ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011"

Transkript

1 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0

2 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig utbildning du än väljer, så börjar studierna med en ansenlig mängd matematik. Lyckas man väl med dessa matematikkurser, så ligger vägen öppen för fortsatt lyckade studier. Ett bra sätt, för att underlätta matematikstudierna, är att repetera gymnasiematematiken innan du börjar på högskolan/universitetet. Det häfte som du just tittar i, innehåller ett antal övningar som kan vara lämpliga att arbeta med under en sådan repetition. Vi är medvetna om att inte alla får behålla sina gymnasieböcker. Därför innehåller häftet även en del teoriavsnitt och eempel. Några kommentarer till övningarna. Försök att göra uppgifterna utan hjälp av miniräknare och formelsamlingar. Det är viktigt att lära sig behärska räknelagar m.m. utan att använda hjälpmedel. Försök kontrollera rimligheten i dina svar, innan du jämför med facit. Några eempel på kontrollmöjligheter: Om du förenklar ett uttryck som innehåller storheterna a och b, så skall det ursprungliga och det förenklade uttrycket vara lika för alla värden på dessa storheter. Testa med några olika värden på a och b för att se att uttrycken är lika för åtminstone dessa värden. Löser du en ekvation, så skall lösningarna förstås uppfylla ekvationen. Sätt in lösningarna i ekvationen och kontrollera att högerled och vänsterled blir lika. Ibland kan man rita figurer som illustrerar problemet (t.e. när det gäller trigonometri och geometri). Gör det! I slutet av varje kapitel finns en del stjärnmärkta övningar. Det kan vara lämpligt att först arbeta med de uppgifter som ej är stjärnmärkta, för att senare i mån av tid öva vidare på (*)-uppgifterna. Övningshäftet finns att hämta på Lycka till.

3 Innehåll Diagnostiskt prov Förenklingar och omskrivningar Ekvationslösning 7 Absolutbelopp 4 Olikheter 4 5 Potenser och logaritmer 5 6 Trigonometri 8 7 Geometri 4 8 Derivator 9 Binomialutveckling. 4 Facit 7 Svar till diagnostiskt prov 4

4 Diagnostiskt prov Försök att lösa dessa uppgifter utan hjälpmedel. Det kan hända att du tycker att en del uppgifter är svåra, men det ska du inte bli orolig för. Häftet innehåller förklaringar, eempel och övningar som gör att du säkerligen kommer att klara diagnostiska provet mycket bättre efter att ha arbetat med övningshäftet.. Lös ekvationen + 4 =.. Skriv ( ) som ett bråk. 4. Förenkla uttrycket a b + b a a b b a så långt som möjligt. 4. Bestäm alla lösningar till ekvationen = Ange alla sådana att + =. 6. För vilka gäller olikheten < 9? 7. Förenkla b ( a b ) a a / b så långt som möjligt. 8. Rita funktionen f() = minsta värde. +, och ange funktionens största och 9. Vilken av nedanstående figurer åskådliggör bäst funktionen y = e? A. y B. y C. y D. y E. y F. y 0. Bestäm derivatan av f() = e +.. Förenkla lg 5 + lg lg 6 så långt som möjligt.. Bestäm cos v då v ligger i andra kvadranten och sin v =.. Bestäm alla som uppfyller ekvationen sin =.

5 Förenklingar och omskrivningar Vi startar med några elementära räknelagar: (a + b) = a + ab + b () (a b) = a ab + b () (a + b)(a b) = a b () a + b = (a + b)(a ab + b ) (4) a b = (a b)(a + ab + b ) (5) De två första kallas kvadreringsreglerna, den tredje kallas konjugatregeln och de två sista är kubreglerna. Samtliga dessa räknelagar kan förstås kontrolleras genom att man utför multiplikationerna i vänsterledet i () () respektive högerledet i (4) (5). Den :a kvadreringsregeln kan vi även se på följande geometriska sätt, i alla fall då a och b är positiva. a b a a ab b ab b Vänsterledet i ekv. () är arean av hela kvadraten med sidan a+b, högerledet är summan av arean av de fyra delar som kvadraten består av. Konjugatregeln och :a kvadreringsregeln kan på motsvarande sätt ges en geometrisk tolkning. Konjugatregeln är för övrigt ofta användbar då det gäller att förenkla uttryck som innehåller rotuttryck i nämnaren. Eempel Förenkla. Vi förlänger uttrycket med nämnarens konjugat, d.v.s. + och får + + = ( + )( ) = = +. Eempel Förenkla + 4.

6 Vi sätter uttrycket på minsta gemensamma nämnare, d.v.s. och får + 4 = = = 7. Eempel Förenkla uttrycket +. + Vi gör liknämnigt i flera steg, med start inifrån : + + = + + = + + = = + + = + +. Övningar. Beräkna: a) ( ) ( ) b) + e) Förenkla uttrycken a) 4a b 4 ab a 4 b b) ( ab ) c) d) f) () ( ) g) ( ) h) 6 c) 8 ( b a ) ( a) ( b ) d) ( ) ( ) 5 a a a. Utveckla: a) (a + b) b) (a b) c) (a 5b) d) (a b)(a + b) e) (a + b) f) (a b) g) ( + y)( y + y ) h) ( y)( + y + y ) 4. Skriv som en produkt av så många faktorer som möjligt, genom att känna igen t.e. kvadrerings- och konjugatregler: a) a 4b b) 75 y c) 75 0y + y d) + e) 6 9 f) 4y + 4y g) 7 5. Skriv om så att nämnaren ej innehåller några rottecken: a) b) 5 ( )

7 6. Förenkla följande uttryck: a) (p ) + (p + ) p b) (r + s) (r s) c) a d) a ab a b e) b + b a + ( ) a b b f) a 7. I många fysikaliska sammanhang dyker sambandet y = a + upp. Talen a och b b är positiva storheter. Om t.e. två elektriska motstånd med resistanserna a resp b parallellkopplas kommer denna krets att ha motståndet y. Lös ut y ur sambandet. Vad kan sägas om y jämfört med a och b? 8. Utveckla: a) (a + b + c) b) (a b c) c) (a + b + c) 9. Utveckla: a) ( y)( y + y + y + y 4 + y 5 ) b) ( + y)( 6 5 y + 4 y y + y 4 y 5 + y 6 ) (*) (*) (*) 0. Skriv som en produkt av så många faktorer som möjligt: a) 7 b) 00y 5 0y c) 4 6y 4 d) 4 + e) 6 y 6. Förenkla: a) a a + b b a + b c) b) a + a a a a + a ( 6 + ) ( 6 + ) / + 4 d) +. Visa :a kvadreringsregeln genom att tolka uttrycken som areor. Polynomdivision. Om p(), q() och r() är polynom, sådana att p() r() = k() + q() q() (6) där r() har lägre gradtal än q(), kallar vi k() för kvoten och r() för resten då p() divideras med q(). För att bestämma k() och r() går man till väga på liknande sätt som när man bestämmer kvot och rest vid division mellan två heltal. 4

