TSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 11. Sammanfattning av Föreläsning 11, forts. Begränsningar på S, Bodes integral

Transkript

1 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 1 / 27 Sammanfattning av Föreläsning 11 TSRT09 Reglerteori Föreläsning 12: Prestandabegränsningar & målkonflikter. Sammanfattning av kursen. Daniel Axehill Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Syntes för olinjära system Linjär design, olinjär verifikation. Olinjär IMC. Prediktionsreglering. Optimal styrning. Exakt linjärisering. Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 2 / 27 Sammanfattning av Föreläsning 11, forts. Exakt linjärisering. Derivera y tills u syns explicit. (antal ggr = relativt gradtal, ν) Välj u så att de olinjära termerna försvinner i ν-te-derivatan av y. Ger linjär dynamik från referenssignal till y. Om relativt gradtal < antal tillstånd, så finns dold dynamik. Problem om den dolda dynamiken är instabil. Om relativt gradtal = antal tillstånd, så är hela systemdynamiken linjäriserad. Ibland kan man välja en alternativ utsignal sådan att det relativa gradtalet = n. Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 3 / 27 Begränsningar på S, Bodes integral Antag att kretsförstärkningen GF y har M poler i höger halvplan: p i ; i =1,...,M och att GF y avtar åtminstone som s 2 då s. Då gäller skalärt 0 log S(iω) dω = π Tolkning: Känslighet S(iω) < 1 vid vissa frekvenser måste betalas igen med S(iω) > 1 vid andra. Är GF y instabil blir situationen värre. M Re(p i ) i=1 S Bodes integralsats Liknande men mer svårtolkade resultat finns för det flervariabla fallet w

2 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 4 / 27 Föreläsning 12 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 5 / 27 Styrning av instabila system Begränsningar och konflikter, fortsättning. Pol i HHP. Nollställen i HHP. Både pol och nollställe i HHP. Begränsad insignal. Sammanfattning av kursen. Kräver mycket tillförlitliga regulatorer. Går den sönder... Begränsad styrsignal medför att stabilisering normalt bara är möjlig i en del av tillståndsrummet (Gripen). En instabil pol p 1 ställer undre krav på bandbredden: (ungefär) ω B > 2p 1 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 6 / 27 Ytterligare exempel på instabilt system Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 7 / 27 Nollställen i höger halvplan: Exempel Överföringsfunktion för vanlig cykel (styrvinkel till lutningsvinkel) konst V s + V/a s 2 g/h V : hastighet, h: tyngdpunktshöjd, a: avstånd tyngdpunkt till bakhjul, g =9.82 m/s 2 Som en inverterad pendel. Pol i höger halvplan. Beror på cykelns höjd: en låg cykel är svårare att balansera än en hög (instabila polen flyttas allt längre ut i HHP). Nollställe i vänster halvplan. Beror på hastigheten och tyngdpunktens läge. Stegsvar till 4s +2 (s +1)(s +2) Svarar först åt fel håll

3 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 8 / 27 Nollställen i höger halvplan: Intuition Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 9 / 27 Nollställen i höger halvplan: Stegsvar Systemets förstärkning av snabba förlopp har motsatt tecken jämfört med långsamma förlopp. En regulator som reglerar långsamma förlopp bra använder fel tecken för snabba förlopp och skulle därmed kunna destabilisera systemet. Undvik snabba förlopp genom att ge systemet en låg bandbredd. Alltså: Ett nollställe z 0 i höger halvplan verkar ge en övre gräns för bandbredden ω B. Mer rigoröst kan man med hjälp av Sats 7.4 få tumregeln: Stegsvar i skalära fallet: z 0 reellt nollställe i HHP Y (s) =(I + G(s)F y (s)) 1 G(s)F r (s) 1 s 0=Y (z 0 )= 0 y(t)e z 0t dt (Integralen är konvergent eftersom z 0 ligger i HHP) Slutsats: y antar både negativa och positiva värden. ω B z 0 /2 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 10 / 27 Undersläng och stegsvar Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 11 / 27 Nollställen och återkoppling Antag att T s är insvängningstiden till 10 % av slutvärdet och M det maximala negativa värdet. Enkla uppskattningar i integralen ger M 0.9 z 0 T s e z 0T s Litet värde på z 0 T s ger mycket stor undersläng. Betrakta G c = GF r 1+GF y, T = GF y 1+GF y Om G(z 0 )=0så är också G c (z 0 )=0och T (z 0 )=0. Nollställen till G blir nollställen till G c och T, d.v.s. återkoppling flyttar inte nollställen. Däremot kan dessa nollställen ibland förkortas bort ( försvinna ), d.v.s. göras icke-styrbara och/eller icke-observerbara. Nollställen i HHP kan inte förkortas bort eftersom det skulle kräva en instabil pol i F y och/eller F r. D.v.s. det är omöjligt att gå runt begränsningarna som nollställen i HHP orsakar ( interpolationsvillkor ).

4 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 12 / 27 S och nollställen i HHP s +1 G(s) = s(s +1) återkopplas med ett F y så att slutna systemets poler ligger i a( 1 ± i) (dubbelpoler). a =0.5, 1, 2, 5, 10 Nollställe i z 1 =1. Svårt att pressa frekvensen då S =1 högre än ω = z 1 =1. Priset blir att maxvärdet av S blir mycket högt. S 10 2 Känslighetsfunktion w 5 10 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 13 / 27 Både pol och nollställe i HHP Exempel: bakhjulsstyrd cykel (ekvivalent med V < 0) konst V s + V/a s 2 g/h Om polen ligger till höger om nollstället i HHP är det extremt svårstyrt. Tumreglerna krockar! Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 14 / 27 Poler/nollställen i höger halvplan, sammanfattning Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 15 / 27 Begränsad insignal. Exempel Pol i höger halvplan. Undre gräns på bandbredd. Stora driftsäkerhetskrav. Svårare när polen flyttas åt höger. Nollställe i höger halvplan. Övre gräns på bandbredd. Svårare när nollstället flyttas åt vänster. Både pol och nollställe i höger halvplan. Nollställe till höger om polen: kan vara OK. Nollställe till vänster om polen: extremt svårstyrt. Se även Respect the Unstable, Gunter Stein, IEEE Control Systems Magazine, Den 24 november 2004 grundstötte roro-passagerarfärjan Casino Express utanför Holmsund i hårt väder. Haverikommissionen: Vindkraften på överbyggnaden var minst 600 kn (20 m/s vindhast). Ingen kombination av styrsignaler (propellrar, roder) kunde kompensera detta. Inte ens bogserbåtsassistans (max 260 kn) räckte.

5 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 16 / 27 Utformning av styrsystem Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 17 / 27 När kan styrsignalen kompensera störningar? Styrsignal u, störning d: z = G(s)u + G d (s)d Roderverkan var dålig vid låg fart eftersom rodret inte låg i propellerströmmen. Bogpropellern fungerade inte, men gav i vilket fall för liten tvärskraft. för några G, G d (skalära för enkelhets skull). Antag att max-amplituden för d är d 0. Antag att max-amplituden för u är u 0. Då måste det gälla att u 0 G d(iω) G(iω) d 0, alla ω om ett godtyckligt d skall kunna elimineras helt. Är inte detta uppfyllt kan ingen regulator, linjär eller olinjär, ge perfekt störningsundertryckning. Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 18 / 27 Slut! Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 19 / 27 Sammanfattning av kursen: För livet Här slutar kursen! Några av de största reglertekniska framgångarna: När man använt återkoppling där ingen tidigare tänkt tanken. Det finns principiella gränser för vad som kan åstadkommas! Inte bara p.g.a. otillräcklig styrsignalstyrka. Kursen har visat på systematiska, analytiska designmetoder, som pressar syntesen till de principiella gränserna. Men,... testa alltid de enkla regulatorerna först. Glöm inte grundkursens metoder, t.ex. framkoppling.

6 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 20 / 27 Sammanfattning, fortsättning Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 21 / 27 Sammanfattning av kursen: För tentan Många av metoderna i denna kurs är tillämpbara långt utanför reglertekniken: Stabilitetsbegreppet Systemtänkande Analysmetoder som beskrivande funktion, fasplan, lyapunovfunktioner (Stör)signalmodeller sensorfusion Går i datorsal Speciella Tentakonton! Inloggningsuppgifter delas ut. Hjälpmedel Tabeller, räknare o.d. Matlab Reglerteoriboken plus grundkursboken. Inget lab- eller övningsmaterial, Math primer, eller gamla tentor... Omfattning: I princip alla kapitel som gås igenom på föreläsningar och lektioner (se kurshemsidan). Flervariabla egenskaper hos linjära system. Att kunna föra in störningar i systemmodellerna. Principerna för att para ihop styr- och mätsignaler. Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 22 / 27 För tentan, forts. Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 23 / 27 Tips: Reglerteknisk projektkurs, TSRT10 Att förstå betydelsen av S och T. Bodes integralsats. Begränsningar i S och T. Att kunna använda formlerna för LQG- och H 2 /H -regulatorer. Datorbaserad syntes. Använda cirkelkriteriet och beskrivande funktion. Använda enkla lyapunovfunktioner. Skissa och tolka fasplan. Göra exakt linjärisering för enkla fall. Bra förberedelse inför ert exjobb och framtida arbete! Många spännande och utmanande projekt mot forskning och industri. Bredda ditt kontaktnät samtidigt som du löser avancerade reglertekniska problem i praktiken. Exempel på projekt från tidigare år: Autonom målföljning med quadcopter. LiU racetrack (optimal styrning, machine learning, aktiv säkerhet,...). Obemannad miniubåt (ROV). Autonom minröjningsbandvagn. Projekt inom motor- och fordonsreglering (via Fordonssystem).

7 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 24 / 27 Exjobb Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 25 / 27 Exjobb och projekt: Advanced control of an ROV Se reglertekniks exjobbshemsida! Interna Extreme performance Model Predictive Control using a GPGPU. Autonomous helicopter control (longterm objective: aerobatics). Advanced control of an ROV.... Kom gärna även med egna förslag! Externa, mot företag och universitet över hela världen. Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 26 / 27 Reglerteori 2016, Föreläsning 12 Daniel Axehill 27 / 27 Var kan jag läsa mer? Tack! Lycka till! John C. Doyle. Guaranteed margins for LQG regulators. IEEE Transactions on Automatic Control, 23(4): , August Thomas Kailath. Linear systems. Prentice Hall, Hassan K. Khalil. Nonlinear systems. Prentice Hall, Lennart Ljung. System identification: Theory for the user. Prentice Hall, Gunter Stein. Respect the unstable. IEEE Control Systems Magazine, 23(4):12 25, August Karl J. Åström and Tore Hägglund. Advanced PID control. ISA, Kemin Zhou, John C. Doyle, and Keith Glover. Robust and optimal control. Prentice Hall,

8 Daniel Axehill Reglerteori 2016, Föreläsning 12 (ver. 1.12)