Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Transkript

1 Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons sats 22,23,24ab matrispotenser (sid.89) 20,34,35 Egenskaper En tredje angreppsmetod (efter Laplacetransformation och diagonalisering) för system av differentialekv. y 0 (t) Ay (t)+f (t) A konstant n n-matris, f känd, y sökt kolonnmatris bygger på följande: För varje konstant n n-matris A, finns en n n-matris av funktioner Φ (t), som uppfyller ½ Φ 0 (t) AΦ (t), för alla t Φ (0) I (I enhetsmatrisen) P.g.a. analogin med det skalära fallet ½ y 0 (t) ay (t), y (t) e at y (0) så betecknar vi Φ (t) med e At och kallar den exponentialmatrisen. Likheterna med den skalära exponentialfunktionen är flera: d dt eat Ae At e At I för t 0 e As e At e A(s+t) för alla reella tal s och t varav följer e At e At I, d.v.s. e At e At En skillnad jämfört med vanliga exp-funktioner: AB 6 BA e A e B 6 e A+B (Matriserna e As och e At däremot kommuterar!) e At X (At) k k0 k! Definition med potensserie Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden I, I + B I + B + 2 B2 I + B + 2 B2 + 3! B3 I + B + 2 B2 + 3! B3 + 4! B4... konvergerar elementvis för varje kvadratisk matris B. T.ex. med 3/2 B 0 2 blir nx B k k! k för n för n för n för n Det sista överensttämmer till alla fem decimaler med det exakta gränsvärdet enl. Spanne sid.9, Ex.5.4 : e 3 2 e 0 e På samma sätt kan man sätta in en kvadratisk matris och få en konvergent matrisföljd i varje s.k. potensserie ( oändligt polynom ) X a k x k k0 som konvergerar för alla x. (T.ex. är Maclaurinserierna för cos x och sin x sådana potensserier.) Man kan visa att potensserier (såväl skalära som i matrisserier) går att behandla som ändliga summor för de värden på variabeln för vilka de är konvergenta. Med hjälp av detta kan vi visa

2 Derivationsegenskapen: d d dt dt eat I + At + 2! A2 t 2 + 3! A3 t 3 + 4! A4 t A + 2! A2 2t + 3! A3 3t 2 + 4! A4 4t A I + At + 2! A2 t 2 + 3! A3 t Ae At Obs. att man lika gärna skulle kunnat bryta ut A till höger, så att Ae At e At A Multiplikationsegeneskapen: e As e At I + As + 2! A2 s 2 + 3! A3 s I + At + 2! A2 t 2 + 3! A3 t Ordna produkterna efter växande potenser av A s I + A (s + t)+a 2 2 t2 + st + + 2! 2! s +A 3 3 3! + s2 t 2!! + st2!2! + t ! Den allmänna termen i produktserien kan skrivas s A n n n!0! + sn t (n )!! + sn 2 t 2 tn (n 2)!2! 0!n! A n n X k0 n! An n X k!(n k)! sn k t k k0 n! An (s + t) n n! k!(n k)! sn k t k [binomialsatsen!] Numeriska aspekter Att beräkna närmevärden på e B genom att sätta in i serien och summera låter sig i praktiken göras endast då elementen i B är relativt små. Annars konvergerar serien alltför långsamt och, vad värre är, termerna växer kraftigt i början, vilket kan göra resultaten helt värdelösa. Om datorn räknar med, säg, 6 värdesiffror, men någon term iserienär 0 20, så betyder det att man får en osäkerhet av storleksordningen 0000 i den termen och därmed i hela summan! (Detsamma gäller de vanliga Maclaurinserierna för e x, cos x, sin x.) En utväg är att skala och kvadrera upprepade gånger, t.ex. Ã ³ e B ³e! B/8 8 e B/ Genom att dividera B med en tillräckligt hög 2-potens får man en matris B/2 p med små element. Dess exponentialmatris kan man approximera med en delsumma av serien ovan. Sedan får man e B genom kvadrering tack vare multiplikationsegenskapen. Men egentligen är exponentialmatriser någonting som används i teoretiska resonemang snarare än i sifferberäkningar. (Jämför med följande: Lösningen till 7x 5kan man visserligen skriva som x 7 5 men ingen skulle vara dum nog att först räkna ut och sedan multiplicera detta med 5.) En numera klassisk artikel från 978 av Cleve Moler (en av personerna bakom Matlab) och Charles van Loan (medförf. till ett av standardverken i matristeori) bär den talande titeln Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix. Min lärare i numerisk analys brukade säga: Räkna aldrig ut en exponentialmatris, om du inte är absolut tvungen till det! Med andra ord: e As e At X n0 n! An (s + t) n e A(s+t) 2

3 Allmän lösningsformel med integrerande faktor-metoden Med exponentialmatrisen kan man tillämpa integrerande faktor-metoden på vårt matrissystem y 0 (t) Ay (t)+f (t) y 0 (t) Ay (t) f (t) Multiplicera båda leden med e At : Iochmedatt e At y 0 (t) e At Ay (t) e At f (t) e At A d dt e At så är vänsterledet derivatan av en produkt: d e At y (t) e At f (t) dt Z e At y (t) e At f (t) dt Säg att vi känner till y:s värde vid t t 0. Då är det lämpligt att skriva den primitiva funktionen i högerledet som Z t t 0 e Aτ f (τ) dτ + C därför att insättning av t t 0 då ger e At 0 y (t 0 )0+C Således (multiplicera båda led med e At ) Z t y (t) e At Z t t 0 e Aτ f (τ) dτ + e At e At0 y (t 0 ) t 0 e A(t τ) f (τ) dτ + e A(t t0) y (t 0 ) Denna formel utnyttjas i kap.5.5 för att visa att f (t) begränsad för t 0 alla egenvärden till A har realdel < 0 y (t) begränsad för t 0 ¾ e At med basbyte Spanne presenterar två metoder för teoretisk beräkning av e At, som tillåter oss att se vad elementen blir. Här den första: Om A är diagonal, t.ex. A a b c a k 0 0 så A k 0 b k c k och insättning i serien ger e at 0 0 e At 0 e bt e ct (OBS. endast för diagonalmatriser blir det så enkelt!) Om A SBS för några kvadratiska matriser B och S, så och insättning i serien ger A k SB k S e At Se Bt S Detta kan utnyttjas ifall A är diagonaliserbar, d.v.s. om det finns inverterbar S så att Då är S AS diagonalmatris D A SDS e At Se Dt S [ifall3 3-matriser] e λ t 0 0 S 0 e λ2t 0 S 0 0 e λ3t λ k egenvärdena till A Utför man matrismultiplikationerna med S och S, så får man att elementen i e At är linjärkombinationer av e λt -termer. Men om A inte är diagonaliserbar? 3

4 Jordans normalform Något som Spanne endast antyder med övn.5.2: Enligt en av de svårare satserna i linjär algebra, så finns till varje kvadratisk A en inverterbar S, sådan att J S AS 0 J J p (Jordans normalform) där högerledet skall föreställa en s.k. blockmatris, där J k :na kan vara hela matriser (s.k. Jordanblock) av typen λ λ λ λ och nollorna kan stå för hela block av nollor, t.ex. matris som Sedanövertygarmansigattmankanräknamedblockmatriser som om blocken vore enskilda tal: k J J k J J k J p J k p en J N λ λ λ λ λ J k (λi + N) k λ k I + kλ k N + och observationen att N 2 N 3 N 4 λi + N, där k λ k 2 N N k N 5 nollmatrisen exp J J J p exp (J ) exp(j 2 ) exp (J p ) Därav får man i e tj element av typen t j e λt (Se också svaret till övn. 5.2.) så för att räkna ut exponentialfunktionen av en matris på Jordans normalform, räcker det att räkna ut exponentialfunktionen på varje Jordanblock. Dessa i sin tur räknas ut med binomialsatsen (t.ex. för 5 5-block) 4

