Stokastiska variabler

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Stokastiska variabler"

Transkript

1 Sannolikhetsteori ör MN1 ht Bengt Rosén Stokastiska variabler Deinition av stokastisk variabel Den matematiska beskrivningen av ett slumörsök är ett ar (Ω, P( )), där utallsrummet Ω är en mängd som örtecknar alla tänkbara utall av örsöket, och P( ) anger sannolikheterna ör händelser ( delmängder av Ω) som kan inträa. P( ) skall satisiera de s.k. Kolmogorovska sannolikhetsaxiomen. De möjliga utallen av ett slumörsök kan vara av vilken art som helst. De behöver de inte vara tal, även om de mycket väl kan vara det. Några exemel. Exemel 1 : När tre kort dras å måå utan återläggning ur en kortlek är de möjliga utallen trilar / 3 - kombinationer av kortvärden. Ett exemel är ; (hjärter kung, sader tre, klöver em). Exemel 2 : En il kastas å en måltavla, och örutsätts träa tavlan och astna å den. De möjliga utallen kan anges med koordinaterna (x, y) ör unkten där ilen astnar (i ett lämligt valt koordinatsystem). Exemlen ovan illustrerar att utall av slumörsök inte behöver vara tal. Man vill dock ota gärna komma till en "talasekt" å ett utall, genom att räkna eller mäta. Hur man då går rån utallet till ett talvärdet bestäms av någon astlagd regel. Exemel 1, orts : Säg att enskilda kort värderas å öljande sätt ; Ess är värt 1, tvåa är värd 2,., dam är värd 12 och kung är värd 13. En möjlig regel ör att talvärdera utall : Trieln av kort tillordnas värdet "summan av de tre kortvärdena". Utallet (Hj kung, S tre, Kl em) ger då värdet En annan möjlig värderingsregel : Korttrieln tillordnas värdet "högsta kortvärdet bland de tre korten". Utallet (Hj kung, S tre, Kl em) tillordnas då värdet 13. Exemel 2, orts : Låt talvärdesregeln vara "ilens avstånd rån måltavlans mittunkt". Om koordinatsystemet valts med origo i tavlans mitt, så gäller ; Talvärdet vid utallet (x, y) blir 2 2 x + y. Med ovanstående bakgrund inörs öljande allmänna begre. DEFINITION (Blom sida 53) : Med en stokastisk variabel avses att man till varje utall av ett slumörsök (Ω, P) associerar ett tal, enligt en bestämd regel. Stokastiska variabler betecknas med stora bokstäver, och tyiskt används bokstäver i slutändan av alabetet,,, Z, o.dyl. En örekommande synonym till stokastisk variabel är slumvariabel. Förkortning : Vi öljer Blom, och använder s.v. ör stokastisk variabel. 1

2 Med mer matematiskt sråk kan en stokastisk variabel beskrivas å bl.a. nedanstående sätt ; är en avbildning rån utallsrummet Ω till de reella talen R. är en reellvärd unktion ( ) som är deinierad å utallsrummet Ω. Till utallet u i Ω tillordnar talet (u). Nedan ges graisk illustration av en stokastisk variabel. En stokastisk variabels ördelning Vi örutsätter att en stokastisk variabel är deiniersd å slumörsöket (Ω, P( )). Om örsöket utörs många gånger ås en serie av utall u 1, u 2, u 3,. För varje utall kan man, enligt den regel som deinierar, beräkna de (tal)värden (u 1 ), (u 2 ), (u 3 ), som den s.v. antar ör de successiva utallen. Etersom det är slumen som styr vad utallen u 1, u 2, u 3, blir, så styr slumen också vad värdena (u 1 ), (u 2 ), (u 3 ), blir. Med andra ord, slumen styr hur den stokastiska variabelns värden ördelar sig över de reella talen. En sådan ördelning kan beskrivas å litet olika sätt. Ett sätt som alltid står till buds är med hjäl av den s.k. ördelningsunktionen. DEFINITION (Blom sid 54) : Den till den stokastiska variabeln svarande ördelningsunktionen F (x) är ; F (x) P({ u : (u) x}), - < x <. När utallsrummet är diskret kan en s.v. anta högst numrerbart många olika värden, och dess ördelningsunktionen F (x) har nedanstående ty av utseende, som brukar kallas att F (x) är en trastegsunktion. Som vi snart skall tala mer om kan en stokastisk variabels värden också srida sig över ett helt kontinuum. Då kommer ördelningsunktionen F (x) att vara av nedanstående ty. 2

