MATEMATISK FORMELSAMLING

Transkript

1 Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik (DMA) Avdelningen för kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 4

2 Innehåll Notation, mängdlära och logik Algebra Komplexa tal Punkter, vektorer och plan i rummet Geometri Trigonometri Några standardgränsvärden Derivator Integraler Differentialekvationer Dubbel- och trippelintegraler Vektoranalys Matematisk statistik i

3 Notation, mängdlära och logik Mängder och tal tomma mängden, { } Z mängden av heltal, {...,,, 0,,,...} Z + mängden av positiva heltal, {,,,...} Z mängden av negativa heltal, {...,,, } N mängden av naturliga tal, {0,,,...} {x Z : P } mängden av alla x i Z som uppfyller egenskapen P {x Z P } samma som {x Z : P } Q mängden av rationella tal, {p/q : p, q Z, q 0} R mängden av reella tal R + mängden av positiva reella tal, {x R : x > 0} R mängden av negativa reella tal, {x R : x < 0} [a, b] det slutna intervallet från a till b, {x R : a x b} ]a, b[ det öppna intervallet från a till b, {x R : a < x < b} (a, b) samma som ]a, b[ C mängden av komplexa tal, {a + ib : a, b R} De positiva primtalen 00,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47, 5, 59, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, 97 Symboler från mängdlära A = B A är lika med B A B A är inte lika med B a A elementet a finns i mängden A a A elementet a finns inte i mängden A A B unionen av mängderna A och B, {x : x A eller x B} A B snittet av mängderna A och B, {x : x A och x B} A B skillnaden mellan mängderna A och B, dvs {x A : x B} A \ B samma som A B B den komplementära mängden till B, det vill säga om B är en delmängd till den universella mängden U så är B = {x U : x B} B c samma som B A B A är en delmängd till B, x A x B A B A är en äkta delmängd till B, dvs A B och A B A B den kartesiska produkten av mängderna A och B, dvs mängden av alla ordnade par (a, b) sådana att a A och b B P(A) potensmängden till A, dvs mängden av alla delmängder till A

4 Viktiga likheter inom mängdlära Associativa lagar: (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Kommutativa lagar: A B = B A A B = B A Distributiva lagar: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) De Morgans lagar: A B = A B A B = A B Logiska symboler p icke p p q p eller q p q p och q p q p implicerar/medför q p q p är ekvivalent med q Viktiga ekvivalenser inom logik Associativa lagar: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Kommutativa lagar: p q q p p q q p Distributiva lagar: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) De Morgans lagar: (p q) p q (p q) p q Logiska ekvivalenser för bevisföring Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa p q och q p Att bevisa p q är ekvivalent med att bevisa q p

5 Algebra Symboler för relationer mellan tal a = b a är lika med b a b a är inte lika med b a < b a är (strikt) mindre än b a > b a är (strikt) större än b a b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b a b heltalet a delar heltalet b Viktiga likheter för aritmetik Associativa lagar: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) Kommutativa lagar: a + b = b + a, ab = ba Distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac Lagen om nolldelare: Om ab = 0 så är a = 0 eller b = 0 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab + b (a + b)(a b) = a b Kubregler (a + b) = a + a b + ab + b (a b) = a a b + ab b Summor av kuber a + b = (a + b)(a ab + b ) a b = (a b)(a + ab + b ) Andragradspolynom Ekvationen x + px + q = 0 har rötterna x = p p + 4 q och x = p p 4 q där x + x = p och x x = q

6 Absolutbelopp x = { x om x 0 x om x < 0 Kvadratrötter a b = ab a 0, b 0 a a = b b a 0, b > 0 a b = a b b 0 Potenser x, y, a, b, reella tal a, b > 0, och n ett positivt heltal a x a y = a x+y a x b x = (ab) x a x a = ( ) y ax y a x y = a xy a x ( a ) x b = x b a x = a x a 0 = a n = n a Logaritmer För positiva reella tal x, y, a, b, där a, b gäller log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x p = p log a x log a x = log b x log b a lg xy = lg x + lg y lg x y = lg x lg y lg x p = p lg x lg x = ln x ln 0 där a y = x y = log a x 0 y = x y = lg x e y = x y = ln x log 0 skrivs oftast lg log e skrivs oftast ln 4

7 Några summationsformler n r = r= n r = r= n r= n r=0 n(n + ) n(n + )(n + ) 6 r = n (n + ) 4 x r = xn+, där det reella talet x x Binomialsatsen där n är ett positivt heltal, (a + b) n = ( ) n = r n r=0 ( ) n a r b n r r n!, n! = n(n ) och 0! =. r!(n r)! 5