5 e At med Cayley-Hamiltons sats Om f (x) och p (x) är två polynom, kan man, som bekant, med s.k. polynomdivision skriva f (x) k (x)+ r (x) p (x) p (x) f (x) k (x) p (x)+r(x) där k (x) och r (x) är polynom ( kvoten resp. resten ) och r (x) är av lägre grad än p (x). Det visar sig att man kan göra något liknande även då f (x) är ett oändligt polynom en s.k. potensserie som t.ex. X e x x k k! k0 Skillnaden är att då är k (x) inte längre är något ändligt polynom utan också en oändlig potensserie. Men r (x) är fortfarande polynom av lägre grad än p (x). Detta medför (skall vi visa nedan) att exponentialmatrisen e At för varje fixt t faktiskt är ett polynom i A e At polynom i A med funktioner av t som koeff. Man har nämligen Cayley-Hamiltons sats som säger att varje kvadratisk matris A uppfyller sin karakteristiska ekvation, d.v.s. sätt in A iställetförλ i polynomet det (A λi) så fås nollmatrisen: Högerledet är 0för x λ, λ 2,..., så det måste vänsterledet också vara: e tλ k r (λ k ) 0 r (λ k ) e tλ k för alla egenvärden λ k Om något egenvärde är av multiplicitet >, t.ex. om m 4, så är även första, andra och tredje derivatan (m.a.p. x) avhögerledet0för x λ. Därför r 0 (x) d dx etx för x λ d.v.s. r 0 (λ ) te tλ och vidare r 00 (λ ) t 2 e tλ, r (3) (λ ) t 3 e tλ På detta sätt får man n st. linjära ekvationer med högerled av formen t j e λt för de n obekanta koefficienterna i polynomet r (x). (n p:s gradtal dimensionen av matrisen A) Vi ser också hur potenser t j kan dyka upp endast när karaktäristiska polynomet har multipla egenvärden. Huvudpoängen i det hela: sats 5.6 i Spanne, sid.99 Om p (λ) det(a λi), så p (A) nollmatrisen Vi tänker oss t fixt, sätter f (x) e tx p (x) det(a xi) och gör oändlig polynomdivision av ovannämnda slag, så får vi ett polynom r (x) av lägre grad än p (x) sådan att e tx k (x) p (x)+r(x) (Obs. koefficienterna i r (x) och även själva k (x) kommer att bero på t.) Definitionerna av matrisfunktioner gör att det då måste gälla e ta k (A) p (A)+r(A) 0+r (A) r (A) Om man har faktoriserat p (x), säg p (x) (x λ ) m (x λ 2 ) m2... så kan r (x) bestämmas så här: Betrakta likheten e tx r (x) k (x)(x λ ) m (x λ 2 ) m

6 Differensekvationer (diskreta system) A SBS A k SB k S är intressant i sig i samband med system av differensekvationer: y (k +) a a 2... a n y (k) y 2 (k +)... a 2 a a 2n y 2 (k) y n (k +) a n a n2... a nn y n (k) eller kort y (k +) Ay (k) Här ser man omgående att y (k) A k y (0) Omskrivningen ovan säger oss att om A är diagonaliserbar (tänk dig B diagonal), så är elementen i A k, och därmed även elementen i y (k), linjärkombinationer av λ k, λk 2,..., λk n, där λ i:na är egenvärdena till A. Skulle A inte vara diagonaliserbar, så kan man m.h.a. Jordans normalform, inse att det kan tillkomma termer av typen kλ k, k 2 λ k,... För diskreta system har man en stabilitetsteori mycket lik den för kontinuerliga system. Skillnaden är att gränsen mellan växande och avtagande funktioner nu går inte längs imaginära axeln utan längs enhetscirkeln: λ k 0, när k, om λ < λ k, när k, om λ > Därför: stabilitet av tidsdiskreta system kräver att alla egenvärden/poler ligger innanför enhetscirkeln. 6