8 Eempel 4 Utför polynomdivisionen Uppställt med liggande stolen fås ( 4 + 4) ( + 4 4) 4 De steg som utförts ovan är följande: Utgå från uppställningen går gånger i. Subtrahera ( + ) ( 4 + 4) går gånger i. Subtrahera ( + ) ( 4 + 4) ( + 4 4) 4 Använder vi istället trappan blir uppställningen ( 4 + 4) ( + 4 4) 4 Som synes är skillnaden mellan de olika uppställningarna mest av kosmetisk art, räkningarna blir desamma. Ur kalkylen ovan får vi kvoten k() = och resten r() = 4, d.v.s =

9 OBS: En enkel kontroll av att man räknat rätt, fås genom att multiplicera båda led med nämnaren +. Övningar. Utför polynomdivisionen: a) + 7 b) 4 c) (*) (*) 4. Bestäm kvot och rest då P() = divideras med a) b) c) +. d) Beräkna P(), P() och P( ). Ser du något samband? e) Bevisa det samband du förhoppningsvis såg. 5. Bestäm resten då polynomet divideras med a) b) + c) + 6

10 Ekvationslösning Ekvationslösning är vad det låter som. Det handlar om att finna samtliga tal som uppfyller en given ekvation. Eempel 5 Lös ekvationen = 4(5 ). Ekvationen kan skrivas = 0. Vi möblerar om så att alla hamnar på ena sidan och alla konstanter på den andra och får ekvationen 4 = d.v.s. = /4. Eempel 6 Lös ekvationen + = 5. Samla konstanterna på högra sidan och gör liknämnigt, så fås = 5 = = 5. Detta ger lösningen = 5/. Eempel 7 Lös ekvationen ( )( 4) = ( 4)( ). Enklast hanterar vi denna ekvation genom att möblera om så att vi får 0 i högerledet. Vi får då ekvationen ( )( 4) ( 4)( ) = 0 vilket kan skrivas om som ( ( ) ( ) ) ( 4) = 0 d.v.s. ( 4)( 4) = 0. Således har ekvationen lösningarna = eller = 4. (Ett mycket vanligt fel är att man direkt dividerar båda led med den gemensamma faktorn ( 4) och landar i ekvationen =. Då har man dock dessvärre tappat bort en lösning. Division med ( 4) förutsätter ju att 4. ) 7

11 Andragradsekvationer. Betrakta en allmän andragradsekvation + p + q = 0 där p och q är konstanter. För att härleda en formel för ekvationens rötter, använder man sig av en omskrivning som är mycket vanlig då man arbetar med andragradsuttryck, nämligen kvadratkomplettering. Detta innebär att man samlar alla uttryck som innehåller i en kvadrat, vilket kan ses geometriskt i nedanstående figur. + p p p + p p p p + p p p Alltså är + p = p + p ( + p ) ( p ) ( + p ) ( p ) ( så + p + q = + p p p ) ( (p ) q ). Vi kan även se detta algebraiskt genom att använda oss av :a kvadreringsregeln: + p + q = + p + q = + p ( p ( p ) ( ) + + q = + p ) ( (p ) q. ) Med denna omskrivning kan ekvationen + p + q = 0 tecknas ( + p ) ( p ) = q och under förutsättning att ( p ) q 0 så har ekvationen lösningarna + p = ± (p ) q d.v.s. = p ± (p ) q. 8

12 Övningar 6. Lös ekvationerna: a) = 5 b) = c) 4 = 7. Lös följande andragradsekvationer: d) + 4 = 0 a) 5 = 6 b) 8( )( + ) = 0 c) = 0 d) = 0 e) ( + ) = 4( 4) f) ( + ) = ( ) (*) 8. Lös ekvationerna: a) ( + )( ) = + 9 b) (a + b) + ab = 0 c) = Polynomekvationer av högre grad. Att lösa ekvationer av grad större än är i allmänhet krångligt (eller ibland omöjligt). I vissa fall kan man dock klara det relativt enkelt genom att antingen byta variabler eller genom att försöka gissa någon lösning och använda polynomdivision. Eempel 8 Lös ekvationen = 0. Ekvationen innehåller endast jämna potenser av, så vi sätter t =. Då får vi den nya ekvationen t + t 6 = 0 som har lösningarna t = eller t =. Går vi tillbaks till den ursprungliga variabeln, har vi alltså att = eller =. Den första ekvationen har lösningarna = ± medan den senare saknar reella lösningar. Svar: = eller =. Eempel 9 Bestäm alla lösningar till ekvationen = 0. Vi börjar med att försöka gissa en rot. Vi prövar med några små heltal och upptäcker att = är en lösning till ekvationen. Alltså innehåller polynomet faktorn ( + ). Därefter dividerar vi polynomet med den faktorn och får = 9. Vi fortsätter med att bestämma alla lösningar till ekvationen 9 = 0, och finner att = ±, d.v.s = ( + )( 9) = ( + )( + )( ). Ekvationen har således lösningarna =, = eller =. 9

13 Övningar 9. Lös ekvationerna: a) + = 0 b) + = 0 c) + = 0 0. Skriv som en produkt av så många reella faktorer som möjligt: a) + 4 b) 6 4. Ange en andragradsekvation med rötterna och.. Ekvationen + p + q = 0 har rötterna r och r. a) Bestäm r + r b) Bestäm r r c) Lägg resultaten på minnet, här har du en bra kontrollmöjlighet. (*) (*). Lös ekvationerna: a) + = 7 b) 8 = 7( ) 4 c) + = 0 d) ( ) = ( + ) ( e) + ) = + f) ( + 5 ) ( + 5 ) = 6 4. För vilka värden på a har ekvationen (a + ) (a 6) + a = 0 två likadana rötter? Lös ekvationen för dessa a. 0

14 Absolutbelopp Absolutbeloppet av ett tal definieras som {, om 0 =, om 0. Absolutbelopet av är alltså alltid positivt, är ju positivt om är negativt. På tallinjen kan talet tolkas som avståndet mellan och 0. På motsvarande vis kan a tolkas som avståndet mellan och a. Eempel 0 Bestäm de som uppfyller likheten =. Vi söker de punkter på tallinjen, vilkas avstånd till talet är. 0 4 Likheten är tydligen uppfylld då = eller =. Övningar 5. Räkna ut a) ( ) 4 + ( ) b) ( ) 4 + ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 6. Bestäm alla som uppfyller villkoren a) 5 = b) 4 = 6 c) < 4 d) + 4 Avståndstolkningen ger dock inte alltid den enklaste lösningsgången. Ofta är det lämpligare att använda sig av definitionen och dela upp i olika fall. Eempel För vilka är + =? Likheten + + = gäller om och endast om = ±. + = ger + = ( ) d.v.s. = 7/ + = ger + = ( ) d.v.s. = 5/4 Svar: = 7/ eller = 5/4.

