjal, ickräknare och biogat ormelblad. Glöm inte att beskriva hur du kommer ram till dina svar. Även delvis lösta ugiter kan ge oäng.. Den

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2011 Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och relektionslagen 2 4 Linser 2 4.1 Att rita strålgångar........................

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Kursmål och pluggtips Institutionen för matematik KTH Kursmål Kursmålen står på sidan Kursplan mm (länk i menyn). De anger vad man ska kunna för att bli godkänd på kursen. I den här pdf:en går jag igenom

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER 1. Figuren visar grafen till funktionen f där f(x) = x 3 3x 2. I punkter där xkoordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

TMS136. Föreläsning 5

TMS136. Föreläsning 5 TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

TATA69 Flervariabelanalys Kompletterande uppgifter ht 2013

TATA69 Flervariabelanalys Kompletterande uppgifter ht 2013 Hans Lundmark Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013-08-30 TATA69 Flervariabelanalys Kompletterande uppgifter ht 2013 e här uppgifterna är till för att du på ett handfast sätt ska få bekanta

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

6. Flerdimensionella stokastiska variabler

6. Flerdimensionella stokastiska variabler 6 Flerdimensionella stokastiska variabler 61 Simultana fördelningar Den simultana fördelningsfunktionen av X och Y, vilka som helst två stokastiska variabler, definieras F(a,b) = F X,Y (a,b) = P(X a,y

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Partiella differentialekvationer (TATA27)

Partiella differentialekvationer (TATA27) Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. NpMab ht 01 Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer