Reglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

Transkript

1 Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet

2 Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ) T Φ u (ω) = Storleksmått (kovariansmatris): R u (τ)e iωτ dτ R u = R u (0) = 1 Φ u (ω) dω 2π Vitt brus: Φ u (ω) = konstant

3 Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. 3(19) Spektralfaktorisering: Varje spektrum kan tänkas genererat genom att vitt brus passerar ett linjärt system. y = Gu Φ y (ω) = G(iω)Φ u (ω)g T ( iω)

4 Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. 4(19) Vitt brus in på tillståndsform: ẋ = Ax + Bv v vitt brus med intensitet/spektraltäthet R. Kovariansmatrisen Π x = R x (0) ges av Lyapunovs ekvation: AΠ x + Π x A T + BRB T = 0

5 Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. 5(19) Kalmanfilter: Optimal observatör för ẋ = Ax + Bu + Nv 1, y = Cx + v 2 v 1, v 2 okorrelerade vita brus med spektraltätheterna R 1, R 2. Optimal observatörsförstärkning: K = PC T R 1 2 där P ges av den algebraiska Riccatiekvationen: AP + PA T PC T R 1 2 CP + NR 1N T = 0 P är den resulterande kovariansen för skattningsfelet.

6 När kan den algebraiska Riccatiekvationen lösas? 6(19) Om R 2 > 0, R 1 0 och 1. paret A, C detekterbart (dvs den instabila delen av systemet observerbar) 2. paret A, NR 1 N T stabiliserbart (den instabila delen styrbar från bruset ) så finns en lösning P 0 till den algebraiska Riccatiekvationen så att alla egenvärden till A KC har realdelar < 0. Villkor 1 är precis kravet på att över huvud taget kunna stabilisera observatören. Villkor 2 är ett mera matematiskt-tekniskt krav.

7 Kommentar till Kalmanfiltret 7(19) Man kan visa att Kalmanfiltret är den observatör som minimerar kovariansmatrisen P för skattningsfelet x. Se appendix 5.1. Man kan visa att Kalmanfiltret minimerar medelkvadratfelet bland alla linjära kausala filter. Om bruset är gaussiskt (normalprocesser) är Kalmanfiltret optimalt även jämfört med alla olinjära filter. Skattningen av x(t) blir det betingade väntevärdet, givet alla mätningar fram till tiden t.

8 Sensorfusion 8(19) Ofta måste man väga samman signaler från olika mätgivare som har olika noggrannhet. För navigationssystem i fartyg, flygplan, bilar,... väger man samman Lägesinformation: GPS, radiofyrar, optisk pejling,... Hastighetsinformation: dopplerradar, hjulrotationshastighet, gyron (vinkelhastighet),... Accelerationsmätning: accelerometrar, En viktig poäng med denna sammanvägning är att en sensors dåliga sidor kan hjälpas upp med en annan sensor som inte har samma dåliga sidor.

9 Sensorfusion 8(19) Principfall med två oberoende skattningar ˆx 1 och ˆx 2 av samma tillståndsvektor x. Kovariansmatriser för skattningarna: P 1 och P 2. Fusion av de båda skattningarna till en enda ˆx ˆx = P((P 1 ) 1 ˆx 1 + (P 2 ) 1 ˆx 2 ) P = ((P 1 ) 1 + (P 2 ) 1 ) 1 Kalmanfiltret gör den optimala sammanvägningen: sensorfusion.

10 Enkel sensorfusion: läge hastighet 9(19) w x, x 1 2 Rörelse i en dimension: x 1 läge, x 2 hastighet. Accelerationen varierar slumpvis kring noll: modelleras som vitt brus, w. Läges- och hastighetsmätning: y 1 respektive y 2. Läge och hastighet mäts med mätfel v 1 respektive v 2.

11 Enkel sensorfusion: läge hastighet 9(19) w x, x 1 2 Modell: w, v okorrelerade ẋ = [ ] 0 1 x y = x + v [ ] 0 w 1 [ ] r1 0 R 1 = 1, R 2 = 0 r 2

12 Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning 10(19) 10 2 lägesmätning till lägesskattning till lägesskattning 5hastighetsmätning Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r 1 liten, r 2 stor): ˆx 1 y y 2 Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r 1 stor, r 2 liten): ˆx 1 0 y 1 + y 2

13 Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning 10(19) 10 2 lägesmätning till lägesskattning till lägesskattning 5hastighetsmätning Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r 1 liten, r 2 stor): ˆx 1 y y 2 Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r 1 stor, r 2 liten): ˆx 1 0 y 1 + y 2