15 Eempel Lös ekvationen = + 4. Uttrycken innanför beloppstecknen blir 0 då = 0 respektive =. Vi tittar på tre olika fall. 0: För dessa är = och + 4 = + 4, så ekvationen lyder = + 4, d.v.s. = 4. Men vi kommer ihåg att den ekvation vi nyss löste enbart gäller då 0, så vi ignorerar den lösning vi fick fram eftersom 4 < 0. 0: För dessa är = och +4 = +4. så ekvationen lyder = +4 d.v.s. = 4/. Detta tal uppfyller olikheten < 0. : Här är = och +4 = (+4) så ekvationen kan i detta fall skrivas = ( + 4) d.v.s. = 4. Detta är en lösning ty 4. Svar: = 4 eller = 4/. Eempel Lös ekvationen =. Vi tittar på två olika fall, för att kunna eliminera beloppstecknet. {, om 0 d.v.s. om = ( ), om 0 d.v.s. om. : För dessa är = och då lyder ekvationen =. Den ekvationen har de båda lösningarna = ± 7, men av dessa är det endast = + 7 som uppfyller kravet. : Här är = ( ), så ekvationen blir = ( ). Denna har lösningarna = ± 7, varav endast = 7 uppfyller kravet. Svar: = 7 eller = + 7. I eemplet ovan fick vi fram två stycken falska lösningar, d.v.s. två -värden som inte var lösningar till ekvationen. Hur dessa dyker upp kan vi se genom att rita upp kurvorna y = och y =.

16 y y = { y = { y = ( ) y = { y = { y = ( ) När vi delar upp ekvationen i två delar löser vi i tur och ordning de båda ekvationerna = resp = ( ). De streckade förlängningarna av linjerna y = och y = ( ) punkter som ger de falska lösningarna. skär parabeln i de Övningar 7. Bestäm alla som uppfyller a) = + b) = 4 c) = d) = 0 8. Vilka uppfyller följande samband? a) = b) = c) 5 5 = 9 (*) 9. Bestäm alla som uppfyller: a) + + = b) < c) + = d) = e) =

17 4 Olikheter För olikheter gäller följande räknelagar: Om < y så är + a < y + a för varje reellt tal a (7) Om < y så är a < ay om a är positivt (8) Om < y så är a > ay om a är negativt (9) Speciellt visar (8) och (9) att man måste iaktta stor försiktighet vid multiplikation med okända storheter. Eempel 4 För vilka gäller olikheten <? I stället för att multiplicera med (som ju är okänd) samlar vi alla uttryck på en sida (så vi får 0 på andra sidan) och sätter allt på gemensam nämnare och faktoriserar uttrycken: < kan skrivas > 0 d.v.s. ( )( + ) > 0 d.v.s. > 0 ( )( + ) Olikheten löses nu enkelt genom teckenstudium av funktionen f() = f() Olikheten gäller då f() > 0, alltså då < < 0 eller >. Övningar 0. För vilka gäller olikheterna a) + < b) 4 c) ( + )( ) d) > 0 e) + > 0 f) 0 < < (*). För vilka gäller olikheterna a) < < 5 b) 4 < c) > d)

18 5 Potenser och logaritmer Uttrycket a kallas för en potens med basen a och eponenten. Följande räknelagar för potenser förutsätts vara kända (a, b > 0): a a y = a +y a a y = a y (a ) y = a y ( a b) = a b a 0 = (a b) = a b a = a a m n = n a m Om a > 0 är fit och får variera, definierar a en funktion som vi kallar för eponentialfunktionen med basen a. Eponentialfunktionen är strängt väande om a > och strängt avtagande om 0 < a <. Den inversa funktionen till y = a, R kallas för logaritmfunktionen med basen a och skrivs = a log y. Nedan är detta åskådliggjort för a = 4 y y y = - - = log y Likheterna y = a och = a log y är således två olika sätt att uttrycka samma samband mellan talen och y. 5

19 De två vanligaste logaritmerna är y = ln = e log (naturliga logaritmen) som är invers funktion till = e y y = lg = 0 log (0-logaritmen) som är invers funktion till = 0 y För den naturliga logaritmen gäller följande räknelagar: e ln = för alla > 0 ln( y) = ln + ln y om > 0 och y > 0 ln = ln ln y om > 0 och y > 0 y ln y = y ln om > 0 Motsvarande lagar gäller även för 0-logaritmen (och andra logaritmer). Eempel 5 Förenkla 5 /7 7 ( ) 6/ /7 7 ( ) 6/7 5 = 5 /7 5 /7 5 6/7 = 5 /7+/7 6/7 = 5 = 5 5. Eempel 6 Lös ekvationen + = 8. Eftersom = ( ) och + = inför vi en ny variabel t =. Ekvationen lyder då t t = 8 och har lösningarna t = 4 eller t = (kontrollera det). Sätter vi in detta i sambandet t =, så får vi två möjligheter. Antingen är = 4 = d.v.s. = eller också är = vilket är orimligt eftersom > 0. Således har ekvationen endast lösningen =. Övningar. Skissa kurvorna y =, y = 0 respektive y =. Förenkla så långt som möjligt: a) 4 b) ( ) / 7 c) 8 d) 6 0 e) 000 / f) 6 /4 g) 4/ h) 6+y y ( ) i samma figur. 6

20 4. Förenkla: a) lg 0 b) lg 000 c) ln e d) e ln e) lg 0 π 5. Sätt lg = a och lg = b. Uttryck i a och b: a) lg 4 b) lg 6 c) lg 8 6. Skriv aln + bln y + c som en enda logaritm. 7. Lös ekvationerna: a) lg = b) ln = c) = 8. Många fysikaliska förlopp, te radioaktivt sönderfall, brukar beskrivas av ett eponentiellt avtagande av formen y = Ae kt där A och k är positiva konstanter och t är tiden. I dessa sammanhang talar man ofta om halveringstiden d.v.s. den tid det tar för funktionen att avta från begynnelsevärdet till halva detta värde. Betrakta funktionen y = 0e t. Vilken halveringstid har denna funktion? 9. Lös ekvationerna: a) + = 45 b) = c) + 0 / = +5 (*) 40. Förenkla: a) lg 0000 lg 0 + lg(0 000) lg lg lg 0 + lg 0 b) 5 log log 40 c) 4log 4 8log 64 9 log 9log + 7 log 9 d) ln (ln ) e (*) (*) 4. Vilket tal är störst? a) / eller /9 b) ( ) 000 eller 000 ( ) 4. Lös ekvationerna: a) lg lg 7 = b) = 40 c) ( ) + + = 7 d) e e 6 = 0 e) e + 4 e = 4 f) 5 5 = 5 (*) 4. Ljudintensiteten, I, brukar jämföras med enreferensintensitet I 0 genom att man anger ljudintensitetsnivån L = 0 lg I I 0. Den på så sätt beräknade ljudintensitetsnivån sägs vara angiven i decibel, db. a) Hur många decibel ökar L om ljudintensiteten I fördubblas? b) Man önskar sänka intensitetsnivån från 70 till 50 db. Hur mycket måste ljudintensiteten sänkas? 7

