Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Transkript

1 FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och en A4-sida med formler. Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet y = y 3(x + 1), y() =, y = y(x), (1) med h =. (räkna med 3D). Bestäm den exakta lösningen och jämför den approximativa lösningen med den exakta lösningen. 3 p. Använd beteckningar y n = approx. värden (n =, 1,, 3), y = exakta värden, ɛ = fel = y n y och skriv lösningen på formen av en tabell n x n y n y ɛ Lösning. Lös den homogena ekvationen y + y = () som motsvarar ekvationen y = y 3(x + 1). () har karakteristiska polynomet r + 1 (3) med nollstället r = 1. Den fullständiga lösningen y (x) till homogena ekvationen () är då Bestäm en partikulär lösning y p (x) till ekvationen (1): y = Ce x. (4) y p = ax + b : y p + y p = (ax + b) + (ax + b) = ax + (a + b) = 3x 3 a = 3, b = (5) och y p (x) = ( 3) x + = 3x. Den fullständiga lösningen till ekvationen (1) blir Satisfiera randvillkor y = y + y p = Ce x 3x. (6) y() = C = C =. (7) 1

2 Den (exakta) lösningen till begynnelsevärdesproblemet (1) är då Kolla att y() = e = och y(x) = e x 3x. (8) y = (e x 3x) = e x 3 = y 3x 3, (9) dvs upfyller ekvationen (1). Använd beteckningar h =., x n = x + nh = + n. (n =, 1,, 3): x = x 1 =., x =.4, x 3 =.6, y n = approx. värden (n =, 1,, 3), y = exakta värden, ɛ = fel = y n y, där de exakta värdena y = y(x n ) = e x n 3x n, n =, 1,, 3. Räkna den approximativa lösningen med Eulers metod II (tre steg) enligt x n+1 = x n + h, n =, 1,, k 1 = hf(x n, y n ) k = hf(x n+1, y n + k 1 ) (1) y n+1 = y n + 1/(k 1 + k ) (11) Här f(x, y) = y 3(x + 1) = (y + 3x + 3), h =. och x n = n. (n =, 1,, 3). Då får vi Räkna x n+1 = x n + h, n =, 1,, k 1 = h(y n + 3x n + 3) k = h[(y n + k 1 ) + 3x n+1 + 3] (1) y n+1 = y n + 1/(k 1 + k ) (13) k = h[(y n + k 1 ) + 3x n+1 + 3] = h[(y n h(y n + 3x n + 3)) + 3(x n + h) + 3] = h[y n hy n 3hx n 3h + 3x n + 3h + 3] = Nu räkna h[y n (1 h) + 3x n (1 h) + 3] = h[(1 h)(y n + 3x n ) + 3]. y n+1 = y n + 1/(k 1 + k ) = y n h y n + 3x n (1 h)(y n + 3x n ) + 3 = y n h 6 + ( h)y n + ( h)3x n = y n h[3 + (1.5h)(y n + 3x n )] = y n 3h h(1.5h)(y n + 3x n ) =

3 y n.6.9.(y n + n.6) = y n.6.18y n.18n.6) =.8y n n Vi får y n+1 =.8y n n.18.6, n =, 1,, y =. y 1 =.8y.18.6 =.8.6 = 1.4; y =.8y = =.144; y 3 =.8y.18.6 = =.697. Skriv värden av de approximativa och exakta lösningarna på formen av en tabell n x n y n y ɛ Problem. Använd punkterna (x 1, y 1 ) (x, y ) och (x 3, y 3 ) ovan som interpolationsdata och konstruera Lagranges interpolationspolynom L(x) (räkna med 3D). 3 p. Lösning. Andragradsinterpolation utföras med hjälp av ett polynom av grad n = i tre (olika) noder x, x 1, x, eftersom man kan entydigt bestämma ett andragradspolynom P (x), som går genom de tre (olika) punkterna (x, y ), (x 1, y 1 ) och (x, y ): Skriv polynomen av grad och bestäm Lagranges polynom av grad Vi har interpolationsdata (x 1, y 1 ) (x, y ) (x 3, y 3 ) = (., 1.4) (.4,.144) (.6,.697) P (x i ) = y i (i =, 1, ). (14) l 1 (x) = (x x )(x x 3 ) (x 1 x )(x 1 x 3 ) ; l (x) = (x x 1)(x x 3 ) (x x 1 )(x x 3 ) ; (15) l 3 (x) = (x x 1)(x x ) (x 3 x 1 )(x 3 x ). P (x) = y 1 l 1 (x) + y l (x) + y 3 l 3 (x). (16) 3

