1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

Transkript

1 TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern a lös följande ekvationssystem x + ay z = x + (a )y + z = x + y + (a )z =. Finn den räta linje som ger bästa approximation i minsta kvadratmening till följande datamänder: (, ), (, ), (, ), (, ), (, 4) 4. Vektorerna a, a och a nedan är en bas för ett delrum W av R 4. Använd Gram-Schmidt för att göra om dessa till en ortonormal bas för W. a = (,,, ),, a = (,,, ),, a = (,,, ).. Kolonnerna i matriserna A och B är två baser i R A = B = Beräkna matrisen som överför koordinatvektorer uttryckta i basen B till koordinatvektorer uttryckta i basen A 6. Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar matrisen 4 A = 6 4

2 Svar till tentamen i Linjär algebra, Övningstenta LA-.. Volymen blir volymsenheter.. a = : ingen lösning, a = ger lösningarna x = s, y = s, z =, om a och a så har systemet den entydiga lösningen x = a a, y =, z = a. y = / + 7/x 4. o = (,,, ) o = (,,, ) o = (,,, 4). 6.

3 Lösningar till tentamen i Linjär algebra, Övningstenta LA-.. Volymen ges av beloppet av determinanten till de tre vektorerna, dvs determinanten till matrisen A = Eftersom tredje kolonnen innehåller matrisens enda nolla så utvecklar man gärna längs tredje kolonnen. Determinanten blir i alla fall varför volymen blir.. Ekvationssystemet svarar mot följande utvidgade matris: a a a Vanlig Gausselimination ger oss följande matris a a a Från denna matris kan vi nu dra några slutsatser: Rad innebär att az = vilket ger att om a så får vi z = /a. Om a = så blir ekvationen istället = vilket naturligtvis är en omöjlighet, varför systemet inte har några lösningar för a =! Går vi nu till rad så får vi för a = ekvationen y = som är uppfylld för alla värden på y, dvs y = s är godtycklig. Om a så gäller att a och vi kan därför lösa ut y ur ekvationen (a )y = och får då y = Rad, slutligen, ger oss x = ay + z + vilket ger oss ingen lösning om a = x = s om a = + om a, a. Vi kan nu sammanfatta: Om a och a så har systemet unik lösning x /a + y = z /a a Om a = så har systemet oändligt många lösningar. Lösningarna ligger på följande linje: x y = s + z Slutligen: om a = så har systemet inga lösningar alls.. Vi använder maple för att lösa denna med minsta kvadratmetoden: > Y:=matrix(,,[,,,-,-4]);

4 Y := 4 > M:=matrix(,,[,-,,-,,,,,,]); M := > Mt:=transpose(M); [ ] Mt := > S:=multiply(Mt,M); [ ] S := > b:=multiply(mt,y); [ ] b := 7 > X:=linsolve(S,b); X := 7 Här blir den räta linjen y=-/+-7/x. 4. Vi börjar med att göra en ortogonal bas och på slutet normera dessa vektorer så att vi på så sätt får en ortonormal bas. Steg : Tag en av de tre vektorerna som första vektor; jag väljer a och kallar denna för b Steg : Jag tar nu a och projicerar denna på b. Sedan drar jag bort denna projektion från a och resultatet blir en vektor som är ortogonal mot b. Denna vektor kallar jag nu för b : b = a proj b a = (,,, ) Eftersom jag ännu inte bryr mig om vektorernas längd tar jag som andra vektor b = (,,, ). Detta för att slippa släpa på så många bråk. Steg : jag har nu två ortogonala vektorer b och b. För att få en tredje vektor så tar jag nu a och projicerar den på b och b. När jag sedan subtraherar dessa projektioner från a får jag en vektor som är ortogonal mot både b och b. Denna vektor kallar jag då för b. Vi får: b = a (proj b a + proj b ) = (,,, ) (4,,, 4) = (,,, 4) Nu tar jag b = (,,, 4) och noterar att denna verkligen är otogonal mot b och b. Dessa tre vektorer är nu en ortogonal bas. Vi behöver nu bara normera dessa vektorer för att ha erhållit en ON-bas: 4

5 o = o = o = b b = (,,, ) b b = (,,, ) b b = (,,, 4). Underförstått är att båda baserna är uttryckta i standardbasen. Detta betyder att matriserna A och B byter från respektive bas till standardbasen. För att komma från bas A till bas B så överför man först med A till standardbasen och sedan med B från standardbasen till basen B. Vår basbytesmatris blir därför produkten B A, där Produkten B A blir nu B A = B = = Basbytesmatrisen kan även beräknas genom att Gauss-Jordan eliminera den utvidgade matrisen (B A): 6. Vi börjar med egenvärdena; det karakteristiska polynomet blir λ + λ λ 98. Detta har nolltällena λ = 7, dubbelt egenvärde, λ =, enkelt egenvärde. Egenvektorerna till λ = 7 blir. v = och v = Vi använder Gram-Schmidt för att göra om denna bas till en ON-bas: e = e = 4 Normaliserad egenvektor för egenvärdet λ = blir e = Tillsammans ger våra ortonormala egenvektorer den ortogonala matrisen P : P = 4