Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Transkript

1 Kontroll 13 Uppgift 1 Avståndet, r parsec, till en stjärna kan bestämmas med formeln M = m lgr där M =stjärnans absoluta ljusstyrka och m =stjärnans skenbara ljusstyrka. (1 parsec= 3.26 ljusår= km). Beräkna avståndet i km till Sirius, då M = 1.4 och m = Uppgift 2 En vara kostade 123 kr när dess pris plötsligt höjdes med 18%. Med hur många procent ska det nya priset sänkas, för att varan ska återfå sitt ursprungliga pris? Uppgift 3 Sedan 1979 har oljetillförseln minskat med i genomsnitt 5% per år. Efter hur många år var oljetillförseln halverad? Uppgift 4 Kalle började ett nytt jobb och fick en månadslön på 18000, med löfte om 4% löneförhöjning varje halvår. Pelle skrattade åt detta, eftersom han själv just börjat ett jobb där han får i månadslön och med löfte om 5% påökt, visserligen per år, men ändå. När kan Kalle börja skratta åt Pelle? Det vill säga efter hur lång tid kommer Kalle att ha en högre månadslön än Pelle? Eller kommer han aldrig att få det? Uppgift hade jorden cirka 2.98 miljarder invånare. Folkmängden har sedan dess vuxit exponentiellt med 2%/år, ett uttalande som gällde hade jorden cirka 6.52 miljarder invånare. Hur väl tycker du att modellen gäller? Uppgift 6 Hur mycket pengar ska jag sätta in på banken idag om jag om 6 år ska har ett sparkapital på kr till 10.5% ränta? Uppgift 7 En kärnreaktor är omgiven av ett strålskydd av järnmalmsbetong. Strålningens intensitet avtar exponentiellt med den väg strålningen går genom skyddet. Efter 6 cm har intensiteten gått ned till hälften Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

2 av den ursprungliga. Efter hur lång passage genom skyddet har intensiteten gått ned till 0.1 promille av det ursprungliga värdet? Uppgift 8 Här en annan prognos för antalet människor på jorden var antalet invånare på jorden cirka miljarder. Den tillväxte då på ett sätt som innebar en fördubbling på år. Vid vilket år skulle, med denna modell, antalet invånare vara 6.52 miljarder? Uppgift 9 Herr Svenssons månadslön har en exponentiell utveckling. För 10 år sedan tjänade han 000 kr/månad. Idag tjänar han kr/månad. Vilken månadslön kommer han att ha när han går i pension om 7 år? Uppgift 10 Bestäm den exponentialfunktion vi söker, på vars kurva två punkter är kända: P1(4, ) och P2(6, ). The hard way. Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

3 Lösningar till Kontroll 13 Uppgift 1 Antag: Avståndet är r parsec 1.4 = lgr = 5 lgr 5 lgr = 2.15 lgr = lg r = 0.43 r = r 2.69 Avståndet blir då km Svar: km Uppgift 2 Priset p 2 efter höjning är p 2 = För att priset p 1 = 123 ska återfås måste tillväxtfaktorn vara a. Vi får 123 = ( )a ger a = = Svaret får man genom att invertera den första tillväxtfaktorn. Priset har förstås inget med saken att göra. Uppgift 3 a 2 = a 0.95 x 0.95 x = 1 2 ln0.95 x = ln 1 2 x ln0.95 = ln 1 2 x = ln 1 2 ln Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

4 Uppgift 4 Kalles lön stiger efter L K (x) = x och Pelles efter L P (x) = x. Genom ekvationen nedan får vi reda på vid vilken tidpunkt de har samma månadslön x = x x 1.05 x = ( ) x = ( ) x ln = ln ( ) x ln = ln x = ln x 3.55 / ln ( ) 1.05 Redan efter fyra år har Kalle en högre månadslön än Pelle. Efter har fortfarande Pelle lite högre lön. Så här kan man lösa problemet med ett C-program 1 #include <stdio.h> 2 int main(void){ 3 float kalle=18000,pelle=20000; 4 int halvar=1; 5 while (pelle>kalle){ 6 kalle=kalle 1.04; 7 if(halvar%2==0) 8 pelle=pelle 1.05; 9 halvar++; 10 } 11 printf("efter %d halvår\n",halvar); 12 } Programmet svarar att det behövs 8 halvår. Uppgift 5 Med hjälp av uttrycket kan vi se vad den prognosen hade förväntat sig Nästan en miljard färre och det är kanske skönt. Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

5 Uppgift 6 Hur mycket pengar ska jag sätta in på banken idag om jag om 6 år ska har ett sparkapital på kr till 10.5% ränta? Antag att det startkapitalet är x kr och vi får följande ekvation = x x = x Uppgift 7 Antag att det har skett efter x cm. Vi får ekvationen = 0.5 x 6 lg10 4 = lg0.5 x 6 4lg10 = x 6 lg = x lg0.5 x = x lg0.5 Svar: Efter 80 cm Uppgift 8 Antag att det kommer att dröja x år efter Vi får då ekvationen 6.52 = 2 x 6.52 lg 6.52 lg 6.52 lg 6.52 lg2 = 2 x = lg2 x = x lg2 = x x 21 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

6 = Det skulle alltså ha inträffat för 9 år sedan. Uppgift 9 Vi ska använda oss av exponentialfunktionen f(t) = C 10 k t C och k är konstanter och t är tiden. Först måste vi då bestämma C och k. Detta kan vi göra genom de två givna punkterna P1(0,000) och P2(10,30000). När vi har bestämt funktionens konstanter ska vi ta reda på f(17) Nu över till att bestämma k Vi får Funktionen får till sist följande utseende f(0) = C 10 k 0 f(0) = C men också f(0) = 000 C = 000 f(10) = k Vi ska lösa ekvationen k = k = k = lg10 10k = lg 30 10k lg 10 = lg 30 10k = lg 30 k = lg k f(t) = t Vi kan nu använda den för att bestämma f(17) och med det får man väl nöja sig. En enklare lösning Uppgiften kan lösas på ett mycket enklare sätt. Vi antar att tillväxtfaktorn är x och skriver ekvationen = 000 x 10 ( x = 000 x ) 1 10 Vi använder oss nu av faktorn för att få svaret = kr Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge

7 Uppgift 10 Vi ansätter f(x) = C a x och ska alltså bestämma C och a med hjälp av f(4) = och f(6) = Vi får ett ekvationssystem: { C a 4 = C a 6 = Från första ekvationen får vi C a 4 = C = a 4 Vi substituerar C i den andra ekvationen och får a 4 a 6 = a 2 = a 2 = a = ± Vi vet nu att a = 1.10 och kan använda det för att bestämma C. Vi tecknar till sist funktionen f(x) = x C = Håkan Strömberg 7 KTH Syd Haninge