4 Då (x.4)(x.6).8 (x.)(x.6) (.4) (x.)(x.4).8 och Lagranges andragradsinterpolationspolynom l 1 (x) = (x.4)(x.6) (..4)(..6) = = 1.5(x.4)(x.6) = 1.5(x x +.4); l (x) = (x.)(x.6) (.4.)(.4.6) = = 5(x.)(x.6) = 1.5( x + 1.6x.4); (17) l 3 (x) = (x.)(x.4) (.6.)(.6.4) = = 1.5(x.)(x.4) = 1.5(x.6x +.8). P (x) = 1.4l 1 (x) +.144l (x).697l 3 (x) = (18) 1.5[1.4(x.4)(x.6).88(x.)(x.6).697(x.)(x.4)] = 1.5(.55x.39x +.159) =.687x 4.9x (19) Observera att här, räknades polynomets koefficienter med 3D-avrundning. För att kolla uttrycket (19), bestäm (med 3D-avrundning) polynomets värde i interpolationspunkten x =.: P (.) = = 1.4 = y 1. () Problem 3. integralen Använd den approximativa lösningen {y i } till problemet (1) och beräkna.6 y(x)dx med trapets formeln. Jämför resultatet med exakta integralens värde. Tips: bestäm det exakta integralens värde genom att integrera den exakta lösningen till problemet (1) 3 p. Lösning. Enligt trapetsregeln J = J[a, b] = där Vi har b a f(x)dx J T = J T [a, b] = h[ 1 f(a) + f(x 1) + f(x ) f(x n 1 ) + 1 f(b)], h = (b a)/n. b =.6, a =, h =., n = (b a)/h = 3. 4

5 f(a) = y =, f(x 1 ) y 1 = 1.4, f(x ) y =.144, f(b) y 3 =.697, (1) Räkna det approximativa integralens värde med 3D utan avrundning.6 y(x)dx.[ 1 y + y 1 + y + 1 y 3] =.[ ] =.367. () Räkna det exakta integralens värde med 3D utan avrundning.6 y(x)dx =.6 (e x 3x)dx =.6.6 e x dx 3 xdx = (e e.6 ) 3.6 Nu räkna det exakta värdet med 3D-avrundning.6 y(x)dx = (e e.6 ) 3.6 = (1.548).54 =.364. = (1.549).54 =.36. Jämför de approximativa och exakta (med 3D utan avrundning) integralens värden:.6 y(x)dx J T = =.3. (3) Observera att man kan bestämma felgränser för trapetsregeln KM ɛ KM, (4) där och (b a)3 (b a) K = = h, b =.6, a =, n = 3, h =., (5) 1n 1 M = max x [a,b] f (x), M = min x [a,b] f (x), f(x) = e x 3x, f (x) = e x, (6) om man använder i () exakta y(x)s värden i stället för de approximativa värdena y 1, y, y 3. Problem 4. Använd Newtons metod eller fixpunktiteration och beräkna en positiv rot till ekvationen y(x) =, där y = y(x) är den exakta lösningen till problemet (1). 3 p. Lösning 1. Enligt lösningen till Problemet 1, får vi ekvationen y(x) =, f(x) = y(x) = e x 3x =. Grovlokalisera dess positiv rot s för att bestämma begynnelseapproximation (startvärde) x. Vi har f(.4).14 >, f(.6).697 <. 5

6 Ur de två sista olikheterna, ser vi att en rot ligger i intervallet (.4,.6):.4 < s <.6. När man använder Newtons metod, itererar man enligt x n+1 = G(x n ), G(x n ) = x n f(x n), n =, 1,,.... (7) f (x n ) Här och Newtons metod f(x) = y(x) = e x 3x, f (x) = e x 3, x n+1 = G(x n ), G(x n ) = x n + e xn 3x n e x n + 3, n =, 1,,.... (8) Stopregeln: För att avbryta iterationer (8) vid ett lämpligt x n, n = 1,,..., betraktar vi differensen d n+1,n = x n+1 x n (9) Ligger d n+1,n inom den från början uppställda toleransgränsen ɛ x, dvs d n+1,n < ɛ x, (3) har man beräknat ett nollställe till den givna funktionen f(x) = e x 3x som ligger i intervallet (.4,.6). Välj toleransgränsen ɛ x =.1 och ett startvärde x = och beräkna Newtons iterationer (med 3D utan avrundning) n=: n=1: x 1 = G(x ) = + e e + 3 =.4, d 1, = x 1 x =.4. x = G(x 1 ) =.4 + e.4 1. e =.43, d,1 = x x 1 =.43.4 =.3 >.1. n=: x 3 = G(x ) =.43 + e e =.43, d 3, = x 3 x = =. <.1, och enligt stopregeln (3) är det 3D-approximativa värdet x s av den positiva rotten s till ekvationen e x 3x = x = x 3 =.43. Lösning. Fixpunktiteration kan skrivas som x n+1 = g(x n ), g(x n ) = 3 e xn, n =, 1,,.... (31) Välj ett startvärde x = och beräkna fixpunktiterationer n = : x 1 = g(x ) = 3 e =.666, d 1, = x 1 x =.666. n = 1 : x = g(x 1 ) = 3 e.666 =.34, d,1 = x x 1 =.34. 6

7 n = : x 3 = g(x ) = 3 e.34 =.473, d 3, = x 3 x =.131. n = 3 : x 4 = g(x 3 ) = 3 e.473 =.415, d 4,3 = x 4 x 3 =.85. n = 4 : x 5 = g(x 4 ) = 3 e.415 =.44, d 5,4 = x 5 x 4 = n = 8 : x 9 = g(x 8 ) = 3 e.434 =.43, d 9,8 = x 9 x 8 =. >.1. n = 9 : x 1 = g(x 9 ) = 3 e.43 =.43, d 1,9 = x 1 x 9 =. <.1. Då, enligt stopregeln (3), är det 3D-approximativa värdet x s av den positiva rotten s till ekvationen e x 3x = x = x 1 =.43. 7