21 6 Trigonometri De trigonometriska funktionerna definieras med hjälp av nedanstående figur, så att cos v är -koordinaten och sinv är y-koordinaten för punkten P på enhetscirkeln. sin v y P = (cos v,sin v) O v cos v Vinkeln v räknas positiv moturs från positiva -aeln. Vi mäter vinkeln i radianer, så att ett varv är π radianer (dvs samma mätetal som omkretsen på enhetscirkeln). Övningar 44. Omvandla följande vinklar till radianer: a) 0 b) 90 c) 80 d) 45 e) 0 f) Omvandla följande vinklar till grader: a) π b) π c) 5π 6 d) π 4 e) π f) π 46. Bestäm, med hjälp av Pythagoras sats, kateterna i följande två rätvinkliga trianglar: Bestäm, med hjälp av föregående uppgift: a) sin π 4 b) cos π 4 c) sin π d) cos π e) sin π 6 f) cos π 6 8

22 48. Titta i enhetscirkeln. Uttryck med hjälp av cos v och sin v: a) sin(v + π) b) cos(v + π) c) sin(v + π) d) cos(v + π) e) sin(v + 4π) 49. Bestäm a) sin π 4 b) cos π 4 c) cos 5π 6 d) sin π e) sin 5π Ytterligare ett samband, som man kan se i enhetscirkeln, är trigonometriska ettan Varför är detta sant? sin + cos =. 5. Förenkla sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ. 5. Beräkna a) cos då sin = b) sin då cos = c) cos då sin = d) sin då cos = 5. Betrakta nedanstående figur. v b a) Bestäm sin u, cos u, sin v och cos v b) Vilka av dem är lika? c) Vad råder det för samband mellan u och v? u d) Vilka trigonometriska räknelagar kan man således se i denna figur? 54. Titta på enhetscirkeln igen. Låt Q vara punkten med koordinaterna (cos u,sin u) och P punkten med koordinaterna (cos v,sin v). a) Hur ska u väljas för att P och Q ska få samma -koordinat? b) Hur ska u väljas för att P och Q ska få samma y-koordinat? c) Vad blir sambandet mellan u och v om man vet att cos u = cos v? d) Vad blir sambandet mellan u och v om man vet att sin u = sin v? Ur den föregående uppgiften kan vi sammanfatta: sin = sin y om och endast om a = y + n π eller = (π y) + n π för något heltal n cos = cos y om och endast om = ±y + n π för något heltal n () (0) 9

23 Eempel 7 Lös ekvationen cos = cos. Av sambandet () följer att cos = cos om och endast om = + n π eller = + n π för något heltal n. Det första alternativet ger = n π och det andra ger = n π d.v.s. = n π/ Svar: = n π eller = n π/ för något heltal n. Eempel 8 ( Lös ekvationen sin + π ) ( ) 5π = sin 4 6. Denna ekvation är, enligt samband (0), uppfylld om och endast om + π 4 = 5π 6 + n π eller + π 4 = π ( 5π 6 ) + n π för något heltal n. Det första alternativet ger + π 4 = d.v.s. = d.v.s. = för något heltal n. Alternativ två ger + π 4 π = π d.v.s. = n π 5π 6 + n π 7π + n π 7π 4 + n π ( ) 5π 6 + n π för något heltal n, men eftersom den sista likheten är falsk för alla heltal n, oavsett vad är, saknar denna ekvation lösningar. Svar: = 7π 4 + n π för något heltal n. 0

24 Övningar 55. Bestäm alla lösningar till a) sin v = 0 b) cos v = 0 c) sin v = d) cos v = e) sin v = f) cos v = g) sin v = h) cos v = 56. Lös ekvationerna a) sin = sin b) cos + cos = 0 Några trigonometriska samband: sin(v + π) = sin v och cos(v + π) = cos v () ( π ) sin v = cos v ( π ) och cos v = sin v () sin( v) = sin v och cos( v) = cos v (4) sin + cos = (trigonometriska ettan) (5) cos( + y) = cos cos y sinsin y (6) cos( y) = cos cos y + sinsin y (7) sin( + y) = sin cos y + cos sin y (8) sin( y) = sin cos y cos sin y (9) sin = sin cos (0) cos = cos sin = cos = sin () sin = cos = cos + cos Sambanden () och (5) har vi redan tittat på och räknelagarna () och (4) ser man enkelt i enhetscirkeln. Sambanden (6) (9) är inte lika enkla att se, men om man lyckats visa dessa så följer (0) och () som specialfall med = y. () ()

25 Slutligen fås () och () ur (). Vi tar och tittar på ett bevis av (7). Bevis Titta på nedanstående figur. sin siny d y sin( y) d y y cos cos y cos( y) Vi ser två likadana likbenta trianglar utritade, toppvinkeln hos dem är y. Då måste baserna i dessa trianglar vara lika långa, säg att längden är d. Dessa baser utgör dock hypotenusan i de två rätvinkliga skuggade trianglarna, så med hjälp av Pythagoras sats erhålls sambandet (cos y cos ) + (sin siny) = d = ( cos( y)) + (sin( y)) och om vi utvecklar detta och använder trigonometriska ettan så får vi direkt att cos( y) = cos cos y + sin sin y vilket skulle visas. Övningar 57. a) Hur ser man (), d.v.s. att sin(v + π) = sin v och cos(v + π) = cos v? b) Hur ser man (4), d.v.s. att sin( v) = sin v och cos( v) = cos v?