8 Komplexa tal Definition Ett komplext tal z kan skrivas z = a + ib där a och b är reella tal och i är ett tal som uppfyller i =. Talen z = a + ib och z = a ib kallas konjugerade. Belopp Beloppet z av z = a + ib är z = r = a + b Polär form z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ, där r = z och ϕ = arg(z) De Moivre z n = r n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ) = r n e inϕ Multiplikationsregler Om z = r e iϕ och z = r e iϕ så är z z = r r e i(ϕ +ϕ ) z = r e i(ϕ ϕ ) z r 6

9 4 Punkter, vektorer och plan i rummet Avståndet mellan punkterna (x, y, z ) och (x, y, z ) x x + y y + z z Avståndet från punkten (x, y, z ) till planet ax + by + cz = d ax + by + cz d a + b + c Normen (längden) av vektorn a = (a, a, a ) a = a + a + a Skalärprodukten av vektorerna a = (a, a, a ) och b = (b, b, b ) där α är vinkeln mellan a och b. a b = a b + a b + a b = a b cos α, Projektion av vektorn u på vektorn a proj a u = u a a a Cauchy Schwarz olikhet u v u v 7

10 5 Geometri Cirkel r cirkelns radie, A area, O omkrets A = πr O = πr Pyramid B bottenarea, h höjd, V volym V = Bh Rak cirkulär cylinder r radie, h höjd, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrh V = πr h Rak cirkulär kon r radie, h höjd, s sida, S mantelarea (ytarea), V volym S = πrs V = πr h Sfär r radie, S mantelarea (ytarea), V volym S = 4πr V = 4πr 8

11 6 Trigonometri Rätvinklig triangel c b ϕ a sin ϕ = b c cos ϕ = a c tan ϕ = b a Enhetscirkeln (x P, y P ) P ϕ { xp = cos ϕ y P = sin ϕ tan ϕ = sin ϕ cos ϕ cot ϕ = cos ϕ sin ϕ 9

12 γ b a α c β Areasatsen för triangeln area = bc sin α Sinussatsen sin α a = sin β b = sin γ c Cosinussatsen a = b + c bc cos α Additionsreglerna sin(ϕ + ψ) = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin(ϕ ψ) = sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos(ϕ ψ) = cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ Trigonometriska ettan sin ϕ + cos ϕ = Formlerna för dubbla vinkeln sin(ϕ) = sin ϕ cos ϕ cos(ϕ) = cos ϕ sin ϕ = cos ϕ = sin ϕ Uttryck på formen a sin x + b cos x a sin x + b cos x = r sin(x + y) där r = a + b, cos y = a r och sin y = b r 0

13 Några exakta värden för trigonometriska funktioner Vinkel ϕ grader radianer sin ϕ cos ϕ tan ϕ π/6 / / / 45 π/4 60 π/ / / / / 90 π/ 0 ej def. 0 π/ 5 π/4 / / / / 50 5π/6 / / / 80 π π/6 / / / 5 5π/4 / / 40 4π/ / / 70 π/ 0 ej def. 00 5π/ / / 5 7π/4 / / 0 π/6 / / / 60 π 0 0

14 7 Några standardgränsvärden lim x ± x = 0, lim x 0± x = ± sin x lim x 0 x cos x =, lim x 0 x = 0 ( lim + x x = e, lim x x) n x e = 0 x e x lim x 0 x ln x lim x x = 0 =, lim x 0 ln( + x) x =

15 8 Derivator Definition f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h = lim x a f(x) f(a) x a Derivator av några funktioner Funktion Derivata x a ax a e x e x e kx ke kx a x, a > 0 x ln x log a x sin x a x ln a x x x ln a cos x cos x tan x arctan x arcsin x sin x cos x = + tan x + x x

16 Produktregeln ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Kvotregeln ( ) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) ( ) g(x) g(x) Kedjeregeln h(x) = f ( g(x) ) h (x) = f ( g(x) ) g (x) Derivata av invers funktion d dx f (x) = f ( f (x) ) Taylors formel f(x) = f(a) + f (a)! (x a) + f (a)! för något tal ξ mellan x och a. (x a) + + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+) (ξ) (x a)n+ (n + )! 4

17 9 Integraler Primitiva funktioner Funktion Primitiv funktion x a a + xa+ + c, a e x x sin(x) e x + c ln x + c cos(x) + c cos(x) cos (x) sin (x) x sin(x) + c tan(x) + c cot(x) + c arcsin(x) + c + x arctan(x) + c Partiell integration f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx Rotationsvolymer Rotation kring x -axeln: Rotation kring y -axeln: V = π V = π b a b a ( f(x) ) dx xf(x) dx 5