3 Följande resultat anger hur en ördelningsunktion ser ut i stora drag. SATS (Blom sida 56) : En ördelningsunktion F (x), - < x <, har öljande egenskaer. F (x) är är icke - avtagande när x växer, (1) F (x) är kontinuerlig åt höger, (2) F (x) växer rån 0 till 1 när x går rån - till +. (3) Den steken kan man också vända å. SATS (Blom sida 56) : En unktion F(x) med egenskaerna (1) - (3) är ördelningsunktion ör någon stokastisk variabel. Formeln (4) nedan är en "grundormel" ör hur sannolikheter ör händelser som beror av den stokastiska variabeln relaterar till ördelningsunktionen F (x). SATS (Blom sida 56) : För en s.v. med ördelningsunktion F (x) gäller ; P(a < b) F (b) - F (a), ör reella tal a och b, a < b. (4) I stort sett allt av betydelse angående en stokastisk variabel berättas av dess ördelning. Som vi kommer att se gäller öljande. När intresset gäller en (eller lera) stokastiska variabler kommer sannolikhetsrummet (Ω, P) att "örsvinna i bakgrunden". I intresseokus kommer istället den stokastiska variabelns (variablernas) ördelning. Det inns, som redan nämnts, olika sätt att seciicera stokastiska variablers ördelningar å. Ett sätt som ungerar ör alla sorters stokastiska variabler är det vi just tittat å, ördelningsunktionen F (x). Härnäst diskuteras några andra sätt. Stokastiska variabler klassiiceras eter hur många olika värden de kan anta, och hur dessa ligger utsridda å R. Det inns två huvudtyer av ördelningar, diskreta och kontinuerliga. Vi börjar med de örra. Diskreta stokastiska variabler och diskreta ördelningar En s.v. sägs vara diskret, eller synonymt ha diskret ördelning, om den antar bara ändligt eller uräkneligt oändligt många olika värden (Blom sida 56). Vi öljer Blom och antar, ör enkelhets skull, att den stokastiska variabelns möjliga värdena inns bland heltalen 0, 1, 2,.. (Antagandet om heltalsvärden är en örenkling, men mer allmänna all kan behandlas "helt analogt".) DEFINITION (Blom sida 57) :. Funktionen (k) P( k), k 0, 1, 2, 3, (5) kallas sannolikhetsunktionen ör den diskreta s.v.. Graiskt beskrivs en sannolikhetsunktion med ett stoldiagram enligt nedan. 3

4 SATS : Sannolikhetsunktionen ör en s.v. satisierar ; 0 (k) 1, k 0,1, 2, 3,. (6) k 0 (k) 1. (7) Fördelningsunktionen F (x) och sannolikhetsunktionen (k) ör en diskret s.v bestämmer varandra enligt nedanstående relationer. F, (8) (x) (k) k x (k) "höjden å det trasteg" F (x) har i x k [ F (k) - F (k-)]. (9) Fördelningsunktionen F och sannolikhetsunktionen är alltså två alternativa sätt att beskriva ördelningen ör en diskret stokastisk variabel å. Vanligtvis ger den mest lättattliga beskrivningen. Som omvändning till satsen ovan gäller öljande. Om 0, 1, 2, är icke - nega- k 0 k tiva tal sådana att 1, så inns en s.v. vars sannolikhetsunktion är ; (k) k, k 0, 1, 2, 3,. (10) Vissa tyer av diskreta ördelningar dyker u så ota att det är raktiskt att ha särskilda namn å dem. De viktigaste listas å sidorna i Blom. En uräkning ges nedan. Vi kommer att säga mer om dessa ördelningar längre ram. Enunktsördelning, Tvåunktsördelning, Likormig ördelning, Geometrisk ördelning, För - örsta - gången - ördelning (g - ördelning), Binomialördelning, Hyergeometrisk ördelning, Poissonördelning. Kontinuerliga stokastiska variabler och ördelningar Nu handlar det om stokastiska variabler av öljande ty. kan anta alla värden å ett (eller lera) intervall å reella axeln, men antar inte något värde med ositiv sannolikhet. sägs då vara en kontinuerlig stokastisk variabel. Ett exemel å en sådan s.v. är i Exemel 2, ilens avstånd till måltavlans mitt. Här kan anta ett helt kontinuum av värden. Fördelningen ör en kontinuerlig stokastisk variabel seciiceras med hjäl av en unktion (x), - < x <, som kallas variabelns / ördelningens täthetsunktion. Den unktionen anger sannolikheten ör att antar sitt värde i ett intervall (a,b) via nedanstående ormel (Blom sidor 62, 63) ; b P (a < b) (x) dx. (11) a 4

5 För en kontinuerlig stokastisk variabel är ördelningsunktionen F (x) och täthetsunktionen (x) relaterade till varandra å öljande sätt ; x F (x) (t) dt, (12) (x) F' (x) (där ' står ör derivata). (13) Kommentar : Relationen (13) är en sanning med litet modiikation. Fördelningsunktionen F (x) behöver aktiskt inte kunna deriveras ör recis alla värden å x, men ör "nästan alla" (vilket vi inte örsöker recisera bättre). Notera att (12) och (13) innebär att den ena av F (x) och (x) bestämmer den andra. F (x) och (x) ger alltså alternativa möjligheter att seciicera ördelningen ör en kontinuerlig stokastisk variabel. Vanligen öredrar man seciikation via täthetsunktionen såsom varande den mest lättattliga. Vid etertanke inses att en täthetsunktion (x) måste satisiera öljande ; 0 (x), - < x <, (14) (x)dx 1. (15) Den steken kan också vändas å. Om man har en unktion (x) som är icke - negativ och har integral (x) dx 1, så inns en s.v. så att (x) (x). En ytterligare stek som kan vändas å hör iho med ormeln (13). Om F(x), - < x <, är en kontinuerlig unktion som växer rån 0 till 1, och som kan deriveras ör alla x utom möjligen ör ändligt många, så är F(x) ördelningsunktion till en ördelning med täthetsunktion (x), vilken ges av relationen (x) F '(x). Även ör kontinuerliga ördelningar har man gett särskilda namn åt vissa tyer av ördelningar, som är särskilt intressanta (Blom sidorna 65-71). En uräkning ges nedan. Vi kommer att säga mer om dessa ördelningar längre ram. Likormig ördelning. Att har denna ördelning skrivs kort Re(a, b). Exonentialördelning. Skrivs kort Ex(m). Normalördelning också kallad Gauss - ördelning. Skrivs kort N(m, σ). Gamma - ördelning. Skrivs kort Γ(, m). Weibull - ördelning. 5