26 genom att använda samban- c) Visa att sin cos = den () på sidan. och cos = + cos 58. Tangens för en vinkel definieras som tan v = sinv cos v. Bestäm a) tan 0 b) tan π c) tan π 4 d) tan π e) tan π 6 f) tan π 59. Uttryck som funktion av a och α i figurerna nedan. a) a α b) α c) α a a d) a α e) α a f) α a (*) 60. Visa att ( a) sin v + π ) ( = cos v b) cos v + π ) ( = sinv c) tan v + π ) = tan v I uppgift c) förutsätts att v nπ/, där n är heltal (varför?). 6. Utnyttja att π = π π 4 för att beräkna sin π och cos π. (*) 6. Beräkna sin( + y) då sin = 4, sin y = [0, π ]. och både och y ligger i intervallet (*) 6. Visa att a) + tan = cos b) tan(v + π) = tan v.

27 7 Geometri Räta linjer i planet Vi förutsätter hela tiden att vi har ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem, och att det är känt hur lägen i planet kan beskrivas m.h.a. koordinater. Nedan följer ett eempel. y (, ) (, ) (, ) Nu ska vi titta på hur man beskriver linjer m.h.a. ekvationer. Ekvationerna kommer att ha formen a + by = c, där a, b och c är konstanter. Innebörden av ekvationen är att en punkt ligger på linjen om och endast om dess koordinater (,y) uppfyller linjens ekvation. Eempel 9 Linjen i figuren nedan har ekvationen + y = (, ) y (, ) + y = (4, ) Vi ser t.e. att punkten (,) ligger på linjen, ty med =, y = får vi att + y = + = d.v.s. punkten (, ) uppfyller linjens ekvation. Kontrollera själv att (4,) ligger på linjen, men att (,) inte gör det. Det enklaste sättet att beskriva en linje är kanske att ange en punkt ( 0,y 0 ) på linjen och en riktningskoefficient k. 4

28 y ( 0, y 0 ) v k Ur figuren framgår att k = tan v, förutsatt att inte linjen är lodrät. Vinkeln v kallas linjens riktningsvinkel, och införs moturs från positiva -aeln. I bilden ovan är vinkeln spetsig och därmed är k > 0. För trubbig riktningsvinkel fås k < 0. Vi utesluter i fortsättningen lodräta linjer. Vi låter nu ( 0,y 0 ) vara en fi punkt på linjen och (,y) ( 0,y 0 ) en godtycklig punkt. Då följer av figuren nedan att (,y) ligger på linjen om och endast om y y 0 = k. 0 y ( 0, y 0 ) (, y) 0 y y 0 v k Multiplicerar vi slutligen upp nämnaren så får vi linjens ekvation på enpunktsform: y y 0 = k( 0 ) Observera att även punkten ( 0,y 0 ) uppfyller den inramade ekvationen, så denna ekvation beskriver samtliga punkter som ligger på linjen. Eempel 0 Bestäm ekvationen för den linje som har riktningsvinkeln π som går genom punkten (,). Var skär linjen y-aeln? Lutningen är k = tan π = och den givna punkten ( 0,y 0 ) = (,), så enpunktformen ger linjens ekvation som y = ( ), d.v.s. y = +. 5 och

29 Efter den sista överflyttningen fick vi linjens ekvation på formen y = k + m. Vad k betyder vet vi redan, det är linjens lutning. Betydelsen av m ser vi om vi sätter in = 0. Vi finner att då = 0, så blir y = m, d.v.s. talet m anger y-koordinaten för den punkt där linjen skär y-aeln. y (, ) π/ Linjen i eemplet har således ekvationen y = + och den skär y-aeln i y =. Observera att m ger linjens skärning med y-aeln, så m anger alltså hur högt upp linjen ligger. Om vi behåller samma k men ökar värdet på m, så får vi därför en ny linje, med samma lutning, men högre upp. Vår ursprungliga linje har parallellförflyttats. y y = k + m, m > m y = k + m I linjär algebra kommer du att bl.a. studera linjära ekvationssystem. Då ekvationssystemet har två obekanta variabler, kan det tolkas geometriskt; man skär linjer med varandra. På motsvarande sätt kan ekvationssystem med tre obekanta tolkas som skärningen mellan plan i rummet. 6

30 Eempel Bestäm de punkterna som ligger både på linjen + y = och på linjen + y =. Vi ska alltså bestämma de punkter vilkas koordinater (, y) uppfyller båda ekvationerna. Vi löser ut ur den första ekvationen, = y, och sätter in i den andra. Då får vi ( y) + y = d.v.s. y =. Sätter vi sedan in detta i den första ekvationen så fås =. Således har vi funnit att linjerna har en gemensam punkt med koordinater (, ). För att se att vi räknat rätt, prövar vi svaret. Vi sätter in =, y = i båda ekvationerna (gör det) och kontrollerar att höger- och vänsterled blir lika. Dessutom kan vi grafiskt se att resultatet är rimligt, genom att rita de båda linjerna: y + y = + y = Ur figuren framgår tydligt att linjerna har en gemensam punkt och de uträknade koordinaterna förefaller stämma med skärningspunktens. Linjens normal En linje som skär en given rät linje L under rät vinkel kallas en normal till L. y normal v v L v + π/ 7

31 Om linjen L har riktningsvinkel v, kommer riktningskoefficienten att vara k = tan v. En normal till L har då riktningsvinkel v + π/ och riktningskoefficient k n = tan(v + π/). Av övning 60 på sidan framgår dock att tan(v + π/) = tan v, och således är k n = k (förutsatt att L ej är vågrät eller lodrät). Eempel Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten (5,) och är normal till linjen L : + y = 7. Linjen L kan skrivas y = 7, d.v.s. den har riktningskoefficient k =. Den sökta normalen har då riktningskoefficient k n = = och går genom punkten k (5,). Normalens ekvation är därför y = ( 5) d.v.s. y =. Övningar 64. Ange ekvationen för linjen som går genom punkten med koordinater (,) och som har riktningsvinkeln a) π/6 b) π/ + π/6 c) π/ π/6 d) π π/6 65. Ange riktningskoefficient och riktningsvinkel för linjen a) y = + b) + y = c) + y = d) y = 7 e) + y = 66. Bestäm, för linjerna i uppgift 65, deras skärning med - och y-alarna. Använd detta för att rita in dem i ett koordinatsystem. 67. Bestäm ekvationen för räta linjen genom punkterna (, ) och (, ), t.e. genom att först bestämma linjens riktningskoefficient. Bestäm därpå linjens skärning med koordinatalarna och verifiera resultatet i figur. 68. Visa att punkterna (,), (4, ) och (,6) ligger i rät linje. Verifiera i figur. 69. I följande deluppgifter ges ekvationerna för två räta linjer. Bestäm linjernas skärningspunkt, dels grafiskt, dels algebraiskt. Bestäm även linjernas skärningsvinkel, t.e. genom att relatera denna till de båda riktningsvinklarna (rita figur). a) { y = 6 + y = b) { + y = y = 0 c) { + y = + y = d) { + y = + y = Bestäm ekvationen för den räta linje som skär linjen + y = på y-aeln, under rät vinkel. (*) 7. Beräkna vinkelräta avståndet från origo till räta linjerna a) + y = 6 b) + y = 6 c) + y = p t.e. genom att bestämma skärningen med koordinatalarna och räkna ut en triangelarea på två sätt. 8