18 Båglängd s = s = b a b a (x (t) ) + ( y (t) ) dt x = x(t), y = y(t) + ( f (x) ) dx y = f(x) 6

19 0 Differentialekvationer Första ordningens linjära differentialekvationer Integrerande faktor till y + g(x)y = h(x) är e G(x), där G(x) = g(x) dx. Andra ordningens homogena linjära differentialekvationer Differentialekvationen y + ay + by = 0, där a och b är konstanter har lösningar som ges av: y = Ae r x + Be r x om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r r ; y = (Ax + B)e rx y = e αx( A cos(βx) + B sin(βx) ) om rötterna r och r till karaktäristiska ekvationen är reella och r = r = r; om rötterna r = α+βi och r = α βi till karaktäristiska ekvationen inte är reella. 7

20 Dubbel- och trippelintegraler Dubbelintegraler över y -enkla områden För det begränsade området D givet genom a x b och f (x) y f + (x) b f+ (x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx D a f (x) Variabelbyte i dubbelintegraler För en bijektiv transformation x = x(u, v) y = y(u, v) från ett område S i uv -planet till ett område D i xy -plane f(x, y) dx dy = f ( x(u, v), y(u, v) ) (x, y) (u, v) du dv där D S (x, y) (u, v) = det ( x u y u x v y v ). Polära koordinater x = r cos(θ) y = y sin(θ) dx dy = r dr dθ Cylindriska koordinater x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z dx dy dz = r dr dθ dz Sfäriska koordinater x = ρ sin(φ) cos(θ) y = ρ sin(φ) sin(θ) z = ρ cos(φ) dx dy dz = ρ sin(φ) dρ dφ dθ 8

21 Vektoranalys i = ( 0 ) ( 0, j = ) i R, och i = 0 0, j = 0 0, k = 0 0 i R Linjeintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k C C f ds = b a a f ( r(t) ) dr dt (t) dt ( F dr = F (x, y, z) dx + F (x, y, z) dy + F (x, y, z) dz ) C b ( ( )dx = F x(t), y(t), z(t) dt (t) + F ( )dy x(t), y(t), z(t) dt (t) = b a +F ( x(t), y(t), z(t) )dz dt (t) F ( r(t) ) dr (t) dt dt ) dt där r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, a t b, är en parametrisering av kurvan C. Ytintegraler För en funktion f(x, y, z) och ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k f ds = f ( r(t) ) r u r v du dv S S D F ds = ± F ( r(u, v) ) ( r D u r ) du dv v där r(u, v), (u, v) D, är en slät parametrisering av ytan S. 9

22 Gradient, divergens och rotation = i x + j y + k z För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k och en funktion φ(x, y, z) grad φ = φ = φ x i + φ y j + φ z k div F = F = F x + F y + F z ( F curl F = F = y F ) ( F i + z z F ) ( F j + x x F ) k y Greens formel För ett vektorfält F(x, y) = F (x, y)i + F (x, y)j ( F (x, y) dy + F (x, y) dy ) = C D ( F x F ) da y där D är ett begränsat område i xy -planet med positivt orienterad rand C. Gauss divergenssats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k div F dv = F ˆN ds V där ytan S är randen till det begränsade området V, orienterad så att ytans enhetsnormalvektor ˆN pekar ut från ytan. S Stokes sats För ett vektorfält F(x, y, z) = F (x, y, z)i + F (x, y, z)j + F (x, y, z)k F dr = curl F ˆN ds C S där S är en orienterad yta med rand C och ˆN är enhetsnormalvektorn till ytan orienterad i enlighet med randkurvans orientering. 0

23 Matematisk statistik Beskrivande statistik x = xi = fj y j n n s = (xi x) = ( ) x i nx = ( ) fj yj nx n n n Korrelationskoefficient r = n x i y i x i yi n x i ( x i ) n y i ( y i ) Linjär regression b = n x i y i x i yi n x i ( ) xi a = yi b xi = y bx n n Intervallskattning Observerat stickprov x, x,..., x n som kommer från N(µ, σ) och konfidensgrad α. Känd standardavvikelse σ : x σ n λ α/ µ x + σ n λ α/ där λ α/ är sådant att Φ(λ α/ ) = α. Okänd standardavvikelse σ : x s t α/ (n ) µ x + s t α/ (n ) n n där t α/ (n ) är sådant att om η t(n ) så gäller och s är den skattade standardavvikelsen. P ( η t α/ (n ) ) = α

24 t-fördelningen Tabellen ger det x -värde för vilket P (ξ > x) = α, där ξ t(f). f α

25 Normalfördelningen Tabellen ger sannolikheten Φ(x) = P (ξ x), där ξ N(0, ). För negativa x -värden använd relationen Φ( x) = Φ(x). x

26 Normalfördelningen (forts.) Tabellen ger det λ α -värde för vilket P (ξ > λ α ) = α, där ξ N(0, ). α λ α α λ α Binomialfördelningen Tabellen ger sannolikheten P (ξ x), där ξ Bin(n, p). För p > 0.5 använd P (ξ x) = P (η n x) där η Bin(n, p). n x p

27 n x p

28 n x p