6 En term ör ramtida bruk (Blom sidan 64) är, som vanligt, en s.v. med ördelningsunktion F (x). Mången gång är det av intresse att ör ett öreskrivet värde α mellan 0 och 1 ange det x - värde som med sannolikhet α överskrids av värdet å. Det x - värdet kallas α - kvantilen ör (eller ör : s ördelning), och betecknas x α. Följande relation är alltså uylld : P( x α ) α. Ett alternativt sätt att uttrycka saken å, åtminstone ör en kontinuerlig s.v., är att säga att x α är lösningen till ekvationen F (x) 1- α. Blandade ördelningar (Blom Avsnitt 3.7) Diskreta ördelningar och ördelningar med täthet kan ses som "ytterlighetsvarianter" av ördelningar, men de särklassigt mest intressanta varianterna. Man kan å ytterligare en ty av ördelning ör stokastiska variabler genom att "blanda" en diskret och och en kontinuerlig ördelning, säg i roortionerna α och β, α + β 1, vilka har ördelningsunktioner av nedanstående ty ; (1) (2) F (x) α F (x) + β F (x) α (x) + (t) dt, - < x <. k x Blandade ördelningar är dock inte särskilt vanliga i raktiken. Blom ger ett exemel å sidan 69. Där är den tid en bilist behöver vänta vid en korsning med traikljus. Har bilisten tur, är det grönt ljus när bilen anländer till korsningen, vilket antas inträa med ositiv sannolikhet, säg α. Då blir 0. Har bilisten mindre tur är det rött ljus när bilen anländer. Säg att det inträar med sannolikhet β. Under vissa örutsättningar blir då likormigt ördelad å ett intervall av längd "traikljusets rödtid". Fördelningen ör en sädan s.v. illustreras nedan. x 6

7 Flerdimensionella stokastiska variabler Allmänt Som tidigare betraktas ett slumörsök (Ω, P) där man räknar / mäter asekter å utallet. Skillnaden gentemot tidigare är att nu räknar / mäter man inte bara en asekt ör varje utall utan lera. För enkelhets skull håller vi oss dock till allet med enbart två asekter. Resultaten av räkningarna / mätningarna betecknas med och. Exemel 1, orts. : Vi ortsätter å det tidigare exemlet där slumörsöker är att dra tre kort å måå utan återläggning ur en kortlek. Låt kortvärdena vara som örut ; Ett ess är värt 1, en tvåa är värd 2,., en dam är värd 12, en kung är värd 13. Vidare, låt och vara nedanstående s.v., vilka vi sett å redan tidigare ; summan av värdena å de tre korten, det högsta värdet å något av de tre korten. Nu är vi dock inte intresserade av och var ör sig, utan ör deras "samtidiga" värden, varmed avses aret (,). För utallet (Hj kung, S tre, Kl em) antar (,) värdet ( , 13) (21, 13). DEFINITION (Blom sida 78) : En tvådimensionell stokastisk variabel (,) är ett ar av "vanliga" s.v., som är deinierade å samma slumörsök (Ω, P). Kommentarer : (i) Mer matematiskt uttryckt innebär en tvådimensionell stokastisk variabel (,) en avbildning av Ω in i R 2, vilket illustreras i iguren nedan. (( ),( )) (ii). En örekommande synonym till "(,) är en tvådimensionell stokastisk variabel" är att "(,) är en (tvådimensionell) stokastisk vektor ". (iii). Det mesta av det som sägs om tvådimensionella stokastiska variabler generaliserar sig å rättramt sätt till lerdimensionella stokastiska vaiabler ( 1, 2,, n ) av godtycklig dimension. Ota lämnas generalisringssteget rån dimension 2 till allmän dimension till läsarens eget genomtänkande. (iii). När man vill kontrastera mot begreet "lerdimensionell s.v." kallas en "vanlig" stokastisk variabel ör en endimensionell stokastisk variabel. För lerdimensionella stokastiska variabler gäller, liksom ör endimensionella, att beskriva deras ördelning å lämligt sätt. Det kan göras mycket analogt till hur det gjordes ör endimensionella s.v., men blir tekniskt litet mer komlicerat. Vi ortsätter att nöja oss med 2 - dimensionella s.v., och lämnar till läsaren att tänka igenom att situationer med 3 -, 4 -, osv. dimensionella s.v. kan behandlas (i stort sett) "helt analogt". 7

8 Det man vill beskriva med ördelningen ör två stokastiska variabler och (som är deinierade å samma slumörsök) är sannolikheter ör det "samtidiga" utallet av och. En sådan ördelning kallas ota den simultana ördelningen ör och. DEFINITION (Blom sida 78) : Fördelningsunktionen ör en tvådimensionell stokastisk variabel (,) är ; F, (x,y) P({ x } { y }), - < x, y <. (16) Som örut görs udelning i ördelningstyer eter hur många värden (,) kan anta. När (,) kan anta bara ändligt, eller uräkneligt oändligt, många olika värden sägs (,) ha (tvådimensionell) diskret ördelning. När såväl som kan anta ett kontinuum av värden (utan att anta något värde med ositiv sannolikhet) sägs (,) ha kontinuerlig ördelning. Det inns också blandvarianter, t.ex. att är en diskret (endimensionell) s.v. och en kontinuerlig (endimensionell) s.v. Sådana ördelningar går vi dock inte närmare in å. Diskreta tvådimensionella s.v. och ördelningar När såväl som kan anta bara uräkneligt många olika värden sägs (,) ha diskret ördelning. I analogi med det endimensionella allet antar vi, ör enkelhets skull, att de möjliga värdena ör såväl som är heltalen 0, 1, 2,. (Det allmänna allet när och kan anta andra värden än bara heltal behandlas "helt analogt".) Fördelningen ör den tvådimensionella s.v. (,) beskrivs då av sannolikhetsunktionen. DEFINITION (Blom sida 79) : Sannolikhetsunktionen ör den diskreta tvådimensionell stokastiska variabeln (,) är ;, ( j, k) P({ j } { k }), j, k 0, 1, 2,.. (17) Illustration av en sannolikhetsunktion ges av ett tvådimensionellt stoldiagram. Notera att öljande relationer blir uyllda ; 0, (j, k) 1, j, k 0, 1, 2,, j 0 k 0, ( j, k) 1. (18) Vid etertanke inses att ördelningsunktionen F, (x, y) och sannolikhetsunktionen, ( j, k) bestämmer varandra via relationen ; F, (x, y), (, ) j x, k y j k, - < x, y <. (19) 8

9 Härnäst betraktar vi öljande roblem. Låt (,) vara en diskret tvådimensionell s.v. med känd sannolikhetsunktion, (j, k). Innebär det att man kan beräkna ördelningarna ör och var ör sig, dvs. de endimensionella ördelningarna ör och? Ja, det gör det. Vid etertanke inses att såväl som måste ha diskret ördelning, och att öljande relationer gäller ; ( ) P( j ), ( j, k) k 0 j. (20) ( ) P( k), ( j, k) j 0 k. (21) Medan sannolikhetsunktionen, beskriver det samtidiga uträdandet av och, beskriver och uträdandet av och var ör sig. Man säger att (de endimensionella) ördelningarna som seciiceras av och är marginalördelningar till den simultana ördelning som anges av,. Formlerna (20) och (21) utsäger bl.a. öljande. Om man känner den simultana ördelningen ör en diskret tvådimensionella s.v. (,), så kan man beräkna de endimensionella marginalördelningarna ör och. (Formlerna (20) och (21) kan litet suggestivt beskrivas å öljande sätt. Värdena ör sannolikhetsunktionen ås genom att "soa iho" sannolikheterna, vinkelrätt mot x - axeln. Analogt ås värdena ör genom att "soa iho" sannolikheterna, vinkelrätt mot y - axeln. Härnäst ställer vi den omvända rågan. Om man känner marginalördelningarna och ör var och en av och, kan man då beräkna deras simultana tvådimensionella ördelning,? Svaret å den rågan är nej. Marginalördelningarna ör en s.v. (,) bestämmer inte entydigt den simultana ördelningen ör och, vilket illustreras nedan. Fördelning 1 Fördelning 2 Möjliga värden ör (,) Möjliga värden ör (,) är (0,0) och (1,1) är (0, 0), (1, 0), (0,1) och (1,1), (0, 0), (1, 1) 1 / 2., (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 1 / 4. Fördelningarna 1 och 2, som ju är olika, har recis samma marginalördelningar ; (0) (1) 1 / 2 res. (0) (1) 1 / 2 9

10 Kontinuerliga tvådimensionella s.v. och ördelningar DEFINITION (Blom sidan 81) : Den tvådimensionella stokastiska variabeln (,) sägs ha kontinuerlig ördelning med täthetsunktion, (x,y) om dess ördelningsunktion F, (x,y) kan skrivas å nedanstående orm ; x y F (x, y) (x, y)dx dy. (22)., Då gäller, b d P ({a < b} {c < d} (x, y)dx dy, (23) a c, och mer allmänt ; 2 P ((,) antar sitt värde i delmängden A R ) (x, y)dx dy. (24) Vidare måste nedanstående relationer gälla ; 0, (x,y), (x, y) R 2,, (x, y)dx dy 1. (25) 2 R Ett möjligt utseende å en tvådimensionell täthetsunktion illustreras nedan. A, En ysikalisk bild som ibland är till hjäl, är att uatta en sannolikhetsördelning som en massördelning med total massa 1 som är utlagd å R 2. Om massan iråga utgörs av sand kan (x, y) uattas som konturen å en "sandhög". Det som sägs i (25) kan vändas å å öljande sätt. En unktion (x,y) är täthetsunktion till en tvådimensionell s.v. (,) om, och endast om, den satsierar öljande villkor ; 0 (x,y), (x, y) R 2, (x, y)dx dy 1. (26) 2 R För en kontinuerlig tvådimensionell s.v. (,) deinieras marginalördelningarna ör och i analogi med det tidigare. Följande relationer öreligger mellan den simultana ördelningen och marginalördelningarna. 1. F (x) lim F (x, y), - < x <. (Gäller också ör diskret 2 - dim. ördeln.). y 2. (x) x, F (x, y) dx dy. (27), 10