32 Avståndsformeln och cirkelns ekvation Betrakta två punkter (,y) och ( 0,y 0 ). Avståndet mellan dem är d = 0 + y y o = ( 0 ) + (y y o ) vilket är en omedelbar följd av Pythagoras sats. y (, y) ( 0, y 0 ) 0 y y 0 En cirkel består av alla punkter (,y) på ett visst givet avstånd r > 0 från medelpunkten ( 0,y 0 ). Punkten (,y) ligger alltså på cirkeln om och endast om ( 0 ) + (y y o ) = r. Eftersom båda leden är positiva är detta samband ekvivalent med det samband vi får om vi kvadrerar båda led. Vi har således fått fram följande. Cirkeln kring punkten ( 0,y 0 ), med radie r > 0, har ekvationen ( 0 ) + (y y o ) = r. Om vi utvecklar kvadraterna, får ekvationen följande form: eller, omskrivet, Formen hos uttrycket är följande: y y 0 y + y 0 = r 0 + y y 0 y = r 0 y 0. Vänsterledet innehåller kvadrattermer och y samt linjära termer A och By, där A och B är konstanter (A = 0, B = y 0 ). Däremot finns inga blandade termer med, dvs inga y-termer. Högerledet är konstant C (där C = r 0 y 0). Varje ekvation av denna form, dvs + A + y + By = C beskriver antingen en cirkel, en punkt eller ingenting, beroende på hur konstanterna A, B och C ser ut, vilket vi ser i följande eempel. Eempel Beskriv geometriskt följande mängder: a) + y + 4y + = 0 b) + y + 4y + 5 = 0 c) + y + 4y + 6 = 0. 9

33 a) Kvadratkomplettering ger d.v.s. ( ) + (y + ) + = 0 ( ) + (y + ) = vilket beskriver en cirkel med radie kring punkten (, ). b) Motsvarande kalkyl som ovan ger ( ) + (y + ) = 0 vilket är uppfyllt endast för punkten (,y) = (, ). c) På samma vis fås, efter kvadratkomplettering, sambandet ( ) + (y + ) = vilket är en orimlighet eftersom vänsterledet ej kan bli negativt. Det finns inga punkter som uppfyller sambandet. Övningar 7. Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (,4) och radie 5. Rita figur. En speciell punkt bör framgå direkt ur din figur. Kontrollera den i ekvationen. 7. Tolka ekvationerna a) + + y 6y = 6 b) + + y 6y =. c) Ange det tal k för vilket ekvationen ++y 6y = k uppfylls av en enda punkt. 74. a) Teckna villkoret för att en punkt (,y) ska ha samma avstånd till punkten (,) som till punkten (,4). Kvadrera villkoret b) Kvadrera villkoret och härled en ekvation som du sedan tolkar och åskådliggör i en figur. 0

34 8 Derivator Vi betraktar problemet att bestämma tangenten till grafen för en funktion f i en given punkt 0. y f( 0 + h) f( 0 ) h För att finna tangenten i punkten ( 0,f( 0 )), approimerar vi denna med en sekant genom punkterna ( 0,f( 0 )) och ( 0 + h,f( 0 + h)), där 0 + h ligger nära 0. Riktningskoefficienten för denna sekant är f( 0 + h) f( 0 ) = f( 0 + h) f( 0 ). ( 0 + h) 0 h Om vi låter h vara nära noll, kommer sekanten att vara en god approimation av tangenten. Vi får tangentens riktningskoefficient som gränsvärdet av f( 0 + h) f( 0 ) h då h går mot noll (om gränsvärdet eisterar). Detta gränsvärde kallas för derivatan av funktionen f i punkten 0 och betecknas f ( 0 ). Eempel 4 Bestäm derivatan av f() =. f( + h) f() = ( + h) = + h + h + h = + h + h. h h h Då vi låter h 0 kommer detta uttryck att närma sig, d.v.s. f () =.

35 Räknelagar för derivator: Om a och b är konstanter och f och g är deriverbara så är d d (a f() + b g()) = a f () + b g () (4) d d (f()g()) = f ()g() + f()g () (5) d d f() g() Derivata av sammansatt funktion. = f ()g() f()g () (g()) om g() 0 (6) Antag att z = f(y) och y = g(). Om y elimineras får vi att z = f (g()) = h() är en funktion av som är sammansatt av f och g. Antag att g är deriverbar i punkten och att f är deriverbar i punkten y = g(). Då är h deriverbar i och det gäller att: h () = f (y) g () = f (g()) g () (7) Derivator av några elementära funktioner d sin = cos (8) d d cos = sin (9) d d d tan = cos = + tan (0) d d α = α α () d d ln = () d d e = e () Eempel 5 Funktionen h() = ln ( + ) kan vi se som sammansättningen av funktionerna f och g, h() = f (g()), där f(y) = ln y och g() = +. Eftersom f (y) = y och g () =, följer då enligt räknelag (7) att h () = f (y) g () = y = +. Övningar 75. Beräkna derivatan av a) 7 b) c) 4 + d) e) e f) + g) sin cos h) ln sin

36 76. Derivera och förenkla så långt som möjligt: a) sin( + π) b) ln c) cos d) ln e) f) e + g) e ln h) i) sin (*) 77. Funktionen f:s graf är ritad i nedanstående figur. Hur ser derivatans graf ut? Skissera den. y 4 5

37 (*) 9 Binomialutveckling. Vi har nu bl.a. tagit upp kvadreringsregeln (a + b) = a + ab + b. Det är även lätt att genom direkt uträkning visa att (a + b) = a + a b + ab + b. Observera att termerna i högerledet innehåller fallande potenser av a och stigande potenser av b och att eponentsumman alltid är. Nu vore det trevligt om man på ett enkelt sätt kunde skriva upp en motsvarande regel för utveckling av (a + b) n, där n är ett godtyckligt positivt heltal. För detta behövs dock några förberedelser. Vi definierar n! som { n! = n, om n är ett positivt heltal 0! =. Talet n! kallas n-fakultet och betyder således produkten av de n första positiva heltalen, om n är ett positivt heltal. Uttrycket ovan måste tolkas med viss försiktighet, det är inte säkert att alla talen i början av högerledet skall vara med. Eempelvis är! = och ingenting annat. En tolkning av n! är antalet sätt på vilket man kan ordna n stycken objekt. Vi kan direkt observera en räknelag för fakulteter: (n + )! = (n + ) n! (4) då n är ett positivt tal. En av anledningarna till att låta 0! = är att då blir (4) uppfylld även för n = 0. Vidare definierar vi n över k som ( ) n n! = k k!(n k)!. Om vi stryker en massa gemensamma faktorer i täljare och nämnare får vi sambandet ( ) n n (n ) (n (k )) =. k k! Eempel 6 ( ) 8 = 8!! 5! = = = 56. ( ) n En tolkning av talen, som även kallas binomialkoefficienter, är antalet sätt på vilket k man bland n stycken saker kan plocka ut k stycken (om man ej bryr sig om i vilken ordning man valt dem). Du kan gärna försöka övertyga sig om att så är fallet genom att till eempel låta n =,4 eller 5 och låta k variera mellan 0 och n. 4

38 Eempel 7 På hur många olika sätt kan man välja ut två stycken olika heltal mellan och 0? Först väljer vi ett tal, vilket kan göras på 0 sätt. Därefter väljs det andra talet, vilket kan göras på 9 sätt. Totala antalet möjligheter blir således 0 9. Då har vi dock fått med samma uppsättningar dubbla gånger; vi har t.e. fått med både {,8} och {8,}. Om vi ej bryr oss om i vilken ordning vi valt talen, blir totala antalet möjligheter 0 9 = ( 0 ). Om vi går tillbaka till utvecklingen av (a + b) = (a + b)(a + b)(a + b) så ser vi att vi ur varje parentes skall välja ut antingen ett a eller ett b. ( Termer ) av typen a fås genom att välja b ur 0 stycken parenteser och detta kan göras på sätt. Termer av 0 ( ) typen a b fås genom att välja ut b ur en av parenteserna, vilket kan göras på sätt och så vidare. Med detta resonemang fås att ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a + a b + ab + b 0 På motsvarande sätt får man det allmänna binomialteoremet: ( ) ( ) ( n n n (a + b) n = a n + a n b k ) a n k b k + + Binomialkoefficienterna skrivs ofta upp i ett schema som kallas Pascals triangel. ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) n b n. (5) n Denna triangel gömmer många intressanta samband. Varje tal inne i triangeln är t.e. summan av de två tal som står närmast ovanför, vilket gör att det är väldigt enkelt att skriva upp triangeln på en enklare form. 5

39 Likaså ser man att Pascals triangel är symmetrisk, vilket resulterar i räknelagen ( ) ( ) n n =. (6) k n k Övningar 78. Beräkna 0!,!,!,..., 6!. 79. Beräkna ( ) 7 a) b) ( ) 5 c) ( ) 5 d) ( ) e) ( ) a) Utveckla (a + b) och ( + y) 4. b) Jämför svaren med Pascals triangel. Vad blir (a + b) 5? Utveckla och kontrollera. c) Utveckla (a + b) 4 och ( y) Linus har råkat i penningbekymmer, hans studiemedel är nästan slut. På natten innan lördagen uppenbarar sig dock i Linus dröm sju tal mellan och 5. När Linus vaknar är han övertygad om att de tal han drömt om är denna lördags lottorad. Glad i hågen rusar Linus till närmaste On-Line-inlämning och lämnar in en kupong med två identiska rader (han måste tippa minst två rader och vill inte lämna in någon rad som ej ger högsta vinsten). Hur stor är sannolikheten att Linus vinner högsta vinsten, så att han kan leva på något annat än vatten och bröd tills nästa utbetalning av studiemedel sker? 6

40 Facit. a) 7 b) 5/6 c) /7 d) 5/ e) 7 f) 9 g) 8 h) 0. a) 4b5 a b) 8a b 6 c) d). a) a + ab + b b) a ab + b c) 9a 0ab + 5b d) a b e) a + a b + ab + b f) a a b + ab b g) + y h) y 4. a) (a b)(a + b) b) (5 + y)(5 y) c) (5 y) d) ( + )( + ) e) (4 + )(4 ) f) ( y) g) ( )( + ) 5. a) 5 + b) + 6. a) b) 4rs c) + 5 e) a + b a b 7. y = ab a + b d) (a,b 0, a b) f) a a + b (a b) och av detta kan vi se att y < a och y < b. 8. a) a + b + c + ab + ac + bc b) a + 4b + 9c 4ab 6ac + bc c) a + b + c + a b + ab + a c + ac + b c + bc + 6abc 9. a) 6 y 6 b) 7 + y 7 0. a) ( )(9 + + ) b) 5(5 y) c) ( y)( + y)( + 4y ) d) ( ) ( + ) e) ( y)( + y)( y + y )( + y + y ). a) b a (b 0, a b) b) a + a (a,, ) c) 4 d). a) + 5 b) + + (,0,) c) a) Kvot och rest b) Kvot + + och rest 0 c) Kvot och rest 08 d) P() =, P() = 0 och P( ) = 08. e) Utgå från sambandet (6) på sidan 4, multiplicera båda led med nämnaren q() = a och sätt in ett listigt valt -värde. 7

41 5. a) 0 b) 00 + c) a) = b) = c) = 9 d) = 7. a) = 0 eller = 6/5 b) = eller = c) = 4 eller = d) = / eller = /7 e) = eller = 4 f) = 8. a) = 4 eller = b) = a eller = b c) = ± 5 9. a) = eller = ± 5 0. a) ( + 4)( ) b) ( )( + ) = 0 är väl den enklaste. a) p b) q b) =, eller c) =. a) = ± eller = ±/ b) =, eller c) = d) = 4 e) = ± eller = ± 5 f) =,, eller 4 4. a = 4 ger = /, a = 4 ger = 5 5. a) b) 4 c) 8/9 d) 8/9 6. a) = eller = 8 b) = 5 eller = c) < < 7 d) 6 eller 7. a) = b) = eller = 7 c) alla 0 d) lösning saknas 8. a) = 4 b) = 6 eller = 9/ c) =, 4, 7 eller = 9. a) = 0 eller = 4/ b) < < eller < < c) = d) = ± eller = ±4 e) = 6 eller = 4 0. a) < b) eller c) 5 < / eller d) 5 e) 0 < < eller > f) < < eller < < 4. a) < < eller < < 4 b) 6 < < eller < < 6 c) < / eller 0 < < d) / < / eller <. Låt din miniräknare rita kurvorna, och titta om det ser likadant ut som i dina figurer. a) b) c) d) 7648 e) 0 f) 8 g) / h) y 4. a) b) c) / d) e) π 8