14 Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning 10(19) till hastighetsskattning 5lägesmätning 10 hastighetsmätning till hastighetsskattning Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r 1 liten, r 2 stor): ˆx 2 d dt y y 2 Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r 1 stor, r 2 liten): ˆx 2 0 y 1 + y 2

15 Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning 10(19) till hastighetsskattning 5lägesmätning 10 hastighetsmätning till hastighetsskattning Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r 1 liten, r 2 stor): ˆx 2 d dt y y 2 Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r 1 stor, r 2 liten): ˆx 2 0 y 1 + y 2

16 Kalmanfilter: Bodediagram - Sammanfattning 10(19) 10 2 lägesmätning till lägesskattning till lägesskattning 5hastighetsmätning till hastighetsskattning 5lägesmätning hastighetsmätning till hastighetsskattning Alltså: Hög brusintensitet på en mätning Filtret litar inte så mycket på den mätningen (relativt sett).

17 DEL II: LINJÄR REGLERTEORI 11(19) Föreläsning 4: Det slutna systemet Föreläsning 5: Regulatorstrukturer Föreläsning 6: LQ-reglering Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar

18 DEL II: LINJÄR REGLERTEORI 11(19) Föreläsning 4: Det slutna systemet Föreläsning 5: Regulatorstrukturer Föreläsning 6: LQ-reglering Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar

19 Det slutna systemet 12(19) Det kanoniska blockschemat Stabilitet för det slutna systemet Känslighet Robusthet Önskemål

20 Det slutna systemet: viktiga signaler 13(19) u, styrsignalen z, det vi vill styra r, referenssignal, det vi vill att z skall vara y, utsignal, det vi mäter Störningar w u, störning på ingången w, störning på utgången n, mätstörning Det kanoniska blockschemat w u w n r F r Σ u G F y Σ z Σ y Ofta är y = z + n För linjära system har u formen u = F r (s)r F y (s)y

21 Det slutna systemet: viktiga överföringsfunktioner 14(19) Överföringsfunktioner: G c = (I + GF y ) 1 GF r S = (I + GF y ) 1 S u = (I + F y G) 1 w u w n r F r Σ u G F y Σ z Σ y T = (I + GF y ) 1 GF y Signalsamband: z = G c r + Sw Tn + GS u w u u = S u F r r S u F y (w + n) + S u w u

22 Stabilitet för det slutna systemet 15(19) Betrakta det slutna systemet som ett system med insignaler w u, w och utsignaler u, y (för tillfället är alltså r = 0, n = 0). [ ] [ ] [ ] y GSu S wu = u S u S u F y w Om G och F y representeras av styr- och observerbara tillståndsbeskrivningar går det att visa att det återkopplade systemet i (1) också blir styr- och observerbart. Om man kontrollerar alla fyra överföringsfunktionerna (1) GS u, S, S u, S u F y kommer man därför att hitta alla poler till systemet (och kan speciellt kontrollera stabiliteten).

23 Känslighet 16(19) I praktiken känner man inte systemet exakt. Låt z = G c r = (I + GF y ) 1 GF r r för modellen G. Antag att sanna systemet är G 0 = (I + G )G Då blir z 0 = (I + z )z, z = S 0 G, S 0 = (I + G 0 F y ) 1 Eftersom G 0 ej känd måste S 0 i praktiken approximeras av S = (I + GF y ) 1 Tolkning: S är förstärkningen från modellfel till signalfel.

24 Robusthet 17(19) Hur stora modellfel G kan man ha utan att stabiliteten i det slutna systemet äventyras? Om G T < 1 så är det slutna systemet fortfarande stabilt. Detta är i sin tur uppfyllt om T(iω) < 1 G (iω), alla ω

25 Önskemål 18(19) I G c liten Reglerstorheten ska följa referenssignalen. S liten Systemstörningar och modellfel ger liten inverkan på reglerstorheten (utsignalen). T liten Mätstörningar ger liten inverkan på reglerstorheten (utsignalen) och så att modellfel inte äventyrar stabiliteten. G ru och G wu små Insignalen u ska vara måttlig. Men notera att S + T = I G c = GG ru

26 Sensorfusion för platooning 19(19) Tillgängliga mätningar: Sensorer i bilen via CAN-bussen (t.ex. hastighet). GPS. Avstånd till fordonet framför via radar. Andra bilars tillståndsskattning via Wifi. Fusionera till en tillståndsskattning (hastighet, position, mm.) med Kalmanfilter.