11 3. När (,) har ördelning med täthetsunktion, (x,y), har också ördelning med täthetsunktion, och den är ; (x), (x, y) dy, - < x <. (28) Fysikaliskt kan man beskriva innebörden av (28) så här. Sannolikhetsmassan i marginalördelningen ör ås genom att "soa iho" sannolikhetsmassan i den tvådimensionella ördelningen ör (,) vinkelrätt mot x - axeln. Kommentar : Från det ovanstående ramgår att den tvådimensionella ördelningen ör (,) bestämmer de endimensionella marginalördelningarna F (x) och F (x). Vi ekade tidigare å att ör diskreta (,) kan man dock inte vända å den steken. Det kan man inte heller i det kontinuerliga allet. Även då kan två olika tvådimensionella ördelningar mycket väl ha recis samma marginalördelningar. Oberoende stokastiska variabler (Blom Avsnitt 4.5) DEFINITION : Två (simultanördelade) stokastiska variabler och sägs vara oberoende om händelser som beror bara av, dvs. händelser av tyen { C} där C R, och händelser som beror bara av, dvs. händelser av tyen { D} där D R, är oberoende händelser. I ovanstående deinition kommer "oberoende händelser" in. Då är man nere i det grundläggande slumörsöket (Ω, P) och "rotar". Vi har dock sagt att i anslutning till s.v. skall (Ω, P) örsvinna i bakgrunden och istället berättar variablernas ördelningar om "allt av intresse". Det är därör naturligt att ställa öljande råga. Om man känner (den simultana) ördelningen ör den tvådimensionella stokastiska variabeln (,), kan man då avgöra om och är oberoende eller ej? Svaret är att det kan man. Precisa kriterier ges nedan. SATS : Vart och ett av nedanstående villkor 1, 2 och 3 är tillräckligt och nödvändigt ör att och skall vara oberoende stokastiska variabler. 1. F, (x,y) F (x) F (y), ör (x, y) R 2. (29) 2. och är diskreta stokastiska variabler, och öljande gäller;, ( j, k) ( j ) ( k ), j, k 0, 1, 2,. (30) 3. (, ) har ördelning med täthet, och öljande gäller;, (x,y) (x) (y), ör all (x, y) R 2. (31) Viktigt öljdresultat : Vi har tidigare tryckt å att allmänt gäller att den simultana ördelningen ör två s.v. och inte bestäms entydigt av variablernas marginalördelningar. Som konsekvens av ormlerna (29) - (30) gäller dock öljande. Under tilläggsörutsättningen att och är oberoende stokastiska variabler bestäms deras simultana ördelning av de marginella ördelningarna ör och. Man år den simultans sannolikhets unktionen res. den simultana täthetsunktionen genom att multilicera motsvarande unktioner ör de endimensionella marginalördelningarna. 11

12 Funktioner av stokastiska variabler (Blom Kaitel 5) En unktion av en stokastisk variabel Låt vara en stokastisk variabel som är deinierad å sannolikhetsrummet (Ω, P) och låt g( ) vara en "vanlig" unktion ( en reellvärd unktion av en reell variabel, eller om man så vill, en avbildning R R). Då blir också g() en stokastisk variabel, nämligen den s.v. som till utallet u Ω tillordnar talvärdet g((u)). Saken illustreras i iguren nedan ; Om man känner (Ω, P), och g( ) kan man (i alla all i rinci) beräkna ördelningen ör den nya stokastiska variabeln g(). Man behöver dock inte blanda in sannolikhetsrummet (Ω, P) i beräkningen. För att beräkna ördelningen ör g() räcker det att känna ördelningen ör och g( ). Saken illustreras i exemlet nedan. Exemel (Exemel 2 å sidan 100 i Blom) : Låt vara en kontinuerlig s.v. med täthetsunktion (x), och låt vara den nya s.v. som ås genom en linjär transormation av, a + b, där a och b är (givna) konstanter. Det vi är ute eter är ördelningen ör. För enkelhets skull antas att a > 0. Vi börjar med att beräkna ördelningsunktionen ör. F (y) P( y) P(a + b y) P( (y - b) / a) F ((y - b) / a). (32) Etersom örutsätts ha täthetsunktion kan F (x), och därmed högerledet i (32), deriveras. Alltså kan F (y) deriveras, vilket enligt tidigare resultat medör att har ördelning med täthetsunktion, och att den täthetsunktionen ås som derivatan till F (y). Detta ger ; d y b 1 y b (y) F ' (y) F ( ) ( ). (33) dy a a a Därmed är ördelningen ör uttryckt i termer av ördelningen ör. I allet när a < 0 måste olikheten i (32) behandlas litet annorlunda. Se Bloms bok, där också ytterligare exemel inns. En unktion av lera stokastiska variabler Här handlar det om att man skaar en ny stokastisk variabel som en unktion av lera andra stokastiska variabler, vars simultana ördelning örutsätts känd. För enkelhets skull nöjer vi oss med allet med två s.v. och, och betraktar en situation som är analog med den tidigare. Nu är (,) en tvådimensionell s.v. och g en unktion av två variabler, g(x,y). Då blir också Z g(,) en stokastisk variabel. Till varje utall u Ω av slumörsöket tillordnar Z ett talvärde, nämligen värdet g((u),(u)) till utallet u. Situationen illustreras i iguren nedan. 12

13 I analogi med det tidigare gäller öljande. Om man känner den tvådimensionella ördelningen ör (,) och unktionen g(x,y), så kan man beräkna ördelningen ör den s.v. g(,). Det inns dock ingen enkel generell ormel ör den beräkningen. Man år ta sig ram å lämligt sätt i varje enskilt all. Exemel ges i Bloms Avsnitt 5.2. Funktioner av oberoende stokastiska variabler Från den tidigare deinitionen av oberoende stokastiska variabler öljer nedanstående resultat i stort sett omgående. SATS : Låt och vara oberoende s.v. och bilda Z och U som nya stokastiska variabler som är unktioner av resektive, Z g() och U h(). Då är också Z och U oberoende stokastiska variabler. Det resultatet kan utvidgas till situationer där många oberoende s.v. är involverade. SATS : Låt 1, 2,, n vara s.v. som är (ullständigt) oberoende. Bilda två nya stokastiska variabler och Z, vilka båda är unktioner av - variablerna, men olika usättningar av dem, säg g( 1, 2,, k ) och Z h( k + 1, k + 2,, n). Då är också och Z oberoende stokastiska variabler. Kommentarer : (i) Man brukar uttrycka ovanstående resultat genom att säga att unktioner av (olika) oberoende stokastiska variabler blir oberoende s.v. (ii) Resultatet gäller inte bara ör två nya variabler och Z, utan ör godtyckligt många (under örutsättning att de är unktioner av olika oberoende s.v.). Summan av oberoende stokastiska variabler En roblematik som vi kommer att möta vid ett lertal tillällen ramdeles är öljande. Problem : och är oberoende stokastiska variabler med kända ördelningar. Hur beräknas ördelningen ör den stokastiska variabeln Z +? Prydliga svar å roblemet kan ges i åtminstone öljande två all. Fall 1 : Såväl som har diskret ördelning. Deras sannolikhetsunktioner betecknas som vanligt med (k) resektive (k), k 0, 1, 2,. Fall 2 : Såväl som har ördelning med täthetsunktion. Dessa betecknas som vanligt med (x) resektive (y), - < x, y <. 13

14 I Fall 1 är och oberoende s.v. som båda har diskret ördelning. Härav öljer att deras simultana ördelningen också är diskret och har sannolikhetsunktionen ;, ( j, k) ( j) (k), j, k 0, 1, 2,. (34) Händelsen {Z k} { + k} inträar om, och endast om, händelsena { i} och { j} inträar med i och j sådana att i + j k. Vid litet etertanke leder det till nedanstående ormel (Bloms ormel (6') å sidan 104 ; k Z ( ) ( i) ( k - i) i 0 k, k 0, 1, 2,. (35) Formeln (35) uttrycks : Z ( ) erhålls genom (diskret) altning av ( ) och ( ). I Fall 2 när och är oberoende stokastiska variabler som båda har ördelning med täthetsunktion, har också den tvådimensionella s.v. (,) ördelning med täthet, nämligen (se Bloms ormel (10) å sidan 85 ) ;, (x, y) (x) (y), - < x, y <. (36) Från (36) ås ; F (z) P(Z z) (x) (y) dxdy. (37) Z x + y z Man kan visa (och det görs å sidan 105 i Blom) att relationen (37) medör att Z har ördelning med täthetsunktion, som ges av nedanstående ormel (Blom sidan 105) ; Z (z) (x) (z x) dx (z x) (x) dx, - < z <. (38) Formel (38) uttrycks : Z (z) erhålls genom altning av (x) och (y). Betingade ördelningar (Blom Avsnitt 4.6) Låt och vara stokastiska variabler med känd simultan ördelning. Nu gäller intresset ördelningen ör när man vet vilket värde antog. I örsta omgången antas att (,) har diskret ördelning, och som vanligt antas de möjliga värdena ör och vara 0, 1, 2, 3,. Den simultana ördelning ör och seciiceras av sannolikhetsunktionen, (j, k). De storheter vi intresserar oss ör är ; P( j k) den betingade sannolikheten ör att antar värdet j givet att antar värdet k. Enligt deinitionen av betingad sannolikhet ; P( j, k) P( j k) P( k), ( j, k) ( k) i 0, ( j, k), ( i, k) betecknas (j k). (39) Vid etertanke inses att storheterna (j k) i (39) ör varje ixt värde å k uör sig så som en sannolikhetsunktion ör en diskret sannolikhetsördelning skall göra, dvs. öljande relationer är uyllda ; j 0 ( j k) 0, j 0, 1, 2, 3,, och ( j k ) 1. Den sannolikhetsördelning som ges av (j k), j 0, 1, 2, 3, kallas den betingade ördelningen ör givet att k. 14