42 5. a) a b) a + b c) a 6. ln (e c a y b) 7. a) = 0 = /0 b) = e / c) = ln ln = log 8. t = ln. 9. a) = b) = 0 eller = c) = 40. a) 4/ b) c) d) 0 4. a) /9 (ty / = 8 /9 och /9 = 9 /9 ) b) 000 ( ) 4. a) = 4900 b) = c) = eller = ln ln = log d) = ln e) = ln f) = ln ln 5 = 5 log 4. a) 0 lg db b) Intensiteten måste minskas till en hundradel av ursprungsvärdet 44. a) 0 b) π c) π d) π 4 e) π 6 f) π 45. a) 60 b) 0 c) 50 d) 45 e) 70 f) Den vänstra figuren har kateterna Den högra figuren har kateterna respektive 47. a) b) c) d) e) 48. a) sin v b) cos v c) sin v d) cos v e) sin v f) 49. a) b) c) 50. Detta följer av Pythagoras sats d) e) a) 0 b) ± c) ± d) Detta går ej, ty cos = saknar lösning 5. a) sin u = b, cos u = a, sinv = a, cos v = b b) sin u = cos v och cos u = sin v c) u = π v och v = π ( u π ) ( π ) d) cos v = sin v och sinv = cos v 9

43 54. a) u = v + n π eller u = v + n π (där n är ett heltal) b) u = v + n π eller u = π v + n π (där n är ett heltal) c) samma svar som i a) d) samma svar som i b) 55. a) v = nπ b) v = π + nπ c) v = π + n π d) v = n π e) v = π 6 + n π eller v = 5π 6 + n π f) v = π + n π eller v = π + n π g) v = π 4 + n π eller v = π 4 + n π h) v = π 4 + n π eller v = π 4 + n π 56. a) = nπ eller = π + nπ b) = π + nπ eller = π + n π 57. a) Vad händer om man roterar vinkeln ett halvt varv? b) Vad händer om man roterar vinkeln v medurs istället för moturs? 58. a) 0 b) 0 c) d) e) 59. a) = asin α b) = atan α c) = a/tan α d) = acos α e) = a/cos α f) = a/sin α. 6. sin π = cos π = f) eisterar ej 6. a) Sätt vänsterledet på gemensam nämnare och använd trigonometriska ettan b) Använd definitionen av tan(v + π) och resultatet i uppgift a) y = ( ) b) y = ( ) c) y = ( ) d) y = ( ) 65. a) k =, v = π/4 b) k =, v = π/4 c) k =, v = π/4 d) k = /, v = π/6 e) k =, v = π/ 66. Linjerna skär - och y-alarna i punkterna a) (, 0) och (0, ) b) (, 0) och (0, ) c) ( /, 0) och (0, /) d) (7,0) och (0, 7/ ) e) ( /,0) och (0, ) 40

44 67. y = 5 skär koordinatalarna i punkterna (5/, 0) och (0, 5) 68. Bestäm linjen som innehåller de båda första punkterna och kontrollera att den tredje ligger på linjen. 69. a) Skärningspunkt (5/, /), skärningsvinkel π/4 π/4 = π/ b) Skärningspunkt (/( + ),/( + )), skärningsvinkel 5π/6 π/4 = 7π/ c) Linjerna har inga gemensamma punkter (de är parallella) d) Linjerna sammanfaller (ekvationerna uttrycker samma linje), skärningsvinkel y = / 7. a) 6/ b) 6/ c) p / 7. ( + (y 4) = 5 7. a) En cirkel med radie 4 kring punkten (,). b) Det finns inga punkter (,y) som uppfyller ekvationen. c) k = a) ( ) + (y ) = ( + ) + (y 4) b) y + 5 = 0, mittpunktsnormalen till sträckan mellan (,) och (,4). 75. a) 0 b) + 0 c) + 4 d) f) 76. a) cos b) f) ( + )e + g) (cos sin ) = cos h) g) c) cos sin d) ln e) sin e) ( + )e cos ln sin h) 4 /4 i) sin cos 77. y 4 5 4

45 78.,,, 6, 4, 0, a) b) 0 c) 0 d) ( ) = 78 e) ( ) 000 = a) a + a b + ab + b respektive y + 6 y + 4y + y 4 b) a 5 + 5a 4 b + 0a b + 0a b + 5ab 4 + b 5 c) 6a 4 + a b + 4a b + 8ab + b 4 respektive 6 4 y + 4 y 8y + y 4 ( ) 5 8. Antal olika lottorader är, så chansen är ( 7 5 ) =

46 Svar till diagnostiskt prov. = a b a + b 4. = eller = = eller = 5 6. < < 7. a 7 8. Funktionens största värde är f( ) = 5 och minsta värdet är f() =. y 9. Figur E 0. f () = + ( + ) e.. cos v =. = π 6 + nπ eller = 5π 6 + nπ för något heltal n 4

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar 1 Tisdag v 2 Speglingar, translationer och skalningar Ofta i matematik och i matematiska kurser är det så att man måste kunna några grundläggande exempel utantill och man måste kunna några regler som säger

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 15 augusti 015 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0 x

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Proppteori Komplement till propplektionerna

Proppteori Komplement till propplektionerna Innehåll Proppteori Komplement till propplektionerna Petter Helgesson 3 juli 0 0 Kära recce! 7 Uttryck 8 Ekvationer 8.0. Exempel: Lös ekvationen 4x = 6.......... 8. Andragradsekvationer.......................

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Kvalificeringstävling den 26 september 2017

Kvalificeringstävling den 26 september 2017 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 6 september 017 1. Bestäm alla reella tal x, y, z som uppfyller ekvationerna x + = y y + = z z + = x Lösning 1. Addera

Läs mer

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux

Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvux Studieanvisning till Matematik 3000 kurs C/Komvu ISBN 91-27-51027-1 Förord Vår ambition med denna studiehandledning är att den skall guida dig genom boken Matematik 3000 kurs C/Komvu av Lars-Eric Björk,

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 30 augusti 01 Innehåll 3 Geometri och trigonometri 8 3.1 Euklidisk geometri........................... 8 3.1.1 Kongruens och likformighet..................

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Matematik Uppnående mål för år 6

Matematik Uppnående mål för år 6 Matematik Uppnående mål för år 6 Allmänt: Eleven ska kunna förstå, lösa samt redovisa problem med konkret innehåll inom varje avsnitt. Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...

Komplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,... Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal

Läs mer

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter Johan Thim 2 augusti 2016 1 Absolutbelopp Absolutbelopp Definition. För varje reellt x definieras absolutbeloppet x enligt { x, x 0

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra

Matematik 1B. Taluppfattning, aritmetik och algebra Matematik 1a Centralt innehåll Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur

lena Alfredsson kajsa bråting patrik erixon hans heikne Matematik kurs 3c blå lärobok natur & kultur lena Alfredsson kajsa bråting patrik erion hans heikne Matematik 5000 kurs c blå lärobok natur & kultur NATUR & KULTUR Bo 7, 0 5 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-5 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-5 86

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer