Reglerteori. Föreläsning 5. Torkel Glad

Transkript

1 Reglerteori. Föreläsning 5 Torkel Glad

2

3 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av Föreläsning 4 Kalmanlter Optimal observatör Kräver stokastisk modell av störningarna Kräver lösning av algebraiska Riccatiekvationen

4 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av Föreläsning 4, forts Viktiga överföringsfunktioner när G återkopplas med F y : T = (I + GF y ) 1 GF y, Komplementär känslighetsfunktion modellfel stabilitet, mätstörning styrd signal S = (I + GF y ) 1, Känslighetsfunktion utsignalstörning styrd signal, modellfel styrd signal S u = (I + F y G) 1, Insignal-känslighetsfunktion insignalstörning insignal G wu = S u F y, utsignalstörning insignal G wuy = S u G, insignalstörning utsignal/styrd signal Stabilitet hos S, S u, G wu, G wuy garanterar stabilitet hos slutna systemet.

5 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av föreläsning 4, forts. S mäter förstärkning från modellfel till signalfel. Om G är relativa modellfelet, dvs G sann = (I + G )G modell så är återkopplade systemet stabilt om G T < 1 Detta är i sin tur uppfyllt om T (iω) < 1 G (iω), allaω

6 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Föreläsning Vilka regulatorprinciper nns? 2. Vem skall styra vad? RGA 3. Syntesmetod 1: Linjärkvadratisk syntes

7 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 Mest framgångsrika regulatorn någonsin: PID Boulton och Watt 1788: hastighetsreglering av ångmaskiner, mekanisk implementering Hydrauliska och pneumatiska Elektronikimplementeringar: Datorimplementeringar: 1950-talet. implementeringar: sent 1800-tal talet. PID-on-a-chip : 1990-talet. Kvantdator??? Tillämpningar: alla. foto: Wikipedia Andy Dingley 6

8 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari PID, forts. Förutsätter en insignal och en utsignal. Har man era in- och utsignaler måste man para ihop dem två och två. Tolkning i bodediagram: fasavancerande och fasretarderande. Kan ställas in med intuition och experimenterande. Resultat: högst halvbra (utom i mycket enkla fall). Systematisk analys (poler nollställen, S, T,...) kan ge regulatorinställning med mycket höga prestanda. Första systematiska angreppssättet (poler): Maxwell Robust formning av kretsförstärkningen: Åström och Hägglund 2006.

9 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari När PID inte räcker till (Betyder oftast att systemet är ervariabelt och/eller olinjärt.) IMC (Internal Model Control) Minimering av kvadratiska kriterier: LQ, LQG Systematisk formning av överföringsfunktioner: H 2, H Olinjära metoder.

10 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Flera in- och utsignaler. Vem skall styra vad? Magert system: G = Fler ut- än insignaler. Alla utsignaler kan inte styras perfekt prioritera. Tjockt system: ] [ G = Fler in- än utsignaler. Hur skall styrarbetet fördelas på insignalerna?

11 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Flera in- och utsignaler. Interaktion Om det nns många in- och utsignaler blir regulatorsyntesen mycket enklare om man kan bryta ned systemet i delsystem som har liten interaktion. RGA ett sätt att mäta interaktion Tillförlitlighetsaspekter

12 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari RGA Betrakta följande ideala fall Utsignal j styrs från insignal i och ingen annan styrning sker. Utsignal j styrs från insignal i och alla andra utsignaler är perfekt reglerade. Bilda kvoten mellan förstärkningarna i de två fallen (för varje par av in/ut-signaler) Matematiskt: elementvis multiplikation av G och G T (G överföringsfunktionen utvärderad t.ex. vid ω = 0) I Matlab: RGA(A) = A.*pinv(A.') (pinv = pseudoinvers, klarar icke-kvadratiska matriser) Para ihop mät- och styrsignaler så att motsvarande RGA element för överföringsfunktionen v ligger nära 1 (och i varje fall inte är negativa). Decentraliserad reglering

13 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Destillationskolonn PC T LC FC UPPER REFLUX A TOP DRAW T INTERMEDIATE REFLUX LC T SIDE STRIPPER FC T A SIDE DRAW BOTTOMS REFLUX Q(F,T) CONTROL T LC F T FEED BOTTOMS

14 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari RGA för destillationskolonn G(s) = [ 4.05e 27s 50s e 18s 50s e 28s 60s e 14s 60s e 27s 50s e 15s 40s+1 ] RGA(G(0)) = [ ] RGA(G(i/50)) = [ ] i i i i i i

15 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Decentraliserad reglering Para ihop in- och utsignaler mha RGA. Styr sedan med en diagonal PI-regulator. Utreglering av stegstörning: y y

16 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Frikopplad reglering Förmultiplicera regulatorn med G(0) 1. Styr sedan med en diagonal PI-regulator. Utreglering av stegstörning: y y tid, min

17 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari IMC. Internal Model Control Återkoppla bara från ny information. r + u y F r Q G 0 G + Ger (om G 0 = G) S = I GQ, T = GQ

18 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari IMC-reglerdesign: Grundidè Välj Q = G 1! Går ej! Approximera: Exempel:... Q(s) = 1 (λs + 1) n G 1 (s)

19 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Regulatorsyntes Två huvudprinciper: Kvadratisk viktning av variabler. Optimering. Linjärkvadratisk syntes. LQ, LQG Direkt formning av S, T,... i frekvensplanet. H. H 2

20 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Minimering av kvadratiskt kriterium Modell: ẋ = Ax + Bu + Nv 1, y = Cx + v 2, z = Mx v 1, v 2 vita brus med intensiteter R 1, R 2 Kriterium: Minimera E(z T Q 1 z+u T Q 2 u) = E(x T Q1 x+u T Q 2 u), Q1 = M T Q 1 M

21 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari LQG. Faktum 1 I Kalmanltret är ˆx och x okorrelerade och x oberoende av u. ( x = x ˆx) Konsekvens: Det går lika bra att minimera E(ˆx Q 1ˆx + u T Q 2 u)

22 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari LQG. Faktum 2 I Kalmanltret är ν = y C ˆx vitt brus med intensitet R 2. Konsekvens: Kalmanltret kan skrivas på innovationsform ˆx = Aˆx + Bu + Kν där brus-insignalen ν är vitt brus.

23 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari LQG forts. Faktum 3: Om y v är utsignalen från ett system med vitt brus som insignal, och y i utsignalen från samma system med ideal impuls som insignal så är Ey 2 v = 0 y i (t) 2 dt Faktum 4: Att lägga en impuls på ingången till ett system är ekvivalent med att lägga på ett visst begynnelsevärde när insignalen är noll.

24 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Konsekvens av Faktum 3,4 Det ursprungliga optimeringsproblemet är ekvivalent med att minimera för systemet 0 (ˆx T Q1ˆx + u T Q 2 u)dt ˆx = Aˆx + Bu, ˆx(0) givet Lösning: u = Lˆx, L = Q 1 2 BT S, där S ges av Q 1 + A T S + SA SBQ 1 2 BT S = 0

25 Tack