15 Denna betingade ördelning kan ses å öljande sätt. Den ås genom att sannolikheterna som ligger längs (den horisontella) linjen y k i (x, y) - lanet skalas u så att deras sammanlagda sannolikhetsmassa blir 1. I nästa omgång antas (,) ha kontinuerlig ördelning med täthetsunktion, (x, y). Vi betraktar P( x y y + ) och tänker oss att är en liten ositiv storhet. Anledningen till att vi ör in detta litet konstiga är att P( ) 0 medan P(y y + ) åtminstone i "normalallet" är > 0. Vi har ; P( x, y y + ) P( x y y + ) P(y y + ) x Vid etertanke inses att (40) åtminstone i "normalallet" ger ; x P( x y y + ) Det tar vi som intäkt ör relationen x P( x y),, (t, y) dt (y) Genom att derivera med avseende å x i (42) ås ; d dx y+ y y+ y, (t,u) dt du (u)du. (40) när 0. (41) (t, y) dt. (42) (y), (x, y) P( x y) betecknas (y) (x y) (43) Vid litet etertanke inses att (x y) i (43) ör varje ixt värde å y uör sig så som täthetsunktionen ör en kontinuerlig sannolikhetsördelning skall göra, dvs. öljande relationer är uyllda ; (x y) 0 ör alla x och (x y) dx 1. Sannolikhetsördelningen som ges av täthetsunktionen (x y) kallas den betingade ördelningen ör givet att k. I analogi med örhållandena när och har diskret simultanördelning kan den nyss inörda betingade ördelningen ses å öljande sätt. Den ås genom att (x, y), ör - < x < och y ixt, skalas u så att totala integralen under den uskalade unktionen blir 1. 15

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2014 Kontakt: olga. b ylund@ysik.su.se Instruktioner ör redogörelse ör laboration 1: Laboration 1 innehåller em experiment. Varje experiment bör presenteras

Läs mer

Tentamen Optik, FYSA11, 2012-05-25

Tentamen Optik, FYSA11, 2012-05-25 Tentamen Otik, FYSA, 0-05-5 Hjälmedel: TEFYMA, ormelsamling, linjal, ickräknare och biogat ormelblad. Glöm inte att beskriva hur du kommer ram till dina svar. Även delvis lösta ugiter kan ge oäng.. Den

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 5 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 02 10 25. RÄNTA 1. FLACK RÄNTA Med flack ränta ska vi här mena att räntan är densamma oavsett bindningstid

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Fysik A A B C D. Sidan 1 av 9 henrik.gyllensten@tabyenskilda.se. www.tabyenskilda.se/fy

Fysik A A B C D. Sidan 1 av 9 henrik.gyllensten@tabyenskilda.se. www.tabyenskilda.se/fy www.tabyenskilda.se/y ÖÖvvnni iinn ggssuuppppggi ii teer 1. Lars lyser med en icklampa mot ett prisma. Han kan då se ett spektrum på väggen bakom prismat. Spektrumet innehåller alla ärger. Vilken av dessa

Läs mer

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Karlstads GeoGebrainstitut Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet Mats Brunström Maria Fahlgren GeoGebra ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning Invigning

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av

Kombinatorik. Kapitel 2. Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av Kapitel 2 Kombinatorik Allmänt kan sägas att inom kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av det antal sätt, på vilket elementen i en given mängd kan arrangeras i delmängder på något sätt.

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer

Läs mer

Anna: Bertil: Cecilia:

Anna: Bertil: Cecilia: Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

7. Sampling och rekonstruktion av signaler

7. Sampling och rekonstruktion av signaler Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid

Läs mer

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan.

Godisförsäljning. 1. a) Vad blir den totala kostnaden om klassen köper in 10 kg godis? Gör beräkningen i rutan nedan. Godisförsäljning För att samla in pengar till en klassresa har Klass 9b på Gotteskolan bestämt sig för att hyra ett bord och sälja godis på Torsbymarten. Det kostar 100 kr att hyra ett bord. De köper in

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0.

1 10 e 1 10 x dx = 0.08 1 e 1 10 T = 0.08. p = P(ξ < 3) = 1 e 1 10 3 0.259. P(η 2) = 1 P(η = 0) P(η = 1) = 1 (1 p) 7 7p(1 p) 6 0. Tentamen TMSB18 Matematisk statistik IL 091015 Tid: 08.00-13.00 Telefon: 036-10160 (Abrahamsson, Examinator: F Abrahamsson 1. Livslängden för en viss tvättmaskin är exponentialfördelad med en genomsnittlig

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1.

UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. UPPGIFT 1 V75 FIGUR 1. Varje lördag året om spelar tusentals svenskar på travspelet V75. Spelet går ut på att finna sju vinnande hästar i lika många lopp. Lopp 1: 5 7 Lopp 2: 1 3 5 7 8 11 Lopp 3: 2 9 Lopp

Läs mer

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10

Teresia Månsson, VFU, Matematik 5, 2014-12-10 Temauppgifter Syfte Det är tänkt att det ska finnas möjlighet med uppgiften att öva på följande förmågor: begrepps-, procedur-, problemlösning, kommunikations-, resonemang, modelleringsförmåga och relevansförmåga

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p

Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p Lösningar till tentamen i Matematisk Statistik, 5p LGR00 6 juni, 200 kl. 9.00 1.00 Kursansvarig: Eric Järpe Maxpoäng: 0 Betygsgränser: 12p: G, 21p: VG Hjälpmedel: Miniräknare samt tabell- och formelsamling

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform.

ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform. 1 (6) 2005-08-15 Matematik, år 9 Mål för betyget Godkänd Beroende på arbetssätt och arbetsmaterial kan det vara svårt att dela upp dessa uppnående mål mellan skolår 8 och skolår 9. För att uppnå godkänd

Läs mer

Bayesianska numeriska metoder I

Bayesianska numeriska metoder I Baesianska numeriska metoder I T. Olofsson Marginalisering En återkommende teknik inom Baesiansk inferens är det som kallas för marginalisering. I grund och botten rör det sig om tillämpning av ett specialfall

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Laboration 4: Digitala bilder

Laboration 4: Digitala bilder Objektorienterad programmering, Z : Digitala bilder Syfte I denna laboration skall vi återigen behandla transformering av data, denna gång avseende digitala bilder. Syftet med laborationen är att få förståelse

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow

Matematik i Gy11. 110912 Susanne Gennow Matematik i Gy11 110912 Susanne Gennow Var finns matematik? Bakgrund Nationella utredning 2003 PISA 2009 TIMSS Advanced 2008 Skolinspektionens rapporter Samband och förändring åk 1 3 Olika proportionella

Läs mer

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08

Laboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Stokastiska processer

Stokastiska processer Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta

Läs mer

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse

Del A: Begrepp och grundläggande förståelse STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM KH/CW/SS Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, /5 01, 9-14 Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras

Läs mer

Hur länge ska fisken vara i dammen?

Hur länge ska fisken vara i dammen? Hur länge ska fisken vara i dammen? Frågeställning Uppgift 10 fiskodling Uppgiften går ut på att ta reda på hur länge ett stim fisk ska växa upp i en fiskodling för att få den maximala vikten tillsammans.

Läs mer

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

getsmart Grå Regler för:

getsmart Grå Regler för: (x²) 1 2 Regler för: getsmart Grå Algebra 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det rekommenderas att man börjar

Läs mer

Kapitel Rekursionstabell och graf

Kapitel Rekursionstabell och graf Kapitel 16 Rekursionstabell och graf Det går att mata in två formler för de tre typerna av rekursion nedan och sedan använda dem för att framställa en tabell och rita grafer. Generell term av sekvensen

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3.

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 3. STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. ÖVNINGAR TILL DAG 2. Luenberger: 2:1-5, 9, 11, 12. Övning 1. Du lånar 200000 kr i en bank

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs

MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs MA1201 Matematik A Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs Tolkning Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred.

Rekursion. 1. Inledning. vara en fot bred. Rekursion. Inledning En trädgårdsmästare skall lägga en gång med cementplattor. Gången skall vara en fot bred. Han har tre slags plattor. En är omönstrad och kvadratisk med sidan en fot, två är rektangulära

Läs mer

Laboration i Geometrisk Optik

Laboration i Geometrisk Optik Laboration i Geometrisk Optik Stockholms Universitet 2002 Modifierad 2007 (Mathias Danielsson) Innehåll 1 Vad är geometrisk optik? 1 2 Brytningsindex och dispersion 1 3 Snells lag och reflektionslagen

Läs mer

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Matematisk Statistik SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Introduktion Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april. Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare 19-20 april Liten introduktionsguide för nybörjare GeoGebra 0 Introduktionsövningar till GeoGebra När man startar GeoGebra är det

Läs mer

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass

Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009 Tentamen i matematisk statistik för BI den 6 januari 9 Uppgift : Ett graviditetstest att använda i hemmet är inte helt tillförlitligt. Ett speciellt test visar positivt resultat för kvinnor, som inte är

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik

1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik 1014 Att lyckas få ointresserade elever att förstå och uppskatta ämnet matematik Beskriver några projekt, laborationer och alternativa arbetsformer som gett goda resultat. Diskussion om tillvägagångssätt

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Datoraritmetik. Binär addition papper och penna metod. Binär subtraktion papper och penna metod. Binär multiplikation papper och penna metod

Datoraritmetik. Binär addition papper och penna metod. Binär subtraktion papper och penna metod. Binär multiplikation papper och penna metod inär addition papper och penna metod Dagens föreläsning: Lärobok, kapitel rbetsbok, kapitel Ur innehållet: hur man adderar och subtraherar tal i det binära talsystemet hur man kan koda om negativa binära

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 017-06-0. Vid sekretessbedömning ska

Läs mer

Bildförbättring i spatial domänen (kap. 3) Bildförbättring (enhancement) Spatial domän. Operatorer. Tröskling (threshold) Gråskale-transformationer

Bildförbättring i spatial domänen (kap. 3) Bildförbättring (enhancement) Spatial domän. Operatorer. Tröskling (threshold) Gråskale-transformationer Bildförbättring i spatial domänen (kap. 3) Punktoperationer Gråskaletransformationer Logiska & aritmetiska operationer Filtrering Faltning Lågpassfilter Högpassfilter Bildförbättring (enhancement) Förbättra

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer