Reglerteori. Föreläsning 10. Torkel Glad

Transkript

1 Reglerteori. Föreläsning 10 Torkel Glad

2

3 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Sammanfattning av föreläsning 9. Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med en statisk olinjäritet f(x): f(0) = 0, k 1 f(x) x k 2 Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im 1 k 1 1 k 2 Re G(iω)

4 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Sammanfattning av föreläsning 9, forts. Beskrivande funktion: självsvängningar i denna struktur: G f f representeras av amplitudberoende förstärkning Y f (C), C amplitud hos sinus in Självsvängningsvillkor: G(iω)Y f (C) = 1 Grask representation: Skärning mellan Nyquistkurvan G(iω) och 1/Y f (C). Stabilitet hos svängningen. Metoden är bara approximativ.

5 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Amplitudstabilitet hos svängningar Indikation på stabil (vänster) respektive instabil (höger) självsvängning Im Im G(iω) G(iω) 1 Y f (C) Re 1 Y f (C) Re

6 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Amplitudstabilitet forts. Indikation på utdöende (vänster) respektive obegränsat växande (höger) svängningar. Im Im G(iω) G(iω) 1 Y f (C) Re 1 Y f (C) Re

7 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Fasplan Fasrum: gammalt namn på tillståndsrum Fasplan: tvådimensionellt tillståndsrum Fasplan är lätta att illustrera graskt En hel del kan generaliseras till högre dimensioner

8 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Beskrivning i två dimensioner ẋ 1 = f 1 (x 1.x 2, u) ẋ 2 = f 2 (x 1.x 2, u) Två saker lätta att beskriva: Banornas lutning: dx 2 /dx 1 = ẋ 2 /ẋ 1 = f 2 (x 1, x 2, u)/f 1 (x 1, x 2, u) Uppförandet nära jämviktspunkter.

9 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Linjära system. Egenvektorer x 2 egenvektor x 1 ẋ = Ax, x = e λt v Av = λv är lösning

10 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Tvåtangentnod och sadelpunkt stabil (vänster) och instabil (höger) tvåtangentnod: sadelpunkt:

11 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Fokus och centrum Stabilt fokus till vänster (instabilt fokus: byt riktning på pilarna) Centrum till höger

12 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Entangentnod och stjärnnod Stabil entangentnod (instabil: byt riktning på pilarna) Stabil stjärnnod (instabil: byt riktning på pilarna)

13 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Samband linjärt olinjärt ẋ = Ax har tvåtangentnod, fokus eller sadelpunkt ẋ = Ax + g(x), g(x) / x 0, x 0 har samma kvalitativa uppförande nära origo.

14 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Elektrisk generator/faslåsningskrets x 1 = φ, x 2 = φ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 b sin(x 1 ) x 1 fasläge, x 2 derivata fasläge (avvikelser från önskat) foto: Alessio Sbarbaro. Wikimedia

15 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Fasplan för faslåsningskrets/generator. 4 3 Jämviktspunkten i origo är ett stabilt fokus. Jämviktspunkterna i (±π, 0) är sadelpunkter (röda linjer visar egenvektorerna)

16 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Jämför med Ljapunovfunktionen V = 1 2 x2 2 + (1 cos x 1 ) 3 V x x2

17 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Instabilitet hos järnvägsfordon Tvärsrörelsen hos lok och järnvägsvagnar blir ibland instabil: (källa: La vie du rail)

18 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Hjulaxelns fasplan (förenklad modell) d dt [ ] [ λ αv = 2 ɛ 1 θ β αv 2 ] [ ] λ θ där λ är förskjutningen i sidled och θ är axelns vridningsvinkel i horisontalplanet. α, β och ɛ är positiva konstanter. V är hastigheten i rälsens riktning. Vid måttliga hastigheter är diagonalelementen små så att egenvärdena är nästan rent imaginära med imaginärdelar ± β. Realdelarna har samma tecken som 2αV 2 ɛ. Vid låga hastigheter är fasplanet alltså ett stabilt fokus, över gränshastigheten V = 0.5ɛ/α ett instabilt fokus. (1)

19 Föreläsning 10 Torkel Glad Februari Hjulaxeldynamik, forts. Att titta på en ensam axel är naturligtvis mycket förenklat, men en början. Sedan måste man ta hänsyn till att axlarna sitter i boggier, som bär upp vagnarna, som är hopkopplade till tågsätt Även i mer realistiska fall är slutsatsen densamma: det nns en kritisk hastighet och över den är rörelsen instabil. Utvecklingen mot höghastighetståg har bl a möjliggjorts av att man teoretisk förstår och kan räkna på instabilitetsfenomenen. Man tittar numera på möjligheten att styra hjulaxlarna aktivt i ett återkopplat system.

20 Tack